二次函数压轴之线段问题-综合测试拔高卷（含答案）

二次函数压轴之线段问题一综合测试拔高卷一、选择题

1.如图，将一个小球从斜坡的点。处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数

了=以彳/刻画，斜坡可以用一次函数了=］刻画.下列结论错误的是（）

A>'An

8

7

6

5

4

3

2

1

468

x/m

A.小球落地点距。点水平距离为7米

B.小球距。点水平距离超过4米呈下降趋势

C.当小球抛出高度达到7.5机时，小球距。点水平距离为3机

4Q

D.小球距斜坡的最大铅直高度为

O

2.已知二次函数了=4-2ax-8.（a为常数）经过点。（0,2）,图象与x轴交于点

48（2在8的左边），连接8C,点尸是抛物线图象在第一象限内的一点，过点尸

作尸3c交于点。，若尸。取得最大值，则此时点尸的横坐标为（）

3.已知抛物线y=-；（x+l）（x-4）的图象与x轴交于A,8两点（点A在点8的左

则），与v轴交于点。，连接2C,直线了=辰+1（左>0）与y轴交于点。，交BC上方

的抛物线于点交BC于点F,下列结论中错误的是（）

试卷第1页，共12页

A.点。的坐标是（O,2）B.OC=2OD

C.当芸的值取得最大时，D.UBC是直角三角形

DF3

4.点〃■是二次函数y=-（x-"z）2+（加+1『图象的顶点，MN_Lx轴，且交一次函数

N=x-2的图象于点N,点P在了轴上，下列结论错误的是（）

A.点（TO）一定在二次函数图象上

B.MN>—

4

C.当MN最小时，MP+沏的最小值是3

31

D.若两个函数图象在第四象限有交点，则-'<〃?<：

5.如图，在平面直角坐标系中，二次函数了=/+3x-4的图象与x轴交于2、C

两点，与y轴交于点8,若尸是x轴上一动点，点。（0,2）在y轴上，连接

PQ,则尸。+等PC的最小值是（）

C.2+30D.372

6.如图，点P是抛物线y=-/+2x+3上第一象限内一动点，/（0,3）,8（3,0）,过

点尸分别作x轴、了轴的平行线，分别交直线于尸，”两点，过点P作的垂

线，垂足为G.下列说法中正确的是（）

试卷第2页，共12页

△尸尸G周长的最大值为学

C.尸尸的最大值为2D.

二、填空题

7.如图，抛物线y=--+法与直线j=2x相交于点/（4,加），8为线段04上一点,

过点3作了轴的平行线，交抛物线于点C.

（2）8c长度的最大值为.

8.如图，已知二次函数图像的顶点坐标为M（2,0）,与V轴交于点网0,2）,

直线y=x+m与该二次函数的图像交于A,B两点，D是线段AB上的一个

动点，过。作x轴的垂线交二次函数的图像于点E.则线段DE的最大值

为.

试卷第3页，共12页

9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线yn-f+lr+c与x轴交于点幺、B,与y

轴交于点C,过点。作CD〃x轴，交抛物线于另一点。，若/8+CD=3,则。的

值为—.

17

10.如图，二次函数好片2-寸-4的图象与x轴交于A,B两点(点A在点方的

左侧)，与V轴交于点C.若点M是二次函数在第四象限内图象上的一点，作

轴交8C于点Q,则的长的最大值是.

11.已知抛物线y=-x2+(b+l)x+C经过点A(3,-b).

CD6和。的代数关系为;

(2)若6>5,过点A作直线⑷/〃x轴，与y轴交于点M,4W与抛物线交于另

一点N,NV=3/M,点尸为直线AW上方抛物线上一点，求点尸到直线MV距离

的最大值为一.

12.已知点尸(-1,2)在抛物线y=0)上，过点尸的直线4与抛物线交y轴右

侧于点N,过点N的直线，2与抛物线交y轴左侧于点直线4,4与y轴的正

半轴分别交于点C,D,且O若C=(1，则点"的坐标是—.

