2025年中考数学最值高频考点训练60题解析版

中考最值高频考点训练60题

明考情-知方向

中考几何最值问题综合性强，常结合对称、旋转、勾股定理、圆的性质等知识，以下是近年常考题型:

(1)将军饮马问题(最短路径)

(2)垂线段最短

(3)动点轨迹型

(4)旋转/翻折型

(5)隐圆模型(定角对定边

(6)费马点问题

(7)胡不归

(8)阿氏圆

热点题型解读

一、单选题

1.如图，在RtZiABC中，ABAC=90°,AB=3,8c=5,点P为BC边上任意一点，连接24、将P4沿方

向平移至CQ,连接AQ、PQ,则当PQ取得最小值时，BP的长为()

【答案】C

【分析】本题考查平行四边形性质和勾股定理，利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质,

得知。P最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再根据S”B。=SAB°C得到OP'的长度，继而

得到PQ的长度，从而即可得解.

【详解】解：ABAC=90°,AB=3,BC=5,

AC=7BC2—AB2=4,

四边形4PCQ是平行四边形，

PO=QO,CO=AO

・；PQ最短也就是P。最短，

••・过。作BC的垂线。P，，垂足为P,连接B。,

•••垂线段最短，

・•・当点尸在点P'处时，P。最小，即PQ最小，

即如xOP'=^ABx40

'：C0=AO=2,BC=5,AB=3

0P=9，

则PQ的最小值为20P，=w=2.4,

...CP'=70c2一op2=J22-(I)2=I，

o17

BP'=BC-CP'=5--=

・•・当PQ取得最小值时，BP的长为手.

故选：c.

2.如图，N40B=60。，点P是乙2。8内的定点且。P=2值，若点M、N分别是射线。4、OB上异于点。的动

点，则△PMN周长的最小值是()

【答案】A

【分析】本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质勾股定理，熟练

掌握相关知识点是解题的关键.

作点P分别关于。4。8的对称点C,D,连接CD分别交O4OB于点M,N,

得到MP="C,NP=ND,OD=OC=OP=2V3,4BOP=LBOD,AAOP=AAOC,继而得到

NP+MP+MN=ND+MC+MN=CD,此时△PMN的周长最小，过点。作OH1CD于点H,得到

ZOCH=乙ODH=1(180°-乙COD)=30°,得出OH=遮，根据勾股定理求出CH=3,得到CD=6,即

可得到答案.

【详解】解：如图，作点P分别关于O4OB的对称点C,D,连接CD分别交。4。8于点M,N,

•••MP=MC,NP=ND,OD=OC=OP=2®乙BOP=乙BOD,乙AOP=zXOC,

•••NP+MP+MN=ND+MC+MN=CD,

/.COD=乙BOP+乙BOD+/.AOP+/.AOC=2/.AOB=2X60°=120°,

此时△PMN的周长最小，

过点。作0Hle。于点H,

•••CH=DH,乙OHD=AOHC=90°,

•••OD=OC,

:•乙OCH=乙ODH=|(180°-4COD)=30°,

OH=|ot=[x2V3=V3,

•••CH=70c2一OH2=3,

•••CD=2CH=6,

PMN周长的最小值是6,

故选：A.

3.如图，在四边形ABDC中，乙4=4。=90。，AC=DC=3,BC=5,若点点N分别在AB边和CD边上

运动，且2M=DN,连接MN,则MN的最小值为()

A

D

A.3B.萼C.4D.喑

【答案】B

【分析】作ABAC的平分线交BC于点O,连接DO/D,OM,ON,4。交BC于点?通过证明三角形全等、

相似，利用全等三角形、相似三角形的性质及勾股定理，最后得结果.

【详解】解：如图：作NR4c的平分线交8C于点O,连接。。/D,OM,ON,AD交BC于点、F.

1

贝此BA。=乙。4c=万乙BAC=45°,

在Rt△ABC^Rt△DBC^,

-AC=DC,BC=BC,

・•.Rt△ABC=Rt△DBC(HL),

•••Z-ACB=Z-DCB,

在△AOC和△DOC中，

•・•AC=DC^ACB=乙DCB,CO=CO,

・••△/OCW2XDOC(SAS),

・•.AO=DO,/LOAC=乙ODC=45°,

Z.BAO=Z-ODC,

在△OMZ和△OND中，

•・•AM=DN,乙BAO=乙ODC,OA=OD,

・•.△OMA=△ON。(SAS),

OM=ON,Z.AOM=乙DON,

•••乙MON=2LAOM+乙AON,乙AOD=乙AON+乙DON,

・•・乙MON=^AOD,

.丝=”

