二次函数中面积的最值问题（六大题型）学生版

二次善破中面欷的素值冏强（力丈题建，

压轴题密押

通用的解题思路：

二次函数中的面积最值问题通常有以下3种解题方法：

1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下:

一般步骤为:①设出要求的点的坐标；

②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差；

③列出关系式求解；

④检验是否每个坐标都符合题意.

2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式:三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半.

3）利用平行线间的距离处处相等,根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示:

直线“〃直线n

SAABC=S^ABD=S/^ABE

ABE

一般步骤为:①设出直线解析式,两条平行直线k值相等;

②通过已知点的坐标，求出直线解析式;

③求出题意中要求点的坐标；

④检验是否每个坐标都符合题意.

压轴题预测

题型01三角形面积最值问题

Ml曰（2024•宁夏银川•一模）如图，二次函数g=—/+62的图象与。轴的正半轴交于点4经过点A的直线

与该函数图象交于点B（l,5）,与沙轴交于点C.

备用图

（1）求直线的函数表达式及点C的坐标；

（2）点P是二次函数图象上的一个动点，且在直线AB上方，过点P作直线PE，c轴于点E,与直线交

于点D,设点P的横坐标为机.

①当=时，求利的值；

②设的面积为S,求S关于小的函数表达式，并求出S的最大值.

题目区（2024•新疆克孜勒苏•二模）如图,抛物线9=d+bx+c（b,c是常数）的顶点为。，与c轴交于A,B

两点，A（2,0）,AB=6,点P为线段AB上的动点，过P作PQ〃B。交AC于点Q.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标.

题目叵〕（23—24九年级下•湖北武汉・开学考试）如图，抛物线y=ax^-4ax+3a交c轴于两点（点A在

点B的左侧），交沙轴正半轴于点CQB=OC,点、P在抛物线上.

MS

（1）求抛物线的解析式；

（2）若tanZACP=2,求点P的横坐标.

（3）平面上有两点—+2,-m-5）,求的面积的最小值.

「题目区（23—24九年级下.辽宁沈阳.阶段练习）△ABC中，/氏4。=90°,AB=2,47=4,点P从点。出

发,沿射线C4方向运动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q以相同的速度从点B出发,沿射线方向

运动.设运动时间为力（力W2且力#4）秒，△APQ的面积为S.

图①备用图

⑴当0VcV2时，如图①，求S与2的函数关系式；

（2）当2V±V4时，如图②，求S的最大值；

⑶若在运动过程中，存在两个时刻X1,x2,对应的点P和点Q分别记为丹，B和Q,，对应的△ARQi和

△ABQ2的面积分别记为Si和$2,且当CP[=P£时，S尸$2,请求出X1的值.

题目回（2023.山东聊城•二模）如图，抛物线y=x2+bx+c与c轴交于45两点（点A在点B的左侧）,点A

的坐标为（-1,0）,与y轴交于点。（0,—3）,直线CD-.y=2/—3与力轴交于点D.动点河在抛物线上运动，

过点用■作轴，垂足为点P,交直线CD于点N.

（1）求抛物线的表达式；

（2）当点P在线段OO上时，的面积是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由；

（3）点"■在运动过程中，能否使以C,N,河为顶点的三角形是以2W为腰的等腰直角三角形？若存在，请直

接写出点河的坐标.

MS

，题目回（2024.浙江宁波.模拟预测）如图，一次函数夕=卒2+V3的图象与坐标轴交于点4抛物线y=

O

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点P为抛物线上一动点,在直线AB上方是否存在点P使△P4B的面积最大？若存在,请求出AF4B

面积的最大值及点P的坐标，请说明理由.

题目1（2024•甘肃陇南・一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线夕=—c—3与，轴交于点4与"轴

交于点。，过A,。两点的抛物线y=ax2+bx+c与re轴交于另一点,抛物线对称轴为直线I.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点用■为直线AC下方抛物线上一点,当4MAC的面积最大时，求点的坐标；

（3）点P是抛物线上一点,过点P作Z的垂线，垂足为。,E是，上一点.要使得以P,D,E为顶点的三角形

与此“全等,请直接写出点P的坐标.

题目回（2024•江苏盐城•模拟预测）已知抛物线y=x2+bx-3与c轴交于A,B（点A在点B的左侧），与“轴

交于点。，且OB=OC.

