2025年中考数学复习：方程（组）与不等式（组）（含答案）

板块二方程（组）与不等式（组）

专题突破1一次方程（组）的应用（古代问题）

典例精讲

[例1]（2021武汉中考）我国古代数学名著《九章算术》中记载："今有共买物，人出八，盈三；人出七,

不足四，问人数，物价各几何?"意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，差4钱.

问人数，物价各是多少?若设共有x人，物价是y钱，则下列方程正确的是（）

C=y+4o.*一

A.8(x-3)=7(x+4)B.8x+3=7x-4'8~7

[例2]《孙子算经》中有一道题，原文是："今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之,

不足一尺，木长几何?"意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩

余1尺，问长木多少尺?如果设长木长X尺、绳长y尺，则可以列方程组是（）

y—x=4.5,x—y=4.5,x—y=4.5,y—x=4.5,

A.fi.B.{i.C.{1.D.{1.

-y—x=1-y—x=1x——y=1x——y=1

2z2J2J2z

典题精练

类型——元一次方程的应用

1.（2024盐城）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条

绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多

长?该问题中的竿子长为尺.

类型二二元一次方程组的应用

2.（2024成都）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：今有共买班，人出半，盈四；人出少半，

不足三.问人数，进价各几何?其大意是：今有人合伙买进石，每人出共茄，会多出4钱；每人出缴，又差3钱.

问人数，班价各是多少?设人数为x,进价为y，则可列方程组为（）

y=-1X+4,y=-1x—4,1y=-x—4,1y=-x+4,

4{iB.{jC.{：D.{j

y=-%+3y=-%+3y=-x-3y=-x—3

J3z3J3J3

3.（2023绍兴）《九章算术》中有一题："今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛.问大、小器各容

几何?”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总

容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛?设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列方程组

是（)

4产+5y=3,B・产上好:'5x=y+3,口•产=［晨'

&+y=2U+5y=2lx=5y+2U=5y+3

专题突破2一元二次方程的解法及简单应用

典例精讲

[例1]（2024武汉元调改）解方程：/-6x-4=0.

【例2】（2024武汉元调）《九章算术》第三章“衰分"介绍了比例分配问题，"衰分"是按比例递减分配的

意思，通常称递减的比例为"衰分比".例如：已知A,B,C三人分配奖金的"衰分比”为10%,若A分得奖金1

000元，则B,C所分得奖金分别为900和810.某科研所三位技术人员甲、乙、丙攻关成功，共获得奖金175万

元，甲、乙、丙按照一定的"衰分比"分配奖金，若甲分得奖金100万元，则"衰分比"是.（用百分数表

示）

典题精练

类型一解一元二次方程

1.（2023武汉二调改）解方程：%2-2%-4=0.

类型二传播问题

2.（2024洪山区）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感.设每轮传染中平均一个人传染了x

个人，则下列结论错误的是（）

A.1轮后有（x+1）个人患了流感B.第2轮又增加x（x+1）个人患流感

C.依题意可列方程（（X+1）2=36D才安照这样的传播速度,三轮后一共会有180人患流感

类型三面积问题

3.（2024东湖高新区）我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载："直田积八百六十四步，只云阔不

及长一十二步，问阔及长各几步?"翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步.

若设宽为x步，则可列出方程（）

A.x（x-6）=864B.x（x-12）=864C.x（x+6）=864D.x（x+12）=864

类型四增长率问题

4.（2023武汉二调）某品牌手机原来每部售价为1999元，经过连续两次降价后，该手机每部售价为1360元，

设平均每次降价的百分率为x,根据题意，所列方程正确的是（）

A1999/=1360B.1999（l-x2）=1360

C.1999（1-%）2=1360D.1999（l-2x）=1360

类型五围栏问题

5.（2024武汉模拟）用一段长度为24m的篱笆围成一个矩形菜地，能围成菜地的面积不可能是（）

A.25m2B.31m2C.36m2D.38m2

专题突破3根的判别式及根与系数的关系

典例精讲

[例1]（2024武珞路）若a+b+3c=0,则关于x的方程ax2+bx+c=0（a丰0）的根的情况是

[例2]（2024乐山）若关于x的一元二次方程/+2x+p=。的两根为Xi,X2,且-+-=3,则p的值为

X1*X2

[例3]（2024广安）若关于x的一元二次方程（m+I）%2-2%+1=。有两个不相等的实数根，则m的取

值范围是L

典题精练

类型一判断一元二次方程根的情况

1.（2024武昌区）下列方程有两个相等实数根的是（）

71.7x2-%-1=0B.9x2=4（3x-l）C.%2+7x+15=00.2x2-V3x-2=0

类型二求参数的值或取值范围

2.若关于X的方程x2+2V3x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是

3.（2024湖北元调）若关于x的方程（m+2）%2-3%+1=0有两个实数根，则m的取值范围是

4.（2024宿迁）规定:对于任意实数a,b,c,有[a,b]*c=ac+b,其中等式的右边是通常的乘法和加法运算，例如:[2,3]

★l=2xl+3=5若关于x的方程[x,x+l]*（mx）=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是:

类型三利用根与系数的关系求值

5.（2024眉山）已知方程/+%-2=0的两根分别为Xi,X2,则:+己的值为.

