2025年中考数学难点突破：隐圆问题

2025年中考数学难点突破：隐圆问题专练

1.如图1,MBC与△语都是等边三角形，边长分别为4和百，连接FC.AD为AABC高，连接CE,N为CE的中

点.

(1)求证：tACFstABE；

(2)将绕点A旋转，当点E在AD上时，如图2,EF与AC交于点G,连接NG,求线段NG的长；

(3)连接BN,在绕点A旋转过程中，求EN的最大值.

2.如图，在正方形的CD中，点E在直线AD右侧，且AE=1,以DE为边作正方形DEFG,射线DF与边BC交于点

M,连接ME、MG.

⑴如图1,求证：ME=MG-

⑵若正方形ABC©的边长为4,

①如图2,当G、C、M三点共线时，设EF与BC交于点N,求翳的值；

EM

②如图3,取5中点P,连接PF,求PF长度的最大值.

3.定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1,在RtZXABC中，ZA=90。,AB=AC,点D、E分别

在边AB、AC上，AD=AE,连接DE、DC,点、M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，且连接ftW、PN.

图1图2

(1)观察猜想

线段?”与尸N填(“是”或“不是”)“等垂线段”.

(2)VADE绕点A按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD,CE,试判断加与PN是否为“等垂线段”，并说

明理由.

(3)拓展延伸

把VA£>E绕点A在平面内自由旋转，若DE=2,BC=4,请直接写出户”与PN的积的最大值.

4.(1)如图1,等边V43c的边长为2,点D为BC边上一点，连接AP,则AD长的最小值是;

(2)如图2,已知菱形ABCD的周长为16,面积为8囱，E为AB中点,若尸为对角线BD上一动点，。为AD边

上一动点，计算EP+PQ的最小值：

(3)如图3,已知在四边形ABCD中，ABAD=15°,ZABC=ZADC=90°,AB=BC=4®,E为CD边上一个动点，连接

AE,过点。作垂足为点尸，在AF上截取FP=FD.试问在四边形的CD内是否存在点P,使得APBC的

面积最小？若存在，请你在图中画出点P的位置，并求出△NC的最小面积；若不存在，请说明理由.

5.已知，平面直角坐标系中有一个边长为6的正方形0ABC,“为线段。C上的动点，将“31沿直线,对折,

(1)如图①，当4MM=300时，求点。的坐标；

(2)如图②，连接CO，，当CO’IIAM时.

①求点M的坐标；

②连接。8,求"O加与VAOB重叠部分的面积；

(3)当点M在线段0c(不包括端点)上运动时，请直接写出线段co,的取值范围.

6.1.问题发现

图(1),在△OAB和AOCD中，OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=35°,连接AC,BD交于点

①5的值为；②­的度数为.

DU

(2)类比探究

图(2),在△OAN和△08中，ZAOB=NCOD=90。,ZOAB=ZOCD=30°f连接AC,交班)的延长线于点请计算黑的

值及ZAMB的度数；

(3)拓展延伸

在(2)的条件下，若8=2,AB=S,将AOCD绕点O在平面内旋转一周.

①当直线DC经过点B且点C在线段BD上时，求AC的长；

②请直接写出运动过程中M点到直线。B距离的最大值.

试卷第2页，共6页

A

7.如图，圆。为RtAABC的外接圆,ZACB=90。，BC=4g,AC=4,点。是圆。上的动点，且点C、£)分别位于AE

(1)求圆0的半径;

(2)当8=4夜时，求ZACD的度数;

(3)设AD的中点为在点Q的运动过程中，线段C”的最大值为一

8.如图1,在V"C中，^ACB=90°,AC=BC=A/5,以点8为圆心，以应为半径作圆.

(1)设点尸为。B上的一个动点，线段CP绕着点C顺时针旋转90。，得到线段8,连接DA,DB,PB,如图2,求

证：AD=BP-

⑵在(1)的条件下，若NCPB=135。，求BD的长;

⑶在(1)的条件下，当"BC=。时，BD有最大值，且最大值为.；当NPBC=。时，5。有最小

值，且最小值为

9.如图①，在等腰府△钻。和等腰心△班组中，ZBAC=ZBDE=90°fAB=AC,BD=DE,E为5。的中点，P为C石的中

点，连接”，DF,AD.

图③

⑴若AB=4,求A£)的长度;

(2)若将VBDE绕点B旋转到如图②所示的位置，请证明AF=DF,AF1DF;

(3)如图③，在VBDE绕点B旋转的过程中，再将绕点A逆时针旋转60。到AACF,连接B尸，若4?=4,请直

接写出B尸的最大值.

