2025年中考数学复习：压轴题之锐角三角函数综合（含解析）

2025年中考数学压轴题专题系列：锐角三角函数综合

1.操作与思考

在VA3C中，点。在AB上，点E在3C上，连接CD,DE,将一D3E沿直线£>E'翻折得,DF

交3C于点G,点G是。尸中点，/BEF=90°；

(1)如图⑴，NACB=90。，点。与点A重合，求证：AC=BE；

(2)如图⑵，ZACB=45。，CD=BD,求些值.

AB

迁移与应用

如图⑶，四边形ABC。中，AB//CD,BCLCD,点E是C£>中点，连接AE,将VADE沿直线AE

翻折得△AEF,连接C尸，若AE=DE,BC=nAB,直接用含〃的代数式表示cosNDCF的值.

2.。的弦AB,CO交于点E,AB=CD.

(1)如图1,求证：AE=CE；

⑵如图2,AF为〔。的直径，连接C尸交A3于点G,求证：NECG=/CGE；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接DG(/OGE>45。)，若尸G=4?=4,DG=岳,求CEG的面

积.

3.在等边VABC中，过点A作AE〃3c.

(1)如图1,点E在点A的左侧，点D是AB边上的中点，连接C。，过点。作交于点E,求

证：BC=4AE.

(2)如图2,点E在点A的右侧，连接班，点G是8E的中点，连接AG并延长交BC于点F,过点G

作G"J_AB交A3于点H,求证：HG=®AE.

4

(3)若点E在点A的右侧，连接BE,点G是BE的中点，且3G=3C,点尸是直线BC上一动点，连

接GP,将GP绕点G逆时针旋转60。得到G。，连接A。，在点P的运动过程中，当AQ取得最小值

时，请直接写出坐的值.

4.【问题背景】

某数学兴趣小组将矩形纸片ABC。折叠，使点A与对角线AC上的点重合，并进行了如下研究.

【问题探究】

(1)如图1,将矩形纸片折叠，使点A与点C重合，点8的对应点为点？，折痕为斯，判断四边形

AFCE的形状，并说明理由；

(2)如图2,将矩形纸片折叠，使点A与对角线AC的中点。重合，折痕为ER,交AA'于点此

时，点E恰好与点3重合，若对角线AC的长为6,求折痕EF的长；

【问题拓展】

(3)将矩形纸片ABCD折叠，使点A与对角线AC的三等分点重合，折痕为瓦，此时，直线跖与

直线A3相交于点N,若对角线AC的长为6,BN=l,请直接写出折痕斯的长.

5.如图，直线y=-x+/7与无轴交于点A,与>轴交于点B,过原点。，点A和点3三点作P,再过

点A作二尸的切线AM,。为aw上一动点，过点。作y轴的垂线，交y轴于点c,连接BQ,交「P

于点D.

⑴求NCQA的度数;

（2）连接。O,AD,当A。=20■时，△ZXM恰好为等腰三角形，求此时6的值；

（3）连接尸C,DC,PC交8。于点尸，PCAD时，记△PEB的面积为工，VCD尸的面积为邑，求

A

$2.

6.在学习图形的旋转时，创新小组同学们借助三角形和菱形感受旋转带来图形变化规律和性质.

【操作探究】（1）如图1,已知VABC,NC=90。，将VABC绕着直角边AC中点G旋转，得到①EF,

当,DEF的顶点。恰好落在VABC的斜边A3上时，斜边DE与AC交于点H.

①猜想：ZADC=。；

②证明：DGH^,ADH-,

【问题解决】（2）在（1）的条件下，已知Z4=30。，BC=2退，求CH的长；

【拓展提升】（3）如图2,在菱形ABC。中，AC=8,BD=6,将菱形ABC。绕着A3中点M顺时

针旋转，得到菱形EFG”,当菱形EFG”的顶点E分别恰好落在菱形ABCD的AD边和对角线33上

时，菱形跳G”的边与BC边相交于点N,请直接写出3N的长.

7.定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”.

BC

图1图3

(1)如图1,在对角互余四边形ABC。中，"=30。，且AC_L3C,AC_LAD.若BC=1,求四边形ABC。

的面积和周长.

(2)如图2,在四边形A3Q中，连接AC,NBAC=90。，点。是一ACD外接圆的圆心，连接

OA,ZOAC^ZABC,求证：四边形ABCD是“对角互余四边形”；

⑶在(2)的条件下，如图3,己知49=4,DC=M，AB=3AC,连接求线段的长.

