第六章 平面向量 极化恒等式、奔驰定理、三角形四心问题 讲义-人教A版高一数学下册

专题2极化恒等式，奔驰定理，三角形四心

序号考点

知识点01极化恒等式

知识点02奔驰定理

知识点03三角形四心

知识点01极化恒等式

_mm+6）~一（万一

a-b=------------------|

4]

极化恒等式几何意义：

向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”

平方差的工恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系

4,

如图在平行四边形ABCD中，AB=a,Al5=b

则叱=由+通）、（通-而）;而厂画=.『一两『

44

总结：此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度（数量）之间的桥梁，实现向

量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为

对共起点（终点）的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决，需大家强化学习。

例1.（全国•高考真题）设向量万E满足|1+5|=而，旧一5|=、后，则,石=

A.1B.2C.3D.5

例2.（2023•全国•高考真题）正方形A3CD的边长是2,E是铀的中点，则成.丽=（）

A.75B.3C.2A/5D.5

例3.（2022•北京•高考真题）在44BC中，AC=3,BC=4,ZC=90°.尸为AABC所在平面内

的动点，且PC=1,则丽.丽的取值范围是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【强化训练】

1.如图，在AABC中，已知AB=4,AC=6,ABAC=60°,点D,E分别在边AB,AC上,

且通=2AD,AC=3AE，若R为OE的中点，则丽・瓦的值为

2.（江苏•高考真题）如图，在AABC中，。是8C的中点，瓦F是A,。上的两个三等分点,

BACA=4,BFCF=-1,则赤的值是

A

/1E\

庐

BDC

知识点02奔驰定理

L奔驰定理

如图，已知。为A/RC内一点，

则有5ABOCQA+SAAOCOB+SMOB-OCUO

或者SaOA+SbOB+ScOC=b

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为"奔驰定理

这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的

问题，有着决定性的基石作用.

2.奔驰定理的推论

推论。是AABC内的一点，且X-西+y・砺+Z・无=0,则SBOC:SCOA:SAOB=x:y:z

3.奔驰定理的证明

如图：延长04与边相交于点。

BD_S&ABD_S^BOD_SAABD-SROD_

qqc_cc

u°^ACDURCOD°ACD°LCOD°AAOC

OD=—OB+—OC

BCBC

————OB+——LAOB——QQ

V_LVVV

丁丁0

AOC"AOB°AAOC^AOB

°D_SBOD_S(JOD_SBOD+SCOD

口ABOC

r)AQCQQq_i_c

0c丁丁

^BOA"COA^BOA^COA°AAOCQAAOB

0D=--------OA

q_i_Q

0△AOC丁

-------OA=—OB+—OC

°AAOCT°AAOBLAO。T°AAOB°^AOCT°AAOB

•・S△DRCO/C,OA+SAAC。/C，,OB+SAAOCDR.OC—0

【练习题型：奔驰定理】

―>—>—>—>

例1.已知点P为ABC内一点，PA+2PB+3PC=0,则△APB,△APC,△BPC的面积

之比为（）

A.9：4：1B.1：4：9C.1：2：3D.3：2：1

例2.（2023•师大附中期末）已知。是三角形ABC内部一点，且次+2砺+诙=。，贝1凶08

的面积与AABC的面积之比为（）

例3.设。为AABC内一点，且满足关系式04+20B+30c=3AB+2BC+以,则SABOC：

SAAOB：S&COA=.

例4.己知。是&ABC内部的一点，NA,ZB,NC所对的边分别为“=3,6=2,c=4,

若sinA•市+sinB.丽+sinC•灵=0，则AAOB与AABC的面积之比为（）

4125

-

A.9-B.3-9-D.9

例5.(多选题)奔驰定理：已知。是AABC内的一点，ROC,△AOC,AAOB的面积分

别为踵，SB，SC,贝”A•丽+SB・砺+Sc・玄=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美

的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的/og。很相似，故形象地

称其为“奔驰定理”.若。、P是锐角AABC内的点，A、5、C是AABC的三个内角，且满足

PA+PB+PC^^CA,OAOB=OBOC=OCOA,贝！I()

@.A

Aq-V.s—4•9•3

B.AA+ABOC=TI

C.|OA|:|(?B|:|(?c|=cosA:cosB:cosC

D.tanA-OA+tanB-OB+tanC-OC=0

知识点03三角形四心

（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心

到对边中点的距离之比为2：1；三条重心所分六个小三角形面积均相等。

①万+费+资=供记是aABC的重心.

②若O为△ABC的重心,P是AABC所在

平面内的任意一点，则P（）=l（PA+PB+PC）.