10.在VMC中，ZACB=90°,CA=2CB.将线段CA绕点C旋转得到线段CD

图1图2图3

(1)如图1,当点。落在A8的延长线上时,过点。作DE1AD交AC的延长线于点E,若BC=2,求OE的长;

(2)如图2,当点。落在CB的延长线上时,连接AD,过点C作CF_LAB于点尸，延长CF交AD于点E,连接

BE,求证：AB=CE+BE；

(3)如图3,在(2)的条件下，将△ACF沿AC翻折得到AAC尸，V为直线4。上一个动点.连接将ABD”沿

翻折得到△BUD.当。尸最小时，直接写出售的值.

rr

II.如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的©O,点尸在圆弧AB上以2倍速度从8向A运动，点。在

圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，当点P,O,。三点处于同一条直线时，停止运动.

(1)求点。的运动总长度；

(2)若M为弦PB的中点，求运动过程中CM的最大值.

12.如图，在△ABC和△DE■尸中，ZBAC=ZEDF=9ff,AB=AC,DE=DF,BC、EF交于点M,且点M为BC、

EF■的中点，将△DEF绕点M旋转.

(1)如图1,当△DE尸旋转至点A在尸。延长线上时，若BC=30,AF=竽，tan㈤F=2,求线段8尸的长；

(2)如图2,当ADEF旋转至点A在ED延长线上，求证：6AF=0BE+EF；

(3)如图3,在4OEF旋转过程中，直线A。与直线CT交于点N,连接BMP为8N的中点，连接AP,若AB=6夜,

请直接写出线段AP的最大值.

试卷第4页，共6页

13.在平面直角坐标系中，二次函数》=/+版+'的图像过点。(0,~4)和点。(2,4),与X轴交于点A、B(点A在点

B的左边)，且点。与点G关于坐标原点对称.

(1)求该二次函数解析式，并判断点G是否在此函数的图像上，并说明理由；

(2)若点尸为此抛物线上一点，它关于无轴，y轴的对称点分别为V,N,问是否存在这样的P点使得V,N恰

好都在直线DG上？如存在，求出点尸的坐标，如不存在，并说明理由；

⑶若第四象限有一动点E,满足BE=OB,过E作EF_Lx轴于点F,设尸坐标为(刈，0＜，＜4,ABEF的内心为/,

连接C/,直接写出C/的最小值.

14.如图，抛物线y=，-2群-3a(a为常数，。＜0)与无轴分别交于A,8两点(点A在点B的左侧)，与y轴

交于点C,SLOB=OC.

⑴求。的值；

(2)点。是该抛物线的顶点，点尸(加，n)是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接3D、BC、CD、BP,

当时，求机的值；

(3)点K为坐标平面内一点，£＞K=2,点M为线段BK的中点，连接AM,当AM最大时，求点K的坐标.

15.【问题背景】如图1,尸是等边△ABC内一点，ZAPB=150°,则^^+尸中二尸3.小刚为了证明这个结论，

将4^B绕点A逆时针旋转60。，请帮助小刚完成辅助线的作图；

【迁移应用】如图2,D是等边△ABC外一点，E为CD上一点，AD//BE,ZBEC=120°,求证：△DBE是

等边三角形；

【拓展创新】如图3,EF=6,点C为EF的中点，边长为3的等边△ABC绕着点C在平面内旋转一周，直线

AE.BF交于■点、P,M为尸G的中点，E尸上FG于F,FG=40,请直接写出MC的最小值.

A

试卷第6页，共6页

《2025年中考数学难点突破：隐圆问题专练》参考答案

1.⑴见解析

Q)NG=：币；

(3)班的最大值|6.

【分析】(1)根据SAS证明三角形全等即可；

(2)证明4c垂直平分线段EF,推出CE=CF,利用勾股定理求出CE,再利用三角形中位线定理求出NG；

(3)在旋转过程中，BN<BH+HN,BNV：6而且当点H在线段BN上时，BN可以取到最大值.