8.如图1,在而ABC,ABAC=90°,AB^AC,点。是2C边上一动点，连接AO,把AD绕点A

顺时针旋转90。，得到连接DE,

BD

Q

(1)如图1,若8C=4,在O运动过程中，当tanZBDEuu时,求线段CD的长;

(2)如图2,点尸是线段DE的中点，连接3F并延长交C4延长线于点连接DN,交A3于点N,

连接CF,AF,当点N在线段C尸上时，求证：AD+BF=CF；

(3)如图3,若AB=26,将VABC绕点A顺时针旋转得到A'B'C,连接CC,尸为线段CC上一点,

且CC'=gPC连接BP,将BP绕点B顺时针旋转60°得到BQ,连接尸。，K为P。的中点，连接CK,

请直接写出线段CK的最大值.

一3

9.平面直角坐标系中，。为坐标原点，直线y=-1X+3交y轴于点A,交无轴于点3,点C在

(2)如图2,点尸在线段AC上运动，过点尸作PQ〃3c交线段AS于点E,作直线AQ交x轴于点。,

当E为线段尸。的中点时，求直线AD的解析式；

(3)如图3,在(2)的条件下，点。在第四象限内，点F、M分别在线段P。、A。上,

将府绕点尸逆时针旋转90。得PN,若点N在直线3c上，求点N的坐标.

10.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,点、P、。分别是边C4、BC上的两个动

点，且尸C=23。，以P。，PC为邻边作平行四边形PQMC,作点B关于直线的对称点？，设

BQ=m(0<m<4).

(1)当△PC。的面积为8时，求7"的值.

⑵当NBQ3'=2NABC时，求线段班'的长.

⑶当点？落在四边形PQMC的边上时，求笔的值.

BB

(4)直线班，与四边形尸QMC的一条边交于£点，若ACQE的面积是四边形PQMC面积的;时，直接

写出机的值.

⑵如图2,点F在弧AC上，连接A£),AF,DF,44/加=45。，点G在。尸上，连接BG,若NCDF=

ZABG,求：的值；

BCr

(3)如图3,在(2)的条件下，点H在弧AF上，连接A8,BH,BH分别交AF,DF于K,Q两点，

AH+HQ=BK,若£2=变，OE=U,若。G为。8和相的比例中项，求机的值.

0B3

12.已知：VABC中，ZACB=90°.

如图1,将VABC绕点C顺时针旋转得到一DEC,连接AE、设旋转角为矶0°<e<360。），AAEC

的面积为邑，的面积为$2，当a=_。时，△AEC与△DBC全等，此时邑与s2的数量关系是

猜想论证：

当VABC绕点C顺时针旋转得到如图1所示的位置时，试猜想上述可与与的数量关系是否成立，若成

立，请为加以证明；若不成立，请说明理由.

类比探究：

如图2,若DEC等腰直角三角形，ZDCE=90°,将"EC绕点C旋转，连接AE、8。，若4RC=30。,

设△AEC的面积为名，△D3C的面积为与，试求吗与s?比值.

拓展提升：

如图3,若一DEC等腰直角三角形，NDCE=90°,将_DEC绕点C旋转,连接BE、AD,若ZABC=30°,

AC=1,则忸的最大值为一.

13.阅读、理解、应用

研究0。-360。间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦和正切三种三角函数，即在图1所

示的直角三角形小心是锐角，那么"一卷胃，5=二湍|•为

了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：

设有一个角a，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为尤轴的正半轴Ox,建立直角坐标系(图2),

在角a的终边。。上任取一点P,它的横坐标是无，纵坐标是，，终边。。可以看作是将射线OX绕点

。逆时针旋转a°后所得到的，P和原点0(0,0)的距离为r=+总是正的)然后把角a的三

角函数规定为：sin«=—,cosa=-,tanc=)(其中x,丁分别是点尸的横、纵坐标)我们知道,

rrx

图1的三个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小

也仅与角a的大小有关，三个比值的正、负取决于角a的终边所在的象限，而与点P在角a的终边位

置无关.

比较图1与图2,可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回

答下列问题.

(1)如图3,若270。<1<360。，则角a的三角函数值sina、cos。、tana,其中取正值的是一.

