2025年中考数学考点过关练：二次函数综合题型突破

二次函数综合题型突破

题型一抛物线与线段相关类

1.[2024天津]已知抛物线y=ax2+bx+c(a、b,c为常数,a>0)的顶点为P、且2a+b=0,对称轴与x轴相交于点

D、点M(m、1)在抛物线上为坐标原点.

⑴当a=l,c=-l时，求该抛物线顶点P的坐标；

⑵当OM=0P=争寸，求a的值；

(3)若N是抛物线上的点，且点N在第四象限，/MDN=9(T,DM=DN,点E在线段MN上，点F在线段DN上,

NE+NF=立DM,当DE+MF取得最小值为同时，求a的值

2

2.[2024湖南]已知二次函数y=-x+c的图象经过点A(-2,5),点Pg,门),Q(x2,y2)是此二次函数的图象上的

两个动点.

(1)求此二次函数的表达式；

(2)如图1,此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B,点P在直线AB的上方，过点P作PCLx轴于点C,

交AB于点D,连接AC,DQ,PQ,若叼=修+3,求证：/的值为定值；

(3)如图2,点P在第二象限，x2=-2巧,若点M在直线PQ上，且横坐标为xi-1.过点M作MN±x轴于点

N,求线段MN长度的最大值.

图1图2

3.[2024江苏连云港]在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx-l(a,b为常数,a>0).

⑴若抛物线与x轴交于A(-l,0),B(4,0)两点，求抛物线对应的函数表达式.

⑵如图，当b=l时过点C(-l,a),D(l,a+2&)分别作y轴的平行线，交抛物线于点M,N,连接MN,MD.求证:MD

平分NCMN.

⑶当a=l,b<-2时,过直线y=x-l(lWxW3)上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H.若GH的最大值为4,求b

的值

4.[2024重庆A卷]如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+4(a中0)经过点(-1,6),与y轴交于点C,

与x轴交于A,B两点(A在B的左侧)，连接AC,BC,tanZCBA=4.

⑴求抛物线的表达式.

⑵点P是射线CA上方抛物线上的一动点,过点P作PELx轴,垂足为E,交AC于点D.点M是线段DE上一

动点，MN±y轴，垂足为N,点F为线段BC的中点，连接AM,NF.当线段PD长度取得最大值时，求AM+MN+

NF的最小值.

(3)将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过⑵中线段PD长度取得最大值时的点D,且与直线A

C相交于另一点K.点Q为新抛物线上的一个动点，当/QDK=/ACB时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标.

备用图

题型二抛物线与面积相关类

5.[2024黑龙江大庆]如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于A、B两点，A点坐标为(-1,0),与y

轴交于点C(0,3),点M为抛物线顶点，点E为AB中点.

(1)求二次函数的表达式.

(2)在直线BC上方的抛物线上存在点Q,使得/QCB=2NABC.求点Q的坐标.

(3)已知D,F为抛物线上不与A,B重合的相异两点.

①若点F与点C重合,D(m,-12),且m>l,求证:D,E,F三点共线；

②若直线AD,BF交于点P,则无论D,F在抛物线上如何运动，只要D、E,F三点共线，△AMP,△MEP,

△ABP中必存在面积为定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由.

备用图1备用图2

6.12024四川巴中］在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3(a丰0)经过A(-l,0),B(3,0)两点，与y轴交于

点C,点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方.

⑴求抛物线的表达式.

⑵如图1.过点P作PDLx轴,交直线BC于点E,若PE=2ED,求点P的坐标.

(3)如图2,连接AC,PC,AP,AP与BC交于点G,过点P作PF〃AC交BC于点日记4ACG,APCG,APGF的

面积分别为Si,S2,s3.当m+令取得最大值时，求sinZBCP的值

7.[2024内蒙古通辽]如图,在平面直角坐标系中，直线y=-|%+3与x轴，y轴分别交于点C,D,抛物线

y=-—2尸+k（k为常数）经过点D且交x轴于A,B两点.

