2025年中考数学复习：隐圆九大题型专项练习

隐圆九大题型专项练习

模型特点

结论1:

构造辅助圆：

若动点满足到定点距离等于定值，则动点轨迹是圆或圆弧。

例一：正方形ABCD,AB以点A为旋转中心，逆时针旋转优（0。<a<90。）,则

l.A、B、B；D四点共圆；

2.ZP=45°,ZBB'D=135°O

结论2:

构造辅助圆：单动折叠，必有隐形圆。

例二：如图，在Rt△4BC中，ZC=90。,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,

将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是—.

解：PF=CF=2,可得点P运动轨迹是以点F为圆心，CF为半径的圆弧，过点F作FHXAB,与圆的交点即为

所求点P,FH=：R4=£,又FP=2,=*最小值是|。

结论3：

构造辅助圆：定边对直角，必有隐形圆。

定边对直角：

一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧。

例如:点P是动点,且/APB=90。,其中AB是一条定线段，则P点轨迹是以为AB直径的圆或圆弧。

例三：已知正方形ABCD边长为2,E、F分别是直线BC、CD上的动点,且满足.BE=CF,连接AE、BF,交点

为P点，则PD的最小值为一.

解:在正方形ABCD中,AB=BC,ZABC=ZBCD,

AB=BC

在小ABEffiABCF中,{"BE=乙BCF,

BE=CF

：.AABE^ABCF(SAS),

/.ZBAE=ZCBF,

ZCBF+ZABF=90°,

ZBAE+ZABF=90°,

ZAPB=90°,

.•.点P在以AB为直径的圆上，

由图形可知：当O、P、D在同一直线上时，DP有最小值，如图所示：

:正方形ABCD,BC=2,

.•.AO=1=OP,

RtAOAD中,。。=V22+l2=V5,

PD=OD—OP=乘一1,

故答案为：逐-1.

例四：如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，AB=5,AC=4,D是BC上的一个动点，连接AD.过点C

作CE回4。于E,连接BE,则BE的最小值是一

解:如图.取AC的中点连接BO；BC.

•••CE^AD,

：.NAEC=90°,

在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，

VAB是直径，

ZACB=90°,

在RtAABC中,：AC=4,AB=5,

BC=7AB2-AC2=V52-42=3,

在RtABCO中

BO'=VBC2+CO'2=V22+32=V13,

,/O'E+BE>O'B,

当O'、E、B共线时,BE的值最小,最小值为O'B-0^=713-2,故答案为：-2.

结论4：

构造辅助圆：定边对定角，必有隐形圆。

定边对定角：

一条定边所对的角是定角，则这个角顶点轨迹是圆弧。

例如:点P是动点，且NAPB=a是定值，其中AB是一条定线段，以AB为底边构造顶角为2a的等腰三角形，

顶点记为O,则点P轨迹就是以点O为圆心，OA为半径的圆弧。

构造辅助圆：拓展，若/P是特殊角。

①若/P=30。,以AB为边，同侧构造等边三角形4AOB,O即为隐形圆的圆心。

②若/P=45。,以AB为斜边同侧构造等腰直角三角形△AOB,O即为隐形圆的圆心。

P

③若NP=60。,以AB为底边，同侧构造顶角为120。的等腰三角形△A0B,0即为隐形圆的圆心。

④若ZP=120。，，以AB为底边，异侧构造顶角为120。的等腰三角形△A0B,O即为隐形圆的圆心。

结论5：

四边形对角互补，必有隐形圆。

已知四边形ABCD,若/A+/C=180。,/B+ND=180。,则过点A、B、C、D作圆O,则A、B、C、D四点在同

一圆上。

②已知四边形ABCD,若NA=/BCE,则过点A、B、C、D,作圆O,则A、B、C、D四点在同一圆上。

典型例题

例五：单动折叠，必有隐形圆。

（中考改编广州）如图，等边△ABC中,AB=6点D在BC上,BD=4,点E为边AC上一动点（不与点C重合）,△

CDE关于DE的轴对称图形为4FDE.

