2025年中考数学复习：二次函数36种经典问法

二次函数36种经典问法

已知，如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点与y轴交于点C,OA=OC=3，顶点坐标为D。

1.求此抛物线的解析式。

解:由0A=0C=3,

得A(-3,0),C(0,-3),

把A,C坐标代入y=/+bx+c中,

(3产+(-3)6+c=0,b=2

tc=-31{c=-3，

故y=%2+2%—3

结论1：

适用于一般形式：y=ax2+bx+c(a丰0)

条件：已知三点的坐标，直接代入三点的坐标，建立三元一次方程组求解。

结论2:

适用于顶点式：y=a(x-li)2+k(a丰0)

条件：①已知顶点坐标；②已知对称轴；③已知函数最值；④已知两个对称点.直接代入，建立二元一次方程

组求解。

结论3:

适用于两根式：y=a(x-%1)(%-乂2)伯力0)条件：①已知函数图像与x轴的两个交点(xi,0),(x2,0);②已知

函数图像上的一个点坐标；直接代入条件，建立一元一次方程求解。

结论4：

关于x轴对称：

如：抛物线y=ax2+bx+c(a丰0)关于x轴对称，x不变，y变为它的相反数，因此抛物线的解析式：—y

=ax2+bx+c(a^0),即

y——ax2—bx—c(a*0);

结论5：

关于y轴对称：

如：抛物线yax2+bx+c(a*0)关于y轴对称，y不变，x变为它的相反数，抛物线的解析式：y=a

(―x)2+/?(—%)+c(a*0),即y=ax2—bx+c(a丰0);

结论6：

平移：

左加右减7X,上加下减ry

如：抛物线y=ax2+bx+c(a丰0)向左平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度后解析式：y=a(x

+m)2+b(x+m)+c+n。

2.判断△ACD的形状，并说明理由。

解：由y=/+2%-3=(%+1产一4得定点坐标D(-1,-4),

又A(-3,0),C(0,-3),

由两点之间的公式，得

AC2=(-3-0)2+[0-(-3)]2=18,

CD2=[0-(-1)]2+[(-3)-(-4)]2=2,

AD2=[-3-(-1)]2+[0-(-4)]2=20,

贝!1心+CD2=心，

故4ACD为直角三角形。

3.求四边形ABCD的面积。

解：先整△ACD是直角三角形(同2),则S4ACDAC-CD=|-3A/2•a=3,

A(-3,0),B(1,0)C(0,-3),则AB=4,OC=3,

=

得S—BC2-4B,OC=-X4X3=6,故SABCD=S^ABC+SAACD=6+3=9。

解题方案

分割法二次函数面积题型有详细讲解

4.在对称轴上找一点P,使仆BCP的周长最小，求出点P的坐标及仆BCP的周长。

解：由A(-3,0),C(0,-3)得AC:y=-x-3,

y=x2+2x—3=(x+l)2—4得对称轴x=-l,

点A、B关于x=-l对称，

••.AC与x=-l的交点即为点P,则P3ng二

A(—3,0),B(1,0)C(0,-3),

得AC=3vxBC=V10,

故aBCP的周长为：

BP+CP+BC=AC+BC3V2+10。

解题方案

5.在直线AC下方的抛物线上有一点N,过点N作直线1〃y轴.交AC于点M,当点N在什么位置时，线段M

N的长度最大，并求出最大值。

解:设N(t,t2+2t-3)

由AC:y=-x-3,则M(t,-1-3)

则MN=ym-yN

=-t—3—Q2+2t-3)

=—t2—3t

=-(£+i)2+z

故当y-1时，MN有最大值；

解题方案

利用数形结合思想设坐标，构建二次函数模型求出最大值。

Z在直线而旁的抛物线上是否存在一而7使得△ACN的亩积最大凤出最大值「解:过N作直线直线1

〃y轴，交AC于M,交x轴于H,作CPL于点P,则Ux轴，

S^ACN=S^AMN+SMMN

11

=-MN-AH+-MN-CP

22

=|MTV-(AH+CP)

=^MN-\XA-XCI

3

=-MN

2

故当MN取最大值时，△ACN面积最大。(S—cN)?na%=v

o

7.在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N,使得四边形ABCN的面积最大，求出最大值。

解：由于△ABC的面积是定值，则转化为上题的解。S=・0C=?x4X3=6,S=葛

LABCZZLACNo

6+

故SABCN=SMBC+S"CN=T=T

8.在y轴上是否存在一点E，使得△ADE为直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理

由。

解:①若/EAD=90。,如图,作MN〃y轴,EMXMN,DN±MNO

设E(0,t),贝！]EM=3,DN=2,MA=t,AN=4,

由ZEMA=ZEAD=AND=90°,

贝必EMA^AAND(AAS)

/日EMMA3t3

彳可--=---0_=

ANND422

故E(6)

②若NEDA=90。,如图，作DH±y轴于H,

设E(0,t),贝!]AN=4,DN=2,DH=l,HE=t+4,

由/EHD=/EDA=AND=90。,贝必AND^ADHE(AAS),

/日ANDN41八7

彳可—=—n-=—n£=—,

DHEH2t+42

故E(0,-0

③若/AED=90。,如图.

