北京市2024-2025学年高一数学下学期期中检测试题（附解析）

北京市2024-2025学年高一数学下学期期中检测试题

,1171

sm----

1.3的值为()

R3「6D."

A.D.-------V/.------

~~2222

2.下列函数中，最小正周期为兀且是偶函数的是()

A.y-sinB.y=tanx

<4J

C.y=cos2xD.y-sin2x

3.设向量1=(3,4)3=(—1,2),则cos〈1,B〉=()

2V5□2亚「V5D.叵

A.

-D.-----

一5-555

4.在4ABC中,已知cos4=一,a-2^3,b=3,则。=()

3

A.1B.V3C.2D.3

5.函数/(x)=4sin(〃次+。)(其中4〉0,@〉0,0<0<»)的图像的一部分如图所示，则此函数的

f(x)=3sin1?x+3%)

A./(x)=3sin—x+—B.Tj

C./(x)=3sinl—x+—D.f(x)=3sin

TTTT

6.函数/(x)=sin(2x+—的最大值和最小值分别为()

62

1/22

,1

c.—1D.1,-1

2

7.已知向量己在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为i,则伍+3＞工=()

A.2B.-2D.-1

8.在△?!5c中，已知acos5+bcosZ=2ccos/,贝!!/=()

71

D.

2

9.已知函数/卜)=25苗[5+m](。＞0),则“/(x)在0,|上既不是增函数也不是减函数”是“。＞1

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

10.如图，正方形48CD的边长为2,P为正方形48co四条边上的一个动点，则莎.丽的取值范围是

()

A.[-U]B.[0,2]C.[0,4]D.[-1,4]

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)

11.已知圆的半径为2,则60。的圆心角的弧度数为;所对的弧长为.

12.已知向量2=(-2,3),3=(%,-6).若方〃3，则向=，x=.

2/22

13.若函数/(x)=/sinx—Gcosx的一个零点为；，则/=；将函数的图象向左至少平

移个单位，得到函数y=2siiw的图象.

14.设平面向量以反己为非零向量，且，=。,0).能够说明“若限后=之工，则石=丁’是假命题的一组向量

b,c的坐标依次为.

COS7TY

15.已知函数/(x)=——,给出下列四个结论：

X+1

①函数/(X)是奇函数；

②函数/(X)有无数个零点；

③函数/(X)的最大值为1；

④函数/(X)没有最小值.

其中，所有正确结论的序号为.

三、解答题(本大题共6小题，共85分)

16.在平面直角坐标系xOy中，角。以Ox为始边，终边经过点(-1,-2).

(1)求tan。，tan28的值；

(2)求sin。,cos。,cos［夕+；］的值.

17.已知平面向量原B,同=2,网=3,1与B的夹角为60°，

(1)求严,庐,展几

(2)求(21—B>(M+3B)的值：

(3)当x为何值时，前―B与)+3力垂直.

18.已知函数/(x)=sin2x+cos2x.

(1)求/(0)；

(2)求函数/(X)的最小正周期及对称轴方程；

(3)求函数/(x)的单调递增区间.

3/22

19.在△48。中，a=7,b=8,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.

(1)求//；

(2)求“5。的面积.

条件①：c=3；条件②：cos5=--.

7

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

20.已知函数/(x)=2cos2_x+cos2x-y^-l.

(1)求的值;

(2)求函数的在［0,可上单调递减区间；

(3)若函数/(x)在区间［0,〃?］上有且只有两个零点，求加的取值范围.

7T

21.某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为一的一块扇形空置地(如图)，现欲从中规划出一

3

块三角形绿地尸。及，其中尸在前上，PQ1AB,垂足为。，PRVAC,垂足为R,设

(1)求尸。，PR(用=表示)；

(2)当尸在上运动时，这块三角形绿地的最大面积，以及取到最大面积时a的值.

4/22

期中考试试卷答案

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)

.1171

sin----

1.3的值为()

A退口A/2rV2

222

【答案】A

【解析】

【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得.

