2025年中考数学复习：路径与最值（含答案）

板块二十一路径与最值

难点突破1"一动一定"型

模型："垂线段最短"/4（定）

条件：A是定点，直线I是动点P的运动路径./、

P（动）尸

结论:当AP±I时,AP的长度最小（即AP'的长）.

典例精讲

类型一显性"一动一定"（显动点）

【例】（2024江西改）如图，在AABC和.ADEC中，N4CB=NDCE=9（r,4C==EC,且D是AB上

的一动点，点F与点C关于DE对称，连接DF,EF.若2C=6,则四边形CDFE面积的最小值为.

典题精练

类型二隐性"一动一定"（隐定点）

1.（2024新洲区）如图，在SBC中，AB=AC=3,^BAC=^„D为边AB上一点，将线段CD绕点C顺时针旋

转45。得至I」线段CE,连接AE,则AE的最小值为.

类型三隐性"一动一定"（隐定直线）

2.（2024长春改）【方法点拨】几何中的双动点问题往往转化为单动点问题解决，平移是转化的工具之一，通过

构造平行四边形再发现动点的运动路径，进而解决问题.

【方法运用】如图，△ABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，AB=AC=CD=2,zACB=30°.M,N

分别是边AC,DE上的一动点，且.AM=DN,,则MN的最小值为.

难点突破2"两定一动"型

模型1"两点之间，线段最短"模型2"将军饮马"

条件：A,B是定直线条件：A,B是定直线1同侧的两个定点，P是1上的一动点.

1异侧的两个定点，P结论：P1A+P1B=A1B4PA+PB.

是1上的一动点.

产"

P：\1

B

结论:P1A+P1B=AB4PA+PB.

典例精讲

类型一显定点显定线

【例】（2024广安）如图，在口ABCD中，AB=4,AD=S,zABC=30。,,点M为直线BC上的一动点，则M

A+MD的最小值为.

AD

BMC

典题精练

类型二隐定点显定线

1.（2024泸州）如图，在边长为6的正方形ABCD中,E,F分别是边AB,BC上的一动点，且AE=BF,AF与DE交

于点。M是DF的中点,G是AB上的一点，且4G=28G,则+的最小值是.

类型三显定点隐定线

2.（2024江岸区）如图，在口4BCD中，AB=10,AD=8,/4=60°„E是边AD上一点，且AE=5,P是边AB

上的一动点，将线段EP绕点E逆时针旋转（60。得到线段EF,连接BF,CF,则BF+CF的最小值为.

难点突破3"两动一定"型

不

问题提出：作点P关于0B对称的点P2,过

A

P是NAOB

0NB

模型建立：

0^------------------B作点P关于0A对称的点P一过

点P2作P2M±OA于点M,交

的内部（或边上）的一定点，点Pi作PiN^OB于点N,交

0B于点N,则PN+NM的最小

在OAQB上分别找一点M,N,0A于点M,则PM+MN的最小

值为P2M的长.

使PM+MN或PN+NM最小.值为PiN的长.

典例精讲

【例】（2023东湖高新区）如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将AADE沿AE折叠，点D的对应点F恰

好落在BC边上，M,N分别是线段AE,AF上的动点.若BC=10,tan44F=|，则MF+MN的最小值为____.

S

典题精练

1.（2023滨州）如图，4。8=30。点乂在OB上，且OM=3,P,Q分别是OAQB上的一动点.当MP+PQ最小

时QP的长为.

2.（2024青山区）如图,在矩形ABCD中,E是边AD上的一动点,F是对角线BD上的一动点，连接BE,EF.若A

B=5,tan/ABD=2厕当BE+EF取得最小值时,DF的长为.

难点突破4"定点定长"型（隐圆）

模型1"一中同长"模型2"一箭穿心"

条件：。是定点，M是动点，目条件:M是半径为r的。。上的一动点（OM=r定值）,P是定点（OP

OM=r（定值）.=d定值）.

结论：点M的运动路径是以r结论：

为半径的。O.

PM的最/」v®=PMi=|d-r|,

PM的最大值=「1\/12=€1+工

典例精讲

类型一显定点显定长

【例】（2024济南模拟）如图，正方形纸片ABCD的边长为4,点E在边AD上，点F在边CD上.将正方形纸

片ABCD沿EF翻折，点B的对应点为点G连接DG.若2E=1,则DG的最小值为.

