北京市2024-2025学年七年级下学期期中考试启航班检测数学试卷（含答案）

北京市2024-2025学年第二学期期中

考试试题

七年级启航班数学

一、选择题：本题共12小题，每小题2分，共24分.在每小题给出的选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.一个多边形的内角和是1260。，这个多边形的边数是（）

A.7B.8C.9D.10

2.如图，已知A4BC三条边、三个角,则甲、乙两个三角形中，与A45C全等的图形是

甲和乙D.都不是

3.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕,则NCBQ的度数为（）

£

A.60°B.75C.90D.95

4.不等式2x-1W3的解集在数轴上表示正确的是（）

A.B.—।------1————।----1-------

023-10123%

C.D.—।------1----1-------------1----->>

-10123%

5.如果将一副三角板按如图方式叠放，那么N1等于（）

试卷第1页，共6页

A.120°B.105°C.60°D.45°

6.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明乙4'0'9=乙408的依据是

（）

D.ASA

L的大小顺序是（）

7.当0<x<1时,f、X、

X

1

A.x2<x<-B.—<x<x,2

XX

21

C.-<x2<xD.x<x<—

XX

8.已知三角形的两边分别为1和4,第三边长为整数，则该三角形的周长为（）

A.7B.8C.9D.10

9.如图，已知力E=CR乙4FD"CEB,那么添加下列一个条件后，仍无法判定金△C5E

的是

A.B.AD=CBC.BE=DFD.AD\\BC

10.《九章算术》中有这样一个题，其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣

质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒.问醇酒、行酒各能买多少？设醇酒买了x

斗，行酒买了》斗，则可列二元一次方程组为（）

Ix+y=2（x-y=2

A，〔50%+10）=30150x+10y=30

CIf=2ff=2

•[10x+50y=30*]10%+30y=50

2x+3>12

11.若关于x的不等式组“恰有3个整数解，则实数Q的取值范围是（）

\x-a<0

试卷第2页，共6页

A.7<。<8B.7<tz<8C.7<«<8D.7<a<8

ax+by=mX=1lax+3by-2b=m

12.若方程组;的解为则方程组25+382』的解为（）

ex+ay=ny=l

11

X=1x=2x=—X=一

A.B.C.〈2D.<2

歹=17=3

J=1P=3

二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分.

13.比较大小：26____4(填或“=

15.已知且。、6为两个连续的整数，贝iJa+6=

x+2y=4

16.已知二元一次方程组2f=5'则xr的值为

17.规定用符号口”表示一个实数〃?的整数部分，例如0,[3.14]=3,.按此规定,

［行-1］的值为

18.已知三角形的三边长分别为5,8,2x+l,则x的取值范围是

19.而的平方根与-27立方根的和是.

20.运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否<18"为一次程序操作.

若输入X后，程序操作仅进行了一次就停止.则X的取值范围是—.

21.在△ABC中，AB=5,AC=3,是边上的中线，则的取值范围是.

22.观察下列各式："^=25、卜［=3。、「1=4^……，请你找出其中规律，

并将第n(n>1)个等式写出来.

三、计算题：本大题共6小题，共24分.

试卷第3页，共6页

23.计算：++

2x+3y=5

24.解方程组:

3x-2y=1

3x+2y=19

25.解方程组:

2x-y=\

4x-2>3（x-l）@

26.解不等式组％-5।内，并把解集在数轴上表示出来.

------+1〉1一3②

I2

2x>5x-3

27.解不等式组4x+2,并写出它的所有整数解.

--------->X

[3

28.阅读下面解方程组的过程，回答相应的问题.

[3x+2y=-3@

解方程组：<石

[5y+12x=-3②

②-①，得9x+3y=0,即y=-3x.③

把③代入①，得3x+2x(-3x)=-3,

解得x=1.

把X=1代入③，得>=-3xl=-3.

fx=1

所以原方程组的解为

[夕=一3

以上解方程组的方法叫做消常数项法.