【详解】(1)证明：YAABC与△码都是等边三角形，

AZBAC=ZEAF=60°,AE=AF,AB=ACf

ZBAE=ZCAF,

在AAB石和AACF中,

AB=AC

<ZBAE=ZCAF,

AE=AF

：.^ABE=,ACF(SAS)；

(2)解：AZ)为等边△ABC的高，

DC=-BC=2,ADAC=-ABAC=,

22

AD=y/AC2-DC2=742-22=273,

*.*AE=AF,ZEAG=ZFAG=3Q°,

：.ACLEF,EG=FGf即G为E尸的中点，

，CE=CF,

AE=6,

DE=24-6=6,

••£c=J(Gy+22=币,

CF=CE=币,

・.・N为c石的中点，

NG=-CF=-y/7.

22'

(3)解：如图，取AC的中点H,连接BH,NH.

•・,B”为等边△ABC的中线,

BH±ACf

答案第1页，共30页

由(2)同理可得BE=26,

为CE的中点，

NH是AACE的中位线，

/.NH=LAE=L6,

22

在旋转过程中，BNSBH+HN,

BN竦④而且当点H在线段BN上时，BN可以取到最大值，

•'•BN的最大值

【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分

线的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决

问题.

2.⑴见解析

(2)①瞿=；,②当P、B、尸三点共线时，P尸有最大值为26+0

【分析】(1)对角线DF是正方形DEFG的对称轴，即可得ME=MG；

(2)①当G、C、M三点共线时，根据A/MEMADCG,ADCGS4GFN,AAWFSAMGD进而即可求得需的值；

②连接证明AADESABDF,求出相似比，求出BF=应，当尸、B、尸三点共线时，即可求出最大值.

【详解】(1)如图1,

图1

对角线OF是正方形DEFG的对称轴,

ME=MG-

①当G、C、M三点共线时,

VAD=DCfDE=DG

/.△ZME%DCG(HL),

•:?NGFIDGC90?,

2GDCIDGC90?,

?NGF1GDC,

答案第2页，共30页

又丁？GDCGFN,

：.△DCGS^GEV,

又♦：/sMNFs^MGD,DG=GFf

.MNMNNFNF_AE

**St7-MG-DG-GF-AD_4'

图3

..AD_\DE1

•茄一方一忑,

ZADE+ZEDB=ZBDF+ZEDF=45°

/\ADEs/\BDF,

・BF_BD41

99~AE~~AD~~T9

*.*AE=1,

BF=41;

在RLABP中，

BP=20

当P、B、尸三点共线时，

P尸有最大值：2君+0.

【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

3.(1)是

⑵是，答案见解析

⑶今9

【分析】(1)根据中位线的性质以及"=4C,AD=AE,可得MP=PN,由中位线性质可得MP〃EC,PN//BD,再

由NB=ZACB=45。结合平行线的性质，可证3/»+"川=45。-"0+45。+4>03=90。，故线段/>”与卯是“等垂线段”.

(2)先证△ABZ标△ACE(SAS),可得BD=CE,根据中位线的性质得到MP=：EC,PN=：BD,即MP=PN；由中位线

性质可得“P//EC,PN//BD,再由^/原:=〃8=45。结合平行线的性质，可证ZMPD+NDPN=90。，故线段PM与PN是

“等垂线段”.

(3)由(2)可知，MP=PN,MPVPN,故PM*PN=P"=竿，当”N取最大值时，与PN的积有最大值.当

N、A、M三点共线，且点A在NM之间时，MN取最大值.此时=+最后根据已知条件，计算出最大

值即可.

【详解】(1)解：线段P”与PN是“等垂线段”.

理由如下：

:点/、P、N分别为DE、DC、BC的中点，

答案第3页，共30页

/.MP=-EC,PN=-BD.

22

VAB=ACfAD=AE,

AB-AD=AC-AEf

即应＞=CE,

MP=PN.

•・•点M、P、N分别为D石、DC.BC的中点，

，MP//EC,PN//BD,

在RtAABC中，ZA=90°,AB=AC,

ZB=ZACB=45°f

ZACD=45°-ZDCB,NBDC=180。—NB—ZDCB=135。—ZDCB,

丁MP//EC,PN//BD,

：.ZMPD=ZACD=45°-ADCB,ZDPN=180°-ZBDC=180°-(135°-ZDCB)=45°+ZDCB,

AMPD+ZDPN=45°-ZDCB+45°+ZDCB=90°,

:.MPLPN,即线段PM与尸N是“等垂线段”，

故答案为：是.

(2)解：线段尸M与PN是“等垂线段”，理由如下：

・・・v的绕点A按逆时针方向旋转到图2所示的位置，

AD=AEfNZME=90°,

・；ABAC=90°,

，ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

ZBAD=ZCAEf

在△ABD与AlC石中，

AB=AC

V\ZBAD=ZCAE,

DA=EA

△ABD^AACE(SAS),

I.BD=CE,

・・•点M、P、N分别为DE、DC、8C的中点，

MP=-EC.PN=-BD,

22

;BD=CE,

MP=PN.