⑴求抛物线表示的函数解析式；

⑵若点P为抛物线的顶点，连接AD,DP,CP,求四边形ACPD的面积.

8.[2024四川遂宁]二次函数y^ax2+bx+c(a丰0)的图象与x轴分别交于点A(-1,O),B(3,O),与y轴交于点C(O,

-3),P,Q为抛物线上的两点.

(1)求二次函数的表达式.

(2)当P,C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标.

(3)设P的横坐标为m,Q的横坐标为m+1,试探究：△OPQ的面积S是否存在最小值.若存在，请求出最小值；

若不存在，请说明理由.

备用图1备用图2

题型三抛物线与四边形相关类

9.[2024四川泸州]如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(3、0)与y轴交于

点B,且关于直线x=l对称.

(1)求该抛物线的解析式.

(2)当/WxWt时,y的取值范围是0WyW2t-l,求t的值.

(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D,在y轴上是否存在点

E，使得以B,C,D,E为顶点的四边形是菱形?若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由.

10.[2024宁夏]抛物线y="2_|刀_2与X轴交于A(-l,0),B两点与y轴交于点C,点P是第四象限内抛物线

上的一点.

⑴求抛物线的解析式.

⑵如图1,过P作PDLx轴于点D,交直线BC于点E.设点D的横坐标为m,当PE=时，求m的值

⑶如图2,点F(l,0),连接CF并延长交直线PD于点M,点N是x轴上方抛物线上的一点，在⑵的条件下，x轴

上是否存在一点H，使得以F,M,N,H为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，

请说明理由.

11.[2024四川广元]在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F:y=-x2+bx+c经过点A(-3,-l),与y轴交于点

B(0,2).

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)在直线AB上方抛物线上有一动点C,连接OC交AB于点D,求CDDD的最大值及此时点C的坐标；

(3)作抛物线F关于直线y=-l上一点的对称图象F1,抛物线F与F只有一个公共点E(点E在y轴右侧)，G为

直线AB上一点，H为抛物线F对称轴上一点，若以B,E,G,H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标.

12.[2024黑龙江绥化]综合与探究

如图,在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x2+bx+c与直线相交于A,B两点，其中点A(3,4),B(0,l).

(1)求该抛物线的函数解析式.

(2)过点B作8(：〃*轴交抛物线于点C.连接AC,在抛物线上是否存在点P使tanZBCP=：tan乙4CB?若存在,

O

请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.(提示：依题意补全图形，并解答)

(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到yi=的产+瓦乂+©式的丰0),平移后的抛物线与原抛物线相交于点

D,点E为原抛物线对称轴上的一点，F是平面直角坐标系内的一点,当以点B,D,E,F为顶点的四边形是菱

形时，请直接写出点F的坐标.

备用图

题型四抛物线与相似相关类

13.[2024内蒙古呼伦贝尔]如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a丰0)的图象经过原点和

点A(4,0).经过点A的直线与该二次函数图象交于点B(1,3)、与y轴交于点C.

⑴求二次函数的解析式及点C的坐标.

⑵点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PELx轴于点E,与直线AB交

于点D,设点P的横坐标为m.①m为何值时线段PD的长度最大?求出最大值.

②是否存在点P,使得△BPD与4AOC相似?若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由.

14.[2024四川内江]如图，在平面直角坐标系中.一次函数y=-2x+6的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,

抛物线y=-x2+bx+c经过A,B两点，在第一象限的抛物线上取一点D,过点D作DCLx轴于点C,交AB于

点E.

⑴求这条抛物线所对应的函数表达式.

(2)是否存在点D,使得△BDE和小ACE相似?若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)F是第一象限内抛物线上的动点(不与点D重合)，过点F作x轴的垂线交AB于点G,连接DF,当四边形

EGFD为菱形时，求点D的横坐标.

