北师大版中考数学专项复习：探索与表达规律（2个知识点+2种题型+过关检测）解析版

第09讲探索与表达规律(2个知识点+2种题型+过关检测)

思维导图

知识点1.规律型：数字的变化类避一.规骸：数字的变硬

探索与表

达规律

知识点2.规律型：图形的变化类题型二.规律型：图形的变像

知识梳理

知识点L规律型：数字的变化类

探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去

探究，观察思考发现规律.

(1)探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与

前后数字进行简单运算，从而得出通项公式.

(2)利用方程解决问题.当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为尤，再利用它们之间的关系，设出其他未知

数，然后列方程.

知识点2.规律型：图形的变化类

图形的变化类的规律题

首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求

解.探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题.

题型归纳

题型一.规律型：数字的变化类

1

1.(2024秋•洛宁县月考)已知一列数为=2,a2,生，…，它们满足关系式％=----，“3=--------------

]—q]一%］一%

当。1=2时，则。2024=()

A.2B.-1C.――D.-

22

【分析】分别计算出第2、3、4个数，据此得出循环规律，进一步求解即可.

【解答】解：,已知一*列数％=2,a2J它们满足关系式。2=—-—，。3=―-—，。4=--—，…，4]=2,

1-q1—a21—%

-------=------=11

1—q1—2

1_11

-

l-a2-1-(-1)2

2024=674x3+2,

故选：B.

【点评】本题主要考查数字的变化规律，掌握数字的循环规律是解题的关键.

2.(2024秋•蜀山区月考)设。是不为1的有理数，我们把」一称为。的差倒数.如-2的差倒数是」一2的

1-a1-(-2)3

差倒数是1=T.已知q=5,%是q的差倒数，火是电的差倒数，处是火的差倒数，……，以此类推，则出。24的

值为二.

一4~

【分析】根据差倒数的计算方法，分别求出力,电，4，%，〃5值，找出规律即可求解.

【解答】解：根据题意，e=5,〃=」—=_▲,a3=--二—=3,a4=—二=5,%=」—=—',

1-5435%「a1-54

45

每三个循环一次，

2024+3=6742,

%024的值为——>

故答案为：-4.

4

【点评】本题考查了定义新运算，数字规律，找到规律是关键.

3.(2024秋•玄武区校级月考)观察下列算式：

®22-I2=2+1；

②32-22=3+2；

③42-32=4+3；

④52—42=5+4；

⑤6-52=6+5；

(1)根据以上规律写出第⑧条算式：_92-82=9+8_；

(2)计算:1002-992+982-972+...+22-12；

(3)计算：182-192+202-212+222-232+...+20162-20172.

【分析】(1)根据已知等式得出第〃条算式为5+1)2-/=〃+1+〃，再将〃=8代入可得答案;

(2)利用所得规律展开得原式=100+99+98+97+…+2+1,再利用高斯求和公式计算可得；

(3)原式提取符号得出原式=-(20172-2016?+2015,-2014?+...+212-202+19?-1G),再利用所得规律变形,最后

利用求和公式计算可得答案.

【解答】解：⑴①22-12=2+1

@32-22=3+2

③42-32=4+3

(4)52-42=5+4

@62-52=6+5

以此类推可知，第〃条算式为(〃+1)2-〃2=〃+1+”,

则第⑧条算式为9?-8?=9+8,

故答案为：92-82=9+8.

(2)原式=100+99+98+97+…+2+1

100x(100+1)

2

=5050；

(3)182-19z+202-212+222-232+...+20162-20172

=-(20172-20162+20152-2014+...+212-202+192-182)

=-(2017+2016++21+20+19+18)

(2017+18)x(2017-18+1)

一2-

=-2035000.

【点评】本题主要考查了数字类的规律探索，发现规律是关键.

题型二.规律型：图形的变化类

4.（2024秋•察右前旗校级月考）观察下列一组图形按此规律，第8图中五角星的个数有（）

☆

☆☆☆

☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆

图形①图形②图形③图形④

A.43个B.45个C.51个D.53个

【分析】根据图形的顺序和数量，确定数量关系即可求解.