⑴设小ACD的面积为Si,△ABF的面积为S2,记S=Si-S2,S是否存在最大值?若存在，求出S的最大值；

若不存在，请说明理由；

解:⑴存在,

过点D作DMLAB交AB于点M,

VAB=BC=6.BD=4,

；.CD=2

：.DF=2,

点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，

当点F在DM上时,SAABF最小，

VBD=4,DM±AB,ZABC=60°

MD=2V3

/.SAABF1的最小值=|x6x（2V3-2）=6V3-6

•••X2x3V3-（6V3-6）=-3百+6

吸大值2v7

例六：动点运动轨迹+隐形圆

（中考・武汉）如图.AB是。O的直径,M、N是屈（异于A、B）上两点,C是MN上一动点，ZACB的角平分线交

©0于点D.ZBAC的平分线交CD于点E.当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（）

A,五B《

解:如图,连接EB.设OA=r.

VAB是直径，

ZACB=90°,

ACB的内心，

ZAEB=135°,

作等腰RSADB,AD=DB,ZADB=90°，则点E在以D为圆心DA为半径的弧上运动，运动轨迹是GF,点C

的运动轨迹是MN,

ZM0N=2ZGDF,设NGDF=a,则NM0N=2a

2a•,二

...侬y的长：=180=夜

GF的长a•7t•

-180

故选:A.

例七：中位线+隐形圆

（中考・山东泰安）如图，点A,B的坐标分别为A（2,0）,B（0,2）,点C为坐标平面内一点，BC=1,点M为线段

AC的中点，连接OM,则OM的最大值为（）

A.y/2+lB.V2+|

C.2V2+1D.2V2

解：如图，

:点C为坐标平面内一点，BC=1,

•••C在。B上,且半径为1,

取0D=0A=2,连接CD,

,--AM=CM,OD=OA,

；.0乂是4ACD的中位线，

1

・•・0M=-CD,

2

当OM最大时,即CD最大,而D,B,C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，

VOB=OD=2,ZBOD=90°,

BD=2vx

・•.CD=2V2+1,

OM=1CD=V2+1，即OM的最大值为V2+j;故选:B.

例八：构造相似三角形+隐形圆

（中考・无锡）如图，在Rt△力BC中，乙4cB=90°,AB=4,点D,E分别在边AB.AC上，且.DB=2AD.AE=

3EC,连接BE,CD,相交于点O,则△48。面积最大值为一.

解：如图，过点D作

DF_BD_2

AE-BA-3’

tEC_l

•4E-3，

・・・DF=2EC,

.*.DO=2OC,

2

・•.DO=^DC,

22

•*,S^ADO=^^ADCf^LBDO-

2

，•^LABO=3^^ABC>

丁ZACB=90°,

...C在以AB为直径的圆上，设圆心为G,当CG,AB时,△ABC的面积最大为:|x4x2=4,

此时△ABO的面积最大为：|X4=1

故答案为u

例九：隐藏的定边+面积最小值

（中考・连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的。O与x轴的正半轴交于点A,点B是。O上一

动点，点C为弦AB的中点，直线y=江-3与x轴、y轴分别交于点D、E,则4CDE面积的最小值为

解：如图，连接0B,取0A的中点M,连接CM,过点M作MNLDE于N.

・•・MC=RB=L

；•点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的。M,设。M交MN于C.

.直线y-\x-3与x轴、y轴分别交于点D、E,

4

•••D(4,0),E(0,-3),

.\OD=4,OE=3,

DE=y/OE2+OD2=V32+42=5,

,/ZMDN=ZODE,ZMND=ZDOE,

.,.△DNM^ADOE,

MNDM

OEDE1

.MN_3

一3一5，

9

・•.MN=)

5，

当点c与C重合时，△C'DE的面积最小，△C'DE的面积最小值=jx5x-1)=2,故答案为2.

例十：四点共圆

(中考绍兴)如图,AB=10,点C是射线BQ上的动点,连结AC,作CDXAC,CD=AC,动点E在AB延长线上,tan

NQBE=3,连结CE,DE.当CE=DE,CE±DE时,BE的长是.