典题精练

类型二显定点隐定长

1.（2023淮安）如图,AB=BC=2/ABC=120°,BH为Z1BC内部的一条射线（（NCBH460°）,点C关于BH的对

称点为C',直线AC与射线BH交于点F,连接CC',CF厕ACTF面积的最大值为.

类型三隐定点隐定长

2.如图，在边长为3的正方形ABCD中,E,F分别是边AD,CD上的动点，且2E=C尺连接BE,过点F作FG\hBE

于点G,连接AG,则AG的最小值为.

难点突破5"定弦定角"型（隐圆）

问题提出：模型建立：

C

a

...…£'

在AABC中,AB=这P

二°7

、、.•C

a（定长）/ACB=o［（定A\a,.-B

②当a=90。时，点C的运动③当a>90。时，点C的运动

角》探究点c的运动①当a<90°时，点C

路径是以AB为直径的。。（点路径是劣弧AB/AOB=360°-2

路径的运动路径是优弧

C不与A,B重合）.a.

ACB/AOB=2a.

典例精讲

类型一显定弦显定角

【例】（2023通辽）如图,0。是AABC的外接圆,AC为直径，AB=2gBe=3.点P从B点出发，在^ABC

内运动且始终保持NCBP=NBAP.当C,P两点间的距离最小时，动点P的运动路径长为.

典题精练

类型二隐定弦显定角

1.（2024苏州改）如图,在矩形ABCD中，AB=百,8。=1,,动点E,F分别从点A,C同时出发，以相同的速

度沿AB,CD向终点B,D运动，过点E,F作直线l,AGL于点G,连接BG厕AG的最大值为,BG的最小值

为:

2.（2024汉阳区）【问题背景】如图L在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上一动点，且BE=CF厕AE^BF-,

【问题解决】如图2,NABM=90°„D,C分别是AB,BM上的一动点，且AD=BC,DE回AC于点E,连接BE.

AD

\A

若力B=2,,则线段BE的最小值为.

难点突破6"隐圆隐切线”型

模型1模型2

条件:OP=a,Q是一动点，且OQ=b（a,b是定长，且a>条件：。是直线1上的一定点，P是1上的一动点,OQ

b）.=m（定长），且zOPQ=a（定角）.

结论：点Q在以b为半径的。。上，且当PQ与

O'

OO相切时/OPQ最大.

结论：点Q在以m为半径的

\0p

。。上，且当PQ与。。相切时,OP最大.

典例精讲

类型一与定直线的最大夹角

【例】（2024江岸区）如图，在RbABC中/ABC=90°,AB=8点D在边BC上，且BD=2.P为&ABC内一

点，且NAPB=90°直线DP交AC于点E.当AE最大时,AP的长为（）

X.1V5C.yV5D.6

典题精练

类型二定线段的最大张角（米勒原理）

1.（2024江汉区）如图是足球场的局部平面示意图，运动员甲从本方后场D处沿着垂直于对方球门线PQ的方

向带球推进，DC，PQ于点C,PQ=8米，PC=2米.若仅从射门角度的大小考虑（射门角度越大，越容易进球），则

运动员甲位于最佳射门位置时离点C的距离为米.

类型三与定直线夹定角

2.（2023广元）如图,NACB=45。,半径为2的。。与CA,CB分别相切于点D,G,P是。。上的一点,PE^CA于点

E,PF±CB于点F.设t=+t的取值范围是

难点突破7拼接线段求最值

方法技巧：利用三角形的全等（相似）将两条线段在动点处拼接为"首尾”是定点的折线段，再运用"两点之间，

线段最短"求线段和的最小值.

典例精讲

技巧一构全等腾挪线段

【例】（2024研口区）如图，正方形ABCD的边长为8,E是正方形内部的一点，且BE=AB,F为BE上一

点且BF=3,连接DE,CF,则DE+CF的最小值为.

典题精练

技巧二构相似腾挪线段

1.（2024汉阳区）如图，在AABC中,.ZACB=45。,4c=3<2,AB=6,D,.E分别是边AB,BC上的动点，且BE=2A

D,则+CD的最小值为.