(2)已知Na是钝角，则下列说法正确的是

A.sin%+cos2a=1

B.sintz-tancr=cosa

C.sina<0

D.tana>0

(3)若角。的终边与直线丁二氐重合，贝！JsinaMosa=_.

(4)若角。是锐角，其终边上一点尸(12,y)且sina=Jy,试求,和tana的值.

14.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AB=10,3c=6.点。是A3中点.点尸从点A出发，

沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，点。从点A出发，以每秒2个单位长度的速度

沿折线AB-3c向终点C运动,连结尸Q,取尸。的中点£,连结。E,P,。两点同时出发，设点尸

运动的时间为f秒.(f>0)

EE

A

DQDQ

备用图1

(1)求线段AC的长.

⑵当点。在A3上运动时，求tanZPQA的值；

(3)当。E与VABC的直角边平行时，求。。的长.

⑷若点尸从点C沿CA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，其它条件不变，当点。在

上运动，尸。与VASC一边垂直时，直接写出t的值.

《2025年中考数学压轴题专题系列：锐角三角函数综合》参考答案

3/-I

1.（1）见解析；（2）;；迁移与应用：『

【分析】（1）由翻折可知：_ABE&AFE,根据全等三角形的性质可得3E=EF,利用AAS可证

一ACG4FEG,根据全等三角形的性质可证结论成立；

（2）过。作于M,DNAC交BC于N,由（1）可知：一DBE'DFE,FEG”DMG,

根据全等三角形的性质可证NDEC=45。，BE=EF=DM=EM,根据平行线的性质可得

ZDNE=ZDEN=45°,从而可得/£DN=90。，利用SAS可证DNC/一,根据全等三角形的性

质可证3C=4NC,根据£>NAC可证一BON-54C,根据相似三角形的性质可得竺="；

ABBC4

迁移与应用：连接AC,DF,延长AE交DP于G,过A作AHLCD于H,设AB="C=1,

AH=BC=n,^AE=DE=EF=EC,可知点A、D、F、C在以OC为直径的圆上，从而可得

/ZMC="尸C=90。，可证.4。/々0田，根据相似三角形的性质可得〃以=/,可知£）。="2+1,

2_i2_i

=n利用AAS可证DGE乌AHE,根据全等三角形的性质可得EGn利用相似可得

22

1

CF=2EG=n2-l,从而可求cosNOCT=-^—.

n2+l

【详解】⑴证明：由翻折可知：,ABEgAFE,

:.BE=EF,

G是AF中点，

.\AG=FG,

ZBEF=90。,

ZGEF=ZACB=90°,

点G是A厂中点，

:.FG=FG

ZGEF=ZACB

在/ACG和FEG中<NFGE=/AGC,

FG=AG

:..ACG"FEG,

.\AC=EF,

AC=BE；

⑵解：如图⑴所示，过。作于Af,DNAC交BC于N,

A

D

BE/GMNC

F

(1)

由(1)可知：DBE^DFE,_FEG-DMG,

:.ZDEB=ZDEF,

又/BEF=/FEG=9伊,

/DEB+/DEF=360°-90°=270°,

/./DEB=ZDEF=-x270°=135°,

2

ZDEG=/DEF-ZFGE=135°-90°=45°,

ZDEC=45°,BE=EF=DM=EM,

DNAC,

:.ZDNE=ZACB=45°,

:.NDNE=NDEN=45。,

:.ZEDN=90°,

,\EM=MN=DM,

:,BN=3BE,/DEB=/DNC=\35°,

CD=BD,

:.ZDCN=ZDBE,

DB=DC

在.DNC和一DEB中,/DBE=ZDCN,

BE=CN

:…DN8.DEB,

:.BE=NC,

:.BN=3NC,

:.BC=4NC,

DNAC

BDNsBAC,

.BDBN_3

,AB-BC-4，

2_i

迁移与应用：?n

n2+l

理由如下：

如图（2）所示，连接AC,DF,延长AE交DF于G,过A作AH_LCD于H,

.\ZAHC=90°,

BC1CD,

.*.ZBCD=90°,

又，ABCD,

.\ZB+ZBCD=180°,

「.ZB=90。，

四边形AHCB是矩形，

^AB=HC=a,AH=BC=na,

根据折叠的性质可得：AE=DE=EF,

又，点£是CD中点，

AE=DE=EF=EC,

••・点A、D、F、C在以。。为直径的圆上，

A

ZDAC=ZDFC=90°f

:.ZDAH^ZCAH=90°,ZDAH-^-ZADH=90°,

，ZADH=/CAH,

:.ADHsCAH,

AH_CH

.而-IF'