试卷第4页，共12页

13.如图，在平面直角坐标系中，二次函数〉=仆2+云+,的图像经过点

B10,5,C（2,o）,其中对称轴与X轴交于点。，若尸为y轴上的一个动点，连

14.如图，抛物线y=/+2x-3交x轴于2、5两点.点尸为x轴下方抛物线上任

意一点，点。是抛物线对称轴与x轴的交点，直线8P、/P分别交抛物线的对称

轴于点拉、N.CA/+CN的值等于.

7

15.如图，抛物线y=§/+6x+c与X轴交于点A和点5（3,0）,与了轴交于点

C（0,-2）,直线/:y=依-§经过点Z.点尸是直线/下方抛物线上一动点，过点产

作PM//X轴交直线/于点MPN〃了轴交直线/于点N,贝I]PM+PN的最大值

为.

试卷第5页，共12页

16.如图，抛物线y=-：/+x与x轴正半轴交于点4点0是抛物线在第一象限

O

部分上的一动点，连接人尸并延长交了轴于点8,过点尸作尸轴，垂足为

H.则7W+包8H的最大值为.

4

17.如图所示，抛物线7=*+区+3与无轴交于点A和点8,与了轴交于点C,且

CM=OC,点M、N是直线x=-l上的两个动点，且班=2（点N在点M的上

方），则四边形8M+CN的最小值是—.

三、解答题

18.如图，已知直线丁=-1%+2与x轴、y轴交于瓦幺两点，抛物线V=-/+6x+c

经过点Z,5,点尸为线段上一个动点，过点尸作垂直于x轴的直线交抛物线

于点N,交直线于点设点尸的横坐标为九

试卷第6页，共12页

Q）当MN=2MP,求/的值；

（3）若点N到直线AB的距离为d,求d的最大值；

19.已知抛物线了=-1+8+。（b,c为常数，ol）的顶点为P,与x轴相交于

A,8两点（点Z在点8的左侧），与y轴相交于点C,抛物线上的点〃的横坐

标为机，且过点M作MN_L/C,垂足为N.

（1）若方=-2,c=3,求点尸和点/的坐标；

（2）在（1）的条件下，当.=日时，求能的值；

⑶若点Z的坐标为且MP〃/C,当/N+AW=70时，求机的值.

20.抛物线y=ax2-2x+c（a*0）交工轴于/（一1,0）,8两点（8在/的右侧），交y

（2）如图1,连接BC,过动点/作A®_LBC,垂足为点。，连接CM.当DM下

时，求CM的长；

试卷第7页，共12页

(3)如图2,过动点w作5c的平行线交y轴于点N,若射线NC平分线段MN,求

点M的坐标.

21.抛物线尸--+2》+3的图象与％轴交于幺，5两点(，在5的左边)交y轴于

点C,点尸是J轴右侧抛物线上的一个动点，设点尸的横坐标为办

(1)直接写出4B,C三点的坐标；

(2)如图1,若点尸在第一象限内抛物线上运动，当S△咏=3时，求点尸的坐标；

(3)如图2,点N是经过点5的直线＞=机@-3)上一点，直线PN〃了轴，交直线

8c于点过点尸作直线尸0〃x轴，交直线5c于点0.

①当0＜加＜3时，求线段ACV长度的最大值；

②记线段M0的长度为/,当及时，求机的取值范围.

22.已知抛物线了=-2/+以+6与x轴相交于4B两点，与了轴相交于点C,点。

⑴直接写出4B、C、。四个点的坐标；

(2)如图1,点尸为抛物线对称轴(直线/)上的动点，求当点尸在什么位置时,

|尸8-尸。取得最值？最值是多少？

试卷第8页，共12页

(3)如图2,在第一象限内，抛物线上有一动点初,。初交8。于点E,求定的最大

(JEJ

值.

23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线V=gx2+6x+c与直线交于点

^4(0,-4),5(4,0).

(1)求该抛物线的函数表达式：

(2)点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点尸作x轴的平行线交45于点C,

过点尸作y轴的平行线交x轴于点D,求尸C+尸。的最大值及此时点P的坐标；

(3)在(2)中PC+包＞取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5

个单位，点E为点尸的对应点，平移后的抛物线与了轴交于点R"为平移后的抛

物线的对称轴上一点.在平移后的抛物线上确定一点N,使得以点E,F,M,N

为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标.