备用图

突破三二次函数综合

L(l)(l,-2)(2)a=10(3)a=l

解析:⑴•.•2a+b=0,a=l,

-.b=-2a=_2,

X-.c=-1,

，该抛物线的解析式为y=/-2x-1,

y=x2—2x—1=(x—l)2—2,

,该抛物线顶点P的坐标为(L-2).

(2)如图，过点M(m,l)作MHJ_x轴，垂足为H,

V

则NMH0=9(r,HM=L0H=m,在RfMOH中，HM2+OH2OM2,OM=手,

_2

...1+m2=(钓，

解得利=|即2=-|舍)，

，点M的坐标为

,.,2a+b=0,即--=1,

2a

.,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=l.

1.对称轴与x轴相交于点D,

.­.OD=l,zODP=90°.

在Rt^OPD中,(OD2+PD2=OP2,OP=手，

解得PD=|（负值舍去），

由a>0,得该抛物线顶点P的坐标为（1，-1）,

，该抛物线的解析式为y=a(x-l)2-|,

••点M(|，l)在该抛物线上，

/.a=10.

⑶过点M(m,l)作1\/^，*轴,垂足为^

蛆kMHO=90°,HM=l,OH=m,

.-.DH=OH-OD=m-l,

在RtADMH中，DM2=DH2+HM2=(zn-l)2+1,

如图，过点N作NK，x轴，垂足为K,贝此DKN=90。,

•.zMDN=90°,DM=DN,

.•.zMDH=90°-zNDK=zDNK,

又•.NDHM=NNKD=90°,DM=DN,

.•.△DMH%NDK(AAS),

，点N的坐标为(2,1-m),在RfDMN中,：DM=DN,

MN2=DM2+DN2=2DM2,gpMN=V2DM,zDNM=zDMN=45°.

•••NE+NF^DM,

.-.ME=NF,

在ADMN的外部，作NDNG=45。,且NG=DM,连接GF,GM,

得NMNG=NDNM+NDNG=90。，

..AGNF学DME(SAS),

.-.GF=DE,

DE+MF=GF+MF>GM,

当点F落在线段GM上时,DE+MF取得最小值.V15,gp(GM=V15,

在RtAGMN中,(GM2=NG2+MN2=3DM2,

2

(V15)=3DM2,

：.DM2=5,

(m—l)2+1=5,

解得m-L=3,m2=-1(舍)，

:点M的坐标为(3,1),点N的坐标为(2,-2),

•.点M(3,l),N(2,-2)都在抛物线y=a%2+to+c±,2a+b=0,

.■.l=9a-6a+c,-2=4a-4a+c,/.a=l.

2.(l)y=-x2+9

(2)见解析

⑶友

解析：⑴将点A的坐标代入二次函数表达式得5=-4+c,解得c=9,

故二次函数的表达式为y=-x2+9.

(2)证明:令(0=-x2+，得x=±3,则B(3,0),

由点A,B的坐标易得直线AB的表达式为y=-x+3,

二点P,Q,D的坐标分别为(％，一定+9),但，一指+9),(xr-Xi+3),

-

S^PDQ=gPD,QQ—%p)=|(+9+/一3)(X2—%i)—|(—好+第1+6),

S

AADC=ICD.(孙-xA)=|(-%1+3).

⑶由题意得点P,Q的坐标分别为（Xi,-好+9）,（-2/，-4好+9）,

由点P,Q的坐标易得直线PQ的表达式为y=%1%-2好+9,

则MN=yM=%!(%!-1)-2xf+9=-+1)+

•.点P在第二象限〃》1<0、

，当与=-巳时，，MN取最大值，为子故线段MN长度的最大值为?

3.(l)y=ix2-|x-l

(2)见解析⑶-3

解析：(1)分别将A(-1,O),B(4,O)代入y=收+故一L得｛之工;1：°二解得｛0

10(1十—1=U,b二

，函数表达式为y=^-^x-l.