X'OAOD'

:AMONMAOD,

.MN__OM

''~AD一~0A"

过点。作。El48于E,

则OEIIAC,

OEBs^CAB,

OE_BE

''~CA~~BA"

.OE__

','CA-BA'

OF

tanZ-BAO=—AE=1,

OE=AE,

•・.AB=7BC2-AC2="52—32=4,

OE4-OE

,•-T—4，

12

OE=AE=

OA='OE2+旃=苧，

在和△DCF中，

•・•AC=DC^ACB=乙DCB,CF=CF,

.-.AXCF=ADCF(SAS),

/.AFC=乙DFC,AF=DF,

•••Z-AFC+^DFC=180°,

・••/.AFC=90°,

••・AF1BC,

^AABC=-AC=6,

S^ABC=^BC^AF=^AF=6,

12

.・.AF=DF=

24

・•.AD=AFDF=y,

—,OM7、万

・••.MN=^jr=?OM,

-----5

・•・当。M取最小值时MN的值最小,

•:点O为定点，

・♦・当。AB时0M的值最小,

OE1AB,

OM的最小值为。E的值，

:.MN=吗喏=誓,

•••MN的最小值为岑

故选：B.

4.如图，直线y=/+3与久轴、y轴分别交于4B两点，点P是以C(l,0)为圆心，1为半径的圆上任意一点,

连接P4PB,则△P4B面积的最小值是()

【答案】A

【分析】作于H交O。于E、F,当点P与E重合时，△P4B的面积最小，求出EH、4B的长即可解

决问题.

【详解】解：直线y=+3与x轴、y轴分别交于4B两点，

令％=0,则y=3,令y=0,则%+3=0,

解得，%=-4,

・••4(-4,0),8(0,3),

：.OA=4,OB=3,且乙4。8=90°,

：.AB=5,

.…cOB3…cOB3

：.s\nZ-OAB=—=tanZ.OAB=—=-

AB5OA4

如图所示，作C”14B于“交。。于E、F,过点“作HG1久轴于点G,

.'.AC=1—(—4)=5,

在RtzXACH中,sin/CA”=sin/OAB=穿=I，

.-.CH=3,

■.EH=3-1=2,

当点P与E重合时，△PAB的面积最小，最小值=：x5x2=5,

故选:A.

【点评】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、勾股定理、锐角三角形函数的计算、一次函数的性

质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用直线与圆的位置关系解决问

题.

5.如图，等腰三角形4BC的底边8c长为8,面积是48,腰力C的垂直平分线EF分别交4C,4B边于E,F

点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则ACDM周长的最小值为()

【答案】C

【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线的性质，利用轴对称求最短路径，解

题的关键是掌握轴对称的性质.

连接4D，根据EF是线段2C的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点4故2D的长为CM+MD

的最小值，由于aABC是等腰三角形，点。是BC边的中点，故2D18C,根据三角形的面积公式求出2。

的长，即可求解.

【详解】连接2。，4。与EF的交点为M,

••,EF是4C的垂直平分线,

C点与4点关于直线EF对称,

CM+MD=AD,

此时△CDM周长最小,

•••△ABC是等腰三角形，。是BC的中点,

AD1BC,

•••BC长为8,面积是48,

：.AD=12,

•••△COM周长最小=AD+CD=12+4=16,

故选：C.

6.如图，△4BC中，AACB=90°,AC=6,BC=8,线段DE长是5,且两个端点。、E分别在边AC,BC

上滑动，点M、N分别是DE、48的中点，求MN的最小值（）

A.2B.2.53.5

【答案】B

【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理,最短距离等知识，连接CM、CN,

由勾股定理求得2B=10,再由直角三角形斜边上的中线性质得出CN=5,CM=2.5,当C、M、N在同一

直线上时，MN取最小值，即可得出答案，熟练掌握其性质得出C、M、N三点在同一直线上时，MN取最

小值是解决此题的关键.

【详解】解：如图，连接CM、CN,

在△48C中，^ACB=90°,

由勾股定理得：AB=7AC2+8c2=V62+82=10,

•••N2CB=90。，点M、N分别是DE、4B的中点，

CN=gx10=5,CM=^DE=|x5=2.5,

••・当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，

・•.MN的最小值为：5-2.5=2.5,

故选：B.

7.如图，4B=4C=12,ABAC=120°,ADIAB交8c于点D,P是4B中点，过点P作PQ||8C交4。于点。.