24.在平面直角坐标系中，抛物线y="+6x+3经过/(TO),3(3,0)两点，与了

备用图

(1)求抛物线的解析式;

(2)已知点。的坐标为(0,-1),求四边形C/D8的面积;

试卷第9页，共12页

(3)如图1,点P是抛物线上一动点，且在直线8C上方.过点P作尸轴，交

直线8c于点M,过点尸作尸N〃NC,交直线2C于点N.设点P的横坐标为小，

线段尸N的长为/.

①求/关于用的函数解析式(不需要注明用的取值范围)；

②满足：乎的点尸分别记作点片，P],如果将(1)中的抛物线平移，且顶点

始终在直线68上，设平移后的抛物线的顶点横坐标为乙如果该抛物线在移动

过程中，与线段NC只有一个交点，请直接写出》的取值范围.

25.【实践探究】

数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践—应用

探究的过程：

(1)实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面6m时，水面

宽10m,并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的

解析式；

(2)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物

线模型，并过原点作一条＞=x的直线。尸，交抛物线于点R交抛物线对称轴于

点E,提出了以下两个问题，请予解答：

①如图2,8为直线。尸上方抛物线上一动点，过8作创垂直于x轴，交x轴于

A,交直线。尸于C,过点8作8。垂直于直线。下，交直线于。，求8O+CD

的最大值.

②如图3,G为直线。尸上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点X,点尸

在坐标平面内.问：是否存在以£、G、H、尸为顶点的四边形是正方形？若存

在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由.

26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线产苏+乐+4(4/0)与x轴交于/(-4,0),

试卷第10页，共12页

8(1,0)两点，与歹轴交于点。，连接，C,BC.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点尸是射线CN上方抛物线上的一动点，过点尸作PELx轴，垂足为E,交4c

于点。.点”是线段。E上一动点，轴，垂足为N,点尸为线段8c的中

点，连接NM,NF.当线段也长度取得最大值时，求/M+MV+7VF的最小值；

(3)将该抛物线沿射线。方向平移，使得新抛物线经过(2)中线段长度取得

最大值时的点。，且与直线NC相交于另一点K.点。为新抛物线上的一个动点,

当/QKD+//C8=180。时，求点。的坐标.

27.如图，抛物线y=--x+c交x轴于-3,0),8两点(点N在点8的左侧),

交J轴于点“0,6).

(2)如图1,点。(1,4)在抛物线上，过点。作。尸，x轴于点R过点幺的直线交y

轴于点£(0,2),点尸是直线NE上方抛物线上的一动点，过点尸作m于点

M,PNLDF于■点、N,求史尸M+PN的最大值，以及此时点P的坐标；

3

(3)如图2,在(2)的条件下，将抛物线＞=a/-x+c沿射线N方向平移20个

试卷第11页，共12页

单位，得到新抛物线M,点R是新抛物线M上一个动点，当/心。+乙8。尸=45。时,

请直接写出所有符合条件的点R的坐标.

试卷第12页，共12页

1.c

【分析】

联立两函数解析式，求出交点坐标即可判定A；将解析式化成顶点式，求出对称轴，根据

二次函数性质判断B；求出当尸7.5时，x的值，判定C；设抛物线上一点/(x,4x-；N),

过点/作轴于C,交直线厂;x于3,求得

749

(x-^-)2+—,根据二次函数的性质可判断D.

28

【详解】解：联立两函数解析式，得

'1,

y=4x----x(△rx=7

'7x=0

,，解得：八或7,

1lj^=Oy=-

y=^xI2

则小球落地点距O点水平距离为7米，

故A选项不符合题意；

1,1

y=4x-—x~=-—(x-4)+8,

则抛物线的对称轴为x=4,

2

・•・当尤＞4时，y随x的增大而减小，

即小球距。点水平距离超过4米呈下降趋势，

故B选项不符合题意；

当y=7.5时，7.5=4x-yX2,

整理得/_8X+15=0,

解得，x；=3,X2=5,

・・・当小球抛出高度达到7.5加时，小球水平距O点水平距离为3〃?或5%,故此选项符合题意;

如图，设抛物线上一点/(x,4x-；N),过点/作481.x轴于C,交直线尸gx于2,

答案第1页，共50页

y/m

8

7

6

5

4

3

2

1

034678

x/m

1

•・•——<0,

2

・•・当卡，7寸，45有最大值，最大值=49,

2o

49

即小球距斜坡的最大铅直高度为,

O

故D选项不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查的是二次函数的应用和直线与抛物线的交点，掌握二次函数的性质是解题

的关键.

