2025年中考数学高频易错考前冲刺：二次函数（含解析）

2025年中考数学高频易错考前冲刺：二次函数

选择题（共10小题）

1.（2024秋•西湖区期末）已知二次函数y=fc?+2x+c（公c为常数，左W0）,当y>0时，-l<x<2,则

二次函数'二立2-2/。的图象可能为（

2.（2024秋•惠州期末）抛物线y=/-2x+2与x轴交点个数为（）

A.无交点B.1个C.2个D.3个

3.（2024秋•济南期末）关于二次函数y=-（%-2）2+3,下列说法正确的是（）

A.函数图象的开口向上

B.函数图象的顶点坐标是（-2,3）

C.函数图象与y轴的交点坐标是（0,1）

D.当尤>2时，y的值随尤的值的增大而减小

4.（2025•嘉定区一模）下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）

A.y-ajc+bx+cB.y=(x-5)2-7

2

C.y=f+iD-y=^2

5.（2025•嘉定区一模）抛物线y=x2+x一定经过点（）

A.(1,0)B.(-1,0)C.(2,4)D.(-2,-4)

6.（2025•浦东新区一模）已知抛物线y=a/+6x+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表:

X•'1,-10123…

y,1■­30-1m3…

①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线x=l；③机的值为0；④图象不经过第三象限；⑤抛物线

在y轴右侧的部分是上升的.上述结论中正确的是（）

A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤

7.（2025•奉贤区一模）在同一坐标系中，一次函数、=办+2与二次函数y=/-a的图象可能是（）

8.（2024秋•天津期末）抛物线y=2/向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解

析式为（）

A.y=2（尤+1）2+3B.y=2（x+1）2-3

C.y=2（x-1）2-3D.y=2（x-1）2+3

9.（2024秋•天津期末）若A（-4,ji）,2（-3,*）,C（2,*）为二次函数y=/+4x-5的图象上的

三点，则yi,”的大小关系是（）

A.yi<yi<yiB.j2<ji<y3C.y3<y\<yiD.yi<y3<y2

10.（2024秋•河西区期末）一位足球运动员将足球沿与地面成一定角度踢出，足球飞行的路线可以近似看

作是一条抛物线，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的

关系为h=-P+9r（0W/W9）.有下列结论：

①足球距离地面的最大高度为21m；

②足球被踢出4s和5s时，足球距离地面的高度是一样的；

③足球被踢出9s时落地，其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二.填空题（共5小题）

11.（2024秋•祁江区期末）将函数y=的图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图象

对应的函数表达式是.

12.（2024秋•赣榆区期末）心理学家研究发现，某年龄段的学生30%讥内对概念的接受能力y与提出概念

所用时间x之间满足函数表达式：y=-0.1X2+2.6A+43（0WXW30）,贝第"就时学生接受概念

的能力最强.

13.（2024秋•邛江区期末）已知二次函数y=ad+6无+c（aWO）,y>0的解集为l<x<5,且当-1WXW4

时，函数最大值与最小值的差为2,则。的值为.

14.（2025•嘉定区一模）如果抛物线y=（2-a）/+尤-1的开口向下，那么a的取值范围是.

15.（2025•浦东新区一模）二次函数>=-（x-I）2-1的图象上有两个点（2,口）、（3,”），那么户y2

（填“=”或«<»）.

三.解答题（共5小题）

16.（2025•浦东新区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线Mi：y=/-2ar+c与x轴交于点A

（-3,0）和点B,与y轴交于点C（0,5）.

（1）求抛物线Mi的解析式；

（2）把抛物线Ah向下平移机个单位（机>0）得到抛物线〃2,记抛物线M2的顶点为。，与y轴交于

点、E,直线DE与x轴交于点尸.

①当点尸与点A重合时，求机的值；

②记点B平移后的对应点为玄，如果2。〃夕P,求此时点。的坐标.