6.（2024烟台）若方程2%2-4%-1=0的两根分别为m,n,则3m2-4m+n2的值为二

类型四根的判别式及根与系数的关系的综合运用

7.（2024汉阳区）若关于x的一元二次方程%2-（a2-3a-10）%+a=0的两根互为相反数，则该方程的两根

之积为.

专题突破4分式方程的解法及简单应用

典例精讲

[例1]（2024武汉中考）分式方程£=霆的解是一

[例2]（2024自贡）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动.已知七（3）班甲组同学

平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同.求甲，乙

两组同学平均每小时各包多少个粽子？

典题精练

类型一分式方程的解

1.（2021武汉四调）方程+=若-2的解是

X—1LX—z--------------------------

2.（2024齐齐哈尔）如果关于x的分式方程!—黑=o的解是负数，那么m的取值范围是（）

A.m<lS.m/0B.m<lC.m>lD.m<l且mw-1

3.（2024达州）若关于x的方程W=1无解，则k的值为.

x—2x—2—

类型二解分式方程

4.（2024包头）解方程:三-2=三.

类型三分式方程的应用

5.（2024扬州）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理4

0吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等.B型机器每天处理多少

吨垃圾？

专题突破5一元一次不等式（组）的解法

典例精讲

z+3>1,①

【例】（2024武汉中考）求不等式组一…的整数解.

2x—②

典题精练

类型一不等式的基本性质

1.（2024上海）如果x>y,那么下列不等式正确的是（）

A.x+5<y+5B.x-5<y-5C.5x>5yD.-5x>-5y

类型二不等式（组）的解集在数轴上表示

3%—2V2x/T)

2.(2024赤峰)解不等式组｛'时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是()

2(%+1)2—1②

类型三解一元一次不等式(组)

3.(2023武汉中考)解不等式组;：请按下列步骤完成解答.

(1)解不等式①彳导;

(2)解不等式②彳导;

(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

(4)原不等式组的解集是.

3久一4<2,②

4.(2023武汉四调)解不等式组｛请按下列步骤完成解答：

2x+2Nx.②

(I)解不等式①彳导；

(n)解不等式②彳导；

IIIIIII

-3-2-10123

(印)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

(IV)原不等式组的解集是.

2%—1<3,②

5.(2024武汉三调)求满足不等式组｛的整数解.

3%+1>2久②

板块二方程（组）与不等式（组）

专题突破1一次方程（组）的应用（古代问题）

典例精讲

［例1］（2021武汉中考）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，

不足四，问人数，物价各几何?”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，差4钱.

问人数，物价各是多少?若设共有x人，物价是y钱，则下列方程正确的是（D）

y-3__y+4y+3y-4

A.8(x-3)=7(x+4)B.8x+3=7x-4D.---=----

8~787

［例2］《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不

足一尺，木长几何?”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1

尺，问长木多少尺?如果设长木长x尺、绳长y尺，则可以列方程组是（D）

y—x=4.5,x—y=4,5,x—y=4.5,y—x=4.5,

A.fi.B.{i.C.{1.D.［1

v-y—%=1v-y—%=1x——y=11％——y=41

2Z2Z

类型——元一次方程的应用

1.（2024盐城）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳

索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长?

该问题中的竿子长为15尺.

类型二二元一次方程组的应用

2.（2024成都）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：今有共买琏，人出半，盈四，•人出少半，

不足三.问人数，进价各几何?其大意是：今有人合伙买琏石，每人出缴，会多出4钱；每人出缴，又差3钱.问

人数，进价各是多少?设人数为x,进价为y,则可列方程组为（B）

y=-x+4,y=-x—4,y=-x—4,y=-x+4,

4{ioB.{iC.{:D.{:

y=-x+3y=-x+3y=-%—3y=-%—3

J3J33J3

3.（2023绍兴）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛.问大、小器各容

几何?”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容

量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛?设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列方程组是（

B）

{产+5y=3,5x+y=3,5x=y+3,5x=y+2,

1+y=2'^x+5y=2-=5y+2-=5y+3

专题突破2一元二次方程的解法及简单应用

典例精讲

【例1】（2024武汉元调改）解方程：式2—6乂-4=0.

解：x2—6x=4,.'.x2-6x+9=4+9,；.（x-3）2=13,

x—3—或x—3=—\/T3,x1—3+V13,x2="3—V13.