【解答】解：第1个图形中，有2个五角星，即1+1=2,

第2个图形中,有6个五角星，即1+2+3=6=1+2+(1+2),

第3个图形中,有11个五角星，BP1+2+3+5=11=14-2+3+(2+3)，

第4个图形中,有17个五角星，即1+2+3+4+7=17=1+2+3+4+(3+4),

第5个图形中,五角星的个数为1+2+3+4+5+9=24=1+2+3+4+5+(4+5),

第6个图形中,五角星的个数为1+2+3+4+5+6+11=32=1+2+3+4+5+6+(5+6),

第7个图形中,五角星的个数为1+2+3+4+5+6+7+13=41=1+2+3+4+5+6+7+(6+7),

(1+ri)nn"+5〃-2

.,.第〃个图形中，五角星的个数为1+2+3+4++n+（2n-V）=+(2〃-1)=

22

，第8个图形中，五角星的个数为正当心二51,

故选：C.

【点评】本题考查了图形规律，这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是

按照什么规律变化的.

5.（2024•广安区校级开学）如图，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三

角形，…依此类推，第2024个图中共有三角形8093个.

【分析】根据图形中三角形的个数得出规律：第〃个图中共有(4〃-3)个三角形，然后利用规律计算即可.

【解答】解：第1个图中有1个三角形，即4x1-3=1个三角形，

第2个图中共有5个三角形，即4x2—3=5个三角形，

第3个图中共有9个三角形，即4x3-3=9个三角形，

•••,

所以第〃个图中共有(4〃-3)个三角形，

所以第2024个图中共有4*2024-3=8093个三角形.

故答案为：8093.

【点评】题考查的是规律型一图形的变化类，发现规律是关键.

6.(2024秋•姑苏区校级月考)图①是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以

下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了〃层，将图①倒置后与原图拼成图②所示的形状，这样我们可以算出图①中

所有圆圈的个数为1+2+3+...+〃=皿±2

2

靠品打感@@@

第退OO-CXDUOO-OC)OO-W

图1图2图3图4

如果图①-④中各有11层.

(1)图①中共有66个圆圈;

(2)我们自上而下，在圆圈中按图④的方式填上一串连续的正整数1,2,3,4,…，则最底层最左边圆圈的数是.

(3)我们自上而下，按图④的方式填上一串连续的整数-23,-22,-21,-20,求图④所有圆圈中各数的绝对值之

和.

【分析】(1)根据图形中圆圈的个数变化规律求解；

(2)n层时最底层最左边这个圆圈中的数是第io层的最后一个数加1；

(3)由(1)得出圆圈的总个数，从而分析出23个负数后，又有多少个正数.

【解答】解：(1)gxllx(ll+l)=66,

故答案为：66；

(2)|xl0x(10+l)=55,55+1=56,

故答案为：56；

(3)图4中共有66个数，其中23个负数，1个0,42个正数，

所以图4中所有圆圈中各数的和为：

|-231+1-22|+...+I-1|40+1+2+...+42=

(1+2+3+...+23)+(1+2+3+...+42)

=276+903

=1179.

【点评】本题主要考查了图形的变化类，发现的规律是解题的关键.

过关检测

一.选择题

1.按1,1,2,3,5,(),13,…按规律括号里应该填()

A.7B.9C.5D.8

【分析】根据规律“从第三个数开始，每个数等于它前面两个数的和”解答即可.

【解答】解：从第三个数开始，每个数等于它前面两个数的和，且3+5=8,

所填的数为：8.

故选：D.

【点评】本题考查数字变化类规律探究，找出数字变化的规律是解题的关键.

2.等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为。和-1,若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上

连续翻转，翻转1次后，点3所对应的数为1,则连续翻转若干次后，数2024对应的点为（）

B

____1।।।।।,

-2-1012345

A.点AB.点、BC.点CD.不确定

【分析】根据随着翻转点的变化，可找出点的变化周期为3,结合2024为3的整数倍余2,可得出数2024对应的点为

C.

【解答】解：翻转1次后，数1对应的点为5,翻转2次后，数2对应的点为C,翻转3次后，数3对应的点为A,

翻转4次后，数4对应的点为3,…，

.••点的变化周期为3.

又・2024+3=674…2,

.•.连续翻转2024次后，则数2024对应的点为C.

故选：C.

【点评】本题考查了数轴以及变化类：数的变化，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键.

