半角模型-2025年中考数学几何模型专练

半角模型

1.核心知识

1、半角在内:正方形ABCD,点E在边CD上，点F在边BC上./EOF=45°

BFCG^'B-------------------CG^~~BFC

【辅助线】延长BC至点G，使BG=DE,连接AG.

【结论】

①旋转全等:△ABG^AADE,理由SAS.

②对称全等:△FAG^AFAE，理由SAS.

③EF=BF+DE,进而推出4CEF的周长等于正方形周长的一半.

④AF平分/BFE,AE平分/DEF.

2、半角在外:正方形ABCD,NEOF=45。，，与DC的延长线交于点E,与CB的延长线交于点F.

【辅助线】在CD截取DG=BF,连接AG.

【结论】

①旋转全等：△ABF=A40G,,理由SAS.

②对称全等：△EAG三XE4F,理由SAS.

③EF=DE-BF.

®AE平分/DEF.

真题精炼

1如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE,AF,AM平

分NEAF交CD于点M若BE=DF=1,则DM的长度为（）

F

H

BEC

A.2B.V5C.V6D.y

2正方形ABCD中，点E在边BC,CD上运动(不与正方形顶点重合).作射线AE,将射线AE绕点A逆时针

旋转45。,交射线CD于点F.

⑴如图.点E在边BC上,BE=DF,则图中与线段AE相等的线段是

(2)过点E作EGLAF,垂足为G,连接DG,求NGDC的度数.

3在复习课上，刘老师先引导学生解决以下问题：【问题情境】如图1,在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,

点D、E在边BC上，且NDAE=45o,BD=3,CE=4,求DE的长.解:如图2,将^ABD绕点A逆时针旋转90。得到△ACD',

连结ED.

由旋转的特征得/BAD=/CAD,/B=/ACD,AD=AD',BD=CD'.VZBAC=90°,ZDAE=45°,.*.ZBAD+ZEA

C=45°.ZBAD=ZCAD',/.NCAD'+NEAC=45°,即/EAD'=45°.；.ZDAE=ZD'AE.^ADAE和A中，AD=

XD,,ZDAE=ZD'AE,AE=AE,.\①.；厩=口旧.又：

ZECD'=ZECA+ZACD'=ZECA+ZB=90°,Z.ffiRtAECD中，②.

VCD'=BD=3,CE=4,

DE=D'E=一③

【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：;“②"处应填：;“③"处应填：.

刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万

变.

【知识迁移】如图3,在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足△CEF的周长等于正方形AB

CD的周长的一半，连结AE、AF,分别与对角线BD交于M、N两点才采究BM、MN、DN的数量关系并证明.

【拓展应用】如图4,在矩形ABCD中点E、F分别在边BC、CD上，目/EAF=/CEF=45。探究BE、EF、DF

的数量关系：

【问题再探】如图5,在4ABC中,NABC=9(T,AB=4,BC=3,点D、E在边AC上，且NDBE=45。.设AD=x,CE=y,

求y与x的函数关系式.

4⑴操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD,将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD

的内部，点B的对应点为点M,折痕为AE,再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF,则

Z.EAF=一度.

⑵操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N.我们发现,当点E的位置不同时，

点N的位置也不同.当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则^AEF=一度.

⑶在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：

①设AM与NF的交点为点P.求证：△ANP=△FNE-

②若AB=百,则线段AP的长为.

5数学实践活动，是一种非常有效的学习方式.

折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上,展开得折痕AE、AF,连接EF,如

图1.

(1)NE4F=,,写出图中两个等腰三角形：_(不需要添加字母)；

转一转：将图1中的NE4F绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q,连接PQ,如图2.

(2)线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为.

(3)连接正方形对角线BD若图2中的.“4Q的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，如图3,则名=_.

剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4.

图4

(4)求证:BM2+DN2=MN2.

6如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段0D上，连接AP并延长交CD于点E,

过点P作PF14P交BC于点F，连接AF、EF.AF交BD于G,现有以下结论:①AP=PF;②DE+BF=EF;③PB—P

D=&BF;④SAAEF为定值;⑤S四边形PEFG=SAAPG,以上结论正确的有（填入正确的序号即可）.