・・•点M、P、N分别为DE、DC、8C的中点，

MP//EC,PN//BD,

•.•在RtAABC中，"AC=90。，AB=ACf

答案第4页，共30页

ZABC=ZACB=45°,

...ZACD=45°-ZDCB,ZDBC=45°-ZABDf

ZBDC=180°-ZDBC-ZDCB=180°-(45°-ZABD)-ZDCB=135°+ZABD-ZDCB

MP//EC,PN//BD,

ZMPD=ZECD=ZECA+ZACD,

*：匕△ACE(SAS),

/.ZABD=ZACEf

即ZMPD=ZECD=ZABD+ZACD

ZDPN=180°-ZBDC=180°-(135°+ZABD-ZDCB)=45°-ZABD+ZDCB,

ZMPD+ZDPN=ZABD+ZACD+45°-ZABD+ZDCB=45°+45°=90°,

：.MPVPN.

•:MP=PN,MPVPN.

故线段.与PN是“等垂线段”.

(3)解：由(2)可知，MP=PN,MPVPN,

故PMxPN=PM'=^~,

当"N取最大值时，9与PN的积有最大值.

•.•把VADE绕点A在平面内自由旋转，

:.当N、A、7W三点共线，且点A在MW之间时，

"N取最大值.

此时跖V=NA+AM.

,在Rt/XABC中，ZBAC=90-,AB=AC,BC=4,N为BC的中点，

NA=』BC=2,

同理可得，MA=；DE=1,

的最大值为3,户”与PN的积有最大值g.

【点睛】本题考查了中位线的性质及运用，全等三角形的判定与性质以及图形动态问题，综合运用以上知识

是解题的关键.

4.(1)75；(2)273；(3)存在，见解析，16-4百

【分析】(1)根据垂线段最短可知，当时，线段AC的值最小，再根据等边三角形的边长为2,确定高

AD=S,从而得出结论；

(2)如图2中，作A//_LBC于H,在DC上截取D0=D。，连接AC,EC.首先证明VABC是等边三角形，证

明APDQ峪可得P°=P0,推出PE+PQ=PE+P0,再根据垂线段最短即可解决问题.

(3)存在，如图3中，以AO为斜边在直线的的下方作等腰直角AAOO,作。M_LBC于M,ANLOM于N,连接

AC,PD.证明点P的运动轨迹是AD,当点尸在线段。用上时，的值最小，此时△PBC的面积最小.

答案第5页，共30页

【详解】解：(1)如图1中，根据垂线段最短可知，当AD4BC时，线段AD的值最小,

VA3C是等边三角形，边长为2,

NABC的图AD=-\/3,

A。的最小值为6.

故答案为：0

(2)如图2中，作AH_L3C于“，在上截取连接PQ',AC,EC.

图2

・・•四边形A5C。是菱形，周长为16,

/.AB=BC=4fNQDP=NQDP,

S奏形ABCD=BC・AH,

：.AH=—=2y/3,

4

•・sin/ABH=--=—,

AB2

ZABH=60°,

・•・VA3C是等边三角形，

*.*AE=EB,

/.EC上AB,

■:DQ=DQ,/PDQ=/PDQ,DP=DP,

f

...APDQ^APD0(SAS),

JPQ=PQ',

：.PE+PQ=PE+PQ,

根据垂线段最短可知，当E，p，Q'共线，且点。'与c重合时,

PE+P。的值最小，最小值=EC=AH=2C.

.•.EP+PQ的最小值为2石.

(3)存在，理由如下：

如图3中，以5为斜边在直线AD的下方作等腰直角AAP。，

作。M_LBC于M,ANLOM于■N,连接AC,PD.

答案第6页，共30页

图3

•:BA=BC=4应,ZABC=90°f

AC=y/2AB=3fZBAC=45。，

*.*ZBAD=75°,

I.ZCAD=3O09

AD=AC*cos30°=4出,

•••△ADO是等腰直角三角形，

・・OA-OD-2\[bf

・二ZABM=ZNMB=ZANM=90°,

・•・四边形是矩形，

:・AB=MN=4近,/BAN=90。，

，ZC^V=75o+45o-90o=30°,

ON=^OA=46f

OM=指+4近,

VDF.LAE,FP=FD,

，ZFPD=45°,

ZAPD=135°,

，点尸的运动轨迹是AO,

当点尸在线段上时，的值最小，此时△P3C的面积最小，

此时PM=OM—OP=^+40—2#=4&—",

△PBC的面积的最小值《的尸加二泊&卜/一伺=16一4招.