3.中国文化博大精深，汉字文化是中国古代文化流传下来的一份珍贵遗产.下列图形都是由同样大小的圆点和线段按

照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图1中共有12个圆点，图2中共有18个圆点，图3中共有25个

圆点，图4中共有33个圆点，…，依此规律，则图9中共有圆点的个数是（）

A.63B.75C.88D.102

【分析】观察并比较每两个相邻的“汉字”的相同与不同之处，得出每两个相邻的“汉字”中后一个“汉字”前半部

分与前一个“汉字”的前半部分圆点数量相等，后一个“汉字”的后半部分的圆点数总是前一个“汉字”后半部分顶

部加上图案序号多2个的圆点与底部添加两个圆点，进而解决该题.

【解答】解：在图1中，圆点个数为％=12个.

在图2中，圆点个数为％=乂+2+4=18个.

在图3中，圆点个数为%=%+2+5=25个.

在图4中，圆点个数为%=%+2+6=33个.

以此类推，在图9中，圆点个数为％=%+（2+11）=为+（2+1。）+13

=%+（2+9）+12+13

=y5+（2+8）+11+12+13

=y4+（2+7）+10+11+12+13

=33+9+10+11+12+13

=88.

故选：C.

【点评】本题主要考查规律型：图形的变化类，解答的关键是由所给的图形总结出所存在的规律.运用特殊到一般的

数学思想解决此类规律题.

4.一只小球落在数轴上的某点P处，第一次从P处向右跳1个单位到《处，第二次从［向左跳2个单位到8处，第

三次从巴向右跳3个单位到乙处，第四次从A向左跳4个单位到B处…，若小球按以上规律跳了（277+5）5为正整数）

次时，它落在数轴上的点£“+5处所表示的数恰好是"-7,则这只小球的初始位置点P所表示的数是（）

A.-10B.-9C.-8D.-7

【分析】根据题意可以用代数式表示出前几个点表示的数，从而可以发现它们的变化规律，进而求得这只小球的初始

位置点综所表示的数.

【解答】解：设点尸所表示的数是加

则点4所表示的数是a+1,

点g所表示的数是a+1-2=。一1,

点鸟所表示的数是a-l+3=a+2,

点1所表示的数是a+2-4=a—2,

丁点心+5所表示的数是"-7,

解得，a=—10,

故选：A.

【点评】本题考查数字的变化规律，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式.

5.如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下次沿顺时针方向跳两个点：若停在偶数

点上，则下次沿逆时针方向跳一个点，若青蛙从2这点开始跳，则经过2024次后它停在哪个数对应的点上（）

A.1B.2C.3D.5

【分析】列出青蛙每次跳动后的落点，找出规律求解即可.

【解答】解：由题意可得：

第一次跳后落在1上；

第二次跳后落在3上；

第三次跳后落在5上；

第四次跳后落在2上；

.•・分别在1,3,5,2这4个数上循环,

.•.2024+4=506,

应落在2上；

故选：B.

【点评】本题考查了数的变换规律，根据题意找出变换规律是解题的关键.

6.已知整数％=2、%、%、'，两足下列条件：q=0,——%=—1°2+2|,%=—1%+3|，...，以

此类推，则出020=()

A.-1008B.-1009

C.-1010D.-1-1010=-1011

【分析】根据已知规则分别求出q=2、0、/、%、%、4…，观察从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，最后

的数值是其顺序数的一半的相反数，据此即可求解.

【解答】解：％=0,

%=—Iq+11=-10+11=—1,

%=-I%+21=—|-1+21=—1,

%=-1%+3|=一|_1+31——2,

q=-I%+41=-I—2+41=—2,

%=-I%+51=—|—2+51=—3,

%=~■I%+61=~■I—3+61=—3,

.••,

以此类推，

即a2„=~n'

7090

则为020=---=-1010,

故选：C.

【点评】本题考查了数字类规律探索，找出一般规律是解题关键.

7.如图，按照此规律，图形⑥需要（）个0.

O

O6^

①②③

A.15B.21C.24D.28

【分析】根据所给图形，依次求出图形中圆形的个数，发现规律即可解决问题.

【解答】解：由所给图形可知,

第①个图形中，圆形的个数为:1=1;

第②个图形中，圆形的个数为:3=1+2；

第③个图形中，圆形的个数为:6=1+2+3；

所以第〃个图形中，圆形的个数为：1+2+3+…+〃=弛土»

2

当〃=6时,

修个）,

即第⑥个图形中，圆形的个数为21个.