技巧三平移变换腾挪线段

2.（2024武昌区）如图,在矩形ABCD中，AB=1,AD=2”连接BD.M,N分别为边AD,BC上的一动点,且

MN18。于点P,连接DN,BM,则DN+BM的最小值为.

难点突破8函数建模求最值

方法技巧：根据主、从动点间的变化关系，合理引入变量，建立关于“研究对象”的函数模型，再运用函数的

性质求”几何动点类"最值.该思想方法的最大优点是可规避探究"复杂”的动点运动路径，而达到“定量"解决问

题的效果.

典例精讲

【例】（2024武昌区）如图在&ABC中，NBAC=120\AB+AC=4..将BC绕点C顺时针旋转120°得到线

段CD,则线段AD的最小值为.

典题精练

1.（2024东湖高新区）如图，线段AB=12,C是线段AB上的一动点将线段AC绕点A逆时针旋转120。得到线

段AD,连接CD,在AB上方作RtADCE,使NDCE=90。,4=30°,F为DE的中点，连接BF.当BF最小时,AC

的长为.

2.（2024汉阳区）如图在△4BC中,D,E分别是边BC,AB上的一点，且zADE=ZCAD.iS：△ADE的面积为Sg

力BC的面积为52,则曲勺最大值是

32

板块二十一路径与最值

难点突破1“一动一定”型

模型：“垂线段最短”

条件：A是定点，直线1是动点P的运动路径.

（定）

-------乙—0---------1

尸（动）p'

结论:当APX1时,AP的长度最小（即AP的长）.

典例精讲

类型一显性“一动一定”（显动点）

【例】（2024江西改）如图，在△ABC和4DEC中,/ACB=NDCE=9（F,AC=BC,DC=EC,且D是AB上的一动点,

E

点F与点C关于DE对称，连接DF,EF.若AC=6,则四边形CDFE面积的最小值为18.C^^\B

M：VZDCE=90°,DC=EC,ADEC是等腰直角三角形.：点F与点C关于DE对称，娑〜'

四边形CDFE是正方形，；.S皿力说…=O..•.当CD最小时,s四边形CDFE最小.

四12膝DFE

是AB上的一动点，，当CD_LAB时,CD取得最小值.；AC=BC=6./ACB=90".CD的最小值为yXC=

2

3/，.一四次^^的最小值为（3a）=1&

典题精练

类型二隐性“一动一定”（隐定点）

1.（2024新洲区）如图在△ABC中,AB=AC=3,/BAC=9（T,D为边AB上一点，将线段CD绕点C顺时针旋转45°

得到线段CE,连接AE,则AE的最小值为3-誓.

解:在BC上截取CF=CA,连接DF.

,/将CD绕点C顺时针旋转45。得到CE,CD=CE,NDCE=45。,

AB=AC=3,ZBAC=90°,ZBCA=45°,BC=3V2,.\ZDCE=ZBCA,

ZDCF=ZACE,.\△ACE^AFCD(SAS),Z.AE=FD,

^.^D为边AB上一点,.^.FD_LBA时,FD最小,,.^CF=CA=3,.,.BF=3V2-3,

此时，FD*BF=3-季AE的最小值为3-乎.

类型三隐性“一动一定”（隐定直线）

2.（2024长春改）【方法点拨】几何中的双动点问题往往转化为单动点问题解决，平移是转化的工具之一，通过

构造平行四边形再发现动点的运动路径，进而解决问题.

【方法运用】如图,△ABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形,AB=AC=CD=2,NACB=30。.M,N分别是边A

C,DE上的一动点，且AM=DN,则MN的最小值为^_遥.

解:过点D向上作DF〃MN,且使DF=MN,连接MF,AF,则四边形MNDF是平行四边彩，MF=DN=AM,MF〃

DN.：四边形BCDE是矩形..../BCD=90。,BC〃DE,.^.MF〃BC,.^./CMF=NACB=30。,.^.NCAP=15。,.^.点F在定

直线AP上运动，，当DFXAP时,DF取得最小值.连接AD.：NACD=NACB+/BCD=120o,AC=CD,，NCAD=/C

DA=30°,.*.AD=V3AC=2A/3,ZDAP=ZCAD+ZCAP=45°,?.DF的最小值为当AD=...MN的最小值为瓜

难点突破2“两定一动”型

模型1“两点之间，线段最短”模型2“将军饮马”

条件：A,B是定直线条件：A,B是定直线1同侧的两个定点，P是1上的一动点.