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，菱形的性质，垂线段最短，矩形的判定和性质

等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题.

5.(1)(3•3)

(2)①“(3.0)；②苧

⑶6亚-6WCOY60+6

【分析】(1)连接。。‘，交AM于。，过。作OW_LOC于N,根据翻折证明AOA。是等边三角形，即可求解；

答案第7页，共30页

(2)根据翻折性质和c。』AM即可求出；②连接OB,交3于Q,交A。于P,过Q作。D||OA,交AO,于。，作

OC4OE于E,设CE=x,根据勾股定理可求出，用待定系数法求出AM,OB的解析式，即可求出。点坐标，从

而求出答案；

(3)连接AC,由对折可知，AO=AO,利用三角形三边关系可得C。,最小值，即可求解.

【详解】(1)解：如图，连接。。，交AM于Q,过。作OW_LOC于N,

由对折可得：AO=AO=6,OM=OM,ZOAM=30°=AM,

/.OOJ.AM,OQ=OQ

ZOAO=60°,△04。是等边三角形,

••OO=AO=6,

ZAOM=90°,

/.^OMQ=90°-30°=60°,

*.*AMJ.OOf

/.NOON=30。，

/.O'N=^OO'=3fON=6ON=3百,

。’(36,3)；

(2)解：①・.・CO』AM,

ZAMO=NMCO；ZAMO=NMOC,

*.•/AMO=NAMO

/.NMCO=ZMO'C,

MC=MO'

，MC=MO=OM=3f

：.”(3,0)；

解：②如图，连接03,交AM于Q,交AO于P,过。作Q0Q,交AO于。，作。C1OZ于瓦

由①得：tan^AMO=——=2=tan^OCE=——,

OMCE

设CE=x,贝(JM石=3—%,OE=2%,

/.32=(3-X)2+(2X)2,

答案第8页，共30页

・6

..x=-,

,1224

OE=2x=—,OE=6-x=—f

A(0,6),

设AO的函数解析式为y=kx+bf

24,,12

ritk+b=—

贝I155,

b=6

••左=-“

3

...AO:y=--x+6,

同理可得：赦的函数解析式为k-2%+6,。5的函数解析式为，=%,

y=—2x+6

y=x

x=2

y=2

即0(2,2),

3-9

x=2,y=——x2+6=—

DD42

即Q(2§),

同理可得：P(y,y),

A30

SAAQP2|-2

T

AAO加与VAOB重叠部分面积为岑；

由对折可知，AO=AOf如图,

CO>AC-AO',

当O,。重合时，。。’取得最小值,

此时AC=162+62=6"AO=AO=6f

••CO=6-\/2—6，

I.co'的取值范围是：6A/2-6<CO<672+6;

【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，翻折的性质，等边三角形的判定与性质，三角函

数，勾股定理，待定系数法求函数解析式，三角形三边关系等知识，利用函数解析式求出点尸、。、。的坐

标是解决问题(2)的关键.

6.(1)①1;②35。；(2)41=万，ZAMB=90P-(3)①AC的长为6+回；②M点到直线。8距离的最大值为26

DL)

【分析】(1)直接根据两个共顶点的等腰三角形证明%bOD(SAS),可以证明NO6D=NOAC,最后在△OF3和

答案第9页，共30页

△A/性中导角直接可以求解.

(2)改变三角形结构，直接通过判定AAOC和ABOD相似，同样可以用第一问的方式证明NOBD=NCMC,根据相

似比，求线段比例，最后在△3®和AME4中导角直接可以求解ZAMB的度数.

(3)深度理解题意，本质上问的就是当8,C,D,三点共线时，求DB的长，在利用ADOBSKOA,对应边成比

例求AC的长，最值的求解，先找到点”和点。的轨迹，可以发现是在两个圆弧上运动，再利用4WB。最大时,

则M点到直线。B距离的最大，直接求解即可.