③若AABC三个顶点的坐标分别为A（g,

yi),B(Hz,>2)»C(X3,?3)，重心O(z,y),

©+工2+23_>1+>+>3

则有了3'k32

（2）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆

心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径八

0为△ABC的内心㈡aOA+6OB+cOC=

。㈡sinA,OA+sinB,OB+sinC,OC=0.

（3）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形

外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.

若。为AABC的外心，则sin2A•市+sin2B-砺+sin2C前=6;或卜|砺卜|明

(4)三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对

边垂直.

O为AABC的垂心-OB=OB•沅=

OC,OA<=^tanA•OA+tanB•OB4~tanC•

了=0.

总结.三角形四心与推论：/

(1)。是ZVIBC的重心：

而+为+1=605"℃:5八少小5.。3=1：1：1、

BC

(2)。是八钻。的内心：

aOA+bOB+cOC=OS^oc:S^COA:S^OB=a:b:cOsinA-CM+sinB-OB+sinC-OC=6

(3)。是ZVlBC的外心：OA=OB=OC<=>

Sj()c：Sxcok:8AA08=sin2A:sin2B:sin2Cosin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0.

(4)。是△ABC的垂心：OAOB=OBOC=OCOAO

S&oc:SXCOA:S/XAOB=tanA:tanB:tanCotanAOA+tanBOB+tanCOC=6.

【练习题型一：重心定理】

/\

---►ah

1.在AABC中，CB=a>CA=b>且。P=OC+根rq---+臼----,mwR,则点尸的轨

|«|sinB|Z?|sinA

迹一定通过AABC的（）

A.重心B.内心

C.外心D.垂心

2.设。是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OP=OA+A（AB+AC）,2e[0,+oo）,则尸的轨迹一定通过的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

3.若。为AABC的重心（重心为三条中线交点），且函+砺+彳反=6,贝IU=—.

__.3__»__

4.过△ABC重心。的直线P。交AC于点P,交BC于点。，PC=-AC,QC=nBC,则

n的值为.

5.在AABC中，AB=2,NABC=60。，AC-AB=^1,若。是AABC的重心，则前.*=

6.(1)已知△ABC的重心为。，且A2=5,AC=3,则而.瓦?=

(2)已知△ABC的重心为。，且AB=5,AC=3,A=g。为BC中点，则正•历=

7.(多选)AABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，。为其重心，%,hb,4分别

是边a，b,c上的高.^2sinAOA+3sinBOB+4sinCOC=6.则下列结论正确的是()

A.a:b:c=4:3:2B.hj%：%=2:3:4

43

C.cosC=—D.AABC是钝角三角形

【练习题型二：内心定理】

1.已知。是平面上的一个定点，48、C是平面上不共线的三点，动点P满足

(AeR),则点尸的轨迹一定经过“WC的()

A.重心B.夕卜心C.内心D.垂心

2.在AABC中，AB=2AC,动点M满足㈤0•(而+而)=0,则直线AM一定经过△ABC的

()

A.垂心B.内心C.外心D.重心

3.设/为AABC的内心，AB=AC=5,BC=6,AI=mAB+nW>则机+，为

—.3-■1—-

4.已知点。是AABC的内心，AO——AB+—AC,贝iJcosNBAC=.

5.已知AABC,/是其内心，内角A3,C所对的边分别d"c,则（）

—1—,-.07TVCABbAC

A.AI=-(AB+AC)B.AI=-----+-------

aa

—_bAB!cACcAB!bAC

C.D.

a+b+ca+b+ca+ba+c

3

6.在△ABC中，cosA二一，。为△ABC的内心,若AO=xAB+yAC(羽yER),则x+y的

4

最大值为（）

6—A/67-V7D8-2夜

C.

56・7

【练习题型三：外心定理】

1.已知。是平面上的一定点，AB,C是平面上不共线的三个点，动点P满足

存=西区+&ABAC

,几€（。,+8）,则动点尸的轨迹一定通过△加（7的（）

2^cIcosC

A.重心B.外心C.内心D.垂心

2.已知△ABC中，AB=AC=\,BC=3，点。是△ABC的外心，则前•通=.

3.已知点尸是5c的内心、外心、重心、垂心之一，且满足2经・反=*2-通气则点

P一定是AABC的（）

A.内心B.外心C.重心D.垂心

4.设。为“BC的外心，若AB=4,3c=26，则的•蔗=.

5.已知。是△48。的外

心,若竺君•AO+^AC-Ad=2mA02,5.

ABAC

sin8+sin。=",则实数m的最大值为()

3八7c3

A.3B.—C.—D.—

6.设。为AABC的外心，a,b,c分别为角A,B,C的对边，若6=3,c=5,则m.就=

()

A.8B.-8C.6