2.D

【分析】作于点X,交B4于D,可推证/PD0=ZBDH=/3C。，说明/PD0的

函数值一定，PD最大时，尸。满足最大；待定系数法确定直线8C解析式y=-;x+2,

设点尸坐标，表示出PD,运用二次函数最值，确定点坐标即可.

【详解】解：•••图象经过点C(0,2),

Sa=2,

u——1,

4

将。代入关系式得，＞=—w/+,x+2,

1.1

令y=0,即——X2+-X+2=0,

42

解得，占二-2,x2=4,

・・・/(—2,0),5(4,0),

答案第2页，共50页

OC=2,0B=4,BC=V22+42=2逐，

设5c解析式了=履+/7（左=0）,得

f/z=2k=一■-

,，，八，解得2

|4%+2=0,c

i[/?=2

1c

y=----x+2,

2

作于点7/,交B4于D,贝！J/P/V=/CO5=90。

PH//CO

APDQ=ABDH=Z.BCO,

・•.sinZPDO=sin/BCO=4=,

2V55

・•.尸。最大时，尸。满足最大，

设点尸(私一;加之+(m+2),则点。(加，一;冽+2),

11111

92272?

PD=—-m+—m-\-2—(<——m+2)=——m-\-m=——(m—2)+1

・•・当加=2时，有最大值.

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的性质的应用，锐角三角函数，平行线的性质，待定系数法确

定函数解析式，由三角函数确定线段间的数量关系是解题关键.

3.C

【分析】令x=0,^=-1(0+1)(0-4)=2,可判断选项/正确；求得点。的坐标是(01),

可判断选项8正确；求得4(-1,0),5(4,0),利用勾股定理的逆定理可判断选项。正确；由

FF

题意知，点£位于y轴右侧，作以5〃》轴，交3c于点G,根据平行线截线段成比例将求「

答案第3页，共50页

的最大值转化为求F制G的最大值，所以利用一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上

点的坐标特征，两点间的距离公式以及配方法解题即可.

【详解】解：令x=0,y=-1(O+l)(O-4)=2,

.••点C的坐标是（0,2）,故选项A正确;

令x=0,y=A：xO+l=l,则点。的坐标是(0,1),

；.OC=2OD=2,故选项B正确;

令y=0,贝卜;(x+l)(x_4)=0,

解得再=-1,x2=4,

3(4,0),

：.AB2=(4+1)2=25,AC2=l2+22=5,5C2=42+22=20,

：.AB2=AC2+BC1,

△NSC是直角三角形，故选项D正确;

由题意知，点£位于y轴右侧，作EG〃y轴，交8C于点G,

EFEG

~DF~~CD

•.・直线了=近+1仕＞0）与＞轴交于点。，则。（0,1）.

.-.CD=2-1=].

—=EG.

DF

设所在直线的解析式为V=机1+〃（加W0）.

4m+n=0

将8（4,0）,C（0,2）代入，得

n=2

答案第4页，共50页

1

m=—

解得<2.

n=2

・•・直线5。的解析式是歹=-+2.

设£”,一2/十^/十？[,则G]/,—D'+Z],其中0</<4.

,,EG=^-1/2+|/+2^-1/+2^-1（^-2）2+2.

EF1Zc\2c

/.=—〃一2）+2.

DF2V7

v--<0,

2

FF

・•・当f=2时，三；存在最大值，最大值为2,此时点E的坐标是（2,3）.

DF

代入了=丘+1（后>0），得3=2斤+1,

解得％=1,故选项C错误；

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数综合题型，需要综合运用一次函数的性质，一次函数图象上点

的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法，待定系数法确定函数关

系式以及平行线截线段成比例等知识点，综合性较强.

4.C

【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、轴对称最短路线问题,

解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.根据题目中的函数解析式和二次函

数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题.