/.DC=(H2+1)6Z,EH=-DC-a=^-^-a,

v722

根据折叠的性质可知/DGE=ZFGE=90°，

ZDGE=ZAHE

在一DG石和AHE中</DEG=/AEH,

DE=AE

[DGE冬jAHE,

n2-l

EG=EH=------

2

AG_LDF于G,

AGCF,

:.一DEG^DCF

.DEEG_1

■,DC-CF-2

•-CF=2EG=n2

(2)

【点睛】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、四点共

圆、锐角三角函数，本题的综合性较强，难度较大，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形和相

似三角形.

2.(1)见解析

⑵见解析

⑶且

4

【分析】(1)利用圆中弧，弦的关系，等腰三角形的判定证明A£=CE即可；

(2)连接AC,根据AF为C。的直径，得到NACE=90。，继而得到/GCE+/EC4=90。，

ZCGE+ZCAE=90°,结合NC4£=NEC4,证明即可；

(3)连接交CF于点连接3尸正确证得△BFG怂△HDC,正确得到尸=切.尸G设GT?=x,

(旧『--=4(4-x),正确得出GH=1,正确得出CEG的面积为手.

【详解】(1)证明：连接AC

AB=CD,

...AB=CD

AC是A3与CO的公共部分,

I.BC=AD，

:.ZCAE=ZECA,

：.AE=CE.

BiD

Id)

(2)解：连接AC,

AF为。的直径

.\ZACF=90°,

.•.NGCE+NECA=90。,ZCGE+ZCAE=90°

ZCAE=ZECA,

.\ZGCE=ZCGE.

(3)解：连接交”于点H,

连接5方，

AB=CD,FG=AB=4,

：.FG=AB=CD=4,

VZGCE=ZCGE,/BGF=/CGE,

：.ZBGF=ZHCD

ZBGF=ZHCD

,.・\GF=CD,

ZBFG=ZHDC

:.BFG四,

BF=HD,

■:阮=Q

：.ZCAB=ZABD,

：.AC//BD,

：.ZACH=ZCHB=90°,

ADH2=DG2-GH2,

■:/FBH=/FGB=/HCD,ZBFH=ZGFB

・•・BFHS&GFB,

.BFFH

••_一,

GFFB

FB2=FH.FG,

设GH=x,>DG=A/13,

AFB2=^[-x),DH2=(A/13)2-X2,

A(713)2-X2=4(4-X),

解得x=1或x=3,

/.FB=2,FB=-2舍去或FB=2区FB=-2省,

,?NDGF>45。,

•里>1

"GH，

DH>GH,

GH=3舍去，

：.GH=1,FB=2也,

BG=dFG2—FB2=2,

AG=AB-BG=2,

VsinZBFG=—=-,

FG2

AZBFG=30°,

/.ZCAG=30°,

•••CG=；AG=1,AC=yjAG2-CG2=73-

•**SACG=~AC・CG=与，

,?NGCE=NCGE,

：.CE=GE,

'：CE=AE,

：.CE=GE=AE,

o一，_A/1

°CEG-2DACG.4

【点睛】本题考查了圆的弦，弧的关系，三角函数的应用，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性

质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角函数的应用，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性

质，三角形全等的判定和性质是解题的关键.

3.⑴见解析

⑵见解析

J39+7垂!

24

【分析】(1)根据等边三角形的性质，平行线的性质，含30。角直角三角形的性质，解答证明即可.

(2)过点F作9LAB于点M,根据等边三角形的性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质

解答即可.

(3)以边BG为边,在其右侧构造等边三角形3G产，作直线QF,交AE于点K,交于点S,证

明FK〃AB,判定点。的运动轨迹是直线FK,过点A作人〃，府于点当点。与点加重合时，

AQ取得最小值，过点G作GOJ.PK于点。，并延长OG交A3于点S,过点B作BN,AE交E4的

延长线于点M过点A作ATI.BE于点T,连接AG,利用勾股定理，三角函数，等腰三角形的性

质，垂线段最短解答即可.

【详解】(1)证明：•••等边三角形A3C,

/.AB=BC=CA,ABAC=ZACB=ZABC=60°,

•：AE//BC,点。是AB边上的中点，

：.AD=BD=-AB=-BCZDAE=ZABC=60°,

22f

DE±AE,

・•・/£=90。，

・•・ZADE=90°-60°=30°,

AD=2AE,

：.AB=2AD=4AE,

・•・BC=4AE.