MN在线段BC上，且MN=3g,则PM+QN的最小值是（）

【答案】A

【分析】作点尸关于BC的对称点尸，过点〃作MEIINQ交PQ于点£,连接PF,BF,EF,MF,根据勾股定

理得到力。=48，BD=8V3,根据平行线的性质得出乙4PQ=NB=30。，再利用勾股定理得出

AQ=QD,求出PQ=4K,证明△EMX三△（?人「得到ME=QN,由此PM+QN=MF+ME,当尸,

M,£三点共线时，PM+QN的值最小，即线段EF的长，证是等边三角形，PF=BP=，B=6,

利用勾股定理求出EF.

【详解】解：作点P关于的对称点凡过点M作MEIINQ交PQ于点£,连接P£8F,EF,MF,作

EX1BC,QYIBC,

•MB=AC=12,/^BAC=120°,

;/B—Z-C=30°,

-AD1ABf

・•.BD=2AD,

/.122+AD2=BD2,即122+AD2=(2/0)2,

.\AD=4百\BD=8百\

.PQIIBC,

：.Z.APQ=AB=30°,

・・・P是PB中点,

：.AP=^AB=6,

设AQ=a,则PQ=2a,

.,.62+a2=(2a)2,

••.a=2V3,即ZQ=2V3,

・•.DQ=AD-AQ=4V3-2^3=2g,PQ=4K，

：.AQ=QD,

-MEWNQ,

・"MX=乙QNY,

-PQIIBC,

：.EX=QY,

在△EMX和△QNY中，

(AEMX=Z.QNY

\z-EXM=乙QYN

IEX=QY

...△EMX=△QNY,

.'.ME=QN,

.-.PM+QN=MF+ME,当凡M,E三点共线时，PM+QN的值最小，即线段EF的长，

■.BP=BF,^ABC=乙CBF=30°,

.•.△BPF是等边三角形，

■,PF=BP=^AB=6,

-：EQ=MN=3V3,

■■-PE=V3,

■.-Z.FPE=90°,

■■■EF=7PE2+PF2=V3+62=V39-

故选：A.

【点睛】此题考查等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质,

熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键.

8.如图，在正方形2BCD中，AB=2,点E是4B边的中点，点F是4。边的上任意一点，将线段EF绕点E顺

时针旋转90。得到EG,连接BG,则AEBG周长的最小值为（）

A.3B.2+V2C.1+V5D.2

【答案】C

【分析】过点G作MN||BC,分别交AB,CD于点M,N,连接CG,CE,先证出根据全等三

角形的性质可得MG=/E=1,从而可得MG=NG,再证出△BMGw△CNG,根据全等三角形的性质

可得BG=CG,从而可得aEBG的周长为BE+EG+BG=1+EG+CG,然后根据两点之间线段最短可

得当点E,G,C共线时，EG+CG取得最小值，最小值为CE,由此即可得.

【详解】解：如图，过点G作MNIIBC,分别交ZSCD于点M,N,连接CG,CE,

•・•在正方形ZBCD中，48=2,点E是边的中点，

乙

：.BC=AB=2,BE=AE=lfAA=Z.ABC=BCD=90°,AB||CD,

・・・四边形8CNM是矩形，

；.MN=BC=2,BM=CN/BMG=乙CNG=90°,

：.£.EMG=90°,

由旋转的性质得：EG=FE,Z,FEG=90°,

.'.Z.AEF+^MEG=90°,

又•・•乙4=90°,

.'.Z.AEF+^AFE=90°,

；ZMEG=AAFE,

在△MEG和中，

(AEMG=Z.A=90°

］乙MEG=Z.AFE,

IEG=FE

・•.△MEG=△AFE(AAS),

,.MG=AE=1,

：.NG=MN-MG=1,

.•.MG=NG,

在△BMG和△CNG中，

（BM=CN

\^BMG=Z.CNG=90°,

IMG=NG

：.ABMG=ACNG（SAS）,

••.BG=CG,

・•.△EBG的周长为BE+EG+BG=1+EG+CG,

由两点之间线段最短可知，当点E,G,C共线时，EG+CG取得最小值，最小值为CE='BC?+BE2=店,

△EBG周长的最小值为1+V5,

故选：C.

【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质、矩形的判定与

性质等知识，综合性较强，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键.