7如图正方形ABCD中AD=4,且LEAF=45。,EC=1,将△2DE绕点A沿顺时针方向旋转90。后与4ABG

重合涟接EF过点B作交AF于点M，则以下结论DE+BF=EF,②BF=土③4F=,④S^BF=

瑞中正确的是（）

AD

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

8如图，正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上运动（不与点A,B重合）,.^DAM=45。,点F在射线AM

上，目力尸=&BE,CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG,则下列结论：

①/ECF=45。；

②4AEG的周长为（1+y）a;

@BE2+DG2=EG2-,

④AEAF的面积的最大值是ia2;

o

⑤当BE=之a时，G是线段AD的中点.其中正确的结论是（）

M

F

E

B

B.②④⑤C.①③④D.①④⑤

9如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点0(0,0),A(0,4),B(3,0)为顶点的R3AOB,其两个锐角对应的外角的

平分线相交于点P,且点P恰好在反比例函数y=:的图象上，则k的值为()

A.36B.48C.49D.64

10如图，在正方形ABCD中，AB=6,G是BC的中点，将△ABG沿AG对折至△AFG,延长GF交DC于点E,则D

E的长是().

A.1B.1.5C.2D.2.5

11矢巨形ABCD中,AB=2,BC=4,若AE=4/EAF=45。,贝！］AF的长为.

12如图1,已知四边形ABCD是正方形，将△DAEADCF分别沿DE,DF向内折叠得到图2,此时DA与D

C重合（A、C都落在G点），若GF=4,EG=6,,则DG的长为.

13如图，已知正方形ABCD的边长为a,E为CD边上一点（不与端点重合）,将△4DE沿AE对折至△AFE,

延长EF交边BC于点G,连接AG,CF.给出下列判断:

®^EAG=45。;②若DE=",贝!]AG//CF;

③若E为CD的中点，则4GFC的面积为总a?；④若CF=FG，则.DF=（V2-l）a;

⑤BG-DE+AF-GE=a2.其中正确的是

14如图正方形中，△ABC绕点A逆时针旋转到△49厂,2夕,4L交对角线于点E,F,若AE=4AE=4,则EF-E

D为_______

15如图①，E、F是等腰RtAABC的斜边BC上的两动点，ZZ.EAF=45°,CD1B（CHCD=BE.

(1)求证:△ABE^AACD.

(2)求证：EF2=BE2+CF2.

⑶如图②，作AHLBC,垂足为H.设乙EAH=a/FAH=8不妨设AB=VX请利用(2)的结论证明:当a+p

tana+tanj?

=45°时，tan(a+0)=成立.

1-tanatan/?

16在矩形ABCD的CD边上取一点E,将小BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处.

图2

⑵如图2,当AB=5,且AF-FD=10时.求BC的长

⑶如图3,延长EF,与NABF的角平分线交于点MBM交AD于点N，当NF=AN+尸。时，求”的值.

17如图1,在正方形ABCD内作AEAF=45°„AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,过点A作AH

，EF,垂足为H.

D

⑴如图2,将^ADF绕点A顺时针旋转90。得到△AB△ABG.

①求证:△AGE^AAFE.

②若BE=2,DF=3,求AH的长.

⑵如图3,连接BD交AE于点M,交AF于点N.请探究并猜想:线段BM,MN,ND之间有什么数量关系?并

说明理由.

18如图，正方形ABCD的边长为6,若CE=3逐，且NECF=45。,贝CF的长为()

B.3V5

19如图，在正方形ABCD内作/EAF=45°,连接EF,过点A作AHLEF,垂足为H,将△ADF绕点A顺时针旋

转90。得到△ABG若BE=2,DF=3厕AH的长为

20在等边△4BC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为&ABC外一点，且乙MDN=60。，LBDC

=1200,BD=CD.探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的

周长Q与等边△ABC的周长L的关系.

⑴如图1,当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，BM、CN、MN之间的数量关系是；此时三=_

⑵如图2,当点M、N在边AB、AC上，且当DMgDN时，猜想(1)问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以

证明.

(3)如图3,当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x,!MQ=

21如图△ABC中，NACB=90。,AC=BC=1,,E、F为线段AB上两动点，目.乙ECF=45。，过点E、F分别

作BC、AC的垂线相交于点M.以下结论：①A8=②当点E与点B重合时，MH=|;@AF+BE=EF;④MG-M

H=京，其中正确结论为()

A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④

22如图，在△ABC中，AB=AC,/BAC=120。点D、E在边BC上，且Z.DAE=60。,将4ADE沿AE翻折，点D

的对应点是D；连接CD,若BD=4,CE=5,,则DE的长为().