故选：B.

【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现第〃个图形中圆形的个数为丁是解题的关键.

8.观察下面点阵图的规律，第9幅点阵图中有（）个。.

A.18B.28C.32D.36

【分析】根据所给图形，依次求出图形中圆圈的个数，发现规律即可解决问题.

【解答】解：由所给图形可知，

第1幅点阵图中圆圈的个数为：4=lx3+l；

第2幅点阵图中圆圈的个数为：7=2x3+l；

第3幅点阵图中圆圈的个数为：10=3x3+1；

.••,

所以第"幅点阵图中圆圈的个数为（3〃+1）个，

当〃=9时，

3n+l=28（个），

即第9幅点阵图中圆圈的个数为28个.

故选：B.

【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现圆圈的个数依次增加3是解题的关键.

9.两人坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗.已知火车上的座位排列如下所示，则下列座位号码符合

要求的是（）

窗口12过道345窗口

678910

1112131415

A.48,49B.62,63C.75,76D.84,85

【分析】根据图示的规律可知每个车厢有15个座位，被5除余1的数和能被5整除得座位号靠窗，再逐项分析.

【解答】解：由题图中座位得排序规律可知，每个车厢有15个座位，被5除余1的数和能被5整除得座位号靠窗.

48,49没有靠窗的，所以A不符合题意;

62,63之间有过道，不连在一起，所以3不符合题意;

75,76不在同一行，所以C不符合题意.

由于两个旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，可知只有D项符合条件.

故选：D.

【点评】本题主要考查了规律问题，发现规律是关键.

10.图中的问号处应该选哪个图形？（）

三0

A.HB.N

【分析】找到前8个图形都是中心对称图形，每个图形的最长线段的指向依次是一，I，/4个一循环排列的规律即

可得答案.

【解答】解：前8个图形都是中心对称图形，每个图形的最长线段的指向依次是一，I，/4个一循环排列，

故选：A.

【点评】本题主要考查了图形变化的规律，解题关键是找到规律.

二.填空题

11.4个边长为1s小正三角形摆成图①，图①的周长为6c加，接者摆放前4个图形如图所示，按这样的方式，那么第

⑥个图形的周长是26cm.

①②③④

【分析】观察图形可以得到后一个图形的周长比前一个图形的周长多4c机，进行求解即可.

【解答】解：图①的周长为6cm,

图②的周长为6+4=10。〃，

图③的周长为6+4+4=14。",

.•.图”的周长为：6+4(〃-1)=4〃+2；

.,・第⑥个图形的周长是4x6+2=26s；

故答案为：26.

【点评】本题考查图形类规律探究，正确找出规律是解题的关键.

12.数学活动课上，丽丽在一个正方形内画正方形，她发现图中三角形的个数与所画正方形的数量之间存在某种规律,

依此规律她推断出第2024个图形中正方形与三角形的数量之和为10121.

【分析】根据图形的变化，找出变化规律是解题的关键.先得出第一个图所画的正方形有1个，三角形有4个，第二

个图所画的正方形有2个，三角形有8个，第三个图所画的正方形有3个，三角形有12个，再归纳即可得到答案.

【解答】解：第一个图所画的正方形有1个，三角形有4个,

第二个图所画的正方形有2个，三角形有8个,

第三个图所画的正方形有3个，三角形有12个,

归纳可得：

第2024个图形中所画的正方形有2024个，三角形有2024x4=8096个，

第2024个图形中正方形与三角形的数量之和为1+2024+8096=10121,

故答案为：10121.

【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，正确地找出规律是解题的关键.

13.已知1=/，1+3=2"1+3+5=32,1+3+5+7=42,,按此规律，1+3+5++49=625.

【分析】由该一连串的等式可以看出从1开始“个连续的奇数的和等于川，可以得出1+3+5++49是从1开始25

个连续的奇数相加.

【解答】解：由1+3=2?,从1开始连续2个奇数相加；

1+3+5=32,从1开始连续3个奇数相加；

1+3+5+7=42,从1开始连续4个奇数相加；

.•.从1开始25个连续奇数相加的和等于252,即：1+3+5++49=252=625.

故答案为：625.

【点评】本题考查数字的规律型，有理数的加法，掌握从1开始"个连续奇数的和为"的规律是解题的关键.