【详解】：二次函数了=-(无-%)?+(/«+1)2,

二当x=-l时,y=-(-1-m)2+(m+1)2=0,

二点(T,0)一定在二次函数图象上，故选项A正确;

:二次函数夕=-(X-"?)2+(机+1)2,

，该函数的顶点坐标为(〃7,(加+以)，

点M的坐标为(加,(〃7+I)2),

,•,点N在》=》-2上，AW_Lx轴，

点N的坐标为(m,m-2),

答案第5页，共50页

故选项B正确；

.,.当ACV最小时，m+—=0,此时机=—,

22

点、M的坐标为1，点N的坐标为,

•・•点产在了轴上，点M,N在y轴的左侧，

M关于y轴对称点为ATg，；），则直线与V轴的交点即为点尸，此时

九。+猫的值最小，

:.MP+NP=MP+NP=MN=,；一？+[+£!

.,.MP+2VP的最小值是Y巨，选项C错误；

4

,­,二次函数y=_（%_加）2+（加+1）2,

•••该函数图象开口向下，对称轴为直线'=

当x=0时,y=-（0-m）2+（m+1）2=2m+1,

该函数图象与歹轴交于点（0,2加+1）,

一次函数y=x-2与歹轴交于点（0,-2）,与x轴交于点（2,0）,

将（0,—2）代入y=_（%_机『+（机+1/，得_（0_机）2+（加+]『=_2,解得：m=,

将（2,0）代入y=—卜一机J+（加+1『,得_（2—机）2+（加+1『二。,解得：加=；，

,•,两函数图象在第四象限有交点，

31

..—<机<——

22f

故选项D正确；

故选：C.

5.D

【分析】连接，过点尸作尸。18。于。，过点。作0加8。于”.根据

PQ+^-PC=PQ+PD,可得。0+尸。的最小值为。”的长，即可解决问题.

【详解】如图，连接BC,过点P作PD1BC于。，过点。作QH1BC于H.

答案第6页，共50页

由>=/+3%—4,令y=0,则工2+3］一4=0,

解得再=一4,x2=1,

/.C(-4,0),^(1,0),

令x=0,解得歹=0,

AS(0,-4),

/.OB=OC=4,

・.・ZBOC=90°f

:"OCB=NOBC=45。,

...PC=y/2PD,

PQ+^-PC=PQ+PD>QH,

当尸为。”与X轴交点时PQ+^-PC最小，最小值为QH的长,

-Q(0,2),5(0,-4),

..BQ=4,

设QH=x,则BH=x,

-：DH2+BH2=BQ2,

.■-X2+X2=62,

x=3A/2,

QH=3也，

则PQ+与PC的最小值是3行■

故选D.

答案第7页，共50页

【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短

等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题.

6.D

【分析】首先求出直线解析式；设尸(机,-/+2也+3),则可得点〃的坐标，从而可求得

及其最大值；由已知可得尸尸=PH,GH=FG=PG,由勾股定理得=

2

△尸FG周长为(亚+1)产〃，因而可作出判断.

[b=3\k=—\

【详解】解：设直线解析式为了=近+6,则有Lh八，解得L。，

[3左+b=0[b=3

・•・直线解析式为y=-x+3；

设P(m,-m2+2m+3),则点//的坐标为(m,-m+3),

••・PH=-m2+2m+3—(~m+3)=-m2+3m,

配方得：尸〃=一(加一I)+:,

39

当机=5时，PH有最大值4；

•：0A=0B=3,ZAOB=90°,

ZABO=ABAO=45°；

歹轴，P厂〃入轴，

ZPHF=ZBAO=45°,ZPFH=ZABO=45°,

・•.NPHF=/PFH=45。,

:・PH=PF,ZFPH=90°,

9

・••任的最大值为:，故选项C错误；

4

・,•由勾股定理得方H=拒尸〃；

•・•PGLFH,

：,GH=FG=PG,由勾股定理得G8=注尸

2

6

^GH=FG=—PH

2

GH,bG的最大值均为变*2=述，

248

答案第8页，共50页

故选项A、B错误；

v△尸尸G周长为尸尸+PG+FG=PH+FG=（亚+1）PH,

.♦.当PH最大时，△PFG周长也最大，且最大值为：（后+1）X2=9二+2,

44

故选项D正确；

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜

边中线的性质，求一次函数解析式等知识，善于转化是解题的关键.