、斗-11兀(.兀、.兀

【详角牛】sm----=sm4ji——=-sm—=-------.

3L3J32

故选：A

2.下列函数中，最小正周期为久且是偶函数的是()

A.j=smIx+—IB,y=tanx

C.y=cos2xD.y=sin2x

【答案】C

【解析】

【分析】由三角函数的最小正周期公式和函数奇偶性对选项一一判断即可得出答案.

【详解】对于A,y=sin[x+2]的最小正周期为：7=a=2兀，故A不正确；

\4y1

7T

对于B,y=tanx的最小正周期为：T=—=TI,

y=tanx的定义域为＜+,关于原点对称，令/(x)=tanx,

JM/(-x)=tan(—x)=-tanx=—/(x),所以y=tanx为奇函数，故B不正确;

9JT

对于C,y=cos2x的最小正周期为：T=—=it,

令g(x)=cos2x的定义域为R关于原点对称，

则8（—1）=©。5（—2彳）=<!。52彳=8（%）,所以y=cos2x为偶函数，故C正确；

对于D,y=sin2x的最小正周期为：7=宁=兀，

y=sin2x的定义域为R,关于原点对称，令〃（x）=sin2x,

贝i]/z（-x）=sin（—2x）=—sin2x=—/z（x）,所以y=sin2x为奇函数，故D不正确.

故选：C.

3.设向量H=（3,4）,3=（-1,2）,则cos叩为=（）

A.一垣B,运C.--D.—

5555

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示求解即得.

,a,b3x（-l）+4x2V5

【详解】向量1=3,4,b=-1,2,则cos〈a,向二:/，/，，=三・

⑷也V32+42X7（-1）2+225

故选：D

4.在AABC中，已知cos/=工，a=2也,6=3,贝ijc=（）

3

A.1B.V3C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用余弦定理求解即可

【详解】因为在^ABC中，cos/=L,a=26,6=3,

3

所以由余弦定理得/=/+。2-26ccos/,

,1

12=9+C2-6X-C,得。2-2c-3=0,

解得c=3,或c=—1（舍去），

故选：D

5.函数/(x)=4sin(0x+e)(其中/>0,eo>0,0<。<%)的图像的一部分如图所示，则此函数的

B./(x)=3sinf^x+^

A./(x)=3sinl—x+—

D./(x)=3sinf+

C./(x)=3sin^—x+—

【答案】C

【解析】

【分析】根据图象可以求出最大值，结合函数的零点，根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊值法

进行求解即可.

【详解】由函数图象可知函数的最大值为3,所以/=3,

由函数图象可知函数的最小正周期为4x(6-2)=16,

因为。>0,所以4x(6—2)=16=——,TT=><»=T—T,所以/(x)=3sinI]T—CX+。

co818

由图象可知：

7T\717171

——卜(P=3n——&(p=2k7i+—伏=(p=2k兀+——也eZ),

[4J424

因为0<(p<兀，

(

所以令人=0,所以夕=-]1T,因此/(x)=3s7i1n7[1\,

故选：C

6.函数/(乃=5皿2%+七71,了曰0,71勺的最大值和最小值分别为()

62

,1B.T

A.1,---C.—1D.1,-1

22

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求解即得.

【详解】由X£[0,—],得2xHG[—,],则当2%+/=彳，即％=—时，/(X)max=1，

2666626

当2%+乙=",即x=g时，/(、)=一▲,

6627min2

所以所求最大值、最小值分别为1,-工.

2

故选：A

7.已知向量方,3忑在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,贝！J(5+B)Y=()

；1--I---r--1--r

1--------1----------r

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定信息，利用向量数量的运算律，结合数量积的定义计算得解.

【详解】依题意，向=0,|1|=2,向=2,白石〉=巴石，」,&工〉=电,

44

因此展,=|51|c|cos曰=V2x2x(-^y-)=—2，"乙=0，

所以(1+3)1=@七+3七=一2.

故选：B

8.在中，已知acos5+bcosZ=2ccos/,贝!!/=()

6432

【答案】c

【解析】

【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦求出即得.