44

⑵证明:连接CN,

「b=L

y=ax2+x—1,

当x=-l时,y=a-2,

即点M(-l,a-2),

当x=l时,y=a,

即点N(l,a).

..CN=2,CM=a-(a-2)=2,CM_LCN,在RbCMN中，

MN=7cM2+CN?=2V2.

,•1DN=a+2V2—a=2vx

.-.DN=MN,

.-.zNDM=zNMD.

•/DNllCM,

.-.zNDM=zCMD,

.-.zNMD=zCMD,

，MD平分NCMN.

(3)设G(m,m-1),则.H(m>m2+bm-l),l<m<3.

当a=l时，y=%2+bx—1.

令x2+bx—1=x—1,

解得=。,％2=1-b.

/b<-2z

x2=1—b>slant3,

•••点G在H的上方，如图1,

设GH=t,.则t=—m2+(1—b)m,

其图象的对称轴为爪=子，日瞪2*

①当|《瞪<3时，-54b4-2,

由图2可知当m=子时，t取得最大值安

解得b=-3或b=5(舍去).

②当与^>3时彳导5<-5,

由图3可知当m=3时，t取得最大值-9+3-3b=4,

解得6=-与舍去）.

综上所述，b的值为-3.

4.(l)y=—x2—3%+4

⑵三

解析：⑴；抛物线y=ax2+bx+4(a中0)与y轴交于点C,

.•点C的坐标为(0,4),即(OC=4.

在RbOBC^,zCOB=90°,tanzCBA=黑=4,OB=1.

，点B的坐标为(1,0).

将点(；,6),(1,0)分别代入y=ax2+bx+4,得

{OI?+?=，解这个方程组，得{：=U'所以该抛物线的表达式为y=-x2-3x+4.

a+b+4=0.b=-3.

22

(2)在抛物线的表达式y=-x-3x+4中,由-x-3x+4=0,解得x1=-4,x2=1,

，点A的坐标为(-4,0),

二直线AC的表达式为y=x+4,设P(m--m2-3m+4),,则D(m,m+4),

PD=-m2—3m+4—(m+4)=-m2—4m=—(m+2)2+4.

二当m=-2时，线段PD长度取最大值，为4,

此时点P的坐标为(26),点E的坐标为(-2,0),点D的坐标为(-2,2).

-.MN±y轴，点M在直线x=-2上，

.-.MN=EO=2.

如图，连接EF,设EF交y轴于点N,过点N作NM^DE,垂足为M,连接AM.

易知MNllAE,MN=AE=2,

，四边形AENM为平行四边形.

.-.AM=EN,

由两点之间线段最短，可知AM+NF的最小值为EF的长.

..AM+MN+NF的最小值为MN+EF.

•.点F为线段BC的中点,

.••点F的坐标为(82)

过点F作FG^AB,垂足为G,易得点G的坐标为

在RtAEFG中，EF=VEG2+FG2=jG+2『+22=手.

..AM+MN+NF的最小值为鸯”

⑶满足条件的点Q的坐标是(-1,-制.

5.(l)y=-x2+2x+3

(2)Q(1,4)

(3)①见解析②AABP的面积为定值；SNBP=16

解析:⑴将.A(-1,O),C(O,3)代入y=ax2+2x+c,

4日,a—2+c=0,

行｛c=3,

解得,二；，

・••二次函数的表达式为y=-%2+2%+3.

(2)对于y——x2+2%+3,令y=0,

得一%2+2%+3=0,

解得=-1,%2=3,

；QB=0C=3,

."OBC是等腰直角三角形,

..NABC=NOCB=45°,

•.zQCB=2zABC,

，NQCB=90。,如图,过点C作CQ^BC交抛物线于点Q过点Q作QG^y轴于点G,

ANGCQ=180°-ZOCB-NQCB=45",

."GCQ是等腰直角三角形，

.-.CG=GQS

设Q(q，—q,+2q+3)厕G(0,—q2+2q+3)、

*'.CG——q?+2q,GQ—q,

2

-q+2q=q,解得q=0倍去)或q=lz/.Q(l,4).