23如图，点E,F分别为正方形ABCD的边上一点.AC,BD父于点O.且/EAF=45o,AE,AF分别父对角线BD

于点M,N,则有以下结论:①/AEB=ZAEF=ZANM;®EF=BE+DF;③△AOM^AADF;@SAAEF=2SAA

MN.正确的是

24正方形ABCD中，且/EAF=45。.下列结论:①AB2=BN-DM;②AF平分/DFE;③AM-AE=AN-AF;④BE+DF=V2

MN.其中正确的结论是().

C.①②③D.①②③④

25正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE=4,EC=8,将正方形边AB沿AE折叠到AF延长EF交DC于G,

连接AC,如下结论:①NEAG=45。;②FG=FC;③FC//AG;④SAGFC=14.正确结论个数是()

A.lB.2C.3D.4

26如图1,在四边形ABCD中，AB=AD，/B+/ADC=180。,点E、F分别在四边形ABCD的边BC、CD上，^EAF

=|ABAD,连接EF,试猜想EF、BE、DF之间的数量关系.

将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG,使AB与AD重合，由NB+乙4DC=180。彳导/FDG=180。，即点F、D、

G三点共线，易证AAFG0,故EF、BE、DF之间的数量关系为.

(2)类比引申

如图2,在图1的条件下，若点E、F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB、DC延长线上，^EAF=1

NBA。,连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系，并给出证明.

(3)联想拓展

如图3,在△ABC中,/BAC=9(F,AB=AC,点D,E均在边BC上，且NDAE=45。,若BD=1,EC=2,贝！jDE的长为

27旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解

决问题.

已知，AABC中，AB=a，点D、E在边BC上，且ND2E=1a.

(1)如图a,当a=60。时，将△4EC绕点A顺时针旋转60。到AAFB的位置,连接DF.60°AAFB

②求证：AADE=AADF.

(2)如图b,当a=90。时,猜想BD、DE、CE的数量关系，并说明理由.

图b

(3)如图c,当a=120。,8。=4,=5时，请直接写出DE的长为一.

1如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE,AP,AM平

分NEAF交CD于点M，若BE=DF=1,则DM的长度为()

A.2B.V5C.y/6

2.【答案】(1)AF

(2)过G点作GM±AD交于M,延长MG交BC于N点,

..NAMG=NDMG=NGNE=90°,

._________p

.四边形CDMN是矩形，

,zAGM+zMAG=90°,

E&EC

:EG±AF,zEAF=45°,

.-.zAGM+zEGN=90°

•.zAGE=90o,zEAF=45°

."AEG是等腰直角三角形，

.-.AG=EG,

../EG席加AG,

."AMG%GNE(AAS),

.-.AM=GN,

•.AM+MD=GN+MG,

.-.MD=MG,

."MDG为等腰直角三角形，

..NMDG=45°,

..NGDC=45°;

当点E在CD边上时，如图，

过点G作GN±DF交于N,延长NG交BA延长线于点M〃•.四边形ADNM是矩形,

同理,AAMG2AGNE(AAS).

，GN=AM=DN,

."NDG为等腰直角三角形，

.-.zGDN=450,

.•.zGDC=180°-45o=135°,

综上所述:NGDC的度数为45°或135°.

【标注】【知识点】正方形与全等综合

3【问题情境】

如图L在SBC中/BAC=90°,AB=AC,点D、E在边BC上，且NDAE=45°,BD=3,CE=4,求DE的长.

解如图2,将＜BD绕点A逆时针旋转90。得到3CD，，连结ED'.

由旋转的特征得NBAD=NCAD'/B=NACD',AD=AD',BD=CD'.

•.zBAC=90°,zDAE=45°,

zBAD+zEAC=45°.

..NBAD=NCAD',

..NCAD'+NEAC=45°,即NEAD'=45°.

..NDAE=ND'AE.

在中，

AD=AD'/DAE=ND'AE,AE=AE,

.①.

DE=D'E.

又•.NECD'=NECA+NACD'=NECA+NB=90。，

..在RhECD'中，②.