设E(O,t),则AO=3,OE=-t,DH=HE=t+4,

由ZAOE=ZAED=EHD=90°,

贝必AOE^AEHD(AAS),

4日AOOE3-t

彳可—=—n—=——,

EHHDt+41

或t=-3,

故E(0,-l)或(0,-3),

综上所述,E的坐标为：(0，|),

(o,-今，(0,-1)或(0,-3),

9.在y轴上是否存在一点F，使得△ADF为等腰三角形，若存在，求出点F的坐标；若不存在,请说明理由。

解：由A(-3,0),D(-1,-4)

得:AD=2V5,AD2=20,

设F(0,t),贝！=12+%

DF2=(t+4尸+1=产+8t+17,

①若AD=AF,贝[]t2+9=20nt=±V1T,

②若DA=DF厕

t2+8t+17=20=>t=一4±V19,

③若FA=FD,则

产+9=产+8t+170t=-1,

综上所述，F点坐标为(0,V1T),

(0--VT1),(0--4+V19),(0,-1),或((0,-4-V19).

10.在抛物线上是否存在一点N，使得SAABN=SAABC,若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

解:由C(0,-3),得OC=3^!UABC中,AB边上的高为OC=3,又SAABN=SAABC,

则抛物线上到AB距离为3的点均满足条件，

设N(m,n)由AB在x轴上.则n=±3,①n=3时，

m2+2m-3=3=>m=—1±V7,

②n=-3时，

m2+2m-3=-3^m=-2或m=0(舍)，综上所述，N点坐标为(-1+V7-3),(-1-V7-3)或((一2,一3)。

11在抛物线上是否存在一点H，使得SABCH=SAABC,若存在，求出点H的坐标;若不存在,请说明理由。

解:由BC为KBCH和4ABC的共边，且SABCH=SAABC,

则点H在过点A且与BC平行的直线1上,

由B(1,0),C(0,-3),

得BC:y=3x—3,

又A(-3,0),则1:y=3x+9,

联"{y=3x+9今0=21或{y=0(舍)，

故H(4.21)

解题方案

“共边且面积相等”的两个三角形的顶点分布在与共边平行且等距离的两条直线上。

12.在抛物线上是否存在一点Q，使得SAAOQ=SACOQ,‘若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理

由。

解:由A(-3,0),C(0,-3),

得AC:y=-x-3,

右SMOQ=S&COQ,

则Q点在NAOC的角平分线上或过点O且且与AC平行的直线上,

①由NAOC=90。,则其角平分线为:y=x,

产H._-1±713

LT+5,―一L

②过O且与AC平行的直线为:y=-x,

=x

\y~△__3士历

10H----------o------，

,j=x2+2x-3

故Q坐标为(匚誓，匚誓)，

^-1-V13-1-V13j

^-3+V21^3-VHj

(一3一3+V^I]

13.在抛物线上是否存在一点E，使BE平分△ABC的面积，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理

解:由A（-3,0）,C（0,-3）,

则AC的中点F（—|，—|）,

连接BF与抛物线交于点E,

由AF=CF,则S&B4F—S^BCF.

即BF平分△ABC的面积，

由B（l,0）,F（一|，一|）,

得.BF:y=|无一|,

_33%=_丝

联」（幻A

4二:（与B重合，舍去），

故MT—H）

右A（X],yi）,B（X2,、2）

则AB中点。（卫产，华）

14.在抛物线上找一点F,作FM±x轴使得AC平分△AFM的面积。

解：由A(-3,0),C(0,-3),得AC:y=-x-3,

如图，作FM±x轴于M,交AC于E,设F(t-t2+2t-3),则E(t,-1-3),若AC平分AAFM,则E为FM中点如0

—Q?+2t-3)=2[0—(—t—3)]彳导/+4t+3=0,

则t=-l或t=-3(与A重合,舍去)，故F(-l,-4)