(3)①证明:点F与点C重合，则F(0,3)、

•.点E为AB中点,A(-l,0),B(3,0),••旦1,0),

设直线EF的解析式为y=kx+b(kwO),将E(l,0),F(0,3)代入解析式,

［曰占+b=。献［曰ck=—3,

行｛b=3,解得⑨=3,y=-3%+3,

联立得y;二XfU，

解得｛渭或｛二二

，D(5,-12)在直线EF上，即D,E,F三点共线.

②设D(x1,y1),F(x2,y2),

・.D,E,F三点共线,EQ,O),

,设DF的解析式为y=m(x-l),

y=m(x—1),

联立得{

y——x2+2%+3,

消去y得，一/+(2-m)x+(3+m)=0,

•••xr+x2=2—m,=—3—m,

.「A(-L0),B(3,0),

，设直线AD的解析式为y=k^x+1),直线BF的解析式为y=k2{x-3),

联立得｛厂"卡”'解得x=第1，”普,

fc

y—/c式1—3),fc2-iB-上i

..的+312*也)

,

\k2-k1k2-k1J

%mg-1)卜_乃

%=2

Xi+lx1+l，-X2-3

-

m(x2l)

X2-31

g+l)(%2-3)'

阳%2-1)m(xr-Y)

%2—3x±+l'

47n2(X]

4kllc2(%1+1)(%2-3)

5的7n(X2-l)?n(^l-l)

%2-3Xi+1

=4皿叼-1)(g-1)

2(*I+%2)—4

_4m[%i%2-(xi+x2)+1]

2(%1+%2)-4

4m(-3-m-2+m+l)c

=--------------------=Q

2(2-?71)-4，

13皿尤2-1)

3k2%1+132-3

而k2fl一皿%2-1)一(工广1)

%2—3%i+l

4XX-6X+2X2XX-3X+X

12121212不为定值,

2(%1+%2)—4(%1+%2)-2

，P在直线y=8上运动，

，P到x轴的距离为定值8,

•••AABP的面积为定值，SAABP=I=|x4x8=16,S—MP，SAME均随点P位置的变化而变化，不是定

值.

6.(l)y=—x2+2%+3

(2)P(2,3)

(3)sinNBCP=誓

解析:⑴•.抛物线y=ax2+bx+3(a*0)

与x轴交于点A(-l,0),B(3,0),

.(CL—b+3=0,

9a+3b+3=0,

解得｛箕？’

••・抛物线表达式为y=-%2+2%+3

(2)二,当x=0时，y=—x2+2%+3=3,「.C(0,3),

设直线BC的表达式为y=kx+n,••.严二解得七二二

..直线BC的表达式为y=-x+3,设P(jn>-m2+2m+3),

,「PD_Lx轴于点Dz

:E(m,-m+3),D(m,0),

•••DE=—m+3,PD=-m2+2m+3,

.・.PE=PD-DE=-m2+2m+3—(—m+3)=—m2+3m,

•.PE=2ED,

・•・—m2+3m=2(—m+3),

解得mr=2fm2=3(不合题意,舍去)，.•.m=2,:P(2,3).

(3)「PFllAC〃"ACGsWFG,

.AC_AG_CG

"PF-PG~FG'

tS3_GF_PFS2_PG_PF

"S2~CG-AC"-AG-AC"