•.CD'=BD=3,CE=4,

..DE=D'E=③.

【问题解决】

上述问题情境中，"①"处应填；"②"处应填；"③"处应填:.

刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变

应万变.

【知识迁移】

如图3,在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足4EF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，

连结AE、AF,分别与对角线BD交于M、N两点.探究BM、MN、DN的数量关系并证明.

IS3

如图4,在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且NEAF=NCEF=45。探究BE、EF、DF的数量关系：

.(直接写出结论，不必证明).

用4

【问题再探】

如图5,在SBC中/ABC=90°,AB=4,BC=3,点D、E在边AC上，且NDBE=45°.设AD=x,CE=y，求y与x的函数

关系式.

ms

【答案】【问题解决】①SDE斗AD'E；②EC2+CD2=ED2;③5;【知识迁移】DN2+BM2="陀见解析；【拓

2

展应用】2BE+2DF2=EF2；【问题再探】y=

bX-Zo

【解析】

【分析】

(1)【问题解决】根据题中思路解答即可；

(2)【知识迁移】如图，将AABE绕点A逆时针旋转90、得到AADF过点D作DH，BD交边AF'于点H,连结NH,

由旋转的特征得AE=AF',BE=DF'/BAE=NDAF'.结合题意得EF=DF+BE=DF+。尸'=F'F.证明^AE匡AF'F,得

出NEAF=NF'AF根据正方形性质得出NABD=NADB=45°结合DH_LBD得出NADH=NHDB-NADB=45°.证明AAB

M学ADH,得出AM=AH;BM=DH.证明AAMNZAAHM得出MN=HN.在RfHND中，根据勾股定理即可求解；

(3)【拓展应用】如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将^ADF绕着点A顺时针

旋转901得至hAGH,连接HM,HE.则AAD匡AAGH.贝!]DF=GH,AG=AD,AF=AH/DAF=NHAG,根据NEAF=45°,证

明AAEH当AE巳得出EF=HE,过点H作HO±CB交CB于点。过点H作HG±BM交BM于点M厕四边形OHGB

为矩形彳导出OH=BG,OB=HG,证明ABME,ADNF,ACEF,AAMN是等腰直角三角形,得出GM=DN=DF=HG,NHME=

90°,在RbOHE中，根据勾股定理即可证明；

(4)【问题再探】如图，将ABEC绕点B逆时针旋转90\得至UBEC,连结E'D.过点E作EGJ_BC,垂足为点G,过点

E作EG」BC,垂足为G',过点E作E'FIIBA,过点D作DFllBC交AB于点H,E'FXDF交于点F.由旋转的特征得

BE=BE',NCBE=NC'BE',EG=E'G',BG=BG'.根据NABC=90°,NDBE=45:得出NDBE'=45°,证明AEBD2AE'BD彳导

出DE=DE',根据勾股定理算出AC,根据AD=z,CE=y,表示出DE'=5-x-y,证明AAHD-AABC,根据相似三角形的性质

表示出AH=|x,HD=|x,HB=4—，同理可得EG—^y,GC=|y.

EG'=ly,BG'=3-|y,证明四边形FE'G'H为矩形彳导出

NF=90°,FH=1DF=|x+["£1'=1-善+|y,在RtAE'FD中，根据勾股定理即可求解；

【详解】

解：(1)【问题解决】解如图2,将AABD绕点A逆时针旋转90°得到AACD',连结ED'

由旋转的特征得NBAD=NCAD，,NB=NACD',AD=AD',BD=CD'.

•.zBAC=90°,zDAE=45°,

.-.zBAD+zEAC=45°

•.zBAD=zCAD',

"CAD'+NEAC=45°,即NEAD'=45°.

..NDAE=ND'AE.

在ADAE和AD'AE中,AD=AD'/DAE=ND'AE,AE=AE,

.•.①AADE当AD'E.

.■.DE=D'E.

又.•NECD,=NECA+NACD,=NECA+NB=90。，

..在RbECD'中,((2)EC2+CDn=EDn.

■.OD'=BD=3,CE=4,

•••DE=D,E=V32+42=53.

(2)【知识迁移】DN2+BM2=MN2-quadquad

证明如图，将AABE绕点A逆时针旋转90：得至hADF.

过点D作DH，BD交边AF于点H,连结NH.