Ox

17.（2024秋•本溪期末）【发现问题】数学兴趣小组春节前50天到某超市进行实践活动，发现该超市销售

某品牌灯笼进价是30元/个，在销售过程中，灯笼的销售价格，销售量都随销售天数的变化而变化.

【提出问题】超市销售该品牌灯笼的利润w（元）与销售天数x（天）之间有怎样的关系？

【分析问题】小组成员结合实际销售情况，得到下表所示的数据：

第X天12345

销售价格y（元/个）109108107106105

销售量Z（个）1112131415

经过分析计算，小组成员得到相关信息：

①销售价格y（元/个）与销售天数x（天）的关系式为：y=-x+110.

②销售量Z（个）与销售天数x（天）的关系式为：z=x+10.

【解决问题】（1）求该超市第10天的销售利润；

（2）当40W无（50时，求第几天超市的销售利润w（元）最大？最大利润是多少元?

18.（2024秋•大丰区期末）根据以下素材，探索完成任务:

如何确定灌溉方案

素材1蔬菜大棚里装有1个自动旋转式洒水喷头

灌溉蔬菜，如图1所示，喷水口中心。有

|一喷水管OA垂直于地面并可以随意调节

高度，从A点向外喷水，观察喷头可顺、

逆时针往返喷洒，喷出的水柱最外层的形

状为抛物线.

素材2测量得喷头的高。4=|米，喷水口中心点

O到水柱的最外落水点。水平距离为8米，

其中喷出的水正好经过一个直立木杆EF

的顶部F处，木杆高EP=3米，距离喷水

口OE=4米.

素材3♦种植农民的身高为1.75米，他常常往返

于菜地之间，发现这位农民在与喷水口水

平距离是尸米时，不会被水淋到.

♦种植农民给蔬菜大棚拉一层塑料薄膜用

来保温保湿，以便蔬菜更好地生长.测量

发现薄膜所在平面和地面的夹角是45°,

截面如图3.

问题解决

任务1模型构建在图2中建立合适的直角坐标系，求出水柱所在抛物线的函

数解析式.

任务2模型分析求P的取值范围.

任务3问题解决求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出

的水与薄膜的距离至少是0.2米.V2"414,精确到0.1米）

19.（2025•嘉定区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-/产+版+c的顶点为D

（1）为了确定这条抛物线，需要再添加一个条件，请从以下两个条件中选择一个：

①它与y轴交点的坐标是（0,-1）；②顶点。的坐标为（1,

你选择的条件是（填写编号），并求从c的值.

（2）由（1）确定的抛物线与x轴正半轴交于点A,求tan/D4。的值.

20.（2025•嘉定区一模）在平面直角坐标系无Oy中，抛物线丫=°/+云-1经过点（2,3）和点（-4,3）.

（1）求该抛物线的表达式；

（2）如图，该抛物线上有三个点A、B、C,AB〃无轴，ZACB=90°,NBAC=30°,AB与抛物线的

对称轴交于点（点A在对称轴的左侧）

①如果点C到抛物线对称轴的距离为3请用含f的代数式表示点B的横坐标；

②求点C的横坐标.

2025年中考数学高频易错考前冲刺：二次函数

参考答案与试题解析

题号12345678910

答案CADCBCDBBB

—.选择题（共10小题）

1.（2024秋•西湖区期末）已知二次函数〉=小+2苫+。（％,c为常数，左W0）,当y>0时，则

二次函数丫二质2-2/。的图象可能为（）

人fVBAj

/X

hX

cDW

【考点】抛物线与X轴的交点；二次函数的性质.

【专题】二次函数图象及其性质；推理能力.

【答案】C

【分析】根据图象分析即可.

【解答】解：•••当y>0时，

，函数与x轴的交点为（-1,0）和（2,0）,且开口向下，故A、B、。选项错误；

故选：C.

【点评】本题考查了抛物线与无轴的交点，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.