.S3s2_2PF

,•i->

S2SiAC

如图，作ANIIBC交y轴于N,作PQlly轴交BC于Q,

7TV

,.直线BC的表达式为y=-x+3,ANHBC,

，设直线AN的表达式为y=-x+b。

将A(-1,O)代入y=-x+b海O=-(-l)+b',解得b'=-l,

，直线AN的表达式为y=-x-l,当x=0时,y=-l,

.QN=LCN=ON+CO=4,

,：ANllBC,PQlly轴,PFllAC,

zPQF=zNCB=zANC,zPFC=zACF,

zPFC=zFPQ+zPQF,zACF=NNCB+NACN,

.,.NFPQ=NACN,."CANSAPFQ,

设P(n<—n2+2n+3),贝!]Q(n,-n+3),PQ——n2+3n,

.包+之—空^_2PQ_-2?12+6〉

•・S2Tsi-AC-CN-4

二当八=|时兴+1有最大值,

此时P(|4),Q61)，

­.ON=OA=1,OB=OC=3,

..NOBC=NANC=45°,

・•・NANC=NPQF,..NOBC=NPQF,

BC=J(3—0)2+(0-3/=3五,AB=4,

9L3V2_

PQ_4_3V2CQ_—_3V2

,•BC.3V2-8'AB~4-8'

.•.PC=COA,.-.ACPQ-AACB,

.,.zBCP=zCAB,

■-AC=J(—1—+(0-3/=V10,

sin/BCP=sinZCAB=*=2="

ACV1010

7.(l)y=-I%2+x+3(2)10

解析:⑴在y=—|x+3中，令x=0,得y=3/.D(0,3),

1.抛物线y=—久久一27+k经过点D(0,3)、

3=—：x(0—2)2+k,解得k=4,

，抛物线表示的函数解析式为y=—：X(久一2)2+4=-；/+x+3.

(2)连接OP,

在y=-|x+3中，令y=(X得x=2,

..C(2,0),.QC=2,

在y=-+x+3中，令y=(X得(0=-|x2+x+3解得x=6或x=-2,

，A(-2,0),「QA=2油y=-沁一2尸+4可得抛物线顶点P的坐标为(2,4),

x

,'1S四边形ACPD=SAAOD+S4POD+S4Poe=-2x3+-x3x2+-x2x4=3+3+4=10,二四边形ACPD

的面积为10.

8.((Dy=x2-2x-3(2)Q(|，-高

⑶存在；S的最小值为-11/8

解析：(1)由题意得y=a(x+l)(x-3)=a-(x2-2x-3”.C(0,-3)/.-3a=-3.，a=L

，二次函数的表达式为y=x2-2x-3.

(2)易知抛物线的对称轴为直线x=l,•点P,C关于抛物线对称轴对称,C(0,-3),

.■.P(2,-3),

设Q(q,q2—2q—3),

•••NOPQ=90。,；.OP2+PQ2=OQ2,

[(0-2)2+(0+3)2]+[(2-q)2+(-3-q2+2q+3)2]=q2+(q2-2q-3)2,

整理得3才一8q+4=0,

解得Qi==2舍去)，

F=QQ(IV

22

(3)由题意得P(m/m—2m—3),Q(m+l,m-4)/m^0,m^-l.

设直线OQ的表达式为y=kx,将Qg+l，--4)代入y=kx,得m2-4=k(m+l),

,m2-4

••・k=-------,

m+l

直线OQ的表达式为y=

过点P作x轴的垂线，交OQ于点N,

.­.N

■■-NP=\m^-2m-3-宣\=\m^-2m

-3--川壬斗

.-.S=^NP-\x0|

=11—m2—m—3I

1Tm।

12+3

2+18

."OPQ的面积S存在最小值，最小值为三

o

9.(l)y=-%2+2x+3(2)t=2.5

⑶存在;3V2-2或2

解析:(l)；A(3,0)抛物线的对称轴为直线x=l•抛物线和x轴的另夕b-个交点为(-1,0),则抛物线的解析式为

y=a(x+1)(%—3)=ax2+b%+3,a=—l,b=2，.二抛物线的解析式为y=—%2+2%+3.

(2)当-14x4t<l时,

二次函数在x=-l时取得最小值，

ymin=-(-I)2+2X(-1)+3=0,

在X=t时取得最大值，

_22

ymax=t+2t+3=2t—1,即t=4,

解得t=2或t=-2,

,此种情况不成立.