7x-8y=22

请用上面的方法解方程组:

3x-5j=11

四、解答题：本题共6小题，共32分.解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤.

29.要求：铅笔作图（可以借助带刻度的直尺、三角板和量角器）：

已知AA8C（如图），求作：

(1)A48c的中线4D；

试卷第4页，共6页

（2）AABD的角平分线AM；

⑶A4co的高线CN；

⑷若（其中C表示周长），且/8=5,则NC=

30.如图，已知4B=AD,AC=AE,NBAD=NCAE.求证：BC=DE.

AD=BC,ZA=ZB,AE=BF.

求证：AADFNBCE.

32.某工厂计划生产4,2两种产品共10件，其生产成本和利润如表:

/种产5种产

品品

成本（万元/

25

件）

利润（万元/

13

件）

（1）若工厂计划获利14万元，问）,8两种产品应分别生产多少件？

（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有几种生产方案?

（3）在（2）条件下，哪种生产方案获得利润最大？并求出最大利润.

33.已知：4(0,1),3(2,0),C(4,3)

试卷第5页，共6页

(1)在坐标系中描出各点，回出△48C.

(2)求△/BC的面积；

(3)设点P在坐标轴上，且AABP与△4BC的面积相等，求点尸的坐标.

34.如图(1),AB=Acm,AC1AB,BD1AB,/C=30=3cm.点尸在线段上以Icm/s

的速度由点A向点3运动，同时，点。在线段AD上由点B向点。运动.它们运动的时间为

图⑴图⑵

⑴若点。的运动速度与点P的运动速度相等，当"1时，尸与MP。是否全等，请说

明理由，并判断此时线段尸C和线段PQ的位置关系；

(2)如图(2),将图(1)中的“NC_L/8,BDJ.4B”改为“NCAB=/DBA=60。”,其他条

件不变.设点。的运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使得△NW与尸。全等？若存在,

求出相应的X、/的值；若不存在，请说明理由.

试卷第6页，共6页

1.c

【分析】根据多边形的内角和公式列式求解即可.

【详解】解：设这个多边形的边数是〃，则

(«-2)-180°=1260°,

解得〃=9.

故选：C.

【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式，即多边形的

内角和为(-2)180。.

2.C

【分析】甲可根据NSN判定与△/BC全等；乙可根据N/S判定与△/8C全等，可得答案.

【详解】解：甲三角形夹b边的两角分别与已知三角形对应相等，故根据NS4可判定甲与

AABC全等;

乙三角形50。内角及所对边与八45。对应相等且均有70。内角，可根据44s判定乙与八43。

全等；

则与AABC全等的有乙和甲，

故选：C.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定

理，注意对应二字的理解很重要.

3.C

【分析】根据图形，利用折叠的性质，折叠前后形成的图形全等,对应角相等，利用平角定

5C^ABC+ZA'BC+ZE/BD+ZEBD=180°,再通过等量代换可以求出NCBD.

解：•.•长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕

•••ZA'BC=ZABC,NE'BD=ZEBD

■■■/ABC+ZA'BC+ZE'BD+ZEBD=180。（平角定义）

ZA'BC+NA'BC+ZE'BD+ZE'BD=180°（等量代换）

答案第1页，共17页

ZA'BC+ZE'BD=90°

即NCBD=90°

故选：C.

【点睛】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实

际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系.

4.C

【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可.

【详解】解：移项得，2xg3+l,

合并同类项得，2xW4,

系数化为1得，x<2,

故选：C.

【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右，在表示解

集时N,W要用实心圆点表示；<,>要用空心圆点表示”是解答此题的关键.

5.B

【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据直角求出N2=45。，然后根据三角形内角和求

解N3,进一步求解N1即可.

【详解】解：如图,

由题意知：/2=90°-45°=45°,

.-.Z3=180°-45°-60°=75°,

.­.Zl=180°-Z3=105°；

故选：B.

6.A

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关

键.