【详解】(1)ZAOB=ZCOD=35°,

ZAOB+ZDOA=ZCOD+ZDOA,

，ZCOA=ZDOBf

X*->OA=OB,OC=OD,

：.^AOC^^BOD(SAS),

AC=BDf

・AC1

••访y

故答案为：1;

②设AO与即交于点尸，

由①知，*0%^0口,

ZCAO=ZDBO,

ZAOB+ZDBO=ZDFO,

ZAMB+ZCAO=ZDFO,

/.ZAOB=ZAMB=35°f

故答案为：35。；

(2)如下图，在△046和△08中，设A。与5£)交于点E；

ZAOB=/COD=90°,AOAB=ZOCD=30°,

・・・tan30。、"=丝=旦

COOA3

VZAOB+ZDOA=ZCOD+ZDOA,

即ZDOB^ZCOA,

GOBs卫OA,

=>^,ZDBO=ZCAO,

BDOD''

ZDBO+ZOEB=90°,NOEB=ZMEA,

ZC4O+ZAffi4=90°,

答案第10页，共30页

ZAMB=90°,

(3)①如下图所示，当直线。。经过点8且点C在线段加上时;

在△OD5中，ZD=60°,0B=1AB=4；

过点。作班)的垂线，垂足为H;

..OHVBD-

*.*ZZ)=60°；

/DOH=30。；

HD=\,"0=6;

在心△0H3中，由勾股定理得;

BH=4B61-OH2=716-3=713；

30=旧+1;

・：QOBsmA；

②如下图所示，:ZAA仍=90。，AB=8；

・••点M的轨迹是圆弧，即点M在圆尸上运动，且NQIe=/。15=30。；

要想求出点M到直线OB的最大值，动点M距离直线OB越远越好,

从下图可以看出，点。的轨迹也是圆，点M运动极限位置取决于ZMB0的最大值;

VOD=2f03=4；

・・・ZMBO的最大值取得当且仅当8_L•时;

即在2△OD3中；

21

sinZOBD=-=-

42:'

NOBD=30。；

过点”作。8的垂线，垂足为G；

MGVBG-

即线段GM即为所求；

答案第11页，共30页

在RtAMGB中；

sinZGBM=^-=--

MB2，

ZOBD=30°；

...ZMBA=60°-30°=30°；

〈AB=8；

AM=4;

MB=yl82-42=4A/3；

/.MG=-BM=2-j3.

2，

M点、到直线OB距离的最大值为26.

【点睛】本题主要考查等腰背景下全等三角形的判定和性质综合，特殊直角三角形为背景的相似三角形的判

定和性质综合，利用特殊角的三角函数解三角形，圆轨迹动态下求线段的最值，熟练掌握手拉手模型证明三

角形全等，数量掌握相似三角形的判定，特别是两边对应成比例，夹角相等类的，对于求点到直线最值类型

要注意动点的轨迹寻找和影响最值的主要因素，进而综合判定求解是解题的关键.

7.(1)。。的半径为4

(2)ZACD=15°

(3)2百+2

【分析】本题考查了勾股定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、最短路径问题等知识点，掌握相关

几何结论是解答的关键.

(1)由题意得筋=〃。2+3。2=8,即可求解；

(2)连接OC,OD,可推出CD?=002+002,/ocD=45。,根据4C=OC=OA,推出是等边三角形，ZACO=60°f

即可求解；

(3)连接OM、0，可推出点M的运动轨迹以A0为直径的圆，设圆心为J,连接C/,推出C7_LCM,求得

22

CJ=ylAC-AJ=2y/3f根据即可求解；

【详解】(1)解：VZACB=90°,BC=^13,AC=4,

AB=YIAC2+BC2=8,

・・・。0的半径为4

(2)解：如图1中，连接oc,OD,

答案第12页，共30页

图1

•:CD=4啦,OC=OD=4,

CD2=OC2+OD1,

ZCOD=90°,ZOCD=45°,

*.*AC=OC=OAf

••AAOC是等边三角形，

I.ZACO=60°,

ZACD=ZACO-ZDCO=60°-45°=15°.

(3)解：如图2中，连接OM，。。,

图2

VAM=MDtOA=ODf

，OMLADf

・••点M的运动轨迹以AO为直径的圆，设圆心为J,

连接C/,JM.

贝|JA/=Q/=2,

AA。。是等边三角形，

aVOA,

••CJ=\/AC2—AJ2=2上，

*：CM<CJ+JM=2^3+2,当C、J、M共线时取等号，

.・.CM的最大值为20+2,

故答案为：273+2.