1异侧的两个定点，P结论：PiA+PiB=A[B<PA+PB.

/B

是1上的一动点.

一iX..-'

产”

产,\1

B

结论:PiA+PiB=AB<PA+PB.

典例精讲

类型一显定点显定线

【例】（2024广安）如图，在口ABCD中,AB=4,AD=5,/ABC=30。点M为直线BC上的一动点，则MA+MD的

最小值为一V41.

解作点A关于BC的对称点A：连接MA,DA；则MA=MA,,­,MA+MD^MA'+MD>4。,.,.当点M运

动至AD与直线BC的交点处时MA+MD取得最小值为AD的长.设AA交BC于点H,则AA」BC,AA'=2AH

.'：四边形ABCD是平行四边形,AD〃BC,；.AA」AD.•••zABC=30°,AH=-AB=2,：.AA'=2AH=4,.-.A'D

2/J)

=yjAA'2+AD2=V42+52=V41,--MA+MD的最小值为V41..

1

典题精练

类型二隐定点显定线

1.（2024泸州）如图.在边长为6的正方形ABCD中,E,F分别是边AB,BC上的一动点，且.力E=BF,AF与DE交

于点O.M是DF的中点,G是AB上的一点且AG=2BG,则OM+/G的最小值是上

解作点G关于BC的对称点H,连接DH,FH厕FH=FG.

:四边形ABCDBTFT^ff^.?.AB=AD,ZDAE=ZABF=90°.

VAE=BF,.*.AADE^ABAF,?.ZADE=ZBAF,

ZDOF=ZADE+ZDAO=ZBAF+ZDAO=90°.

,/M是DF的中点,.OM=|DF,：.OM+^FG=|(DF+FG')=|(DF+FH)>|DH,：.当点F在DH与

BC的交点处时,OM+^FG取得最小值为:的长.：AG=2BG,AD=AB=6,，AG=4,BG=BH=2,；.AH=8,

DH=y/AD2+AH2=10,.-.OM+^FG的最小值为5.

类型三显定点隐定线

2.（2024江岸区）如图，在口ABCD中,AB=10,AD=8,NA=6（r,E是边AD上一点，且.AE=5,P是边AB上的一动

点,将线段EP绕点E逆时针旋转60。得到线段EF,连接BF,CF,则BF+CF的最小值为一V139.

解:取AB的中点M,连接EM,FM,CE.：AB=10,.\AM=BM=5=AE.

"?ZA=60°,.\AAEM是等边三角形.由旋转知EP=EF,ZPEF=60°,

.•.可证4EAP乌△EMF,；.ZEMF=ZA=60°,

.•./BMF=60o=NEMF,MF〃AD,•.点F在经过点M且与AD平行的直线I上运动，可证△EMFgZ\BMF（SA

S),

；.EF=BF,；.BF+CF=EF+CFNCE,.•.当点F在CE与直线1的交点处时,BF+CF取得最小值为CE的长.过点E

作ENLCD于点N.

AD=8,AE=5,.-.DE=3,DN=DE-cos乙EDN=*EN=DE.sin乙EDN=*

；.CN=CD+DN=y,/.CE=^CN2+EN2=VT^,，BF+CF1的最小值为V139.

难点突破3“两动一定”型

问题提出：模型建立：作点P关于OB对称的点P

P是NAOB作点P关于OA2,过点P2作P2M±OA于点

对称的点Pi,过M,交

V

0乙-------------BOB于广''e"A

P的氏

的内部（或边PN+NN/<M

°NBX]~~B

上）的一定点，点Pi作PiN±''P,

在OA,OB上分别找一点M,OB于点N,交

N,OA于点M,则PM+MN的最

使PM+MN或PN+NM最小.

小

值为P】N的长.