(2)解：过点尸作9,AB于点

・・,等边三角形ABC,

/.AB=BC=CA,ZABC=60°,

・・・AE〃5C,点G是破的中点，，

；・BG=GE,ZEAG=ZBFG,/E=/FBG,

/E=/FBG

•；1/EAG=NBFG,

BG=GE

・••一AGE之一方G3（AAS）,

AAG=GF,AE=BF；

VGH1AB,FM±AB,

：.FM//GH,

.AH_AG

HG是AAFM的中位线，

HG=-FM,

2

'：FMA,AB,ZABC=60°,

MF=FBsin60°=—BF,

2

:.HG=—BF,

4

・・・HG=—AE.

4

(3)解：以边BG为边,在其右侧构造等边三角形BG厂,

则BG=M=bG,ZGBF=ZBFG=ZFGB=60°,

作直线。尸，交AE于点K,交5C于点S,

,/GP绕点G逆时针旋转60°得到GQ,

.・.PG=GQ,ZPGQ=60°,

：.ZBGP=60°-ZPGF=ZFGQ,

GB=GF

•：IZPGB=ZQGFf

GP=GQ

：...BGPWFGQ(SA$,

：.ZGBP=ZGFQ

・・•ZGBP+ZF6C=60°；

.・.ZFBC+ZGFQ=6Q0

,.・ZABC+NFBC+/BFG+/GFQ=ZABC+/FBC+/BFG+/GBP=180。,

:・FK〃AB,

・•・点Q的运动轨迹是直线FK,

过点A作AM，雁于点M,

・・・当点。与点M重合时，A。取得最小值，

过点G作GO,尸K于点O,并延长OG交于点S,

•:FK〃AB,

：.GO.LAB,

：.AM=SO,

过点5作BN，AE交E4的延长线于点N,

■:AE//BC,

：.ZNAB=ZABC=6Q0,

^BA=BC=CA=BG=GE=2xf

AN=2xcos60°=x,BN=2xsin60°=V3x,BE=4x,

NE=ylBE2-BN2

.・・AE=NE-NA=1A-，X,

..口BN6

BE4

AE//BC,

：.ZE=ZEBC,

：.ZE=ZGFO,

，GO=GFsinE=—x,

2

过点A作AT_LBE于点T,

/.AT=AEsinE=¥(Vn-l)=

连接AG,

'/S钿G=_BA*GS=—BG^AT,BA=BG,

.「°仃屈-若

・・GS=AT=------------x

4

.&c-—牺f与_屈+石

••SO=GS+GO=------------xH------x=-------------

424

.…回+一

..AM=-----------x,

4

回+若

...AM__4x_a+7班.

,A£"(713-1)X-~24

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角函数的应用，三角形全等的判定和性质，旋

转的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角

函数的应用，勾股定理，垂线段最短是解题的关键.

4.(1)菱形，见解析；(2)M=2«；(3)折痕砂的长为逑或述或名叵或2方

325

【分析】(1)由折叠可得：跖垂直平分AC,即Q4=OC,ACLEF,证明△AO尸丝△COE,得

到O歹=6®,即可判定；

(2)根据直角三角形的斜边中线定理可得：OB=OA=OC=^AC=3,由折叠可得：AB=OB,

Afi

EF±AO,推出一他O是等边三角形，得至IJNABP=3O°,最后根据所=一二即可求解；

(3)将矩形纸片ABCD折叠，使点A与对角线AC的三等分点重合，折痕为历，

设点A的对应点为A,折痕跳1交AC于点M,则EP垂直平分A4',AM=A'M=^AA',

ZAMN=90°,设AB=x,分四种情况讨论：①若A4'=gAC=2,且点N在线段A3上时，②若

12

A4r=-AC=2,且点N在线段A3的延长线上时，®^AAf=-AC=4,且点N在线段AB上时，

2

AN=AB—BN=x—l,点、E与点、N重合,@^AA'=-AC=4,且点N在线段AB的延长线上时，根

据三角函数和勾股定理求解即可.