[例2]（2024武汉元调）《九章算术》第三章“衰分，介绍了比例分配问题，"衰分'是按比例递减分配的意思，

通常称递减的比例为“衰分比”.例如：已知A,B,C三人分配奖金的“衰分比”为10%,若A分得奖金1000元，则

B,C所分得奖金分别为900和810.某科研所三位技术人员甲、乙、丙攻关成功,共获得奖金175万元，甲、乙、

丙按照一定的“衰分比”分配奖金，若甲分得奖金100万元，则“衰分比”是50%.（用百分数表示）

典题精练

类型一解一元二次方程

1.（2023武汉二调改）解方程：/—2%-4=0.

解:原方程变形为/一2x=4,二/_2%+1=4+1,（x-I）2=5

x—1—4或x—1——V5,•••=1+V5,x2—1—V5.

类型二传播问题

2.（2024洪山区）有一个人患了流感，经过两轮传染后,共有36人患了流感.设每轮传染中平均一个人传染了x

个人，则下列结论错误的是（D）

A.1轮后有（x+1）个人患了流感B.第2轮又增加x（x+l）个人患流感

C.依题意可列方程（x+I）2=36D.按照这样的传播速度，三轮后一共会有180人患流感

类型三面积问题

3.（2024东湖高新区）我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及

长一十二步，问阔及长各几步?”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步.若设

宽为X步，则可列出方程(D)

A.x(x-6)=864B.x(x-12)=864C.x(x+6)=864D.x(x+12)=864

类型四增长率问题

4.(2023武汉二调)某品牌手机原来每部售价为1999元，经过连续两次降价后，该手机每部售价为1360元，设

平均每次降价的百分率为x,根据题意，所列方程正确的是(C)

A.1999X2=13601999(1-%2)=1360

C.1999(1-x)2=13600.1999(1-2x)=1360

类型五围栏问题

5.(2024武汉模拟)用一段长度为24m的篱笆围成一个矩形菜地，能围成菜地的面积不可能是(D)

A.25m2B.31m2C.36m2D.38m2

解：设矩形的一边长为xm,面积为SnP,则相邻边长为(12-x)m，依题意，得S=x(12-x)--x2+12x,：.

x2-12x+S=0,A=(-12)2-4S>0,S/36.故选D.

专题突破3根的判别式及根与系数的关系

典例精讲

【例1】(2024武珞路)若a+b+3c=0,则关于x的方程ax2+bx+c=0(a*0)的根的情况是有两个不相等的

实数根.

2+=

[例2](2024乐山)若关于x的一元二次方程x+2x+p=。的两根为Xi,x2，且~^3,则P的值

为―-

[例3](2024广安)若关于x的一元二次方程(m+1)/-2x+1=。有两个不相等的实数根，则m的取值

范围是m<0且m*-1.

典题精练

类型一判断一元二次方程根的情况

1.(2024武昌区)下列方程有两个相等实数根的是(B)

A.7x2—x—1=0B.9x2-4(3x—1)C.x2+7x+15=0D.2x2—y/3x—2=0

类型二求参数的值或取值范围

2.若关于x的方程%2+2V3x+m=。有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m<3.

3.（2024湖北元调）若关于x的方程（m+2）x2-3%+1=0有两个实数根，则m的取值范围是m<^S.n#-

4

2.

4.（2024宿迁）规定:对于任意实数a,b,c,^[a,b]*c=ac+b,其中等式的右边是通常的乘法和加法运算，例如:[2,3次1

=2xl+3=5.若关于x的方程[[x,x+l]*（mx）=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m：且m，0

4

类型三利用根与系数的关系求值

5.（2024眉山）已知方程/+%-2=0的两根分别为Xi,X2,贝！12++的值为

6.（2024烟台）若方程2久2一4刀-1=0的两根分别为m,n,则3加一折+I的值为

类型四根的判别式及根与系数的关系的综合运用

7.（2024汉阳区）若关于x的一元二次方程%2-（a2-3a-10）%+a=。的两根互为相反数，则该方程的两根之

积为-2.

专题突破4分式方程的解法及简单应用

典例精讲

【例1】（2024武汉中考）分式方程£=”的解是x=-3.

【例2】（2024自贡）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动.已知七⑶班甲组同学平

均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同.求甲，乙两组

同学平均每小时各包多少个粽子？

解：设乙组同学平均每小时包x个粽子，则甲组同学平均每小时包（x+20）个粽子，根据题意，得盘=?，解

得x=80,

经检验,x=80是原方程的解.且符合题意,x+20=100.

答：甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平均每小时包80个粽子。

典题精练

类型一分式方程的解

1.（2021武汉四调）方程七=三-2的解是x=1.

x—12x—26

2.（2024齐齐哈尔）如果关于x的分式方程工-去=0的解是负数，那么m的取值范围是（A）

Xx+1

A.m<l且m#0B.m<lC.m>lD.m<l且m?--l

3.（2024达州）若关于x的方程告一把9=1无解，则k的值为2或-1.

x—2x—2

类型二解分式方程

4.（2024包头）解方程：三|-2=喜.

解:去分母彳导x-2-2（x-4）=x,解