典例精讲

【例】（2023东湖高新区）如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠点D的对应点F恰

好落在BC边上，M,N分别是线段AE,AF上的动点.若BC=10,tanN瓦4F=[，则MF+MN的最小值为8.

解:连接MD,过点D作DNi1AF于点电，交AE于点Mx.由翻折知NEAF=/EAD,AD=AF=BC=10,ED=E

F,MD=MF,/.MF+MN=MD+MN的最小值为DN】的长,EF=ED=AD•tan^EAD=10X|=5.vZ5=ZC=

N/WE=NAFE=90°,，可证AABFAFCE,=tanzEXF=3可设CE=a，则BF=2a,；.CF=10-2a,...在RtACE

BFFA2

F中，42+（10-2a）2=52,a=3（a=5舍去）一..CD=AB=8.易证△ADN±=AFAB,：.=8,,-pMF+

MN的最小值为8.I

典题精练

1.（2023滨州）如图,NAOB=30。,点M在OB上，且OM=3,P,Q分别是OA,OB上的一动点.当MP+PQ最小时,OP

的长为V3.

解作点M关于OA的对称点Mi,连接OMi,PMi,过点Mi作MiQt1OB于点Qi,交OA于点P1.由轴

对称性可知,PMi=PM,OMi=OM=3,/AOMi=ZAOB=30°,.\ZMXOM=60°,MP+PQ=M1P+PQNMiQi•.当点P,

Q分别在Pl,Q1处时,MP+PQ取得最小值为MlQi的长.・••OQ1=0Mt-coszM^M=3cos60。=f,.-.0Pr=

A

缶=B即当MP+PQ最小时.OP的长为V3

/P,

OQQ,MB

2.（2024青山区）如图在矩形ABCD中,E是边AD上的一动点,F是对角线BD上的一动点，连接BE,EF.若AB

=5,tan/ABD=2,则当BE+EF取得最小值时,DF的长为—3遍

解作点B关于AD的对称点B,过点B作8F回8。于点F1连接BE由对称的性质知AB，=AB=5BE=BE,；.B

E+EF=B'E+EF>B'F',/.^F在点F处时,BE+EF取得最小值为BF的长.：tan/ABD=2,；.AD=2AB=10,.-.BD=

VXS2+X02=cos^ABD=-=~

•.•在RtABBF中cos^B'BF'=/=cos^ABD=g,BF'=BB'-cos^ABD=10x=20.DF'=BD

-BF'=3强.•.当BE+EF取得最小值时,DF的长为3相

难点突破4“定点定长”型（隐圆）

模型1“一中同长”模型2“一箭穿心”

条件：0是定点，M是动点，且条件:M是半径为r的。。上的一动点（OM=r定值）,P是定点（OP

OM=i*（定值）.=d定值）.

结论：点M的运动结论：

路径是以r为半径PM的最/」\值==「1\41=|d-r|,

的0O.PM=d+r.

典例精讲

类型一显定点显定长

【例】（2024济南模拟）如图，正方形纸片ABCD的边长为4,点E在边AD上，点F在边CD上.将正方形纸

片ABCD沿EF翻折点B的对应点为点G,连接DG.若AE=1,则DG的最小值为—旧-3_.

解：设点A的对称点为M,连接EG.：正方形ABCD的边长为4，,由翻折的性质知/M=/A=9（T,ME=AE=

1,MG=AB=4,EG=^ME2+MG2=g,.,.点G在以内为半径的。E上运动，，当点G运动至ED的延长线与。

E的交点处时，DG取得最小值为V17-£0=V17-3.

典题精练

类型二显定点隐定长

1.（2023淮安）如图,AB=BC=2,/ABC=12（F,BH为/ABC内部的一条射线（（NCBHH60。）,点C关于BH的对称

点为C.直线AC与射线BH交于点F,连接CC,CF,则ACC字面积的最大值为」_____V3.

解:连接BCT.•点C与点C关于BH对称，:（7F=CF,BC=BC=AB=2,.•.点C,A,C都在以B为圆心，2

为半径的。B上运动.

：NABC=120。,.•.可求乙CC'F=-4BC=60。,；.△COF是等边三角形，；.SLCCF=3”勺.•.当CC最大时,S

24

ACF取得最大值.当CCB0B的直径时，CC取得最大值为4,ASACF的最大值为x42=4V3.