9.如图，A,B为。。上两点，^AOB=90°,C为。。上一动点（不与4B重合），。为47的中点.若。。

的半径为2,则BO的最大值为（）

A.1+V5B.V5C.3D.2V2

【答案】A

【分析】本题考查了中位线的性质，三角形边长关系，勾股定理，连接C。，取4。的中点E,连接

根据中位线的性质可得DE=*。=1,再利用勾股定理求得BE,根据三角形边长关系可得

DB<DE+BE,即可解答，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：如图，连接CO,取4。的中点E,连接DE,BE,

I、一—7b・•・•0为AC的中点，4。的中点E,

DE=^C0=1,OE=jxO=1,

•••AAOB=90°,

BE='OE?+BE2=V5,

根据三角形边长关系可得BE-DE<BD<BE+DE,

.­■BD的最大值为BE+DE=V5+1,

故选：A.

二、填空题

10.如图，抛物线y=*2—4与支轴交于48两点，点P是以抛物线的顶点C为圆心，2为半径的圆上的动点,

点Q是线段尸3的中点，连接则线段。。的最小值是.

【答案】V5—1

【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，连接

AC.EB,设4C的延长线交OC于E,先求出点4(-2,0),点8(2,0),点C(0,-4),由此得OQ是△的2的

中位线，则OQ=9P,因此当4P为最小时，OQ为最小,根据点与圆的位置关系可知4E为最小，然后

再求出4E的长即可得出OQ的最小值.

【详解】解：连接设4C交OC于£,如图所示:

对于抛物线y=X2-4,当x=0时,或x=2,

二点4(—2,0),点点C(0,—4),

：.OA=OB=2,OC=4,

••・点。是BP的中点，

；.0Q是△ABP的中位线，

.■.OQ=^AP,

.•.当4P为最小时，0Q为最小，

根据点与圆的位置关系可知：点/到OC上各点的距离中，&E为最小，

・•・当点尸与点£重合时，0Q为最小，最小值为豺岳，

在Rt^CMC中，由勾股定理得：AC=VOA2TOC2=2V5,

•；OC的半径为2,

：.AE=AC-CE=245-2,

■■■^AE=V5—1,

”0Q的最小值为逐一1.

故答案为：y/5—1.

11.如图，在矩形4BCD中，AB=15,AD=6,E,厂分别是AB和DC上的两个动点，”为BC的中点，则

DE+EF+FM的最小值是.

【答案】15四

【分析】本题考查轴对称-最短路线问题、矩形的性质，作点。关于2B的对称点ZT,作点M关于CD的

对称点连接。D'E,FM1,则所求的最小值即为。即，利用勾股定理求解即可.

【详解】解：作点。关于4B的对称点。，作点加■关于CD的对称点连接。D'E,FM',

则DE+EF+FM=D'E+EF+FM'>D'M',

.•.当D',E,F,眩在同一条直线上时，所求的DE+EF+FM最小，最小值即为。州的长,

•矩形48CD中，AB=15,AD=6,

：.AB=CD=15,AD=AD'=BC=6,

过点M作20的垂线，交4。的延长线于点“，则四边形DCM7/为矩形，

：.HM'=AB=15,

为BC的中点，AD=BC=6,

：.MC=CM'=DH^3,

■.HD'=AD+AD'+DH=6+6+3=15,

・•・D'M'=7HD，2+HM，2=V152+152=15V2,

.■.DE+EF+FM的最小值是15位.

故答案为：15五.

12.如图，在直角△A8C中，NC=90。，AC=6,BC=8,AB=10,D、E、尸分别是AB、BC、AC边上

的动点，则DE+EF+DF的最小值是__.

【答案】9.6

【分析】本题考查了轴对称一路径最短问题，作。关于直线4c的对称点M,作D关于直线BC的对称点

N,连接CM,CN,CD,DN,DM,EN,FM.,推出乙DCN+=180。，可得M、C、N共线，由

DF+DE+EFDM+DE+EN,DM+DE+EN>MN,可知F、E、M、N共线时，且CD1AB时，

DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD,求出CD的值即可解决问题理解转化思想是解题的关键.

【详解】解：如图作。关于直线4C的对称点M,作。关于直线BC的对称点N,连接CM,CN,CD,DN,

DM,EN,FM.

.-.CD=CM=CN

■■■/.MCA=Z.DCA,乙BCD=ABCN,NBCD+NACD=90°,

NDCN+NDCM=180°,

•••M、C、N共线，

DF+DE+EF=FM+EF+EN,

•••FM+EF+EN>MN,

二当F、E、M、N共线时，且CD14B时，DE+EF+尸。的值最小，最小值=2CD,

CD1AB,

•••AB-CD=BC,AC,

CD=4.8

・•.DE+EF+OF的最小值为9.6.