7.64

【分析】（1）把/（4,〃。代入了=2x求出点A坐标，再代入即可求解；

（2）设点C的横坐标为〃，8c的长度为/,分别求出点C和点3的纵坐标，可得

22

l=-n+6n-2n=-n+4n，根据二次函数的性质即可求解；

本题考查了一次函数和二次函数的交点问题，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最

值问题，掌握二次函数的性质是解题的关键.

【详解】解：（1）把省4,加）代入了=2x得，

加=2x4=8,

・•・/（4,8）,

把/（4,8）代入〉=-犬+乐得，

-16+46=8,

解得b-6,

故答案为：6；

（2）设点C的横坐标为"，8c的长度为/,则点C的纵坐标为-“2+6",

〃了轴，

二点B的横坐标也为"，

二点3的纵坐标为2〃,

I=-n2+6n-2n=-n2+4〃，

.力是"的二次函数，

Q=—1<0,

答案第9页，共50页

4.

・•・当〃=-可可=2时，/取最大值，

此时，/最大值=-22+4x2=4,

・•・长度的最大值为4,

故答案为：4.

8.2

2

【分析】根据题意，待定系数法求得二次函数的解析式为y=；x2-2x+2,将点8(0,2),代

入直线〉=x+机，得m=2,设。(％〃+2),则+进而得出。£关于九的二

次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解.

【详解】解：•••二次函数图像的顶点坐标为M(2,0),与了轴交于点3(0,2),

・••设二次函数解析式为：y=a(x-2)2,将点8(0,2)代入得，

4〃=2,

解得：0=;,

•••二次函数的解析式y=；(》-2)2=；/-2X+2,

将点8(0,2),代入直线了=》+机，得加=2,

•••直线解析式为y=x+2,

,:D是线段AB上的一个动点，

设。(小〃+2),

•・,DE_Lx轴，

E]—2〃+21

・・.QE=〃+2—(；几2—2几+21

12

=­n+3〃

2

1/"9

=——(77-3)+-,

2V72

11.79

•・•——<0,DE=——(«-3)+-,

22V72

9

当"=3时，线段DE的最大值为5

答案第10页，共50页

9

故答案为：—

【点睛】本题考查了二次函数综合，线段问题，掌握二次函数的性质是解题的关键.

9.--

4

【分析】先用根与系数的关系求出/8=27^1,再根据CD〃x求出C。，然后由

48+CD=3得到关于c的方程，解方程求出c即可.

【详解】解：设留不0），2（孙。），

令歹=0,贝U歹=-x2+2x+c=0,

由根与系数的关系得：匹+%2=2,xx-x2=-c,

2

则AB=卜-司=+x2）-4XJ%2=2jc+l，

令x=0,则尸。，

.-.C（0,c）,

CD//x轴，

・・•点D纵坐标为c,

当＞=。时，贝I——+2x+c=c,

解得：1=2或%=0,

。（2,c）,

；・CD=2,

•・•AB+CD=3,

••2yle+1+2=3,

3

解得：。二-二，

4

故答案为：—一3.

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数与一元二次方程之间的关系，灵活运用所

学知识是解题的关键.

10.4

【分析】本题考查了二次函数与一次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数最值，由

答案第11页，共50页

>=；/一gx-4求出C(0,-4),8(8,0),再得出直线8c解析式为y=设

,则0(加,；机一4),则同。=；入_4_］；旭2_1.乙一4),最后利用二次

函数的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键.

13

【详解】解：由歹=%—4,令％=0得歹=—4,

42

令歹=°得x=8或工=-2,

・•・3(8,0),

设直线直线5C解析式为〉=丘+b,

8左+6=0k=-

八,，解得：2,

b=-4

b=-4

二直线解析式为y=：x-4,

设河］加，;机2加_4),则°［加，g1机—4),

2

1

：,MQ=—二…——m2+2m=——fm-4)2+4,

24244V7

7--<0,

4

・•・当初=4时，MQ取最大值4,

故答案为：4.