4

类型三隐定点隐定长

2.如图.在边长为3的正方形ABCD中,E,F分别是边AD,CD上的动点且AE=CF.连接BE,过点F作FG_LBE

于点G,连接AG则AG的最小值为一3V2-3_.

解:连接BF,CA,CG.VFG±BE.ZBCF=90°,点B,C,F,G在以BF为直径的圆上,ZBGC=ZBFC.VAB=CB,AE

=CF,ZBAE=ZBCF=90°,.*.ABAE^ABCF,.*.ZBEA=ZBFC=ZBGC.VAD/7BC,.\ZBEA=ZCBG=ZBGC,.*.CG=

CB=3,.•.点G在以3为半径的。C上运动，，当点G运动至CA与。C的交点处时，AG取得最小胤3

AC=&AB=3vl.•.AG的最小值为3/-3.

难点突破5“定弦定角”型（隐圆）

问题提出：模型建立：

在4ABC中,AB=

a（定长）,ZACB=a（定

②当a=90。时，点C的运③当a>90。时，点C的运

角）,探究点C的运动①当心90。时，点C

动路径是以AB为直径的。O动路径是劣弧AB,ZAOB=36

路径.的运动路径是优

（点C不与A,B重合）.0°-2a.

弧ACB,/AOB=2a.

典例精讲

类型一显定弦显定角

【例】（2023通辽）如图,。O是仆ABC的外接圆,AC为直径，AB=2<3,BC=3.点P从B点出发，在小AB

C内运动且始终保持/CBP=/BAP.当C,P两点间的距离最小时，动点P的运动路径长为

解:：AC为直径,；./ABC=90°,.*.ZABP+ZCBP=90°.VZBAP=ZCBP,ZABP+ZBAP=90°,AZAPB=9

0。,.^.点P在以AB为直径的圆上运动，且在△ABC的内部取AB的中点Oi,连接OiP,CPQiC,则01P=豺8=

遍，，当点P运动至COi与。Oi的交点处时,CP最小.•••tanzFOiC="=指=小,：•乙BO、C=60。,...此时BP

U-yDV3

607rxV3V3

的长为=­71.

1803

典题精练

类型二隐定弦显定角

1.（2024苏州改）如图,在矩形ABCD中，AB=W,BC=1,动点E,F分别从点A,C同时出发，以相同的速度

沿AB,CD向终点B,D运动，过点E,F作直线LAGJJ于点G,连接BG,则AG的最大值为_L,BG的最小值为一哼1.

解:连接AC交EF于点O.依题意，可证△AOE四△COF,.•.可求得=^AC=1.^-------7f

VAGXEF,Z.点G在以OA为直径的。M上运动.二•直径是圆中最长的弦，

/~H认V

JAG为直径时最大，最大值为1；过点M作MHLAB于点H，连接BM.

tanzBXC=4BAC=30。,MH=-AM^-,AH=—AM=—BH=AB-AH=运，:.BM=

324244

7MH2+BH2=*：当点G运动至BM与。M的交点处时，BG取得最小值为的最小值为g二.

2.（2024汉阳区）【问题背景】如图1,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上一动点，且BE=CF,则AELBF;

【问题解决】如图2,NABM=9（r,D,C分别是AB,BM上的一动点，且AD=BC,DE回4C于点E,连接BE.若AB=

2,则线段BE的最小值为一V5-l_.

解:过点A作AFLAB,交DE的延长线于点F,取AF的中点O,连接OB,OE.可证△ADF丝△BCA,；.AF=AB=2,

.•.点E在以AF为直径的。O上运动,.,.当点E运动至OB与。O的交点处时,BE取得最小值为OBOB=

VOA2+AB2=Vl2+22=V5..BE的最小值为V5—1.

难点突破6“隐圆隐切线”型

模型1模型2

条件:OP=a,Q是一动点，且条件：O是直线1上的一定点，P是1上的一动点,

OQ=b（a,b是定长，且a>b）.OQ=m（定长）.且/OPQ=a（定角）.