故答案为：9.6.

13.如图，四边形2BCD是边长为2的正方形，E是平面内一点，AE=AB,将EB绕点E顺时针方向旋转90。

得到线段EF,连接力F.则4F长的最小值为

【答案】2V2-2

【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数等知识，

证明三角形相似是解题的关键.

通过证明△ABFsaOBE,可得=则当点E在AC上时，OE有最小值为2—夜，即4尸的最

小值为2四-2.

【详解】解:如图，连接AC,BD,交于点。，连接OE,BF.

AB——

cosZ-ABO=V2B0=2,

BO=AO—y/2,

•・・将绕点E顺时针方向旋转90。得到线段EF,

•♦.BE=EF,乙BEF=90。,

••・乙EBF=乙EFB=45°,

BE

BF==y/2BE,

sinZ.EFB

•••Z-FBE=Z-ABO,

•••Z-ABF=Z-OBE,

ABBFr-

又RP

~DoUn=~DC=V2,

••.△ABF~AOBE,

,，AF=历r-

•1.AF=V20F,

AB—AE—2,

当点E在AC上时，OE有最小值为2—V2,

.••4F的最小值为2四—2.

故答案为：2金—2

14.如图，在Rt^4BC中，ABAC=90°,AB=5,AC=12,点。是BC上的一个动点，过点。分别作DM14B

于点M,DNJ.AC于点N,连接MN,则线段MN的最小值为.

【答案】居

【分析】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理，由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DM4N是

矩形，可得MN=AD,根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题.

【详解】解：；NB4C=90。，BA=5,AC=12,

-BC=7AB2+\C2=13,

-：DMLAB,DNLAC,

.-./.DMA=乙DNA=4BAC=90°,

.1四边形OMAN是矩形，

■.MN=AD,

.•.当ADIBC时，力D的值最小，

此时，△48。的面积=33*2。=28。*4。，

••.MN的最小值为詈

故答案为：5.

15.如图，在正方形28CD中，4B=2,点E,尸分别在边AB,8C上，AE=BF,连接DE与4F交于点G,连

接BG,贝/G的最小值为.

cFB

【答案】V5-1/-1+V5

【分析】要想求出BG的最小值，要把它转化到△BGM中，并且M取力D的中点，运用直角三角形斜边上

的中线等于斜边的一半，求出GM的长度，根据勾股定理求出8M的长度，根据三边关系

BG+GM>BM,即可得到BG的最小值.

【详解】解：取an的中点M,连接BM,GM,

则DM=AM=^AD=^AB=1,

■■-BM=>MM2+482="2+22=V5.

•.•四边形4BCD是正方形，

：.DA=4B=2,/.DAE=4ABF=90°.

'.'AE=BF,

.'.ADAE=AABFf

：.Z.ADE=Z-BAF.

-ABAF+ADAF=90°,

：.Z.ADE+^DAF=90°,

；/DGA=90°.

■.-GM=^AD=1.

：BG+GM>BM,

：.BG>BM-GM,

・•.BG的最小值为左-1.

故答案为：V5—1.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形全等，三边关

系等知识点，解决此题的关键是要作出△BGM.

16.如图，在Rt△力BC中，ZC=90°,AC=3,AB=5.如果D,E分别为BC,4B上的动点，那么AD+DE

的最小值是.

【答案】y

【分析】延长AC到点R使得47=CF,则直线BC是线段4F的垂直平分线，连接OF,BF,于是得到

AD=DF,AB=BF,于是力D+QE就变成了DF+DE,根据点到直线的距离以垂线段最短原理，得到

DF+DE的最小值就是△4BF的高，过点尸作FG1于点G,求FG即可.

此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，勾股定理，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以

上性质是解本题的关键.

【详解】解：延长4C到点凡使得4C=CF,

-AACB=90°,

・•・直线BC是线段ZF的垂直平分线，

连接。

.'.AD=DF,AB=BF,

+DE就变成了。F+DE,

根据点到直线的距离以垂线段最短原理，得到OF+DE的最小值就是△r的高,

过点尸作FG1AB于点G,

-/.ACB=90°,AC=3fAB=5,

：.AF=2AC=6,BC=y/AB2—AC2=4,

1i

-SAABF=^AF-BC=^AB-FG,

.*.6x4=5FG,

24

：.FG=y.

故答案为：g.