11.c=6—4b9

【分析】(1)将点A的坐标代入抛物线表达式得：-b=-9+3(6+l)+c,即可求解;

(2)当点P是抛物线的顶点时，点尸到直线距离的最大值，即可求解.

【详解】解：(1)将点A的坐标代入抛物线表达式得：-6=-9+3(b+l)+c,

整理得：c=6-4b,

故答案为：c=6-46；

(2)由抛物线的表达式知，其对称轴为x=gs+D,

而6>5,故抛物线的对称轴x=g(b+l)>3,

即点A在对称轴的左侧，根据函数的对称性，点N(b-2,-b),

MN=3AM=9,故4=9,

答案第12页，共50页

即6-2=9,解得：6=11,贝U点4(3,-11),

当6=11时，抛物线的表达式为：y=-x2+12x-38,

当点尸是抛物线的顶点时，点尸到直线MN距离的最大值，

由抛物线的表达式得y=-―+12x_38=_(x-6)2-2,故顶点P(6,-2),

则P到直线MN距离的最大值=-2-(-11)=9,

故答案为：9.

【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求

出△的值是解题的关键.

12.(-2,8)

【分析】方法一：先求出抛物线的解析式为了=2/.设C(0,/),。(0,2/),直线PN的解析

式为了=履+乙，将P点坐标代入求得直线PN的解析式为了=(-2)x+f,联立

F，=f；2)x+[得2X2_«_2)X—=0,由根与系数关系求得进而得设

[y=2x2122J

(y=〃—4)x+2f

直线由V的解析式为y=»ix+21,联立•：2，

口=2x

得2/-(”4)x-2/=0,由根与系数关系可求得M(-2,8).

方法二：先求出抛物线的解析式为/=2x2.设点M(加,2加°)和点N(”,2/),设直线MV的

解析式为了=左》+*则可得MV的解析式为＞=2(机+力"-2加〃，设直线PN的解析式为

y=k2x+t2,同理可得直线PN的解析式为y=2(〃-l)x+2〃，由

制即可求得机的值，进而可得”(-2,8).

【详解】方法一：把尸(-1,2)代入了="2,得。=2,

故y=2x2,

根据题意，作图，

答案第13页，共50页

设C(0,。，0(02),过点C的直线PN的解析式为V=Ax+l,

则依题意得一上+/=2,故左=t-2,

故直线PN的解析式为y=。-2)x+/,

联立得：F”；2)x+\得2尤2_«_2)xt=0①，

[y=2x

设马，x.是p,N两点的横坐标，故X,,/是方程①的两根,

bt—2

由根与系数关系得：xP+xN=--=^,

a2

把马=-1代入，

可求得XN=；,故

设过点D直线MN的解析式为y^mx+2t,

Cf2\2

把N[t，彳|代入得Lw+2f=一，

(22J22

故加=f-4,

二直线MN的解析式为了=«-4)x+27,

y=(f-4)x+2/

联立:^2x2-(t-4)x-2t=0@,

y=2x2

设了M，"是M,N两点的横坐标,

故为，“是方程②的两根，

由根与系数关系得：X"+XN=-?=±F，

a2

答案第14页，共50页

把4=］代入求得与=-2,

把xM=-2代入y=2x?得加=8,

故”（-2,8）；

方法二：同法一可求得抛物线＞=2/,

设点/（见2疗）和点N（",2/）,设直线"N的解析式为＞=幻+*

mk,+A=2m2

则把"，N的坐标分别代入可得＜7.2，

nkx+%=2n

k=2（m+n）

解得x

%=-2mn

・•・直线MN的解析式为y=2（m+n）x-2mn,

故直线AW与y轴交点。的坐标为（0,-2加〃）,

/.OD=—2mn,

设直线PN的解析式为y=k2x+t2,

同理，把7，N的坐标分别代入，可得直线PN的解析式为＞=2（〃-l）x+2〃,

直线PN马y轴交点C的坐标为（0,2/7）,

OC=2n,

OC\

~OD~2

才巴加=一2代入y=2x2,得＞=8,

故”（-2,8）；

故答案为：（-2,8）.

【点睛】本题考查了二次函数综合题，二次函数与一次函数交点问题，解题的关键是将二次

函数与一次函数联立转化成解一元二次方程，明确一元二次方程的两根就是二次函数与一次

函数两交点的横坐标.