由旋转的特征得AE=AF',BE=DF'/BAE=NDAF'.

由题意得EF+EC+FC=DC+BC=DF+FC+EC+BE,

，EF=DF+BE=DF+DF'=F'F.

在AAEF和AAF'F中,AE=AF',EF=F'F,AF=AF,

.”AE匡AF'F(SSS).quadquad

..NEAF=NF'AF.

又「BD为正方形ABCD的对角线，

..NABD=NADB=45°.

-.DH±BD,

.-.zADH=zHDB=zADB=45°

在SBM和AADH中,NBAM=NDAH,AB=AD/ABM=NADH,

.-.AABM^AADH(ASA),

，AM=AH,BM=DH.

在AAMN和SHN中，AM=AH/MAN=NHAN,AN=AN,

.“AMN学AHN(SAS).

.-.MN=HN.

在RbHND中，DN2+DH2=HN2,

DN2+BM2=MN2.

(3)【拓展应用】2BE2+2DF2=EF2.

证明：如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点

将MDF绕着点A顺时针旋转90*得到MGH,连接HM,HE.

则AADF当AGH.

贝UDF=GH,AG=AD,AF=AH/DAF=NHAG,

•.zEAF=45°,

.-.zHAE=zHAG+zGAE=zDAF+zGAE=45o,

在SEH和3FE中

AH=AF

{ZHAE=ZFAE=45°,

AE=AE

.qAEH*AEF(SAS),

.".EF=HE,

过点H作HO±CB交CB于点O,过点H作HGJ_BM交BM于点M,则四边形OHGB为矩形.

.-.OH=BG,OB=HG,

•.zCEF=45°,

..NCEF=NCFE=NDFN=NDNF=NBME=NBEM=45°,

."BME,ADNF,ACEF,AAMN是等腰直角三角形，

，CE=CF,BE=BM,DN=DF,AN=AM,

.-.AM-AG=AN-AD,

.-.GM=DN=DF=HG,

..NHMG=45°,

NHME=45°+45°=90°,

在RSOHE中，OE2+OH2=HE2,(OB+BE)2+BG2=EH2,

(GW+BE?+BG2=EH2,

即(GH+BE)2+(BM-GM)2=EH2,

又二EF=HE,DF=GH=GM,BE=BM,

(GH+BE)2+(BE-GH?=EF2,

即2(OF2+BE2)=EF2,

(4)【问题再探】如图，将ABEC绕点B逆时针旋转90。得到ABEC,连结ED过点E作EG^BC,垂足为点G,过点

E作EG」BC,垂足为G'过点E作E'FllBA,过点D作DFlIBC交AB于点H,E'F、DF交于点F

由旋转的特征得BE=BE'/CBE=NC'BE，,EG=E'G',BG=BG'.

•.zABC=90°,zDBE=45°

.•.zCBE+zDBA=45°,

.•.zC'BE'+zDBA=45°,BP.NDBE'=45。,

在AEBD和AE'BD中,BE=BE'/DBE=NDBE',BD=BD.

.•.△EBD学E'BD(SAS),

.-.DE=DE',

:zABC=90°,AB=4,BC=3,

•••AC=7AB2+BC?=5,

又；AD=x,CE=y,

，DE'=DE=5-x-y,

•.DFllBC,

.•.zADH=zC,zAHD=zABC=90°,

.“AHDSAABC,

AHHDADXrqri.JT4rrn3

ABBCAC555

4

・•.HB=AB-AH=4--x

5

同理可得EG=^y,GC=|y.

EG=1y,BG=BG=3—3，

'.E'G'±AB,zABC=90o,

.­.E'G'llBCllFD,

X'.E'FllAB^FHG'=zAHD=gO0,

，四边形FE'G'H为矩形

•••NF=90°,FH=EG=|y,DF=DH+FH=^x+^y,

FE，=HG，=HB-BG，=4-"-(3-|y)=1-善+》

在RbE'FD中，EF2+DF2=ED2.

(i一+C久+(y)=(5一久一旷尸

【点睛】

本题是四边形的综合题，考查的是旋转变换的性质、矩形的性质和判定、正方形的性质和判定、勾股定理、等

腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质，灵活运用旋转变换作图，掌握

以上知识点是解题的关键.

4实践与探究.