17.如图，在矩形4BCD中，4)=5,48=3仃，点£在边48上，AE：EB=1:2,在矩形内找一点尸，使

得4BPE=60°,则线段DP的最小值为.

【答案】2V7-2

【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，矩形的性质，关键是

判定点尸在而所对圆周角NBPE=60。的圆。上运动.

点尸在场所对圆周角NBPE=60。的圆。上运动，当DP的延长线过圆心。时，PD有最小值，连接OE,

OB,过。作。HlBE于〃，过。作。Ml4。于求出BE=2g,AE=^3,由等腰三角形的性质推

出NE。”=建BOE,EH=1BE=V3,由圆周角定理得到NBOE=24BPE=120°,由tan/E。"=察=

ZZUn

V3,求出。H=l,由含30度角的直角三角形的性质得到PO=OE=2OH=2,判定四边形AHOM是矩

形，得到AM=OH=LOM=AH,由勾股定理求出。。的长，即可得到答案.

【详解】解：点P在前所对圆周角NBPE=60°的圆。上运动，

当DP的延长线过圆心。时，有最小值，连接。&OB,过。作OH1BE于“，过。作。

M,

■：AE-EB=1:2,AB=3VI,

BE—2V3,AE-V3,

•••OE=OB,OH1BE,

乙EOH=34BOE,EH=^BE=V3,

.:LBOE=24BPE=120°,

.•.NE。"=60",

EH1—

tanZ.EOH=tan60°=—Un=V3,

OH=1,

•・•乙OEH=90°-60°=30°,

.・.po=OE=2OH=2,

•・・四边形ZBCO是矩形，

/.A=90°,

VAAMO=AAHO=90°,

四边形2H0M是矩形，

■■.AM=OH=1,OM=AH,

DMAD-AM=5-1=4,

•••AH=AE+EH=2V3,

OM=2V3,

...OD=7DM2+0M2=2V7,

：.PD=PO-OP=2V7-2,

P。的最小值是2夕一2,

故答案为：2夕—2.

18.已知，如图点N是直线y=—x—6上任意一点，点8在以M(—3,3)为圆心1为半径的圆上，以N5为底

边作等腰直角△ABC(A,B、C按逆时针顺序排列)，连接OC,则OC的最小值是.

【答案】6—?

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、一次函数与几何的综合、等腰三角

形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键.

如图：OM顺时针旋转90。得到。孙，8的对应点为防,连接贝l」OB=。名,

如(3,3)；根据等腰直角三角形的性质推得△CBO“△ABBi得至IJC。=孚4%,只需求出妣的最小值;

如图：当4当幽1共线且垂直于直线y=—%—6时，取最小值；然后说明点4(—3,—3),运用两

点间距离公式得到4Mi=6vL进而得到AB】的最小值为6或—1,最后代入C。=*!Bi即可解答.

【详解】解：如图：OM顺时针旋转90。得到O%,B的对应点为名，连接0C,0BHMi，08i/Bi，则

OB=OB1,Mi(3,3),

"OBB1=45°,BB]=JOB2+OB^2=y/20B

•・・以AB为底边作等腰直角△ABC,

：.Z-ABC=45°,AB=y/AC2+BC2=闻C,

;/ABC=Z-OBBi

：.^ABC+(ABO=Z-OBBr+A.ABO,即=4ABB1,

BBiABr-

''~0B~'BC~72,

；.ACBO~AABBi，

.•察=衣■，即c。卷网,

要求c。的最小值，直接求得481的最小值即可，

如图：当4Bi，Mi共线且ZBi垂直于直线y=—x—6时，4当取最小值,

设直线y=—%—6与了轴的交点为E,过工作力。1y轴与D,

当久=0时，y=—6,即E(0,—6),

；.OE=6,

・・•直线y=—%—6与y轴正方向的夹角为45。，

.•.△AOE是等腰直角三角形，

：.OA—AE,

-AD1y轴，

i

-，0D=DE=AD=-OE=3,即力(—3,—3),

=J(—3—3)2+(—3—3)2=6V2,

：.ABr=AMr-M1B1=6V2-1,即ZB1的最小值为6鱼-1.

-0C的最小值为CO=争IB1=字(6近—1)=6—浮

故答案为：6—乎.

19.如图，△ABC中，ABAC=90°,AB=4,AC=3,点D,E分别在边AB,BC上运动，且BD=CE,连接

AE.CD,贝ME+CD的最小值为.