【详解】解：(1)四边形AFCE的形状是菱形，理由如下：

由折叠可得：取垂直平分AC,

OA^OC,ACLEF,

在矩形ABCD中，AD//BC,

：.ZOAF=ZOCE,ZOFA=ZOEC,

AOF^COE(AAS),

OF=OE,

OA=OCfAC.LEF,

:.EF、AC互相垂直平分，

二•四边形AFC£的形状是菱形；

(2)将矩形纸片折叠，使点A与对角线AC的中点。重合,

...OB=OA=OC=-AC=3,

2

由折叠可得：AB=OB,EF±AO,

..ABO是等边三角形，

AB=OA=OB=3,ZABO=60°,

EFYAO,

/.ZABF=-ZABO=30°,

2

AB

EF=

cos30°二A6

2

(3)将矩形纸片ABC。折叠，使点A与对角线AC的三等分点重合，折痕为E尸,

设点A的对应点为A,折痕EP交AC于点M,则所垂直平分A4"

...AM=A'M=^AA',ZAMN=90°,设AB=x,

①若44'=(AC=2,且点N在线段A3上时，AN=AB—BN=x—l,点、E与点、N重合,

AM=—AA'=1,

2

ADAM

cosZBAC=——

AC~~AN

・•.AB.AN=AC.ANf

x(x-l)=lx6,

解得：x=3（负值已舍去），

,•人…AM1

..AN=3—1=2,sinN^ANM=------=一,

AN2

ZANM=30°,

②若AA'=gAC=2,且点N在线段AB的延长线上时，AN=AB+BN^x+l,

AM=-AA'=l,

2

ARAM

cosZBAC:——

AC~AN

AB.AN=AC.ANf

/.x(x+l)=lx6,

解得：I=2（负值已舍去），

.=2+1=3,MN=ylAN2-AM2=732-l2=2^，

……A7V_MN_

cosZ.ANM=-----二

FN"A7V，

f，AN。32972

FN=-------

MN一2应一丁

……ANBN

cosZANM=-----

FN~NE

1述

；・BN.FN/丁3四，

AN34

.5讣T人/9应3A/23A/2

442

2

f

@^AA=-AC=4f且点N在线段A3上时，AN=AB—3N=x—1,点E与点N重合,

AM=-AA=2,

2

AM

cosABAC=

AC~AN

AB.AN=AC.AN,

x(x-l)=2x6,

解得：％=4（负值已舍去），

A2V=4-1=3,MN=y/AN2-AM2=A/32-22=75，

……ANMN

cos/ANM=-----

FN~AN

AN2_32_975

EF=FN=

~MN~45~~T

2

@^AAf=-AC=4,且点N在线段A5的延长线上时，AN=AB+BN=x+\,

二.AM=—AAr=2,

2

AM

cosABAC=

ACAN

二.AB.AN=AC.ANf

x(x+l)=2x6,

解得：％=3(负值已舍去)，

4V=3+1=4,sinZANM=^=-f

AN2

NAW=30。，

N口AN486内口BN12G

-1•-cosZAW-G—3，-cosZANM一百一3，

~2~2

•口口口zz口8百。瓜

一EF=FN—NE=--------------=2v3;

33

综上所述，折痕族的长为手或手或竽或2技

【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，矩形中的折叠问题，菱形的判定，等边三角形的判定

与性质，解题的关键是灵活运用相关知识.

5.(1)45°

⑵)=2&-2或6=2

S.2

(3)—二一

0523

【分析】(1)根据直线丫=-》+》与x轴交于点A,与y轴交于点B,得到A(b,o),B(O,b),得到

OA=OB=b,ZOBA=ZOAB^45°,根据/QC8+/QAB=180。判定氏AQ,C四点共圆，得到

ZCQA^ZOBA=45°；

(2)利用分类思想，分三种情况，利用圆的知识，三角函数等解答即可；

(3)过点尸作尸”，。3于点H,过点A作AGLQC于点G,则四边形。AGC是矩形，设

OA=CG=OB=2a,BC=2b,利用三角函数的定义，勾股定理，平行线分线段成比例定理，中位

线定理，解答即可.

【详解】(1)解：：直线y=-x+8与x轴交于点A,与y轴交于点3,

/.A(b,O),3(0,b),

：.OA=OB=b,ZOBA^ZOAB=45°,

•.•。(7，＞轴于点。，

NQCB=90°,

:过点A作P的切线AM,

ZQAB=9Q°,

/QCB+NQAB=180°,

/.反AQ,C四点共圆，

ZCQA=ZOBA=45°.