【详解】在AASC中，由acos5+6cos/=2ccos/及正弦定理，得

sin/cos5+sin5cos/=2sinCcos/，

则sin(4+5)=2sinCcos4,即sinC=2sinCcos/,而sinC>0,

因此cos/=L,而0</<兀，

2

所以/=?

故选：C

/7C171

9.已知函数/(x)=2sin5+§(。>0),贝胪/⑴在0,-上既不是增函数也不是减函数”是“0>1

的()

A,充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

兀1

【分析】以&X+—为整体结合正弦函数的性质可得&>—,进而根据充分、必要条件分析判断.

32

7T7CJL7T7T

【详解】因为0,—且外〉0,贝!+—69+--,

33333

jr

若/(X)在0,y上既不是增函数也不是减函数,

则一G)H---->一，解得G)>一,

3322

又因为(1,+8)p+oo\

JT

所以“/(X)在Q,-上既不是增函数也不是减函数”是“0>1”的必要不充分条件.

故选：B.

10.如图，正方形48co的边长为2,P为正方形48CD四条边上的一个动点，则方.丽的取值范围是

()

A.[-U]B.[0,2]C.[0,4]D.[-1,4]

【答案】D

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，分点P在CD上，点P在BC上，点P在AB上，点P在AD上，利用数

量积的坐标运算求解.

【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：

则/(0,2),5(2,2),

当点P在CD上时，设。(x,0)(0<X<2),

则亥=(x,-2),~PB=(x—2,-2),

所以而•砺=x(x—2)+4=(x-1)2+3e[3,4]；

当点P在BC上时，设〃(2,y)(0<y<2),

则月=(2,y-2),瓦=(O,y-2),

所以忌.砺=(y_2『e[0,4]；

当点P在AB上时，设。(x,2)(0<x<2),

则月=(羽0),行=(x—2,0),

所以忌.丽=x(x—2)=(x—1丁—1e[-1,0]；

当点P在AD上时，设〃(0/)(0…2),

则⑸=(0,y-2),PB=(-2,y-2),

所以总.丽=(y_2)2e[0,4]；

综上：沙.而的取值范围是[7,4].

故选：D

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)

II.已知圆的半径为2,则60。的圆心角的弧度数为;所对的弧长为

【答案】①.-##-71②.-##-71

3333

【解析】

【分析】利用度与弧度的互化关系，弧长计算公式求解即可.

TTTTTT/.TT.

【详解】60。的圆心角的弧度数为60x——=-；所对的弧长为2x—=.

180333

,,,兀2兀

故答案?为：一；—

33

12.已知向量5=(-2,3),3=亿一6).若万〃石，则向=,x=

【答案】①.而②.4

【解析】

【分析】利用坐标法求出向量的模，再根据向量共线的坐标表示求出X.

【详解】因为向量之=(一2,3),所以同=62)7币=而，

又B=(%,-6)且allb,

所以3x=—2x(—6),解得工=4.

故答案为：V13;4.

13.若函数/(x)=Zsinx—gcosx的一个零点为]，则4=；将函数/⑴的图象向左至少平

移个单位，得到函数y=2sinx的图象.

7T]

【答案】①.1②.一##—71

33

【解析】

【分析】利用零点的意义求出A；利用辅助角公式化简函数/(、)，再借助平移变换求解即得.

【详解】函数/(x)=Zsiiu—Gcosx的一个零点为1,得Zsin；—K(:(与三二0,解得4=1；

则f(x)=_A/3COSX=2sin(x-y),显然/(x+1)=2sin[(x+m)—]]=2siiix,

7T

所以/(%)的图象向左至少平移一个单位，得到函数歹=2sinx的图象.

3

7T

故答案为：1;—

3

14.设平面向量原为非零向量，且7=(1,0).能够说明“若限3=2工，则]=丁’是假命题的一组向量

b,c的坐标依次为.

【答案】(0,1),(0,-1)(答案不唯一)

【解析】

【分析】令向量与向量1都垂直，且305即可得解.