【答案】V34

【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段的性质，勾股定理，理解两点之间线段最短,

过点C作CNII4B,使CN=BC,连接EN,AN,证明△BCD和△CNE全等得CD=EN,则

AE+CD=4E+EN,根据"两点之间线段最短"得当点4E,N在同一条直线上时，AE+EN为最小,

最小值为线段2N的长，贝ME+CD的最小值为线段AN的长，利用勾股定理求出CN=CB=5,再证明

^ACN=90°,然后由勾股定理求出4N即可得出答案.熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用勾

股定理进行计算是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点.

【详解】解：过点C作CNII2B,使CN=BC,连接EN,AN,如图所示：

在△BCD和aCNE中，

(BD=CE

]4ECN=NB,

IBC=CN

：.△BCD三△CNE(SAS),

•••CD=EN,

•••AE+CDAE+EN,

根据"两点之间线段最短"得：AE+EN>AN,

••・当点4E,N在同一条直线上时，4E+EN为最小，最小值为线段4V的长,

AE+CD的最小值为线段4V的长，

•••△ABC中，^BAC=90°,AB=4,AC=3,

由勾股定理得：CB=+4C2=5,

•••CN=CB=5,

v^BAC=90°,

:.乙B+AACB=90°,

•••AECN+/.ACB=90°,

即41CN=90°,

△acN是直角三角形，

由勾股定理得：AN=y/AC2+CN2=V32+52=V34,

.•.4E+。£>的最小值为旧.

故答案为：V34.

20.如图，在△力8c中，乙4cB=90。，ZB=30°,动点M、N分别在BC、上，且AN=2BM>0,连接

AM,CN.若4C=1,则CN+24M的最小值为___.

【答案】V17

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键；通过

证明△ANCSABM//,可得MH=^CN,由CN+2AM=26CN+aM)=2(MH+4M),则当点4点

M,点”三点共线时，MH+AM有最小值，即CN+24M有最小值，由勾股定理可求解.

1

【详解】解：如图，过点B作且8”=5，连接M”，

M^B

H..乙ACB=90°,乙B=30°,

AB=2AC=2,^CAB=60c

vBHLAB,=30°,

/.ACBH=60°=乙BAC,

1

VAN=IBM,AC=1,BH=-,

.BM__BH_1

,•~AN~~AC_2f

・•△ANC~ABMH,

MH_1

"~CN-2f

CN+2AM=2(|c/V+AM)=2(MH+AM),

••・当点4点M,点H三点共线时，+有最小值，即CN+24M有最小值，

•••CN+2AM的最小值为2卜+；=V17,

故答案为：V17.

21.如图，直角三角形4BC中，N2CB=90。，Z_B=30。，2B长为4,射线CDII48,点E为射线CD上一点,

过点E作EF1BC于点F,连接2E,点M为2E中点，则MF的最小值为_.

2

A

【答案】孚

【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质,直角三角形的性质，勾股定理，延长EF交4B于点N,

连接CM,MN,易得四边形力NEC是平行四边形，进而得到三点共线，再利用直角三角形的性质得

到MF=iCN,当CN1CD时，CN有最小值，即MF有最小值,求出N4CN=30°,即可求出力N=

=1,利用勾股定理即可求出CN,即可解答.

【详解】解:延长EF交于点N,连接CMMN,

—D

AN

•;EF工BC,

:/CFE=90°,

-L.ACB=90°,

：.AC||EN,

-CD||AB,

••・四边形/NEC是平行四边形，

・・•点M为4E中点，

.•CMN三点共线,

MCFN=90°,

：.MF=^CN,

当CN1CD时，CN有最小值，即MF有最小值，

••••△RC△中,28=30°,AB=4,

.-.AC=^AB=2,^BAC=60°,

MNCD=9Q°,CD||AB,

:.ACNA=90°,

:ZACN=30°,

.■.AN=^AC=1,

■■CN='AC2—AN2=V3,

.■,MF=*N=孚，

••.MF的最小值为手

故答案为：字

22.如图，在矩形4BCD中，AB=6,AD=8,AE=BE,F是BC一动点，△EB/是由△EBF沿直线EF翻

折得到，连接夕D,则夕。的最小值是.

【答案】V73-3

【分析】本题考查了折叠的性质，两点之间线段最短，勾股定理，熟练掌握以上知识点，确定点所在何

位置时，的值最小是解题的关键.根据题意可推出点所在以E为圆心区4为半径的圆上运动，得到当

E、B\。共线时，B7）的值最小，根据勾股定理求出DE,根据折叠的性质可知EB=EB，=3,即可求

出B'D.