(2)解:当AD=AO时，

根据题意，得ZADO=ZAOD=ZABO=ZBAO=Z.BDO=ZACD=45°,

四边形。是正方形，

AOB=AD,ZADO=ZADB=ZADQ=90°,

过点A作P的切线AM,

：.ZQAB=90°,

：.NZMQ=45。，

AD=AQcos45。=2,

：.b=OB=2；

当=时，

根据题意，得Nmo=/ZXM,

根据圆周角定理，圆的内接四边形性质，得

ZDAO=ZQBC,ZDBA=ZDOA,

：.ZQBA=ZQBC,

ZQCB=ZQAB=90°

•：<ZQBC=ZQBA,

QB=QB

：.QBC^QBA(AAS),

：.QC=QA=2V2,

过点A作AN，。。于点N,

则四边形。4AQ是矩形，

：.OA=CN=OB=b,ZOAN=90°,

：./BAN=90°-ZBAO=45°=ZQAN,

・•・QN=AN=AQcos45。=2,

：.b=OB=QC-QN=2y/2-2；

当QD=AO时，根据题意，ZOAD=ZODA=ZOBA=45°,

ZQBC=ZOAD=45°f

：.ZQBC=ZBQC=45°,

CQ=CB,

过点A作⑷V，0C于点N,

则四边形。4A，C是矩形,

/.OA=CN=OB=b,ZOAN=90°,OC=AN,

：./BAN=90°-ZBAO=45°=ZQAN,

AQC=CN+QN=b+2,CB=OC-OB=AN—OB=2—b,

：.2+b=2—b,

解得b=0舍去，

综上所述，6=20-2或b=2.

(3)解：过点尸作P",03于点H,过点A作AGLQC于点G,

则四边形Q4GC是矩形，

：.OA=CG=OB,NQ4G=90。，OC=AG,

.・・/BAG=90°-ZBAO=45°=ZQAG,

・・.AG=QG,

设。4=CG=O3=2a,BC=2b,

：.OC=AG=OB+BC=2(a+b),QC=AG+CG=4a+2b9

•：PHtOB,OA^OB,

：.PHOA,

.BHBP,

.,----=----=1,

HOPA

：.BH=HO=-OB=a,

2

PH=—OA=a,

2

・•・CH=BC+BH=a+2b,

,/ZAOB=90°,

**•A3是圆的直径，

・•・ZADB=90°,

PC//AD,

NPFB=ZADB=90。，

：.ZPFB=ZCFB=ZCFQ=90°,BF=FD,

：.ZPCH=90°-ZCBQ=ZBQC,

tanZPCH=tan/BQC,

•PH__B__C

**Hc-ecJ

.a_2b

a+2b4。+20’

a2=b2f

••a=b,

Sx=1BF-PF,52=|DF-CF

・义=生

••邑CF'

tan/PCH-tan/BQC=--一=—,

~a+2a3

/.tanZPCH=-=

CF3

设=则CV=3x,

（3X）2+X2=（2<7）2,

解得x=巫。，负的舍去,

5

・a3M

5

:PC=y/CH2+PH2=回a，

，PF=PC-CF=^^-a,

5

2710

圆周角定理，圆的内接四边形对角互补性质，等腰直角三角形的性

质与判定，勾股定理，三角函数的应用，平行线分线段成比例定理，中位线的性质，熟练掌握以上知

识是解题的关键.

31811

6.(1)①90,②证明见解析；(2)-；(3)3N的长为?或记.

【分析】(1)①依据题意，可得AG=OG=GC,从而AD、C在以G为圆心，AG为半径的圆上，

根据圆周角定理可得到/ADC的度数；

②依据题意，由旋转的性质可知，ZHDG=NHAD,又ZAHD=/DHG,进而可以得解；

(2)依据题意可求出AB、AC的长，又」)EF的锐角顶点。恰好落在VA5C的斜边A3上，从而可得

AD、C在以G为圆心，AG为半径的圆上，则/ADC=90。，进而求出AZ)=3/,再结合

AHDG^AHAD,可得叫=也=理=也,设GH=后,则D〃=3x,AH=3+岛,进而建

ADHAHD3

立方程计算可以得解；

(3)依据题意，分两种情形进行讨论：①当E落在AZ)上时，②当E落在8。上时，分别求解即可.