备注：坐标和线段之间的转化。

当两点在y轴上或在与y轴平行的直线上，上面点的纵坐标减去下面点的纵坐标；

当两点在x轴上或在与x轴平行的直线上，右面点的横坐标减去左面点的横坐标；

15.在抛物线对称轴上有一点K,在抛物线上有一点L,若使A、B、K、L为顶点的四边形是平行四边形，求

K、L的坐标。

解:设K(-l,m),由A(-3,0),B(l,0),得AB=4,

①若以AB为边，贝UKL〃AB且KL=AB,

yK=yL,

i)若K在L的右侧，则久K一孔=4得XL=-5,

又L在抛物线上，得.yL=12,则m=12,故K(-1,12),L(-5,12)

ii)若K在L的左侧，则XL—“=4,得xL=3,

又L在抛物线上，得%=12,则m=12,故K(-1,12),L(3,12)

②若以AB为对角线，由AB中点为对称轴与x轴中点，

则K、L关于x轴对称，且在对称轴上，又L在抛物线上，

故L即为定点坐标(-1,-4),则K(-1,4)

⑹抛物线对称轴与直线AC相交于点M,在坐标系内有一点E,若使以A、M、D、E为顶点的四边形是平行

四边形，求点E的坐标。

解：由y=/+2x—3=(无+一4得对称轴

x=-l,顶点D(-1,-4),

又AC:y=-x-3得M(-l,-2)

设E(xE,yE),

①以AM为对角线，则

/4+xM=XD+xExE=-3

M=y。+/VE=2'

故E(-3,2)

②以AD为对角线，则

产4+XD=xM+xExE=-3

6+yD^yM+yEyE=一2

故E(-3,-2)

③以MD为对角线，则

(XM++XgXg=1

v

RM+y。=X4+yEyE=

故E(1,-6)

17.在抛物线上是否存在一点P,使得/POC=/PCO?若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由。

解:若NPOC=NPCO,PO=PC,即P在0C的中垂线上，

由C(0,-3),则OC的中点Q(0,—|),

3

ry=一国

{2%=-1±—,

y=x29+2x—3

V103

22.

18.点P是抛物线上一动点，作PHLx轴H,是否存在这样的点P,使得△PAH和4OBC相似?若存在，求出点P

的坐标；若不存在，请说明理由。

解:由B(1,0),C(0,—3),得OC=3OB,

设P(t,t2+2t-3),H(t,0),则PH=\t2+2t-3\,AH=\t+3I,又APAH和AOBC均为直角三角形且相似，

①PH=3AH,则|t2+2t-3|=3|t+3|,i)t2+2t-3=-3(t+3),t=-2或t=-3(舍);

ii)t2+2t-3=3(t+3),t=4或t=-3(舍);

②AH=3PH,则|t+3|=3|/+2t-3I,i)t+3=3(t2+2t—3),t=1或t=--3(舍);

综上所述,P点坐标为(-2,-3),(4,21),(泻),(|一芳)

19.在线段AC上是否存在一点M，使得△AOM和4ABC相似？若存在,求出点M的坐标；若不存在，请说明

理由。

解:若AAOM和^ABC相似,

由A(-3,0),B(1,0),C(0,-3),

得AB=4,AC=3V2,BC=V10,AO=3,

AC:y=-x-3,BC:y=3x-3,

①当OM〃BC时,△AOM^AABC,

AOAM3AM4〃972

茄=就即an彳=适得4时=了,

作MNLx轴于点N,

由OA=OC=3,彳导/OAC=45。,

则AN=MN=—AM0AN=2,

24

得ON=*即xM=

由M在直线AC上，得=-孑,故M3

4~1

②当△AMO^AABC时,

冷赛喘=竽得”M=2反

作MN，x轴于点N,

同理AN=2,ON=1,

则xM=-l,yM=-2,

故M(-1,-2),

综上所述,M的坐标为(-1,-2)或(-京-?

20.若点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB向B点运动，同时点Q从O点出发，以相同的速

度沿OC向C点运动，当一点到达终点时另一点停止运动，设运动的时间为t秒，△OPQ的面积为S,求出S与t

之间的函数关系式，并求出S的最大值。

解：由AP=t,OP=3-t,OQ=t,

且0<t<3,

故SAOPQ

=|•(3-t)-t

则当”次寸,SAOPQ：有最大值|

21.点E是y轴上一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在点E、F,使得A、D、E、F构成矩形。若

存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由。

解：由第8题可知，

E的坐标为(0,-1),(0,-3),(0,|或(0,一9，

①当ZADE=90°,AE为对角线E(0--1),

“+”=知+曰卜F=R、

②当ZDAE=90°,DE为对角线lE(o,|

③当NAED=90。,AD为对角线E(0,-1),

JHA+HD=HF+HEJ±F=-4

£)

1"+加=加+”3=—3

F(-4,-3),

F(-4,-1),

E(。,+)坪,1)

综上所述,

F（T，V（2,_5.