14.有一个数字游戏，第一步：取一个自然数4=5,计算4《3%+1)得％,第二步：算出生的各位数字之和得％,计

算巧•(3%+1)得a2,第三步算出a2的各位数字之和得乙，计算为•(3%+1)得/；…以此类推，则a202i的值为200.

【分析】根据题意，可以写出4，%，%，%，％，%，&，然后即可发现数字的变化特点，从而可以写出生⑼

的值.

【解答】解：由题意可得，

々=5,q=5x(3x5+1)=80,

%=8+0=8,a2=8x(3x8+1)=200,

4=2+0+0=2,g=2x(3x2+1)=14,

%=1+4=5,%=5x(3x5+1)=80,

由上可得，每三个为一个循环,

2021+3=673......2,

,•02021~"2=200,

故答案为：200.

【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点.

15.【妙填幻方】如图①，是一个3*3的幻方，每行三个数，每列三个数、每斜对角三个数相加的和均相等.

（1）将下列各数组上的9个数分别填入图②③④所示的3x3方格中，使得每行的三个数，每列的三个数、每斜对角上

的三个数相加的和均相等.

第一组：6,5,4,3,2,1,0,-1,-2；

第二组：9,8,7,6,5,4,3,2,1；

第三组：一8,-6,-4,一2,0,2,4,6,8.

（2）如图⑤，若要按照以上规律填成，则九个数字之和为90.

【分析】（1）根据幻方的和的性质，一一解答.先确定中央的数，再把第二个数与第四个数（或第六个数与第八个数）

填在同侧的角里，而后根据幻方和的性质计算填写；

（2）根据幻方性质先确定相对角上的数，再确定剩下的数.

【解答】解：（1）第一组：6,5,4,3,2,1,0,-1,-2；

16-1

024

5-23

幻和：6+5+4+3+2+1+0-1-2=18,

每行、歹U、对角的数的和：18+3=6,

中央数：6+3=2

中央数两侧相对的数的和：6-2=4；

第二组：9,8,7,6,5,4,3,2,1；

294

753

618

幻和：9+8+7+6+5+4+3+2+1=45,

每行、歹!J、对角的数的和：45+3=15,

中央数：15+3=5

中央数两侧相对的数的和：15-5=10；

第三组：一8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8.

-68-2

40-4

2-86

幻和：-8-6-4-2+0+2+4+6+8=0,

每行、歹I、对角的数的和：0+3=0,

中央数：0+3=0,

中央数两侧相对的数的和：0-0=0；

(2)中央的数是10,

左上角是：10x2—13=7,右上角是：10x2-8=12,

中歹！J上面是：10+8—7=11,下面是：10+7—8=9,

中行左面是：12+10-7=15,右面是：7+10-12=5,

，这九个数为：5,7,8,9,10,11,12,13,15,

.,.幻和为：5+7+8+9+10+11+12+13+15=90,

71112

15105

8913

故答案为：90.

【点评】本题主要考查了3x3的幻方.熟练掌握幻方的和的性质，是解决本题的关键.

16.用小棒按如图方式搭图形.（第一个图形用5根小棒搭成），第5个图形需用21根小棒,第100个图形需要

根小棒.

o3一

【分析】根据所给图形，依次求出所需小棒的根数，发现规律即可解决问题.

【解答】解:由所给图形可知，

第1个图形所需小棒的根数为：5=1x4+1；

第2个图形所需小棒的根数为：9=2x4+1；

第3个图形所需小棒的根数为：13=3x4+1；

所以第"个图形所需小棒的根数为（4〃+1）根,

当〃=5时，

4/1+1=21（根），

即第5个图形所需小棒的根数为21根.

当“=100时,

4n+l=401(根),

即第100个图形所需小棒的根数为401根.

故答案为：21,401.

【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需小棒的根数依次增加4是解题的关键.

17.“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式：

1=1=I12

1+3=1=22

1+3+5=9=32

1+3+5+7=16=42

1+3+5+7+9=25=52

解答下列问题：请用上面得到的规律计算：1+3+5+7+...+89=2025.

9泰泰泰泰泰

生泰

泰

泰泰泰泰

泰泰泰泰

【分析】根据规律解答即可.

【解答】解：1=1=F=（三）2,

1+3=1=22=(—)2,

2

1+3+5+7=16=4?=(——了，

2

1+99

1+3+5+7+9=25=5?9=(—)2,

故1+3+5+7+…+89=(告寄2=45。=2025.