（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；

（2）如图1,点P为直线BC下方抛物线上一点，求△PBC的最大面积;

MS

（3）如图2,M、N是抛物线上异于B,。的两个动点，若直线BN与直线CM的交点始终在直线y=2c-9

上，求证:直线7W必经过一个定点，并求该定点坐标.

:题目回（2024.四川广元.二模）如图,在平面直角坐标系中，抛物线m=—/+法+。与2轴交于点B,A（-3,

0），与V轴交于点。（0,3）.

（1）求直线AC和抛物线的解析式.

（2）若点M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点使得以Al,4C三点为顶点的三角形是以AC为

底的等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

（3）若点P是第二象限内抛物线上的一个动点，求△P4C面积的最大值.

题目叵（2024•安徽安庆・一模）如图，抛物线y=ax2+bx+3与c轴交于点4（1,0）、5（3,0）两点，与y轴交于

（1）求此抛物线对应的函数表达式；

（2）点E为直线BC上的任意一点，过点E作2轴的垂线与此抛物线交于点F.

①若点E在第一象限，连接求△CFB面积的最大值；

②此抛物线对称轴与直线BC交于点。，连接OF,若ADEF为直角三角形，请直接写出E点坐标.

题目1T］（2024•安徽合肥•一模）如图，直线y=cc—3与工轴交于点B,与g轴交于点C,抛物线y—x2+bx+c

经过B、。两点，抛物线与，轴负半轴交于点A.

（1）求抛物线的函数表达式;

MS

（2）直接写出当④-3>x'+bx+c时，c的取值范围；

（3）点P是位于直线BC下方抛物线上的一个动点,过点P作PE，BC于点瓦连接OE.求ABOE面积的

最大值及此时点P的坐标.

：颖目应（2024.天津西青.一模）己知抛物线y=———43-12a（aV0）与立轴交于A,B两点（点A在点B左

边），与V轴交于点C.

（1）若点。（4,12）在抛物线上.

①求抛物线的解析式及点力的坐标；

②连接AD,若点P是直线AD上方的抛物线上一点，连接P4,PD,当AFAD面积最大时,求点P的坐标

及△PAD面积的最大值；

（2）已知点Q的坐标为（-2a,-8a），连接QC,将线段QC绕点Q顺时针旋转90°,点。的对应点河恰好落在

抛物线上,求抛物线的解析式.

题目叵（2024•山东临沂・二模）如图,抛物线y=ax2+^-x+c与，轴交于点A和点3（4,0）,与y轴交于点

。（0,2）,连接BC,点。在抛物线上.

（2）小明探究点D位置时发现:如图1,点。在第一象限内的抛物线上，连接BD,CD,4BCD面积存在最大

值,请帮助小明求出△BCD面积的最大值；

（3）小明进一步探究点D位置时发现:如图2,点。在抛物线上移动，连接CD,存在ADCB=ZABC,请帮助

小明求出。时点。的坐标.

［题目⑪（2024.广东深圳.二模）如图,在平面直角坐标系中，二次函数沙=一/+法+。的图象与轴交于人，B

点、，与y轴交于点67（0,3）,点B的坐标为（3,0）,点P是抛物线上一个动点.

（1）求二次函数解析式；

（2）若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面

积的最大值；

（3）连接并把人P。。沿8翻折，那么是否存在点P,使四边形POP'。为菱形;若不存在,请说明

理由.

题目叵（2024.湖北.模拟预测）如图,抛物线y=（x—l）2+k与x轴相交于A,B两点（点A在点B的左侧），

与y轴相交于点C（0,-3）.设P点在抛物线上运动,横坐标为m.

MS

（1）求此抛物线的解析式；

（2）当P点位于第四象限时，求△BCP面积的最大值，并求出此时P点坐标；

（3）设此抛物线在点。与点P之间部分（含点。和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h.

①求八关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；

②根据白的不同取值，试探索点P的个数情况.

题目叵（22-23九年级下•重庆•阶段练习）抛物线"=叱+就+5经过点4（1,0）和点5（5,0）.该抛物线

与直线沙=］工+5相交于。、。两点，点P是抛物线上的动点且位于c轴下方，直线PMIIy轴，分别与，

轴和直线CD交于点M、N.