8.⑴见解析

（2）2或2a

（3）135；回45；5/10-V2

【分析】（1）由旋转可得。=8,48=90。，进而得到ZPC3=ZDC4,从而证明△PCBgADC4（SAS）,根据全等三角

形的对应边线段得证结论；

（2）分点尸在床的上方或下方两种情况求解即可；

（3）连接PD,由△尸C8%DC4得到仞=8?=应，从而点。在以点A为圆心，半径为a的圆上.当点。在班的

答案第13页，共30页

延长线上时，B0有最大值，最大值为BD=AB+AD,根据APCB%DC4,可求得ZPBC=NDAC=135。.当点。在线段AB

上时，BD有最小值，最小值为根据APCBADCA,可求得ZPBC=NB4C=45。.

【详解】(1)证明：由旋转可得3=8,ZPCD=90°,

\*ZACB=90°,

/."CD—ZBCD=ZACB—/BCD,艮flZPCB=ZDC4,

CB=CAf

APCB^ADC4（SAS）,

BP=AD.

（2）解：分两种情况讨论：

①如图，若点P在BC的上方，连接。P,

,/CP=CD,ZPCD=90°,

/.△CDP是等腰直角三角形，

NCPD=NCDP=45。,

APCB^DCA,

:・AD=BP=6,,ZADC=ZBPC=135°,

ZAr>P=ZzWC+ZCDP=135o+45o=180°,

・••点A,D,P在同一直线上，

在RtAABC中，AC=BC=4s,

••AB=\IAC2+BC2=Vio,

ZAPB=ZBPC-ZDPC=135°-45°=90°,

在Rt^ABP中,AP=JAB?-BP?=可—（可=272,

PD=AP-AD=2>/2-y/2=y/2f

：.在RtAPBD中,BD=y/BP2+PD2=/用+（忘了=2；

②如图，若点P在左的下方，连接分

VZfiPC=135°,

答案第14页，共30页

ZCPD+ZBPC=1SO°f

・,•点5,P,。在同一直线上，

\*APCBADCA,

AD=BP=e,ZADC=ZBPC=\35°,

•IZADB=ZADC-ZCDP=135°-45°=90°,

在RtAABD中，BD=^AB2-AD2=了一（⑸=2&.

综上所述，如的长为2或2应.

（3）解：连接PD,

/CB'DCA,

••AD=BP=y/2,

・•・点。在以点A为圆心，半径为近的圆上.

如图，当点。在及的延长线上时，班）有最大值，

最大值为BO=A3+AO=W+>/5，

止匕时ZCAD=180°-ZG4B=180。-45。=135°,

*.*&PCB%DCA,

ZPBC=ZZMC=135°.

如图，当点。在线段AB上时，瓦＞有最小值,

最小值为3O=AB-4。=何-&，

此时ZPBC=ZBAC=45°.

故答案为：135;W+&;45;回-近

【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆的定义,

两点之间线段最短.利用全等三角形的性质是解题的关键.

9.（1）275

答案第15页，共30页

⑵见解析

(3)23+0+2

【分析】(1)在等腰直角三角形ABC中求出班的长，在等腰直角三角形如E中求出即，再利用勾股定理求出的

即可；

(2)延长AF至G,使FG=AF,连接£G,DG,AD,先证明△ACF^^G防，从而证得△ABD2AGED,进一步命

题得证；

(3)取8C的中点/,连接77,AI,将4逆时针旋转60。至A0,连接。尸，可证得△笈40之△皿，进而得出点/在

以。为圆心，血为半径的圆上运动，连接BO并延长交。。于G,当尸在点G时，5F最大，然后解用印和心△03”,

进而求得结果.

【详解】(1)解：在等腰用“BC中，ZBAC=90°,AB=4,AB=ACf

:.BC=4也,ZABC=45。，

•.•点E为3C的中点，

:.BE=2近,

在等腰凡中，BDE=90。,BE=2y/2fBD=DE,

:.BD=DE=2,

在应△3DA中，?ABD90?,AB=4,BD=2,

:.AD=y/AB2+BD2=J16+4=2石；

图1

延长"至G,使FG=AF,连接石G,DG,AD,

•・•点尸是。石的中点，

:.EF=CF,

在AACF和AG£F中,

CF=EF

■ZAFC=/EFG,

AF=FG

/.△ACF^AGEF（SA5）,

AC=FG,ZACF=/FEG,

:.AC//EGf

\-AB±ACf

答案第16页，共30页

:.EG±ABf

•.•NED3=90。，

:.^DEG=ZABDf

AC=AB,

:.EG=ABf

在△ABD和AG团中，

AB=EG

</ABD=/GED,

BD=DE

..△ABDgAGED(SAS),

:.AD=DG,ZADB=ZEDGf

ZADB-ZBDG=NEDG-ZBDG,

:.ZADG=ZBDE=90°,

「.△4X7是等腰直角三角形，

,AF=FG,

:.DFlAFfDF=AF=^AG-

图2

取8C的中点/,连接77,回，将用逆时针旋转60。至AO,连接OF,

-,AB=4,

/.BC=>/2AB=4y/2f

:.BE=-BC=2y/2.