故答案为：2025.

18,白色：8块13块18块

照这样画下去，第6个图形中黑色有心块，白色有一块.第“个图形中白色有一块.(用含〃的式子表示)

【分析】根据所给图形，依次求出图形中黑色和白色的块数，发现规律即可解决问题.

【解答】解：由所给图形可知,

第1个图形中，黑色的块数为:1,白色的块数为:8=1x5+3；

第2个图形中，黑色的块数为:2,白色的块数为:13=2x5+3；

第3个图形中，黑色的块数为:3,白色的块数为:18=3x5+3；

所以第〃个图形中，黑色的块数为〃块，白色的块数为(5〃+3)块.

当”=6时,

5〃+3=33(块)，

即第6个图形中，黑色的块数为6块，白色的块数为33块.

故答案为：6,33,(5〃+3).

【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现黑色和白色个数的变化规律是解题的关键.

三.解答题

19.(直接写出结果)如图，将小正方体按如图方式摆放在地上，1个小正方体有5个面露在外面，2个正方体有8个

面露在外面，那么5个小正方体有17个面露在外面,几个小正方体有个面露在外面.

【分析】根据所给图形，依次求出正方体露在外面的面的个数，发现规律即可解决问题.

【解答】解：由所给图形可知，

1个正方体露在外面的面的个数为：5=lx3+2；

2个正方体露在外面的面的个数为：8=2x3+2；

3个正方体露在外面的面的个数为：11=3x3+2；

所以“个正方体露在外面的面的个数为(3〃+2)个,

当"=5时，

3〃+2=17（个），

即5个正方体露在外面的面的个数为17个.

故答案为：17,(3"+2).

【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现露在外面的面的个数依次增加3是解题的关键.

20.观察下列等式:

第1个等式：.=^=14

第2个等式：^=—

22x32~3

1

第3个等式：a=—=-

33x434

按上述规律，回答以下问题：

(1)用含〃的代数式表示第"个等式为q,=__^_=_;

n(n+1)

(2)求4+/+/++%024的值.

【分析】(1)根据题目中给出的式子的特点，可以写出第〃个等式;

(2)先将题目中的式子变形，然后计算加减法即可.

【解答】解：(1)由题目中的式子可得，

111

册=------=-------,

n{n+1)nn+1

故答案为：--一-5

n(n+1)nn+1

(2)q+4+/++。2024

2025

_2024

-2025,

【点评】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是发现式子的变化特点，写出相应的代数式.

21.新定义：符号“了”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下：

运算(―):/(-2)=-2-1=-3,/(-1)=-1-1=-2,/(0)=0-1=-1,f(1)=1-1=0,f(2)=2-1=1,

运算（二）"（一：）=一3,/（-》=—2,错）=2,宿）=3,

利用以上规律计算:

(2)/(-2024)-/(一——)=；

2025------

(3)计算：/(-2023)+f(-2022)+...+/(-3)+/(-2)+/(-I)+/(0)+/(-1)+/(-1)+/(-^)+

【分析】(1)根据题中所给等式，发现规律即可解决问题.

(2)根据(1)中发现的规律即可解决问题.

(3)根据(1)中发现的规律即可解决问题.

【解答】解：(1)由题知，

当x为整数时，/(x)=x-l；

当X为分数时，/(X)=—.

X

所以/(7)=7-1=6,/(-7)=-7-1=-8,/(-)=7,/(-1)=-7.

故答案为：6,-8,7,-7.

(2)由(1)中结论可知，

原式=-2024-1-(-2025)=-2025+2025=0.

故答案为：0.

(3)由(1)中结论可知，

原式=-2024+(-2023)+(-2022)+...+(-2)+(-1)+(-2)+(-3)+(T)+...+(-2024)

=2x[(-2)+(-3)+(T)+…+(-2024)]+(-1)

、[-2+(-2024)]x2023：八

=2X------------------------------------F(―1)

=-2026x2023+(-1)

=-4098599.

【点评】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，能根据题意发现当x为整数时，f(x)=x-U当x为分

数时，是解题的关键.

X

22.生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：212=2X102+1X10+2；

计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：

1X24+0X23+0X22+0x2*+0=16；

其他进制也有类似的算法…

(1)【发现】根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制数是46；

(2)【迁移】将八进制数“72”转化为十进制数；

(3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲

记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数.