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）连接如图1,在点P运动过程中，AFCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；

若不存在，说明理由；

（3）连接PB,过点。作CQLPM,垂足为点Q,如图2,是否存在点P,使得△CNQ与APEM相似？若

存在，求出满足条件的点P的坐标;若不存在，说明理由.

17］（2024•江苏宿迁•一模）如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y—aa?+bc+3与c轴分别相交于

两点，与y轴相交于点C,已知点A的坐标为（―1,0）,点B的坐标为（3,0）.

MS

（1）求出这条抛物线的函数表达式；

（2）如图2,点。是第一象限内该抛物线上一动点,过点D作直线〃/沙轴，直线Z与4ABD的外接圆相交于

点E.

①仅用无刻度直尺找出图2中4ABD外接圆的圆心P.

②连接BC、CE,BC与直线DE的交点记为Q,如图3,设△CQE的面积为S,在点。运动的过程中，S是否

存在最大值？如果存在,请求出S的最大值;如果不存在,请说明理由.

【题目回（2024.新疆乌鲁木齐.一模）如图，在△ABC中，=40_LBC于点。，BC=10cm,AD=

8cm，点P从点B出发,在线段上以每秒3cm的速度向点。匀速运动，与此同时,垂直于AD的直线小

从底边5。出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、当点P到达点

点P与直线m同时停止运动，设运动时间为力秒（力＞0）.

（X）AH—,EF=（用含t的式子表示）.

（2）在整个运动过程中,所形成的LPEF的面积存在最大值,当LPEF的面积最大时，求线段BP的长；

（3）是否存在某一时刻力，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻力的值;若不存在,请说明理由.

:题目T西（2024.重庆.模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c过点（3,-4）,交c轴于点

备用图

（1）求抛物线的表达式;

MS

（2）连接为线段AB上一动点，过点M作MD〃BC交直线AC于点。，连接求△MDC面

积的最大值及此时“点的坐标；

（3）在（2）中△MDC面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移四个单位长度，P是平移

后的抛物线上一动点，连接CP,当NPCM与△03。的一个内角相等时,请直接写出所有符合条件的点P的

坐标.

〔题目瓦（2024•湖南衡阳•一模）如图，已知抛物线g=ad+®+c经过A（l,0）,B（-3,0）,C（0,3）三点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D为第二象限内抛物线上一动点,求△BCD面积的最大值；

（3）设点P为抛物线的对称轴上的一个动点,求使△BFC为直角三角形的点P的坐标.

题目叵（2024•甘肃天水•一模）如图，在平面直角坐标系中,开口向下的抛物线与c轴交于46两点，。是抛

物线的顶点.O为坐标原点.AB两点的横坐标分别是方程4z—12=0的两根，且cos/OAB=拳.

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）作AC,AD,AC交抛物线于点C,求点。的坐标及直线AC的函数解析式；

（3）在（2）的条件下,在立轴上方的抛物线上是否存在一点P,使AAPC的面积最大？如果存在,请求出点P

的坐标和△APC的最大面积;如果不存在,请说明理由.

题目区（2024.山东聊城.一模）在平面直角坐标系中,抛物线y=a^+bx—3与2轴交于点A（-l,0）和点

B（3,0）,与v轴交于点。.

（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）若点P为第四象限内抛物线上一点,当△PBC面积最大时，求点P的坐标；

（3）若点P为抛物线上一点,点Q是线段上一点（点Q不与两端点重合）,是否存在以P、Q、。为顶点的

三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由.

题目^3^（2024.吉林长春.一模）如图,在平面直角坐标系中，直线y=x+2分别交/轴、夕轴于A、B两点，过

点。（2,2）作a;轴垂线，垂足为。，连接BC.现有动点P、Q同时从A点出发，分别沿4B、AD向终点8和

终点。运动，若点P的运动速度为每秒V2个单位长度,点Q的运动速度为每秒2个单位长度.设运动的时

间为t秒.

MS

（1）求力、B两点的坐标；

⑵当CQ〃AB时，力=；

（3）设△CPQ的面积为“写出"与t的函数关系式，并求△CPQ面积的最大值;

（4）当△CPQ为轴对称图形时，直接写出t的值.