【详解】解：由折叠可得：EB'=EB,

AE—BE,AB—6,

AE=EB=EB'=^AB=1X6=3,

点所在以E为圆心瓦4为半径的圆上运动，

.•.当E、B'、D共线时，9D的值最小，如图，

BFC•.•四边形4BCD矩形，

zx=90°,

在RtaADE中，-：AD=8,AE=3,

...DE=7AD2+4E2=V82+32=V73,

B'D=DE-EB'=V73-3.

故答案为：V73—3.

23.如图，M是正方形ABCD边CD的中点，尸是正方形内一点，连接BP,线段BP以2为中心逆时针旋转90。

得到线段BQ,连接MQ.若AB=4,MP=L则MQ的最小值为.

【答案】2V10-1

【分析】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理以及动点问题，熟练掌握性质定理是解

题的关键.连接BM,将BM以B中心，逆时针旋转90。，M点的对应点为E,由P的运动轨迹是以M为圆

心，1为半径的半圆，可得：Q的运动轨迹是以E为圆心，1为半径的半圆，再根据"圆外一定点到圆上任

一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短"，所以当M、Q、E三点共

线时，MQ的值最小，可求ME=&BM=2VTH从而可求解.

【详解】解：如图，连接BM,将以B中心，逆时针旋转90。，M点的对应点为E,

・••P的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的半圆，

.•.Q的运动轨迹是以E为圆心，1为半径的半圆，

如图，当M、Q、E三点共线时，MQ的值最小，

•••四边形4BCD是正方形，

•••CD=AB=BC=4,NC=90°,

是CM的中点，

•••CM=2,

•••BM=7cM2+BC2=A/22+42=2瓜

由旋转得：BM=BE,

ME=V2BM=2710,

•••MQ=ME-EQ=2V10-1,

・•.MQ的值最小为2715—1.

故答案为：2V10-1.

24.如图，在aaBC中，乙4cB=90。，4C=BC=3,。是平面内一点，BD=1,连接CD.将线段CD绕点

。顺时针旋转90°,得到线段C。，连接B。，贝的最大值为,最小值为.

【答案】3鱼+1/1+3鱼3V2-1/-1+3V2

【分析】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转的性质等知识点，发现点。在以点

B为圆心、1为半径的圆上和点。在以点A为圆心、1为半径的圆上并画出图形是解题的关键.

如图：连接40，，由勾股定理可得4B=3鱼，再根据旋转的性质可得点。在以点B为圆心，1为半径的

圆上；然后再证明三△BCD(SAS)可得==1,点。在以点A为圆心，1为半径的圆

上.然后画出图形，根据图形求最值即可.

【详解】解：如图：连接4。，

AB=7AC2+BC2=3V2.

是平面内一点，BD=1,

•・•点。在以点B为圆心，1为半径的圆上.

VAACB=90°,/.DCD'=90°,

/-ACD'=2BCD.

在△ZC。与△BCD中，

AC=BC

乙4cO'=乙BCD,

、CD'=CD

・••△/CD'三△BCD(SAS),

AD'—BD=1,

•••点。在以点4为圆心，1为半径的圆上.

如图1,当点。在线段B4的延长线上时，BD最大,

.-.BD'=AB+AD'=3V2+1,即的最大值为3鱼+1；

如图2,当点。在线段力B上时，BZT有最小值，

.-.BD'AB-AD'=3V2-1,即B。的最小值为3近—1.

25.如图所示，在扇形。力B中，ZXOB=90°,半径。4=4,点尸在而上，且丽=2通.点C、。分别在

线段。4、0B上，CD=4,E为CD的中点，连接EF.在CD滑动过程中(CD长度始终保持不变)，当EF

取最小值时，BD的长为.

【答案】2

【分析】本题考查弧与圆心角的关系，线段最小值问题，等边三角形的判定及性质，解题的关键是明

确当。，E,F共线时，EF的值最小，止匕时NEOD=60°.

连接。F,0E,结合题意得4BOF=60。，再求出当。，E,F共线时，EF的值最小，此时NE。。=60。,

得△DOE为等边三角形，即可求解.

【详解】解：如图，连接。F,OE,

•••/.AOB=90°BF=2AF,

：.Z.BOF=60°,

・•・£为CD的中点，

OE=CE=DE=^CD=2,

OF=4,

：.EF>OF-OE=2,

.•・当。，E,尸共线时，EF的值最小，如图,

此时，乙EOD=