【分析】(1)根据二进制转换十进制的方法列式计算即可；

(2)仿照二进制转换十进制的方法进行计算即可；

(3)满五进一，类似于五进制数，仿照二进制转换十进制的计算方法进行计算即可.

【解答】解：(1)101110转化为十进制数是1x25+0x24+1x23+1x22+1x21+0=32+0+8+4+2+0=46,

故答案为：46；

(2)7x8'+2=58；

(3)由于满五进一，类似于五进制数，图示表示的五进制数为132,转化为十进制数为1x52+3x5i+2=42

所以，孩子已经出生了42天.

【点评】本题考查了有理数的乘方运算，正确理解题中二进制转换十进制的计算方法是解题的关键.

23.将正方形ABCD（如图1）作如下划分,第1次划分:分别连接正方形ABCD对边的中点（如图2）,得线段和EG,

它们交于点Af,此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形再划分，得图3,则图3中共

有9个正方形.

（1）若把左上角的正方形依次划分下去，则第5次划分后，图中共有21个正方形.

（2）继续划分下去，第〃次划分后图中共有一个正方形；

（3）能否将正方形ABCD划分成有2022个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由.

图1图2图3

【分析】（1）根据题意找出规律进行计算即可；

（2）探究规律，利用规律即可解决问题；

（3）构建方程即可解决问题；

【解答】解：（1）第1次可得5个正方形，即：1+4=5（个）,

第2次可得9个正方形，即：l+4x2=9（个），

第3次可得13个正方形，即：1+4x3=13（个），

.,・第4次可得正方形：1+4x4=17（个），

第5次可得正方形：1+4x5=21（个），

故答案为：21；

（2）由（1）得：第〃次可得（4〃+1）个正方形,

故答案为：（4〃+1）；

（3）不能，

理由：依题意得：4〃+1=2022,

解得：“=505.25,

，是正整数，

.•.当〃=505.25时不符合题意，

，不能将正方形ABCD划分成2022个正方形的图形.

【点评】本题考查规律型：图形的变化类，解题的关键是学会并掌握从特殊到一般的探究规律的方法.也考查了一元

一次方程的应用.

24.某餐厅中，一张桌子可以坐6人，如果把多张桌子摆在一起，可以有以下两种摆放方式.

（1）当有5张桌子时，第一种摆放方式能坐22人,第二种摆放方式能坐—人，

（2）当有〃张桌子时，第一种摆放方式能坐—人，第二种摆放方式能坐—人，

（3）一天中午餐厅要接待98位顾客共同就餐（即桌子要摆在一起），但餐厅只有25张这样的餐桌，若你是这个餐厅

的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？

【分析】（1）（2）第一种中，只有一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人.即有〃张桌子时是6+4（〃-1）=4〃+2,

由此算出5张桌子，用第一种摆设方式，可以坐4x5+2=22人；

第二种中，有一张桌子是6人，后边多一张桌子多2人，即6+2（〃-1）=2〃+4,由此算出5张桌子，用第二种摆设方

式，可以坐2x5+4=14人.

（2）分别求出〃=25时，两种不同的摆放方式对应的人数，即可作出判断.

【解答】解：(1)当有5张桌子时，第一种摆放方式能坐4x5+2=22人，第二种摆放方式能坐2x5+4=14人;

(2)第一种中，只有一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人.即有〃张桌子时是6+4(〃—1)=4〃+2.

第二种中，有一张桌子是6人，后边多一张桌子多2人，即6+2(〃-1)=2〃+4.

(2)打算用第一种摆放方式来摆放餐桌.

因为，当〃=25时，4x25+2=102>98

当〃=25时，2x25+4=54v98

所以，选用第一种摆放方式.

【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律，利用规律解决问题.

25.用〃，b表示长方形两条邻边的边长，它们的变化规律如下表所示.

alcm1234612

b!cm12643

(1)根据已知的数据把表格补充完整.

(2)根据上表中的数据在图中描出第5个长方形.

(3)从上面的数据中可以看出，长方形面积一定时，。和b有什么关系？

a/cm

--

111rnn1rnI---------1I---------1।—।

10LI_____IJJI_____I

9---------1rrnn

8Lj

7---------1rrI---------1i---------1i---------1I---------1

6