【详解】解：①由题意可知，AG=DG=GC,

:.A、D、C在以G为圆心，AG为半径的圆上，

:.ZADC=90°,

故答案为：90；

②证明：由旋转的性质可知，ZHDG=ZHAD,

ZAHD=ZDHG,

HDG^HAD；

(2)VZA=30°,BC=2A/3,ZC=90°,

AAB=2BC=4y/3,AC=#>BC=02#>=6,

_DEF的锐角顶点。恰好落在7ABe的斜边A3上,

AG=DG=GC,

.,.A,D、C在以G为圆心，AG为半径的圆上，

:.ZADC=90°,

ADAC

cosAt=-----=-----,

ACAB

AD_6

‘4M

AD=3A/3,

•/AHDG^AHAD,

,DG_DH_HG_3

,.布一丽一诟一访一号’

设GH=瓜,则DH=3尤，AH=3+瓜,

3x

-3+氐-3

解得：g,

经检验,xg是方程的解，

GH=g@=),

22

33

:.CH=GC-GH=3——=—,

22

（3）①当E落在AD上时，如图所示，连接3尸、BE、EN,

由M是中点和旋转可知，AM=EM=BM=MF,

又：ZAME=ABMF,

.ZAME-BMF,

:.ZEAM=ZFBM,

:.AE//BF,

又:四边形ABC。是菱形,

:.AE//BC,

・•・5C和所在同一直线，尸在CB的延长线上，由（1）①可知，NAEB=90。（已证）,

:.ZEBN=ZAEB=90°,

NFBE

-S/\EFN

2

•・•菱形ABC。中，AC=8,BD=6,如图所示,

AO=—AC=4,BO=—BD=3,BDJ_AC

22f

:.AB=ylAO2^Bb2=A/42+32=5,

S^ABCD=|AC-BD=1X8X6=24,

又,**S菱形ABS=BCBE=24,

2424

BE=——

BC

24

在RtZkET^中，EF=5,BE=-^

BF=ylEF2-BE2=^52-=g,

.AEFN和菱形ABCD等底等高,

S/XEFN=3S菱形ABC。，

NFBE

..—12,

2

5

718

:.BN=FN-BF=5——=——；

55

②当E落在BO上时，如图所示，作EK_L3c交BC于点K,如图:

由旋转可知，AM=BM=EM=MF,

.•.ZAEB=90°,

:四边形ABCD是菱形，

:.ACrBD,AD//BC,

在对角线AC的中点上，即E在AC和的交点上,

是80的中点，M是的中点，

:.EM//DH,EM=-DH,EM//BC,EM=-,

22

由旋转可知，ZDAB=NFEH,

AD//BC,

:.ZDAB+ZABC=180°,

:.ZFEH+ZABC=180°,

・・・£、M.B、N四点共圆，

如图所示，连接脑V和

ME-MB，

:.ZMEB=ZMNB=NENM=NEBM,

BN//EM,

:./EMN=NENM,

:.ME=EN=-,

2

BE3

.\cosZEBC=—

BEBC5

FKEC4

sin/EBC=——

EB

BK_3EK_4

912

BK=-,EK=

y

125

在Rt-BV^中，EK=—EN=—,

52

9711

:.BN=BK-NK=--------=—,

51010

1Q11

,BN的长为/或关.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质、菱形的性质，勾股定

理，锐角三角函数等知识，掌握相关知识是解题的关键.

7.⑴四边形ABC。的面积为2VL周长为6+2月;

(2)见解析;

(3)线段的长是5a.

【分析】(1)由四边形ABCD是对角互余四边形，"=30。，得，3=60。，则/54。=30。，ZACD=60°,

可求得AC=BC-1160。=道，AB=ACtan60°=3,AB=2.BC=2,CD=2AC=2^3,于是可求得

S四边球ABCD=SAABC+SAADC=2A/3,AB+BC+CD+AD=6+2y/3;

(2)延长A。交。于点E,连接CE,由AE是.O的直径，得NACE=90。，而

ZOAC=ZABC,ZE=ZD,则NABC+"=NQ4C+NE=90。，即可证明四边形ABCD是“对角互余

四边形”；

(3)作/FCD=NACB,DFLC尸于点F使点F与点A在直线CO的异侧，由4?=3AC,根据勾股

定理得BC=MAC,可证明^―=—,ZABC=ZFDC,所以变=史=可，

DCFCFCAC

_]DPAR

由AD=4,DC=屈,得尸C=yDC=l,而笠=嘿=3,则止=3尸C=3,因为

A/10FCAC

ZADF=ZFDC+ZAD