(1)操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD,将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD

的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE,再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合,折痕为AF,则NE

AF=度.

(2)操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N.我们发现，当点B的位置不同时,

点N的位置也不同.当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上.则NAEF=度.

(3)在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：

①设AM与NF的交点为点P.求证:AANP%FNE;

②若4B=旧,则线段AP的长为.

【答案】⑴45

⑵60

(3)①证明见解析.

亚百_2

【解析】(1),.四边形ABCD是正方形，

..zBAD=90°,

由折叠的性质可知,AABE%AME/ADF学AMF.

..NBAE=NMAE,NDAF=NMAF,

：zBAE+zMAE+zDAF+zMAF=zBAD=90°,

:2zMAE+2zMAF=90°,

.•.zMAE+zMAF=45°,

即NEAF=45°.

(2)由折叠的性质可知，

△ABE2AAMEFFCEVAFNE,

，NAEB=NAEM,ZAEM=ZCEF,

.'.zAEB=zAEM=zCEF.

•.zAEB+zAEM+zCEF=180°.

.-.zAEB=zAEM=zCEF=60o.

即NAEF=60°.

(3)①•.四边形ABCD是正方形，

•••NB=NC=90°,

由折叠的性质可知,AABE2AAME'FNE2AFCE,

，NAME=NB=90°,NFNE=NC=90°,

NANP=180°-NFNE=90°=/FNE,

:zEAF=45°,

.•.zAFN=zFNE-zEAF=45°,

.■.zAFN=zEAF,

.'.AN=FN,

­••ZAME=NFNE=90°,

•••NNAP+ZAEM=90",

NNFE+ZAEM=90°,

，NNAP=NNFE,

在AANP和AFNE中，

NNAP=NNFE

{AN=FN,

NANP=NFNE

.“ANP学FNE(ASA).

②•.在RbA在中/AEB=60°,AB=V3

D口ABV3.

.・.BE=--------=7=1,

tan^AEB

1.四边形ABCD是正方形，

AB=BC=V3,

•••CE=BC-BE=43-1,

•.zC=90o,zFEC=60o,

.•.zEFC=30°,

•••EF=2CE=2V3-2,

・・•△ANP学FNE,

•••AP=EF=2四一2.

【标注】【知识点】四边形与折叠问题

5综合与实践.

数学实践活动，是一种非常有效的学习方式.通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维

空间，丰富数学体验.让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣.

折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上,展开得折痕AE、AF,连接EF,如图

1.

(l)zEAF=,写出图中两个等腰三角形：(不需要添加字母)；

转一转：将图1中的NEAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q,连接PQ,如图2.

⑵线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为.

⑶连接正方形对角线BD若图2中的NPAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，如图3则/=_.

D1V1

剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4.

£3994

(4)求证:.BM2+DN2=MN2.

【答案】（1）45°；AAEF'CEF

（2）BP+DQ=PQ

⑶V2

⑷证明见解析.

【解析】（1）如图1中，

•・四边形ABCD是正方形，

..AB=AD=BC=CD/BAD=90°.

.“ABCFADC都是等腰三角形，

:NBAE=NCAE/DAF=NCAF,

.ZEAF=|(zBAC+ND4C)=45。，

.NBAE=NDAF=22.5O,NB=ND=90°,AB=AD,

.“BAE学DAF(ASA),

..BE=DF,AE=AF,

・：CB=CD,

CE=CF.

.△AEF「CEF都是等腰三角形.

⑵结论:PQ=BP+DQ.

理曲如图2中，延长CB到T,使得BT=DQ,

•.AD=AB,zADQ=zABT=90°,DQ=BT,

..△ADQ*ABT(SAS),

.-.AT=AQ,zDAQ=zBAT,

•.ZPAQ=45O,

.­.NPAT=NBAP+NBAT=NBAP+^DAQ=45",

NPAT=ZPAQ=45°,

•.AP=AP,

.“PAT%PAQ(SAS),

.■.PQ=PT,

•.PT=PB+BT=PB+DQ,

，PQ=BP+DQ.

故答案为:PQ=BP+DQ.