【详解】令B=(0,l),c=(0,—1),显然。B=o=n,而

因此B=(0,1),c=(0,-1)能说明“若a-b-a-c'则石=己”是假命题，

所以向量6忑的坐标依次为（O，D，（O，T）.

故答案为:（0,1）,（0,-1）

15.已知函数/（X）=—CO—S7TY,给出下列四个结论:

X+1

①函数/（X）是奇函数；

②函数/（X）有无数个零点；

③函数/（X）的最大值为1；

④函数/（X）没有最小值.

其中，所有正确结论的序号为.

【答案】②③

【解析】

【分析】根据偶函数的定义判断①，令/（x）=o求出函数的零点，即可判断②，求出函数的最大值即可

判断③，根据函数值的特征判断④.

【详解】函数/卜）=笠丝的定义域为R,

JC+1

又〃-加警岩=若=小），所以/（x）=等为偶函数，故①错误;

（-x）-+lX-+1八）x2+l

Ar,、COS7tX八77r,7.11/7

令J\x）-------=0=>COS兀X=0=>TTX=E+—（kGZ）nX=4+—（左GZ）,

x+122

所以函数/（x）有无数个零点，故②正确；

因为|c0S7Ct|<l,当7IX=左兀（EeZ）,即x=左（左eZ）时取等号，

又因为当且仅当x=0时取等号，所以有当且仅当x=0时取等号，

X+1

所以有当可<1,当且仅当x=0时取等号，因此有/（x）=冷上<1,即1mx=/（0）=1,故③

X+1X+1

正确；

因为/（%）=字少为偶函数，函数图象关于了轴对称，只需研究函数在（0,+8）上的情况即可,

X+1

当x-母时，---->0,又—IWcOSTlxWl,所以当时/(x)-o,

X+1

又/(4x=/(0)=l，

当0<%<；时COS71X>0,X2+1>0，所以/(x)>0，

13

当3<X<5时一1WCOS7LX<0，X2+1>0，所以/(%)<0,

当x〉l时/+1〉2，0<|cOS7lx|<l,所以

1(1A/3、

又〃1)=——,f-=0,f-=0,且/(%)为连续函数，所以/(X)存在最小值,

2V2JV2J

事实上/（X）的图象如下所示：由图可知/（X）存在最小值，故④错误.

三、解答题（本大题共6小题，共85分）

16.在平面直角坐标系xOy中，角夕以Ox为始边，终边经过点（-1,-2）.

（1）求tan。，tan28的值；

（2）求sin。,cos。,cos[6+；]的值.

4

【答案】（1）tan6=2,tan20=一一

3

X.Q—2yJ'5Q—yj-5（AI叫—

（2）sin-----，cos，cos

0—50=----5--I”H—4j=---1--0--

【解析】

【分析】（1）由三角函数的定义求出tan。，再由二倍角正切公式求出tan26；

（2）由三角函数的定义求出sin。，cos。，再由两角和的余弦公式计算可得.

【小问1详解】

因为角6以6:为始边，终边经过点（-1,-2）,

所以tan。=二=2,2tan6_2x24

则tan20-2

-11-tan201-23

【小问2详解】

因为角6以。x为始边，终边经过点（-1,-2）,

所以si"=I,、//<-V5

J(T)+(-2)J(-1)+(-2『

’71、7171

所以cos。+—=cos8cos——sinsin—

444

-V5V21-2君)V25

=---------X--------------------------X-------=----------

5215J210

17.已知平面向量扇B,同=2,刊=3,1与B的夹角为60°，

（1）求筋,『，晨B；

（2）求（21—B）•伍+3B）的值：

（3）当X为何值时,切一分与打3力垂直.

【答案】（1）4,9,3；

（2）-4；

【解析】

【分析】（1）利用数量积的定义计算即得.

（2）利用数量积的运算律计算即得.

（3）利用垂直关系的向量表示，数量积的运算律求解即得.

【小问1详解】

向量扇同=2，W=3,2与$的夹角为60°，

22

所以不=|5|=4,F=|6|=9,3.&=|5P|COS600=3.