^-l<x<t,l<t<3时，

二次函数在x=-l时取得最小值，ymin=0,

在x=l时取得最大值，ymax=一12+2x1+3=4=2t-l,

解得t=25

当-14x4t,t>3时，

二次函数在x=t时取得最小值，ymin<y-i<0,

,此种情况不成立.

综上,t=2.5.

⑶由抛物线的解析式知，点B(0,3),①如图，当BC为菱形的对角线时，对应的菱形为BDCE'.

则BD=CD,

由点A,B的坐标得，直线AB的表达式为y=-x+3,

设点C(x<-x2+2x+3),点D(x,-x+3).

贝！jCD=-x2+2x+3—(—x+3)=—x2+3久,

BD—V2x,BC—yjx2+(—%2+2x)2.

—x2+3x=s/2x.

解得x=3-/或X=0(舍去).

贝！1BD=V2x=3V2-2.

②当BD为菱形的对角线时，对应的菱形为菱形BCDE厕CD=BC,

—%2+3%=J/+(一<2+2久)2.

，x=2或x=0(舍去)，

贝！j(CO=-%2+3x=-22+3X2=2.

综上，菱形的边长为3V2-2或2.

10.(l)y=|%2—|x—2(2)m=|

⑶存在;(1|"0)或(也。)或(-|，。)或((1.0)

解析：(1)把A(-l,0)代入y=«%2-|%-2得a+1-2=0,解得a=>.抛物线的解析式为y=jx2-|x-2

(2)把y=0代入y=|x2-|x-2,

得|x2-|x-2=0,

解得x=-l或x=4,，B(4,0).

当x=0时,y=-2,

.•.C(0,-2).

BC=V42+22=2V5,

BC的解析式为y=|x-2.

根据题意，得点D的坐标为(m,0).

把x=m代入y=|x2-|x-2,

得y=|m2—|m—2.

把X=m代入y=*一2彳导y=[TH-2,

・••P(m^m2—|m—2),

E(mf^m—2).

11

DE=2——m,EP=2m——mo2.

22

・「DP_Lx轴,，PDlly轴，

.,.△BDEs^BOC,

.-.BD:BO=BE:BC,

即BEBO=BCSBD、

•••BE=亨(4一m),

•••PF=yBF=|(4-m),

2m—|m2=|(4—m),

解得m=|HEm=4(舍).

.・.m=-.5

2

(3)/C(0,-2),F(l,0),

，直线CF的解析式为：y=2x-2,

当x=|时y=2x|-2=3,

•・•点N是x轴上方抛物线上的一点，

，当y=3时，-|x-2=3解得x=-2或x=5.

当N(-2,3)时,FH=MN=p

・•.H的坐标为(_狗或管，0〉

当N(5,3)时，FH=MN=|,

・•.H的坐标为(-m°)或%>)•

综上，点H的坐标为((后，0)或(芳，0)或(一起)或00).

1.(l)(l)y=—x2—2%+2

(2)最大值为"(-1用

(3)(-2,0)或(4,6)或(2,4)

解析:⑴将.A(-3,-l),B(0,2)代入y=-x2+bx+c,

得「9一二十厂T解得｛"3

，抛物线的函数表达式为y=-%2-2x+2.

⑵过点C作x轴的垂线交AB于点M厕CMIIy轴，

.,.△CDMSAODB,

.CD_CM_CM

OD~OB~2'

设直线AB的解析式为y=mx+n,

把A(-3,-l),B(O,2)代入解析式得

—3m+n=-L角星得严=L

(n=2,蝌守ln=2,

，直线AB的解析式为y=x+2,

r2

设C(t—t—2t+2)(—3<t<0),贝！］M(t,t+2)z

CM=-t2-2t+2-t-2=-t2-3t=-(t+|)2+J

"OD~+21十8'

二当1=—2时需的值最大，为看此时点C的坐标为(-|，芳).