答案第15页，共50页

13.述##3君

44

【分析】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，连接43,过点P作尸

11

垂足为H先解直角三角形求出/。/2=60。，进而得到=则要使5必+尸。的值

最小，只要使尸〃+尸。的值最小，止匕时〃、P、。在同一条直线上，且。再解直角

三角形40H即可.

【详解】解：如图，连接过点尸作尸HJL48,垂足为//,

•••^(-1,0),5(0,-V3),

OA=\,OB=y/3,

tanXOBA=-,

OB3

NOAB=60°,

ZABO=30°,

:.PH=-PB,

2

:.-PB+PD=PH+PD,

2

要使:尸8+尸。的值最小，只要使尸"+尸。的值最小，此时8、P、。在同一条直线上，

且瓦

-1+21

•・•二次函数图象的对称轴为x=-七一=],

2

13

在RtAAD"中，ADAH=90°-AOBA=60°,AD=CU+。。=1+—=—，

22

.•.£)//=JD.sin60°=—,

4

.•.1尸8+尸。的最小值为也，

24

故答案为：迎.

4

答案第16页，共50页

14.8

【分析】求出42的坐标，设出尸点坐标，表示出么尸,8尸的解析式，进而求出的坐标,

再进行计算即可.

【详解】解：y=x2+2x-3,当y=。时，x2+2x-3=0,

x=—

解得:i3,x2=1,

.•./(-3,0),8(1,0),对称轴为直线x=-：=-l,

设/«,7+2”3),

•••点P为x轴下方抛物线上任意一点，

***—3<£<1,

设直线BP解析式为y=dx+e,

Id+e=O[d=t+3

[dt+e=t2+2t-3'解得：[e=-t-3,

•••直线8尸解析式为y=(f+3)x-t-3；

.,.当x=_]时，y=(7+3)*(—1)T—3=—21—6,

.•.A/(-l,-2z-6)：

同理可得：直线4P的解析式为：y=(t-l)x+3t-3,

二当x=-1时，J=(Z—1)x(—1)+3^—3=2?—2,

.•.N(-12-2)；

,.CM=0-(-2t-6)=2t+6,CN=0-(2t-2)=-2t+'2

答案第17页，共50页

.-.CM+CN=2t+6+(-2t+2)=S；

故答案为：8.

【点睛】本题考查二次函数的综合应用.正确的求出二次函数的对称轴，以及抛物线与x轴

的交点坐标，是解题的关键.

15.—##3-##3.75

44

74

【分析】先用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出直线/,则

加■加+2m+2,-|m2,表示出尸品\尸N即可求施窣.

’2

/、/、2—x9+3Z?+c=0

【详解】解：把8(3,0),。(0,—2)代入歹=鼻/+乐+。得：3,解得

3c=-2

<3,

c=-2

74

••・抛物线解析式为：y=jx2-jx-2,

24

^~X2--X-2=0,解得X=T或3,

・•・/(-L0),

2

直线/:了=布-1经过点4

22

..-k--=0,解得左=_§,

22

・•・直线/:y=-丁-葭

24

设尸(加加2-—772-2),

•••RW〃x轴，尸N〃y轴，M,N在直线/上,

(22(,2,41

,M-m~+2m+2,—m"——m-2\,

I33.l33

•・•点P是直线I下方抛物线上一动点,

2224

--m-2—m+—m+—

33

PM=(-m2+2m+2)—加=—m2+m+2,

3333(2)4

答案第18页，共50页

...当机=1时，PM+PN的最大值为与

24

【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，灵活运用所学知识是关键.

16.-

2

【分析】先求出点N的坐标，然后设P（加，-:/+%）,求直线/P解析式，得到点8的坐标,

O

从而得到。8=。〃，即可求得8"="〃，所以尸〃+也苏+,〃?，最后根据二次

482

函数的性质，即可求得答案.

【详解】由于y=-：x2+x与X轴正半轴交于点/,

O

1°

则）=0时，0=__X+X,

8

解得x=0,或％=8,

故48,0）,

•・,点P是抛物线在第一象限部分上的一动点，

设+m）,

8

设直线A