【小问2详解】

依题意，(25—3).(5+33)=2不—3^2+55.3=2x22—3x32+5x3=—4.

【小问3详解】

30

由(xM—B)•(万+3B)=0，xa2-3b7+(3x-1)5-5=4x-27+3(3x-1)=13x-30=0,解得X=R,

30_r,

所以当x=w时,xI-B与a+3b垂直.

18.已知函数/(x)=sin2x+cos2x.

(1)求/(0)；

(2)求函数/(x)的最小正周期及对称轴方程；

(3)求函数7'(x)的单调递增区间.

7rK7T

【答案】(1)1；(2)兀，x=—I---，左eZ；

82

371,71,/,

(3)----Fku,—Fkjt(keZ).

L88T)

【解析】

【分析】(1)代入计算求出函数值.

(2)(3)利用辅助角公式化简函数/(X),再结合正弦函数的图象与性质求解即得.

【小问1详解】

函数f(x)=sin2x+cos2x,所以f(0)=sinO+cosO=1.

【小问2详解】

函数/(x)=J5sin(2x+：),所以函数/(x)的最小正周期7=笄=兀；

.兀兀77rA兀kjl.r

由2xH--=---左兀,左£Z,角牛传X----1---，左£Z,

4282

JTKir

所以函数/(X)图象的对称轴方程为x=—+—,keZ.

82

【小问3详解】

JIJIJIJJIJI

由---F2kn<2x+—<—+2ATI,keZ,得-----\-kK<x<—+kn,keZ

242889

47rir

所以函数〃x）的单调递增区间是—丁+配石+析（keZ）.

88

19.在△48。中，°=7,6=8,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.

（1）求//；

（2）求“5。的面积.

条件①：c=3；条件②：cosS=--.

7

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

7F

【答案】（1）选①②答案相同，ZA=—；

3

（2）选①②答案相同，"5。的面积为6百.

【解析】

【分析】（1）选①，用余弦定理得到cos/,从而得到答案；选②：先用余弦定理求出c=3,再用余弦定

理求出cosZ,得到答案；（2）选①，先求出Sin^=->使用面积公式即可；选②：先用sinC=sin（/+B）

2

求出sin。，再使用面积公式即可.

【小问1详解】

选条件①：c=3.

在△45。中，因为q=7,b=8,。=3,

由余弦定理，得cos4=3^——64+9-49_1

2bc2x8x3~2

因为/e（O,兀）,

71

所以//=—;

3

选条件②：cosB--

7

/+「2—*49+r2-641

由余弦定理得：cos5=巴士~~~—解得：。=3或—5(舍去)由余弦定理，得

2ac14c7

,b2+c2-a264+9-491

cosA=-----------=----------=—.

2bc2x8x32

因为Ne(O,兀)，

TT

所以乙4二一;

3

【小问2详解】

选条件①：c=3

由(1)可得sinA=.

2

所以A/15C的面积S=—bcsin=—x8x3x^-=6y/3.

222

选条件②：cosB=--.

7

由(1)可得cos/=4.

2

因为sinC=sinfn-(A+B)]

=sin(4+B)

=sinAcosB+cosAsinB

_3V3

-----,

14

所以^ABC的面积S=—absinC=—x7义8义=6^3

2214

20.已知函数/(x)=2cos2x+cosf2x-y1-1.

(1)求/(e)的值;

(2)求函数/(x)的在［0,可上单调递减区间;

(3)若函数/(x)在区间［0,"?］上有且只有两个零点，求加的取值范围.

3

【答案】(1)-

2

兀7兀

(2)

12?12

5兀4兀

(3)

【解析】

【分析】(1)利用二倍角公式及和差角公式化简函数解析式，再代入计算可得;

TTTTTTjJT

(2)由'的取值范围求出2x+一的范围，再根据正弦函数的性质得到一《2x+—«——，解得即可;

3232

7T

(3)由x的取值范围求出2x+—的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可.

3

【小问1详解】

因为/(X)=2COS2X+CO