2.（2024秋•惠州期末）抛物线>=/-2x+2与x轴交点个数为（）

A.无交点B.1个C.2个D.3个

【考点】抛物线与X轴的交点；二次函数的性质.

【专题】二次函数图象及其性质；运算能力.

【答案】A

【分析】令y=0,求出△,即可判断.

【解答】解：抛物线-2x+2,

令y=0,贝!J/-2x+2=0,

此时△=（-2）2-4X]X2<0,

抛物线与x轴无交点，

故选：A.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握二次函数与x轴的交点横坐标即为所对应

的一元二次方程的解.

3.（2024秋•济南期末）关于二次函数y=-（x-2）2+3,下列说法正确的是（）

A.函数图象的开口向上

B.函数图象的顶点坐标是（-2,3）

C.函数图象与y轴的交点坐标是（0,1）

D.当x>2时，y的值随尤的值的增大而减小

【考点】二次函数的性质.

【专题】二次函数图象及其性质；运算能力.

【答案】D

【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可.

【解答】解：由条件可知：抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2,顶点坐标为（2,3）,

，当x=2时，y最大值=3,当尤>2,y随尤的增大而减小；

当x=0时，y=-l,即函数图象与y轴的交点坐标是（0,-1）.

综上，只有选项。说法正确；

故选：D.

【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握该知识点是关键.

4.（2025•嘉定区一模）下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）

A.y=a）?+bx+cB.y—（x-5）2-x2

C.y=j?+\D.y=

【考点】二次函数的定义.

【专题】二次函数图象及其性质；数感.

【答案】C

【分析】一般地，形如y^a^+bx+c（a、b、c是常数，aWO）的函数，叫做二次函数，据此进行判断

即可.

【解答】解：y=o?+bx+c中当。=0时，它不是二次函数，则A不符合题意；

y—（x-5）2-/=-10x+25,则8不符合题意；

y=f+l符合二次函数的定义，则C符合题意；

y=刍不符合二次函数的定义，则。不符合题意；

xz

故选：C.

【点评】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键.

5.（2025•嘉定区一模）抛物线y=/+x一定经过点（）

A.（1,0）B.（-1,0）C.（2,4）D.（-2,-4）

【考点】二次函数图象上点的坐标特征.

【专题】二次函数图象及其性质；运算能力.

【答案】B

【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可.

【解答】解：A、当x=l时，y=2,故点（1,0）不在抛物线上，不符合题意；

B、当x=-1时，y=0,故点（-1,0）在抛物线y=/+x上，符合题意；

C、当x=2时，y—6,故点（2,4）不在抛物线y=f+x上，不符合题意；

。、当尤=-2时，y=2,故点（-2,-4）不在抛物线＞=/+无上，不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键.

6.（2025•浦东新区一模）已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：

X1,-10123…

y-…30-1m3…

①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线尤=1;③加的值为0；④图象不经过第三象限；⑤抛物线

在y轴右侧的部分是上升的.上述结论中正确的是（）

A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤

【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征.

【专题】二次函数图象及其性质；应用意识.

【答案】C

【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决.

【解答】解：由表格可知，

抛物线的对称轴是直线x=二4=1,故②正确；

抛物线的顶点坐标是（1,-1）,有最小值，故抛物线y=-+6x+c的开口向上，故①错误；

当y=0时，尤=0或x=2,故机的值为0,故③正确；

•••抛物线开口向上，顶点在第四象限，抛物线与x轴的交点为（0,0）和（2,0）,

抛物线不经过第三象限，故④正确；

1/抛物线的对称轴是直线x=1,抛物线y=ax1+bx+c的开口向上，

...当x>l时，抛物线呈上升趋势，故⑤错误.

故选：C.

【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用

二次函数的性质解答.

7.（2025•奉贤区一模）在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=/-a的图象可能是（）

【考点】二次函数的图象；一次函数的图象.

【专题】二次函数图象及其性质.

【答案】D

【分析】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0,2）,二次函数的开口向

上，据此判断二次函数的图象.