［题目［24］（2023•湖南娄底・中考真题）如图,抛物线y=a^+bx+c过点A（T，。）、点凤5,0），交y轴于点C.

（2）点P（g,%）（0<x0<5）是抛物线上的动点

①当出取何值时，APB。的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；

②过点P作PEL,轴，交BC于点E,再过点P作PF〃2轴，交抛物线于点F,连接EF,问：是否存在点P,

使APEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

题目区（2024•河南安阳•模拟预测）如图,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=

—a?+x—1的形状相同，且与2轴交于点（―1,0）和（4,0）.直线《=版+2分别与2轴、沙轴交于点4B,

与沙=西2+法+。丁点（点。在点。的左侧）.

（2）点P是直线y=kx+2上方抛物线上的任意一点，当％=2时，求/XPCD面积的最大值；

（3）若抛物线y=ax2+bx+c与线段AB有公共点,结合函数图象请直接写出k的取值范围.

题目回］（2024.湖南长沙.一模）如图，抛物线y=x2-bx+c与力轴交于4（—1,0）,B（m,0）两点，与沙轴交于

点（7（0,-3）,顶点为。，直线BD交y轴于点E.

—

（1）求抛物线的解析式.

（2）设点P为线段BD上一点（点P不与B,。两点重合），过点P作2轴的垂线与抛物线交于点F,连接

DF,BF,求面积的最大值.

（3）连接CD,在线段BD上是否存在点Q,使得4BDC=NQCE?若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说

明理由.

［题目回（2024.江西萍乡.一模）如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与2轴交于力、3两点，与夕轴交于点。，抛

物线的对称轴交，轴于点。.已知4（3,0）,。（0,3）,连接力

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点P,使得以A、O、P为顶点的三角形与△03。相似,求出点P的坐标；

（3）若点河是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内，连接设△ACM的面积为S,试求S的最

大值.

题目叵（2024・四川广元・二模）如图1,抛物线？=姐2+取+。与2；轴交于4_8两点,且点_8的坐标为

（5,0）,与9轴交于点C,该抛物线的顶点坐标为（3,-4）.

（1）求抛物线和直线BC的解析式.

（2）在抛物线上是否存在点使得△BCM是以BC为底边的等腰三角形？若存在，求出所有点M的坐标；

若不存在,请说明理由.

MS

(3)如图2,以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为。5上的一个动点，连接47,求△ACP面积的最大值.

：>目叵(2023•山东青岛・中考真题)如图，在菱形ABCD中，对角线力。，BD相交于点。，4B=10cm,BD

=4V5cm.动点P从点入出发，沿AB方向匀速运动，速度为lcm/s；同时，动点Q从点A出发，沿AD方向

匀速运动,速度为2cm/s.以AP,AQ为邻边的平行四边形APMQ的边PM■与AC交于点E.设运动时间

为t(s)(0<±W5),解答下列问题：

(2)连接BE.设APSB的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式和S的最大值；

(3)是否存在某一时刻3使点B在/PEC的平分线上？若存在，求出力的值;若不存在,请说明理由.

题目应(2023•湖南怀化・中考真题)如图一所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-8与re轴交于A(

—4,0)、5(2,0)两点，与"轴交于点C.

(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；

(2)点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC,连接P4、PC,求人匕4。面积的最大值及此时点P的坐

标；

(3)设直线k-.y=kx+k-^-交抛物线于点河、N,求证:无论k为何值，平行于c轴的直线bn=—空上总

存在一点E,使得/MEN为直角.

:题目叵(2024•海南省直辖县级单位•一模)如图，已知抛物线y=ax2+2x+c(aA0),与多轴交于点A(-l,0)

和点B(3,0),与y轴交于点C,E为抛物线的顶点.

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）如图1,点P是第一象限内抛物线上一动点，连接PC、PB、BC,设氤P的横坐标为t.

①当t为何值时，APB。的面积最大？并求出最大面积；

②当t为何值时，APB。是直角三角形？

⑶如图2,过E作EF，c轴于尸，若河（馆,0）是，轴上一动点，N是线段EF上一点，若AMNC=90°,请直

接写出实数力的取值范围.

题目叵（2024.四川成都.一模）如图，直线夕=—%—4分别交①轴，夕轴于4。两点，点3在，轴正半轴上.