7

E(0,-1)[E(0,-3)

,F(-4,-3)lF(-4,-1)

22.点E是y轴上一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点E、F，使得A、D、E、F构成菱

形。若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由。

解：由第9题可知，

E点坐标为0VT1）,（o>-VT1）,（0,-4+V19）,（0,-4-旧）,或（o,-i）o

①AD=AE时,.E（0,VTT）,（0,-VH）,AD、AE为菱形两条邻边时，

(XA+ZF=%D+%E

1%+»=加+”

故吐10++++10)或｛(0,

(2,-4-VTT)

@DA=DF时,.F(0--4+V19),

(0--4-V19),

DA、DF为菱形两条邻边时，

(xA+xE=xD+xFyA+yE^yD+yF,

故*-4+㈤f(O,-4-719)

1(-2,yi9)k-2,-yi9)

®EA=ED时,E(0,-1),

EA、ED为菱形两条邻边时，

产4+xD=xE+xF

6+yD^yE+yF

产(0,-1)

—3)

23.点P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P,使得IPA-PC的值最大，若存在,求出点P的坐标，并求出|PA-

PC的最大值；若不存在，请说明理由。

解:连接AC,在4PAC中,|PA-PC|<AC,此时五最大值，此时无最大值，那么最大值存在吗？

连接PB,BC,

根据抛物线对称性，有PA=PB,

在4PBC中,|PB—PC|<BC,

BP|PA-PC|=|PB-PC|<BC,

当P、B、C三点共线时，有PB-PC=BC,

故IPB-PC区BC,

即|PA-PC的最大值为BC,

由B(1,0),C(0,-3),

得BC:y=3x-3,BC=V10,

又点P在y=3x-3的图像上，

且横坐标x=-l,

故P(-1,-6)

24.在直线AC下方的抛物线上是否存在一点P,使得点P到直线AC的距离最大。若存在，求出点P的坐

标；若不存在，请说明理由。

解:由A(-3,0),C(0,-3),得AC=3V2,AC:y=-x-3,作PH±AC于H,

贝'Ac=豺C・PH=学PH,

故SAPAC面积最大时，PH取最大值，

前面经典第6问，可得PAC最大值为9

O

故叫“言送=¥

解题方案

作辅助线，构造直角三角形；

学会转化，线段最大转化为面积最大。

拓展：在抛物线上是否存在一点P,使得产=£或/=m(m为实数)。

34ABC§'△ABC

25.在直线AC下方的抛物线上是否存在一点P,使得点P到直线AC的距离为V2,若存在，求出点P的坐

标；若不存在，请说明理由。

解:在y轴上取点E(0,-5),作EFXAC于F,则CE=2,

又OA=OC,

贝!]ZOAC=ZOCA=ZECF=45°,

故EF=V2,

过点E作1〃AC,则直线1上所有点到AC距离均为V2,

由AC:y=-x-3,则1:y=-x-5,

联以=x2+2%-3行0=-4'0=-3

故P(-1,-4)或(-2,-3)