【解答】解：当。<0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限；

当a>0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限.

故选：D.

【点评】此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的

常数项是图象与y轴交点的纵坐标.

8.(2024秋•天津期末)抛物线y=2/向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解

析式为()

A.y=2(龙+1)2+3B.y=2(x+1)2-3

C.y=2(x-1)2-3D.y=2(x-1)2+3

【考点】二次函数图象与几何变换.

【答案】B

【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可.

【解答】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线y=27的图象向左平移1个单位，再

向下平移3个单位，则平移后的抛物线的表达式为y=2(x+1)2-3.

故选：B.

【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.

9.(2024秋•天津期末)若A(-4,yi),8(-3,*)，C(2,*)为二次函数y=/+4尤-5的图象上的

三点，则yi,”，>3的大小关系是()

A.yi<j2<y3B.y2<yi<y3C.y3<y\<yiD.vi<y3<y2

【考点】二次函数图象上点的坐标特征.

【专题】二次函数图象及其性质；运算能力.

【答案】B

【分析】把x=-4、-3、2分别代入y=7+4x-5,计算出对应的函数值，然后比较大小即可.

【解答】解：(-4,k)，8(-3,”)，C(2,”)为二次函数y=/+4x-5的图象上的三点，

：.yi=(-4)2+4X(-4)-5=-5；

”=(-3)2+4X(-3)-5=-8；

*=22+4X2-5=7,

/.^2<yi<y3.

故选：B.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.

10.(2024秋•河西区期末)一位足球运动员将足球沿与地面成一定角度踢出，足球飞行的路线可以近似看

作是一条抛物线，足球距离地面的高度〃(单位：相)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的

关系为川=-祥+W(0WK9).有下列结论：

①足球距离地面的最大高度为21/77;

②足球被踢出4.S-和5s时，足球距离地面的高度是一样的；

③足球被踢出9s时落地，其中正确的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】二次函数的应用.

【专题】二次函数的应用；应用意识.

【答案】B

【分析】根据函数解析式求出抛物线的对称轴及顶点坐标，根据二次函数的性质判断即可.

【解答】解:h=-尸+9f=-(r-4.5)2+20.25,

...足球距离地面的最大高度为20.25加，抛物线的对称轴为直线f=4.5,

故①错误；

:抛物线的对称轴直线t=4.5,

...当f=4和f=5时，足球距离地面的高度是一样的，

故②正确；

当h=0时，-r+9t—0,

解得t=0或t=9,

足球被踢出9s时落地，

故③正确.

故选：B.

【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

—.填空题(共5小题)

11.(2024秋叶B江区期末)将函数y=的图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图象

对应的函数表达式是y=-(x+1)2+3.

【考点】二次函数图象与几何变换.

【专题】二次函数图象及其性质；推理能力.

【答案】y=-(x+1)2+3.

【分析】利用二次函数平移规律“左加右减，上加下减”求出答案即可.

【解答】解：由“左加右减，上加下减”的法则可知，二次函数y=--平移后的函数表达式是：y=

-(x+1)~+3.

故答案为：y=-(x+1)2+3.

【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.

12.(2024秋•赣榆区期末)心理学家研究发现，某年龄段的学生30M”内对概念的接受能力y与提出概念

所用时间x之间满足函数表达式：y=-O.L?+2.6x+43(0(xW30),则第13min时学生接受概念的

能力最强.

【考点】二次函数的应用.

【专题】二次函数的应用；运算能力.

【答案】13.

【分析】根据二次项系数小于零，判断该二次函数的图象开口向下，y有最大值，求出对称轴即可.

【解答】解：所用时间为13根加时，学生接受概念的能力最强，理由如下：

•.7=-0.1,

.,.该二次函数的图象开口向下，y有最大值，

止匕时x=-普1)=13,

所用时间为13机初时，学生接受概念的能力最强.

故答案为：13.

【点评】本题主要考查了二次函数性质的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.