抛物线沙=5"+历;+c过A,B,C三点、.

5

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点B作BDHAC交g轴于点。，交抛物线于点F.若点P为直线AC下方抛物线上的一动点，连接

PD交AC于点、E,连接EB，求S^EB的最大值及最大值时点P的坐标；

（3）如图2,将原抛物线进行平移,使其顶点为原点,进而得到新抛物线,直线y=-2c与新抛物线交于O,G

两点,点H是线段OG的中点,过H作直线RQ（不与OG重合）与新抛物线交于A,Q两点，点A在点Q左

侧.直线GR与直线OQ交于点T,点T是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请

说明理由.

【题目也（2024.江苏苏州.一模）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-8ax+10a—1（a＜0）与a;轴的

交点分别为力⑶,0），B（，2,0），其中（0＜电＜，3且48=4,与沙轴的交点为。，直线CD〃2轴，在立轴上

有一动点E（t,0）,过点E作直线，，工轴，与抛物线、直线CD的交点分别为P、Q.

••

⑴求抛物线的解析式；

（2）当0Vt48时，求△4PC面积的最大值；

⑶当t>2时,是否存在点P,使以C、P、Q为顶点的三角形与△03。相似？若存在，求出此时t的值;若不

存在,请说明理由.

题型02四边形面积最值问题

［题目口（2024.安徽阜阳.一模）如图，抛物线y=ax2+bx+3与多轴交于A（—1,0）,5（3，0）两点，与y轴交于

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点P,使APAC的周长最小，求APAC的周长的最小值及此时点P的坐标；

（3）若河为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形OCMB的面积的最大值及此时点”的坐标.

题目区（2024.山东临沂.一模）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-^-x2+bx+c与2轴交于点4-2,0）

和点B,与y轴交于点。（0,4），点P是直线上方的抛物线上一点（点P不与点B,。重合），过点P作PD

〃《轴交直线于点。.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求线段PO长的最大值；

（3）连接CP,BP,请直接写出四边形ABPC的面积最大值为

【题目区（2024•山西运城•一模）综合与探究

MS

如图，抛物线9=遍+碗—3(a#0)与①轴交于A(-L,O)、B两点，与9轴交于点。，点。(―2申在抛物线

上，点P是抛物线在第四象限内的一个动点,过点P作PQ//y轴交直线于点Q,连接P4、PB、QA,设

点P的横坐标为

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)求四边形PAQB面积的最大值及此时点P的坐标;

(3)若点河是抛物线上任意一点,是否存在点使得NMAB=2乙4CO,若存在,请直接写出所有符合条件

的点河的坐标，若不存在,请说明理由.

题目可(2024.安徽合肥.一模)在平面直角坐标系中，点。是坐标原点.抛物线y=<2-+63；-3(<1/0)与2：轴

交于两点，直线Z："=%2+2与抛物线交于人，。两点，且人(一1,0),5(3,0).

⑴求a,b,%的值；

(2)点加■是线段OB上的动点，点N在c轴上，MN=2,且点N在〃■的左边.过点“作MP±x轴,交抛物

线于点P.过点N作2轴的垂线,交抛物线于点Q,交直线I于点R.

①当以P,Q,凡M为顶点的四边形是平行四边形时，求点”的坐标.

②记以P,Q,R,Af为顶点的四边形面积为S,求S的最大值.

题目互)(2024•安徽蚌埠•一模)如图1,已知直线y=—c+5与坐标轴相交于4B,点C坐标是(―1,0),抛物

线经过三点.点P是抛物线上的一点，过点P作9轴的平行线,与直线AB交于点。，与立轴相交

于点F.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点P在第一象限时，连接CP交OA于点E,连接EF,如图2所示；

①求AE+OF的值；

②设四边形AEFB的面积为S,则点P在运动过程中是否存在面积S的最大值，若存在,请求出此时点P的

坐标；若不存在,请说明理由.

题目引(2024.安徽马鞍山.一模)如图，过原点的二次函数v=a:z：2+ba;的图象与立轴正半轴交于点经过点

A的直线与该函数交于B(l,-3),与y轴交于点0(0,-4).••

（1）分别求此二次函数与直线AB的解析式.