(3)如图3中，

0B3

1.四边形ABCD是正方形，

.-.zABM=zACQ=zBAC=450,AC=V2AB,

NBAC=NPAQ=45°,

.-.zBAM=zCAQ,

.“CAQSABAM,

丝=丝=/

BMAB

故答案为：V2

(4)如图4中，将AADN绕点A顺时针旋转90。得至以ABR,连接RM,

D

.-zBAD=90°/zMAN=45°/

・•.NDAN+NBAM=45°,

•zDAN=/BAR,

NBAM+NBAR=45。，

・•・ZMAR=NMAN=45°,

.AR=AN,AM=AM,

「.△AMR%AMN(SAS),

，RM=NM,

.ND=NABR=NABD=45°.

NRBM=90°,

RM2=BR2+BM2,

•.DN=BR,MN=RM,

BM2+DN2=MN2.

【标注】【知识点】旋转的性质

6如图,在正方形ABCD中，点。是对角线BD的中点，点P在线段OD上,连接AP并延长交CD于点E,

过点P作PF±AP交BC于点F,连接AF、EF,AF交BD于G,现有以下结论:①AP=PF;②DE+BF=EF;③PB-PD=V2

BF;（®SAAEP为定值;⑤=S-PG以上结论正确的有（填入正确的序号即可）

【答案】①②③⑤

【解析】•••四边形ABCD是正方形，PF±AP,

.•.zAPF=zABC=zADE=zC=90°,AD=AB,zABD=45°,

@/zABC+zAPF=180°,

，由四边形内角和可得NBAP+NBFP=180°,

，点A、B、F、P四点共圆，

..NAFP=NABD=45°,

•■.MPF是等腰直角三角形，

，AP=PF,故①正确；

②把AAED绕点A顺时针旋转90。得到AABH,如图所示:

.■,DE=BH,ZDAE=ZBAH,ZHAE=90°,AH=AE,

..NHAF=NEAF=45°,

•.AF=AF,

.“AEP学AHF(SAS),

..HF=EF,

••-HF=BH+BF,

，DE+BF=EF;故②正确；

③连接AC,在BP上截取BM=DP,连接AM，如图所示:

1•点0是对角线BD的中点，

.-.OB=OD,BD±AC,

.-.OP=OM,AAOB是等腰直角三角形，

AB=y[2A0,

由①可得点A、B、F、P四点共圆，

/.zAPO=zAFB,

••/ABF=NAOP=90。，

A

.,.△AOP^ABFZ

.OP_OA_AP_y[2

"BF~AB~AF-2'

OPJBF,

•.-BP-DP=BP-BM=PM=20P,

PB-PD=&BF,故③正确；

④过点A作AN，EF于点N,如图所示

由②可得NAFB=NAFN

•.zABF=zANF=90°,AF=AF,

."ABF当ANF(AAS).

.AN=AB,

若AAEF的面积为定值，则EF为定值，

••点P在线段0D上,

■.EF的长不可能为定值，故④错误；

⑤由③可得笫=当

.NAFB=NAFN=NAPG,NFAE=NPAG,

.-.△APG-AAFE,

.GP_AP_y[2

''EF~AF~2'

.S"GP2-1

"S“EP_-心(2、)-2,

1

SA4Gp-ASAAEF，

故⑤正确；

综上所述：以上结论正确的有①②③⑤；

故答案为①②③⑤.

【标注】【知识点】四点共圆的应用

7已知，如图，在正方形ABCD中,AD=4,E,F分别是CD,BC上的点，且NEAF=45°,EC=1,将&ADE绕点A沿顺时针

方向旋转90。后与MBG重合，连接EF,过点B作BMIIAG，交AF于点M，则以下结论:①DE+BF=EF,②BF=三

@AF=，④SXMBF=急中正确的是（）.

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

【答案】D

【解析】•.AG=AE,zFAE=zFAG=45°,AF=AF.

.△AFE*AFG(SAS),

.".EF=FG,

DE=BG,

..EF=FG=BG+FB=DE+BF,故①正确，

BC=CD=AD=4,EC=1,

..DE=3,设BF=x，则EF=x+3,CF=4-x,

在Rt△ECF中，(久+3/=(4-x)2+I2,

解得久7

BF=^,AF=J42+GJ=华，故②正确，③错误，

:BM//AG,

.△FBMs^FGA,

SMBM_CFB\2

S^FGA一母

SXFBM=急，故④正确•

故选:D.