13.(2024秋•祁江区期末)已知二次函数y=a/+bx+c(。=0),y>0的解集为1<尤<5,且当-1W%W4

时，函数最大值与最小值的差为2,则a的值为-看.

【考点】抛物线与X轴的交点；二次函数的性质；二次函数的最值.

【专题】二次函数图象及其性质；运算能力.

【答案】-看

【分析】根据题意可以根据a的正负得到关于a的方程，从而可以求得a的值即可.

【解答】解：,.，=a/+6x+c(aWO),y>0的解集为l<x<5,

.'.a<0,方程ar2+bx+c=0的解集为xi=l,尤2=5,

.,.x——券=1”=3,即b--6a,

\'a<0,

...当尤=3时，有最大值>="2-6ar+c=9a-18a+c,

V3-(-1)=4>1=4-1,

...当x=-l时，有最小值y=a+6a+c=a+6a+c,

由题意可得：

9a-1Sa+c-(〃+6〃+c)=2,

解得：a=-g.

故答案为：-

【点评】本题主要考查二次函数的性质、二次函数的最值等知识点，灵活利用二次函数的性质是解答本

题的关键.

14.（2025•嘉定区一模）如果抛物线y=（2-a）/+x-1的开口向下，那么a的取值范围是a>2.

【考点】二次函数图象与系数的关系.

【专题】二次函数图象及其性质；应用意识.

【答案】a>2.

【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数2-a<0.

【解答】解：：抛物线y=（2-a）N+x-1开口向下，

：.2-4<0,

解得a>2,

故答案为：a>2.

【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，对于二次函数y=a?+6x+c（a#0）来说，当a

>0时，抛物线y=af+6x+c（aWO）开口向上；当a<0时，抛物线>=办2+灰+。（a#0）开口向下.

15.（2025•浦东新区一模）二次函数y=-（尤-1）?-1的图象上有两个点（2,yi）、（3,y2）,那么yi>

”（填“>”“=”或

【考点】二次函数图象上点的坐标特征.

【专题】二次函数图象及其性质；推理能力.

【答案】>.

【分析】求得二次函数的开口方向和对称轴，然后利用二次函数的性质判断即可.

【解答】解：二次函数y=-（x-1）2-1的开口向下，对称轴为直线x=l,

.,.当x>l时，y随尤的增大而减小，

:二次函数y=-（尤-1）2-1的图象上有两个点（2,yi）、（3,”），且1<2<3,

'.y\>y2.

故答案为：>.

【点评】本题考查二次函数的图象上点的坐标特征；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

三.解答题(共5小题)

16.(2025•浦东新区一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线Mi：-2ax+c与x轴交于点A

(-3,0)和点3,与y轴交于点C(0,5).

(1)求抛物线Mi的解析式；

(2)把抛物线Mi向下平移机个单位(机＞0)得到抛物线〃2,记抛物线册的顶点为与y轴交于

点、E,直线。E与x轴交于点P.

①当点尸与点A重合时，求机的值；

②记点B平移后的对应点为中，如果P,求此时点。的坐标.

y*

0宓

【考点】二次函数综合题.

【专题】二次函数图象及其性质；推理能力.

【答案】(1)y=-；/+|%+5；

(2)①m=4；②(1,一4芋弓.

【分析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)①利用抛物线的平移思想，待定系数法，点重合的意义，解答即可；

②利用分类思想，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，整理解方程解答即可.