⑶由中心对称可知，抛物线F与F的公共点E为直线y=-l与抛物线F的右交点，

令—/_2*+2=—1,解得x=-3或x=l,/.E(l,-l),

■:抛物线F-.y=-x2-2x+2的顶点坐标为(-1,3),

，抛物线F'的顶点坐标为(3,-5),

，抛物线F的对称轴为直线x=3,

，点H的横坐标为3.

由⑵知直线AB的解析式为:y=x+2,.•.设G(x,x+2),

当BE为平行四边形的对角线时，，x+3=l,解得x=-2,

，G(-2,0);

当BG为平行四边形的对角线时,x=3+1=4,

.■.G(4,6);

当BH为平行四边形的对角线时，，x+l=3,解得x=2,

.6(2,4).

综上所述,G点坐标为(-2,0)或(4,6)或(2,4).

12.(l)y=—x2+4%+1

(2)存在;W)

(3)(-1,3)或(1,-2)或(3,4-遥)或(3,4+V6

解析：⑴•・抛物线y=-x2+bx+c过点A(3,4),B(0,l),

-9+3b*c=4,解得6=:

c=1,c=1,

.,该抛物线的函数解析式为y=-x2+4x+l.

(2)；BCllx轴，且B(0,l),

.•点C的纵坐标为1,

令—X2+4%+1=1,

解得舍去),

Xi=0(%2=4,

过点A作AQBC于Q,设直线CP交y轴于点M,如图，

在RSACQ中,

•.A(3,4),「.Q(3,1),

v\xmZBCP=-tan^ACB,

6

1AQ1

.­,tan^CP=-x-=-x4—-1=-1,

.BC=4/CBM=90°,

BM„„„1

.-.-=tan^5CP=?

11

•••BM=-BC=-x4=2,

22

|yx-l|=2,;.yu=3:或yw=-l,

.­.M1(0,3),M2(0,-l),

，直线CM】的解析式为y=-jx+3,直线CM?的解析式为y=|x-l,

1_1

由｛y=7x+3,解得*7(舍去)，

y=-X2+4%+1y=―,y2-1

r4

1__1

由｛y=「解得直一一，4二：，舍去)，

21

y=—x+4%+1y3=--,旷4

••,P】("，P2(一23

(3)y=—x2+4%+1=—(x—2)2+5,

二原抛物线的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,5),

i•将该抛物线向左平移2个单位长度得到新抛物线：＞】,••.%=-%2+5,

联立得1,解得::1,

y=+5,y—4,

设E(2,t),F(m,n),

当BD,EF为对角线时，

1+0=2+772,

贝［J｛4+1=t+n,

(2-0)2+(t-l)2=(2-l)2+(t-4产

m=—1,

解得｛n=3,F(-l,3);

t=2,

当BE,DF为对角线时,

m+1=2+0,

贝(|｛n+4=t+l,

(2-I)2+(t-4)2=(0-l)2+(1-4)2,

解得C"=T=4,蹈:

t—1,

，F(1,4)(与点D重合，不符合题意，舍去)或F(l,-2);

当BF,DE为对角线时，

m+0=1+2,m=3,

贝M71+1=1+4,解得｛叫通口=4+倔

(2-Op+(t-I)2=(1—0)2+(4-I)2,t=l+V6,

，F(3、4-遥)或F(3、4+V6).

综上所述，点F的坐标为(-1,3)或(1,-2)或((3,4-司(或(3-4+V6).

13.(l)y=—x2+4%;(0,4)

(2)①当爪=泄，PD的长度最大；最大值为一:

②存在;(3、3)或(2,4)

解析:Q)1•二次函数图象经过0(0,0),A(4,0),B(l,3),

0=c,a=-1,

将三点坐标代入解析式得｛0=16a+4b+c,解得｛b=4,'

3=a+b+c,c=0,

.・二次函数的解析式为y=-/+4x设直线AB的解析式为y=kx+n,将A,B两点坐标代入得解

k=-1,

n=4,

二直线AB的