结论：点Q在以b为半径的0O上，且当PQ

与。。相切时,/OPQ最大.

结论：点Q在以m为半径的

©O上，且当PQ与OO相切时.OP最大.

典例精讲

类型一与定直线的最大夹角

【例】（2024江岸区）如图，在RtAABC中,/ABC=9（T,AB=8,点D在边BC上，且BD=2.P为△ABC内一

点，且/APB=90。,直线DP交AC于点E.当AE最大时,AP的长为（C）

人2B.yV5C.yVaD.6

解:取AB的中点O,连接OD,OD交BP于点F.：NAPB=90。,.•.点P在以AB为直径的。。上运动，.•.当DP

与。O相切时，AE取得最大值（如图），，此时DB=DP=2,NODB=/ODP,；.OD_LBP,BF=PF.：NABC=90o,AB=8,

2222

BD=2,.-.OD=V4+2=2V5,BF=OF=VOB-BF=延,...此时APA=2OF=".故选C.

…5：5

J

典题精练

类型二定线段的最大张角（米勒原理）

1.（2024江汉区）如图是足球场的局部平面示意图，运动员甲从本方后场D处沿着垂直于对方球门线PQ的方向

带球推进，DCXPQ于点C,PQ=8米，PC=2米.若仅从射门角度的大小考虑（射门角度越大，越容易进球），则运

动员甲位于最佳射门位置时离点C的距离为上V5米.

解：以PQ为弦作。。与CD相切于点M,此时/PMQ（射门角度）最大，点M为最佳射门位置.过点O作O

N±PQ于点N,连接OM,OP,则PN=QN=^PQ=4,四边形OMCN是矩开么CM=ON,OM=CN=PC+PN=6,OP

=OM=6.在RtAPON中，。N=y/OP2-PN2=V62-42=2V5,CM=ON=2而（米）,即甲位于最佳射门位置时

离点C的距离为2逐米.

类型三与定直线夹定角

2.（2023广元）如图,/ACB=45。,半径为2的0O与CA,CB分别相切于点D,G,P是。O上的一点,PELCA于点E,

PF±CB于点F.设t=PE+&PF厕t的取值范围是—2V2<t<2&+4_.

解:连接OD,OG,延长GO交CA于点M.：。。分别与CA,CB相切于点于D,G,NACB=45。,；.△CGM.AMOD

都是等腰直角三角形，，0M=近0D=2V2,/.CD=CG=MG=OM+OG=2/+2延长EP交CB于点Q,则同理可证

△CEQ,APFQ均为等腰直角三角形,.乙CQE=45。,PQ=y/2PF,t=PE+PQ=EQ.；点P在。O上,.•.当EQ

与优弧DG相切于点P时,EQ最大，当EQ与DG相切于点P时,EQ最小,此时，连接OP,则四边形OPED是正方

形,...此时ED=OD=2,CE=EQ=CD+DE=2a+4或CE=EQ=CD—DE=2vx.•.t的取值

氾围是<t<2V2+4.

难点突破7拼接线段求最值

方法技巧：利用三角形的全等（相似）将两条线段在动点处拼接为“首尾”是定点的折线段，再运用“两点之间，线

段最短”求线段和的最小值.

典例精讲

技巧一构全等腾挪线段

【例】（2024研口区）如图，正方形ABCD的边长为8,E是正方形内部的一点，且BE=AB,F为BE上一

点，且BF=3,连接DE,CF,则DE+CF的最小值为V89

解:在BC上取点M,使BM=BF=3,则CM=5,连接EM,DM.力|一方官。

,.•BE=AB=BC,.\ABCF^ABEM,/：/

：.EM=CF,DE+CF=DE+EM>DM,Bc

当点E在线段DM上时,DE+CF取得最小值为DM的长.

在RtAMCD中，DM=VMC2+CD2=V52+82=V89,

/.DE+CF的最小值为V89.

典题精练

技巧二构相似腾挪线段

1.（2024汉阳区）如图,在4ABC中，ZXCB=45。,"=3&,AB=6,D,E分别是边AB,BC上的动点，且BE=2AD,

贝U2AE+CD的最小值为丑_V5.

解：3提示:过点A作AF〃BC,使AF=^AB=3,连