【解答】解：(1)将A(-3,0),C(0,5)分别代入解析式，

得.『a+6a+c=0

•=5

解得：a=-1,c=5,

・\抛物线M的解析式为：y=+|x+5；

(2)①由题意，得y=-4(久一1/+竽，抛物线Mi向下平移机个单位(机＞0)得到抛物线区,

故抛物线的解析式可设为：y=-1(x-l)2+^-m,

.*.£)(1/—7?1)9E(0,5-根)，

设直线。£的解析式为：y=kx^5-m,

16

——m=k+5—m,

3

i

解得々=可,

1

，直线DE的解析式为y=可％+5-zn,

：.P(3m-15,0),

又•・,点P与点A(-3,0)重合，

3m-15=-3,

.*.m=4；

②记抛物线对称轴与x轴交于点X,那么“(1,0),且〃y轴，

-3+5

--------=1,

2

：.B(5,0),

当点尸在点B左侧时，

：.BH=5-1=4,DH=学-m,BP=5-(3m-15)=20-3m,BB'=m,

\'DH//BB'〃y轴，

：.ZDBH=ZB'PB,

,：ZDHB=ZB'BP=90°,

PBs^DBH,

.DHBBi

••二,

HBPB

16

.T~mm

420—3771

解得甲警I;

DHBBi

同理可证，当点尸在点5右侧时，仍有3)■成乂，

HBPD

16

771777

有：—工=------,

43m-20

解得“审，

.•.点。的坐标为(L-'蚣).

y1

5/

234

【点评】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的平移，三角形相似的判定和性质，解方程，分类思

想，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定和性质是解题的关键.

17.（2024秋•本溪期末）【发现问题】数学兴趣小组春节前50天到某超市进行实践活动，发现该超市销售

某品牌灯笼进价是30元/个，在销售过程中，灯笼的销售价格，销售量都随销售天数的变化而变化.

【提出问题】超市销售该品牌灯笼的利润w（元）与销售天数x（天）之间有怎样的关系？

【分析问题】小组成员结合实际销售情况，得到下表所示的数据：

第尤天12345

销售价格y（元/个）109108107106105

销售量Z（个）1112131415

经过分析计算，小组成员得到相关信息：

①销售价格y（元/个）与销售天数x（天）的关系式为：y=-x+U0.

②销售量z（个）与销售天数x（天）的关系式为：z=;r+10.

【解决问题】（1）求该超市第10天的销售利润；

（2）当40WxW50时，求第几天超市的销售利润w（元）最大？最大利润是多少元?

【考点】二次函数的应用.

【专题】二次函数的应用；应用意识.

【答案】（1）1400元；

（2）第40天销售利润最大,最大销售利润是2000元.

【分析】（1）根据已知函数解析式求出第10天的销售价格y=100,销售量z=20,再由销售利润=（销

售价格-成本）义销量即可计算利润；

（2）根据利润等于单件利润乘以销售量列出函数关系式，再根据二次函数的性质得出最大利润即可.

【解答】解：（1）•销售价格y（元/个）与销售天数x（天）的关系式为y=-尤+110,销售量z（个）

与销售天数x（天）的关系式为z=x+10,

当x=10时，＞=-10+110=100；z=10+10=20,

（100-30）X20=1400元,

答：第10天销售利润是1400元.

（2）Vw=（y-30）z=（-x+100-30）（x+10）,

.".w=-X2+70X+800.

"."a--l＜0,

抛物线开口向下.

,对称轴是x=—而=35,

.•.尤＞35时，卬随x的增大而减小.

又：40WxW50,

，尤=40时，w有最大值，此时w=2000.

答：第40天销售利润最大，最大销售利润是2000元.

【点评】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式并熟知函数的基本性质是解题关键.

18.（2024秋•大丰区期末）根据以下素材，探索完成任务：

如何确定灌溉方案

素材1蔬菜大棚里装有1个自动旋转式洒水喷头

灌溉蔬菜，如图1所示，喷水口中心。有

|一喷水管0A垂直于地面并可以随意调节

高度，从A点向外喷水，观察喷头可顺、

图1

逆时针往返喷洒，喷出的水柱最外层的形

状为抛物线.

素材2测量得喷头的高。4=锌，喷水口中心点

。到水柱的最外落水点。水平距离为8米,

其中喷出的水正好经过一个直立木杆EF

的顶部尸处，木杆高斯=3米，距离喷水

口OE=4米.