解题方案

作辅助线，构造等腰直角三角形；

联立方程，解决问题。

拓展：在直线AC上方也存在一条直线到AC的距离为V2

26.在直线AC上是否存在一点P,使得BP+OP最小，若存在，求出点P的坐标，并求出最小值；若不存在,

请说明理由。

解：作点B关于直线AC的对称点B',连接BB，交AC于M,

则PB=PB',

由AC:y=-x-3,OA=OC,

贝!J乙BAC=AB'AC=45°,Z5X5,=90°,

由AB=AB'=4,4(—3,0),

则B1(-3,-4),

贝(].BP+OP=B'P+OP=B'O=5,

故OB'-.y=-x,

联立

即所求P点坐标为（-予-£）

27.在直线AC上是否存在一点P,使得BP+巳4。的值最小。若存在,求出点P的坐标，并求出最小值；若不

存在，请说明理由。

解：如图，作直线1与AC的夹角为30。,作PM±1,则PM=\AP,

故BP+.P=BP+PM,

作BNL于N交AC于点P,

此即为所求P点，BP+|aP最小值为BN,

BN=AB•sin75°=4x恒厘=V6+V2,

4

sin75。的几何推导

如图，在RtAABC中，乙4=75。,NC=90°,

在BC取一点D,连接AD,使得AD=BD,则Z.DAB=LB,

由Z.BAC=75°,NB=15°,

贝！I^ADC=4DAB+NB=30°,

设AC=1,

则AD=BD=2,CD=V3,

BC=CD+BD=2+V3,

AB=y/AC2+BC2

=Jl2+(2+V3)2

=V8+4V3

=V6+V2

2+V3_迎+低

故sin75°=—V6+V2-4

28.点E是线段AC上一动点，点P是线段AB上一动点，PE//BC,是否存在这样一点P,使得△PEC的面积

最大。若存在，求出点P的坐标，并求出△PEC的面积的最大值；若不存在，请说明理由。

解:设P(t,0),AP=t+3,BP=l-t,AC:y=-x-3,BC:y=3x-3,由PE〃BC,设PE:y=3x+b,把P(t,0),代入y=3x+b,即PE:

y=3x-3t,

__3t-3

X=~T~

联立-3t-91

，__r~

即E（等，誓）

S^PAE=\PA-IyE|=|(t+3)•(一誓)=|(t+3/

1R

SAPBC=»B-OC=Q1—T),

11

S^ABC=-OC=-x4x3=6,

故S^PEC=^LABC~S^PAE—S^PBC

当t=-i时,SAPBC最大值

29.点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，作PE±x轴交AC于点E,作PFXAC于点F,是否存在一点，使

得4PEF的周长最大，若存在，求出点P的坐标，并求出△PEF周长最大值；若不存在，请说明理由。

解:由OA=OC,得/OAC=45。,又PE_Lx,PF_LAC,

贝(]/PEF=NEPF=45。,PE=V2PF=&EF,

贝!JAPEF周长为PE+PF+EF=(2+V2)PF,

故PF取最大值时即可，

由第24题可知PF金虐=竽，

故△PEF周长最大值为电等

30.点E是坐标轴上的一个动点，是否存在一点E，使得△ACE是等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐

标；若不存在，请说明理由。

解:OA=OC=3,得/OAC=NOCA=45。,①当/EAC=90。时,NEAO=45。,贝(]OA=OE,故E(0,3);

②当/ECA=90。时,NECO=45。,则OC=OE,故E(3,0);

③当NAEC=90。时,E与O重合，故E(0,0);

31.点E是坐标轴上一个动点，点F在坐标平面内，是否存在点E、F,使得A、C、E、F构成正方形。若存在，

求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由。

解：由第30题可知，

由OA=OC=3,得NOAC=NOCA=45。,①当/EAC=90。时,NEAO=45。,则OA=OE,故E(0,3),F(3,0);②当NEC

A=90°时,NECO=45。,则OC=OE,故E(3,0),F(0,3);③当NAEC=90。时,E与O重合，故E(0,0),F(0,0);

32.已知抛物线对称轴交于x轴于点E,以E为圆心，半径为字作圆E，试判断直线BC与圆E的位置关

系，并说明理由。

解:如图,连接EC,作EHXBC,

由B(l,。),C(0,-3),

得OB=1,0C=3,BC=VTU

又y=O—1)2—4得E(-1,O),

贝！IOE=1,BE=2,

11

S^BCE=lBE-0C=lBC-EH,

即2x3=V10xEH,EH=

故E到BC的距离等于半径，直线BC与圆E相切关系。

33.已知点E是直线AC上的一动点，点P是抛物线上的一动点，PE〃AB,是否存在点P,使得A、B、F、P

构成平行四边形。若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

解:由A(-3,O).B(1,0),得AB=4,

又A(-3,0),C(0,-3),

AC:y=-x—3,

由PE〃AB厕P、E的纵坐标相同，

设E(t,-t-3),

①若E在P的左侧，

则xp=xE+4即xp=t+4,

得yp=(t+4尸+2(t+4)—3=产+10t+21,

贝！］t2+10t+21=-t—3,

得t=-8或t=-3(舍去),

故P(-4,5)

②若E在P的右侧，

贝！jxE—xP+4即.xp=t-4,

得yp=(t-4)2+2(t—4)—3=/-6t+5,

贝！Jt2-6t+5=-t-3,

此方程无解，点P不存在。

综上所述.P点坐标为(-4,5)

34.已知抛物线对称轴交于x轴于点E,M为x轴上的一动点，P为抛物线上一个动点，且PM//ED,是否存在

一点P,使得P、M、E、D构成平行四边形。若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由。

解：由y