（2）点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线轴于点E,与直线AB交于点O,

设点P的横坐标为九

①当=。时，求t的值；

②当点P在直线AB下方时，连接OP,过点口作BQLc轴于点Q,BQ与OP交于点F,连接。F,求四边

形FQED面积的最大值.

建目⑦（2024.山东济南.一模）如图,直线y=-y®+3交v轴于点A,交c轴于点C,抛物线y=-^-x2+bx+

c经过点A,点C,且交多轴于另一点B.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线AC上方的抛物线上有一点河，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；

（3）将线段。入绕多轴上的动点F（m,0）顺时针旋转90°得到线段OA，若线段OA与抛物线只有一个公共

点，请结合函数图象，求7n的取值范围.

［题目叵）（2024・四川广元・二模）如图，二次函数片Z+bc+c的图象与c轴交于原点。和点4（4,0）,经过

点A的直线与该函数图象交于另一点5（1,3）,与y轴交于点C.

（1）求直线的函数解析式及点。的坐标.

（2）点P是抛物线上位于直线AB上方的一个动点,过点P作直线PE±x轴于点E,与直线AB交于点D,

过点B作轴于点F,连接。P,与BF交于点G,连接。G.求四边形GDEF面积的最大值.

（3）抛物线上是否存在这样的点Q,使得4BOQ=45°?若存在，请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

9

［题目回（2024.广东珠海・一模）如图,抛物线y=—/+3a;+4和直线沙=2+1交于A（-l,0）,B（3,4）点，点B

在直线c=3上，直线2=3与力轴交于点C.

（1）求的度数.

（2）点P从点A出发，以每秒V2个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点。出发，以每秒2个单

位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P,Q同时出发,当其中一点到达终点时,另一个点也随之停止运

动,设运动时间为七秒（t>0）.以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线①=3上.

①当t为何值时，矩形PQ/W的面积最小？并求出最小面积；

②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM■的顶点落在抛物线上.

［题目［w］（2024.安徽宿州.二模）如图1,抛物线沙=瀛+碗-3（a,6是常数且a>0）与多轴交于点4（—1,0）

和点B（点B在点人的右侧），点。是抛物线的顶点，CD是抛物线的对称轴且交/轴于点。（1,0）.

⑴求a,b的值；

（2）点P是抛物线上一点且位于点A和点。之间.

（i）如图2,连接AP,DP,求四边形ABDP面积的最大值；

（近）如图3,连接AP并延长交CD延长线于点Q,连接BP交CD于点、E,求CE+CQ的值.

题目叵（2024•安徽•二模）如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4交2轴于点4（—1,0）,

B（4,0）,交g轴于点C,点河在该抛物线上，横坐标为小，将该抛物线两点之间（包括“，。两点）的部

分记为图象W.

MS

（1）求抛物线的解析式；

（2）图象W的最大值与最小值的差为4时，求小的值；

（3）如图2,若点“位于下方，过点A作AEII交抛物线于点E,点D为直线AE上一动点,连接CM,

求四边形CDBM■面积的最大值及此时点河的坐标.

题目叵1（2024.四川广安.二榭如图，抛物线沙=—/+、+c交，轴于江（一4,0）,3两点，交y轴于点。（0,4）.

（1）求抛物线的函数解析式.

（2）点D在线段OA上运动,过点D作2轴的垂线,与AC交于点Q,与抛物线交于点P,连接AP、CP,求四

边形AOCF的面积的最大值.

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M,使得以点A、。、加■为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出

点河的坐标;若不存在,请说明理由.

题目叵（23—24九年级上•重庆渝北・期末）二次函数y=ax^+bx+4经过点A（-l,0）,点8（4,0），点C,点D

分别二次函数与g轴的交点和顶点,点朋■为二次函数图象上第一象限内的一个动点.

••

（1）求二次函数的解析式；

（2）如图1,连接8C,过点A作的平行线交二次函数于点E,连接CE.求四边形CMBE

面积的最大值以及此时点"■的坐标；

（3）如图2,过点作M7W/沙轴，交BC于点N（点M不与点D重合）,过点D作DH//9轴，交BC于点H,当

。河=即¥时，直接写出点河的坐标.

题型03面积比最值问题

题目3ZJ（2024.安徽合肥.一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a（x+1）（①一4）与c轴交于4

B两点，与9轴交于点。（0,—2）.