素材3♦种植农民的身高为1.75米，他常常往返

于菜地之间，发现这位农民在与喷水口水

平距离是尸米时，不会被水淋到.

图3

♦种植农民给蔬菜大棚拉一层塑料薄膜用

来保温保湿，以便蔬菜更好地生长.测量

发现薄膜所在平面和地面的夹角是45°,

截面如图3.

问题解决

任务1模型构建在图2中建立合适的直角坐标系，求出水柱所在抛物线的函

数解析式.

任务2模型分析求P的取值范围.

任务3问题解决求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出

的水与薄膜的距离至少是0.2米.V2«1.414,精确到0.1米)

【考点】二次函数的应用；坐标与图形变化-旋转.

【专题】待定系数法；二次函数的应用；应用意识.

【答案】(1)y=—/之+孑+多

(2)P的取值范围为：l<p<6.5；

(3)薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离约是8.6米时，喷出的水与薄膜的距离至少是0.2米.

【分析】(1)以点。为原点，。。所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，易

得点A、F,。的坐标，代入所设的函数解析式，即可得到相关的函数解析式；

(2)取y=L75,代入(1)中得到的函数解析式，求得对应的无的值，即可得到P的取值范围；

(3)设出与抛物线相切的直线的解析式，进而根据只有一个交点，可得直线跖V的解析式，取y

=0,可得对应的x的值，加上W的长度，即为薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，

喷出的水与薄膜的距离至少是0.2米.

【解答】解：（1）以点。为原点，所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系.

图2

设二次函数解析式为：y=ax1+bx+c,

2

:经过点A(0,-),F(4,3),D(8,0),

3

(c=l

,,|16a+4b+c=3,

164a+8b+c=0

r--1

56

徐

解r-

-4

u2

-

-3

y=~不x2+肝+?；

10s2o

(2)1.75——-7.5x+6.5—0,

(x-1)(x-6.5)=0,

解得：xi=l,X2=6.5,

・・・尸的取值范围为：l〈pV6.5；

(3)如图：直线MN与二次函数相切，与工轴的夹角为45°

图2

设直线的解析式为：y=-x+b,

y=—x+b

y=—-7X2+-rX+q，

-+4X+=-x+b，

•x2T3.5尤+(6b-4)=0,

(-13.5)2-4(6b-4)=0,

246=198.25,

38.3,

•"•y=-x+8.3,

当y=0时，x=8.3,

；.OM=8.3,

由题意得：MF=0.2,MFLM'F,

：.MM'=0.2xV2«0.2X1.414^0.2828,

：.OM'=8.3+0.2828^8.6(米).

答：薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离约是8.6米时，喷出的水与薄膜的距离至少是0.2米.

【点评】本题考查二次函数的应用.理解喷出的水与薄膜的距离至少是0.2米时薄膜所在的位置是解决

本题的难点.

19.(2025•嘉定区一模)在平面直角坐标系尤Oy中，抛物线y=-/产+版+c的顶点为D

(1)为了确定这条抛物线，需要再添加一个条件，请从以下两个条件中选择一个：

①它与y轴交点的坐标是(0,-1)；②顶点。的坐标为(1,1).

你选择的条件是②(填写编号)，并求氏c的值.

(2)由(1)确定的抛物线与x轴正半轴交于点A,求tan/D4。的值.

【考点】抛物线与x轴的交点；解直角三角形；二次函数的性质.

【专题】二次函数图象及其性质；解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】⑴②，b=l，c=l.

2

(2)

3

【分析】(1)由题意得，选择的条件是②，可得抛物线的对称轴为直线尤=1,即——红丁=1,可求出

6的值，再将(1,3代入抛物线的解析式，可得c的值.

(2)由(1)得，抛物线的解析式为y=-+|尤+1,可得A(3,0),设抛物线的对称轴与x轴交

ARD

于点8,则B(1,0),BD=^,AB=2,再根据tan/D40=器可得答案.

【解答】解