2

•・•点/是CE的中点，

:.FI=-BE=42.

2

•.•/MW=440=60。，

/.ZFAF'-ZOAF=ZIAO-ZOAF,

r

:.ZFAO=ZFAIf

f

\AF=AF,AI=AOf

:.^F'AO^^FAI(SAS)f

答案第17页，共30页

..OF'=FI=>/2f

.••点尸，在以。为圆心，血为半径的圆上运动，

连接30并延长交00于G,当尸，在点G时，BP最大,

作于"，

在RUOHI中,ZOIH=ZAIH-ZAIO=90°-60°=30°,OI=AI=2垃,

:.OH=；OI=0,IH吟OI=R,

:.OB=\/OH2+BH2=小（2啦+府+（扬2=2（石+1）,

/.BG=BO+OG=2s/3+y/2+2.

即叱的最大值2石+及+2.

【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，三角形中位线性质，确定圆的条件等知识，

解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形.

10.⑴苧

（2）见解析

/o\>/85-5

（）8

【分析】（1）根据已知条件，先求出tanA=J,再由ZADE=90。，AC=CD,求得CE=CD=C4=4,AE=AC+CE=&,

最后在RA1DE中，求得DE的长.

（2）过D作DG_LC。交CE延长线于点G,先证AACB名ACDG,再证ABED经aGED,最后通过AB=CG,BE=EG,

进行等量代换，得到结论.

（3）过尸作=K_LBC交EC延长线于点K,以B为圆心，BC长为半径画圆.）在以B为圆心，EC长为半径的圆上

运动，当尸，Dt,B三点共线且M在尸B之间时，"尸最小.设8=1,通过解直角三角形，运用翻折性质，求得

祟的值.

【详解】（1）解：：CA=2CB,BC=2,

：.CA=4,

・二ZACB=90°f

.・.tanA《=1-.

2

•・•将线段CA绕点C旋转得到线段CD,

AC=CDf

ZCAD=ZADC,

\*DEJ.AD,

I.NAD石=90。，

ACAD+ZE=ZADC+Z.CDE=90°,

ZCAD=ZADCf

/E=/CDE,

答案第18页，共30页

CE=CD=CA=4,

/.AE=AC+CE=8f

VC4=4,BC=2,ZACB=90°

AB=y/c^+CB2=2-j5，

..ABC26

,・smA=——=—尸=——,

AB2yf55

*.*AE=8,

•8\/5

・・DE=sinAxAEF=-----.

5

(2)证明：过。作OG_LC。交CE延长线于点G,

•・•线段CA绕点C旋转得到线段CD,ZACB=90。，

：.CD=CAf是等腰直角三角形.

*：CA=2CB,

:・CD=2CB,BPCB=BD.

VCF±AB,

...ZAFC=90°,

，ZC4F+ZACF=90°,

*.*ZFCB+ZACF=90°,

NCAF=NFCB.

在AACB与.COG中，

ZCAB=ZGCD

*：lAC=CD,

ZACB=ZCDG

:・AACB义KDG(ASA).

CB=DG,

•・・CB二BD,

BD=DG.

VDGXCD,

ZCDG=90°,

・・・/8是等腰直角三角形，

I.ZCZM=45°,

ZEDG=ZEDB=45°.

在AB匹与届即中，

BD=GD

\ABDE=ZGDE9

ED=ED

:.ABED—GED(SAS).

答案第19页，共30页

..BE=EG,

/.CE+BE=CE+EG=CG.

V/\ACB2ACDG,

/.AB=CGf

：.AB=CE+BE.

(3)如图，过户作厂KUC交延长线于点K,以3为圆心，BC长为半径画圆,

由题意得，川在以3为圆心，3c长为半径的圆上运动，当/，以，5三点共线且“在尸3之间时，D尸最小.

设CB=1,

*.*CA=2CBf

I.CA=2.

VZACB=90°,CB=\,C4=2,

••AB=A/C42+CB2=A/5，sinZ.CAB=.

VCF±AB,ZACfi=90°,

5A