【标注】【知识点】正方形中的半角模型

8如图，正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上运动（不与点A,B重合）,ZDAM45。,点F在射线AM

上，目力尸=0BE,CF与AD相交于点G,连接EC、EF、EG,则下列结论:

①NECF=45。；

②MEG的周长为（1+乎）因

（3）BE2+DG2=EG2;

④AEAF的面积的最大值是"2；

O

⑤当BE=京时，G是线段AD的中点.

其中正确的结论是（）

A.①②③B.②④⑤C.①③④D.①④⑤

【答案】D

【解析】如图1中，在BC上截取BH=BE,连接EH,

M

.BE=BH,zEBH=90°,

EH=V2FE,

•••AF=V2BE,

.-.AF=EH,

.NDAM=NEHB=45°,NBAD=90°.

.•.zFAE=zEHC=135°,

■.BA=BC,BE=BH,.-.AE=HC,

."FAE%EHC(SAS),

.".EF=EC,zAEF=zECH,

ZECH+NCEB=90°,

•••ZAEF+NCEB=90",

..NFEC=90°,

"ECF=NEFC=45。,故①正确;

如图2中，延长AD到H,使得DH=BE,

贝SCBEVACDH(SAS),

..NECB=NDCH,

NECH=NBCD=90°,

NECG=NGCH=45°,

CG=CG,CE=CH,

."GCE%GCH(SAS),

.-.EG=GH,

■.GH=DG+DH,DH=BE,

，EG=BE+DG,故③错误；

."AEG的周长=AE+EG+AG=AE+AD+DH

=AE+AD+EB=AB+AD=2a,故②错误；

设BE=x，则AE=a-x,AF=V2x,

■■■SAAEF=；(a-x)久=—；/+久=一；。一；a)2+ga2,

ZZZZZo

・••一VO,

2

当a=京时，3EF的面积的最大值为沙，故④正确；

如图3,延长AD到H,使得DH=BE,

M

同理,EG=GH,

BE=2则AE=1a,

设AG=y，则DG=a-y,

14

**•EG=GH=ci-y~ct=-u—y,

在Rt^AEG中，AE2+AG2=EG2,

艮(|«)2+y2=(1a-y)2-

解得y=|a.

.•.当BE=京时，G是线段AD的中点,故⑤正确.

综上,①④⑤正确.

故选:D.

【标注】【知识点】正方形与全等综合

9如图，在平面直角坐标系中以坐标原点0(0,0),A(0,4),B(3,0)为顶点的RfAOB,其两个锐角对应的外角的平

分线相交于点P,且点P恰好在反比例函数y=强勺图象上，则k的值为().

A.36B.48C.49D.64

【答案】A

【解析】过点P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E,如图，

.A(0,4),B(3,0),

.-.OA=4,OB=3,

AB=V32+42=5,

•■•AOAB的两个锐角对应的外角的平分线相交于点P,

•.-PE=PC,PD=PC,

；.PE=PC=PD,

设P(t,t),则PC=t,

S4P4E+S&PAB+S&PBD+SAOAB=S新CPEOD，

|xtx(t-4)+|x5xt+jxtx(t-3)+|x3x4

=txt,

解得t=6,

.•.P(6,6),

把P(6,6)代入y=kz得k=6x6=36.

故选：A.

【标注】【知识点】反比例函数的系数k的几何意义

10如图，在正方形ABCD中,AB=6,G是BC的中点将3BG沿AG对折至/FG,延长GF交DC于点E，则DE

的长是().

A.lB.1.5C.2D.2.5

【答案】C

【解析】如图，连接AE,

.■.AB=AD=AF,zD=zAFE=90°,

在RbAFE和RbADE中，

,AE=AE

[AF=AD

.RtAAFE^RtAADE,

.-.EF=DE,

设DE=FE=x，则EC=6-x.

■.G为BC中点BC=6,

，CG=3,

在RtAECG中,根据勾股定理，得:(6-久尸+9=(x+3>,

解得x=2.

则DE=2.

【标注】【知识点】翻折问题与勾股定理

11如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,点E、F分别在BC、CD上，若AE=V^NEAF=45°,则AF的长为

【答案】

【解析】取AB的中点M，连接ME,在AD上截取ND=DF,

BE

设DF=DN=x,

丁四边形ABCD是矢巨形，

/.z