（1）求a的值；

（2）点。为第四象限抛物线上一点

①求ABCD的面积最大值

②连接AO,BC交于点E,连接BD,记&BDE的面积为&,AABE的面积为S2,求熹的最大值；

题目叵（2023•四川遂宁•中考真题）在平面直角坐标系中，。为坐标原点,抛物线y=^x2+bx+c经过点O

（0,0）,对称轴过点B（2,0）,直线，过点C（2,-2）,且垂直于沙轴.过点B的直线力交抛物线于点M、N,交直

线，于点Q，其中点河、Q在抛物线对称轴的左侧.

4!yk\

■>

X

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,当BM-.MQ=3:5时，求点N的坐标；

（3）如图2,当点Q恰好在夕轴上时，P为直线h下方的抛物线上一动点，连接PQ、P。,其中PO交。于点

E,设4OQE的面积为8,/\PQE的面积为S2.求年的最大值.

:题目电（2024.湖北省直辖县级单位.一模）抛物线y="—4c与直线y=x交于原点。和点B,与2轴交于另

一点顶点为。.••

(1)求出点B和点。的坐标；

(2)如图①，连接。。，P为c轴的负半轴上的一点，当tanAPDO=｝时，求点P的坐标；

(3)如图②，M是点B关于抛物线的对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m(0<m<5),

连接MQ,BQ,MQ与直线OB交于点E,设^BEQ和4BEM的面积分别为S1和S2,求善的最大值.

题目回(2023•湖南永州•中考真题)如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)经过点F(0,5),顶点坐标

⑵如图1,直线OP：n=迎立交于点G,求要型的最大值：

X1b^BOG

⑶如图2,四边形为正方形，P4交g轴于点石，交F/0的延长线于C,且瓦」

求点P的横坐标.

彘目叵(2024.四川南充.一模)抛物线y=-^x2+bx+c(6>0)与力轴分别交于A,B两点(点A在点B的

O

左侧)，与沙轴交于点。(0,3),抛物线对称轴为，=1,点P是抛物线在第一象限上动点，连接CB,PB.

(1)求抛物线和直线BC的解析式；

⑵如图，连接P4交BC于点朋r，设A4BM的面积为$,APBM的面积为S2,求告的最小值及此时点P

的坐标.

［题目叵(2024•湖北孝感・一模)如图1,已知抛物线y=ax2+bx+3与①轴交于点A(-l,0),8(3,0)，与沙轴交

于点C,连接60.

(1)求a,6的值及直线BC的解析式；

(2)如图1,点P是抛物线上位于直线BC上方的一点,连接AP交于点E,过P作PF，7轴于点F,交

BC于点、G,

(i)若EP=EG,求点P的坐标，

(ii)连接CP,CA,记APGE的面积为$,4ACE的面积为S2,求善的最大值；

(3)如图2,将抛物线位于加轴下方面的部分不变,位于加轴上方面的部分关于立轴对称，得到新的图形，将直

线BC向下平移n个单位,得到直线I，若直线Z与新的图形有四个不同交点,请直接写出n的取值范围.

题型04面积和最值问题

题目工I(2024.吉林长春.一模)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3交2轴于点力(-1,0)、5(3,0)，交

V轴于点。，连结点。在该抛物线上，过点。作。石〃AC,交直线BC于点E,连结AD、AE、

BD.设点。横坐标为机(机＞0),/3/出的面积为的面积为S2.

⑴求a,6的值；

(2)设抛物线上。、B两个点和它们之间的部分为图象G,当图象G的最高点的纵坐标与小无关时,求小的

取值范围；

(3)当点。在第一象限时，求S+S2的最大值；

(4)当S：S2=2:1时，直接写出小的值.

题型05面积差最值问题

题目曰(2024•安徽合肥•一模)如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线，=

2,且与v轴相交于点。（0,5）.

（2）如图2,点AB在y轴上（B在人的右侧），且。4=亡（0<1<3）,48=1,过点4_8分别作3；轴的垂线交

抛物线于点DE,连接CD,CE,OE,并延长AD交CE于点F.

①求DF的长（用含力的代数式表示）；

②若△CDF的面积记作的面积记作S?，记S?—S尸S,则S是否有最大值，若有请求出，若没有，请

说明理由.

［题目区（2024•安徽