解：如图，过点C作CT±AE于点T,过点D作DJLCT交CT的延长线于点J,连接EJ.

•••tanzCFT=3==，

BT

・••可以假设BT=k,CT=3k,

ZCAT+ZACT=90°,ZACT+ZJCD=90°,

:.ZCAT=ZJCD,

在^ATCCJD中，

^ATC=乙CJD=90°

{/.CAT=々CD,

CA=CD

：.AATC^ACJD(AAS),

.\DJ=CT=3k,AT=CJ=10+k,

•・•乙CJD=4CED=90。,

AC,E,D,J四点共圆，

•・•EC=DE,

・•.Z.C]E=乙DJE=45°,

.・.ET=TJ=10-2k,

CE2=CT2+TE2=(yCD)2,

(3k)2+(10-2ky=.V(3fc)2+(10+fc)2]，整理得4k2-25k+25=0,

(k-5)(4k-5)=0,

，k=5和：，

4

BE=BT+ET=k+10-2k=10-k=5.或受，

4

故答案为：5或日.

解题方案

已知单边定点旋转90。，构造全等三角形；

已知三角函数正切值，就要设未知数；

四边形对角互补，必有隐形圆；

利用勾股定理，建方程解决问题。

举一反三

1.（2024河南）如图,在Rt△ABC中,乙4cB=90。,CA=CB=3,线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD

的垂线，交射线AD于点E若CD=1,则AE的最大值为最小值为一

2.（2024.陕西）问题提出

（1）如图①.在^ABC中,AB=15,/C=30。,作仆ABC的外接圆。O,则M的长为；（结果保留兀）

问题解决

（2）如图②所示,道路AB的一侧是湿地.某生态研究所在湿地上建有观测点D,E,C,线段AD,AC和BC为观

测步道，其中点A和点B为观测步道出入口.已知点E在AC上,且AE=EC,ZDAB=60°,ZABC=120°,AB=1200m,

AD=BC=900m,现要在湿地上修建一个新观测点P,使/DPC=60。.再在线段AB上选一个新的步道出入口点F,并

修道三条新步道PF,PD,PC,使新步道PF经过观测点E,并将五边形ABCPD的面积平分.

请问：是否存在满足要求的点P和点F?若存在，求此时PF的长；若不存在，请说明理由.（点A,B,C,P,D在

同一平面内，道路AB与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号）

3.（2024•苏州）如图.矩形ABCD中,AB=V3,BC=1,动点E,F分别从点A,C同时出发，以每秒1个单位长度

的速度沿AB,CD向终点B,D运动,过点E,F作直线1,过点A作直线1的垂线，垂足为G,则AG的最大值为（）

D

X.A/3B.y

C.2D.1

4.（2024・盐城）如图,在4ABC中，/ACB=90。,AC=BC=2VI点D是AC的中点,连接BD,将4BCD绕点B旋

转,得到△BEF.连接CF,当CF〃AB时,CF=.

5.（2024.烟台）如图，在回4BCD中,ZC=120°,AB=8,BC=10,E为边CD的中点，F为边AD上的一动点,将

ADEF沿EF翻折得△D'EF,连接AD',则A4BD面积的最小值为.

6.（2024.广元）如图,在4ABC中,AB=5,tanZC=2,则AC+的最大值为

7.（2024.黑龙江）如图在Rt△ABC中，4ACB=90。,tan^BAC=|,BC=2AD=1,线段AD绕点A旋转，点P

为CD的中点，则BP的最大值是.

8.（2021.安顺）在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶点都在正方形边

上.小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一个面积最小的正三角形.则这

两个正三角形的边长分别是________

9.（2020.广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老

鼠距离最小时扑捉把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，乙4BC=90。,点M,

N分别在射线BA,BC上,MN长度始终保持不变，MN=4,E为MN的中点，点D到BA,BC的距离分别为4和

2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为

10.（2020广西）如图.在边长为2g的菱形ABCD中,NC=60。,点E,F分别是AB,AD上的