答案第2页，共17页

根据尺规作图可知c。'==8,。'。'=。，可证AO'C'D'SAOCO(SSS),得到

NAOP=NAOB,即可得到结论.

【详解】解：直尺和圆规作一个角等于已知角可得C'O'=CO,CD'=CD,O'D=8,

.•.△oczysAocr»(sss),

ZC'O'D'=ZCOD,

ZA'O'B'=ZAOB,

故选：A.

7.A

【分析】根据不等式的性质，分别在不等式两边同时乘上x和同时除以x即可进行判断.

【详解】解：当0<x<l时，在不等式两边同时乘上x可得：0</<x；

在不等式两边同时除以x可得：0<1<，

x

V0<x<1

21

:.x<x<—

X

故选：A

【点睛】本题考查不等式的性质.熟记相关结论是解题关键.

8.C

【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取

值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长.

【详解】设第三边为X,

根据三角形的三边关系，得：4-1<x<4+l,

即3Vx<5,

,■,X为整数，

.•.X的值为4.

三角形的周长为1+4+4=9.

故选C.

【点睛】此题考查了三角形的三边关系.关键是正确确定第三边的取值范围.

9.B

【分析】利用全等三角形的判定依次证明即可.

答案第3页，共17页

【详解】解：以E=CF,

，AE+EF=CF+EF.

：.AF=CE.

A.在方和△C5E中，

Z=ZC

<AF=CE,

ZAFD=/CEB

.•.△ADF三ACBE(ASA)f正确，故本选项不符合题意.

B.根据4D=C5,AF=CE,乙4即=4。£5不能推出错误，故本选项符合题

-zfe.

C.在A4D尸和△CAE■中，

AF=CE

<ZAFD=ZCEB,

DF=BE

；./\ADFmACBE(SAS),正确，故本选项不符合题意.

D.■■■ADWBC,

.•.乙4=/C.由/选项可知，△ADF2CBE(ASA),正确，故本选项不符合题意.

故选B.

【点睛】本题考查了添加条件证明三角形全等，解题的关键是熟练运用判定三角形全等的方

法.

10.A

【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出

未知数，找出合适的等量关系，列方程组.设买美酒x斗，买普通酒V斗，根据“美酒一斗

的价格是50钱、买两种酒2斗共付30钱”列出方程组.

【详解】解：依题意得：J.s'，

故选：A.

11.C

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀不等式组的整数解个数即可得出答案.

9

【详解】解：解不等式2x+3>12,得：x>~,

答案第4页，共17页

解不等式得：X<a,

•・・不等式组只有3个整数解，即5,6,7,

7<6?<8,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不

等式，并根据不等式组整数解的个数得出关于。的不等式组.

12.C

【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解.根据已知条件和二元一次方程组的解的定义

2x=l

得到。c「求出X,歹即可.

[3y一2=1

{lax+3by-2b=m

【详解】解:

[2cx+3dy—2d=n

lax+b（3y-2）=m

2cx+d（3〉-2）=n

ax+by=m[x-]

方程组的解为1

ex+dy=nU=i

2x=l

3y-2=l

1

x二一

解得：,2,

、歹=1

1

lax+3by-2b=mx=一

•••方程组2s+3dy-2d=〃的解为一2,

J=1

故选：c.

13.<

【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，由3<4可得。<2,进而可得

2g<4,即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键.

【详解】解：:3<4,

••.V3<V?,

答案第5页，共17页

即G<2,

.■-2V3<4,

故答案为：<.

14.50

【分析】本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的

关键.

根据全等三角形对应角相等可知是。、c边的夹角，然后写出即可.

【详解】解「••两个三角形全等，

••.Na的度数是50。,

故答案为：50.

15.7.

【分析】先估算而的大小，再得出结果.

【详解】•■-9<15<16,

•••3<V15<4,

•••a=3,b=4,

••・a+b=3+4=7.

故答案为：7

【点睛】本题考查了无理数的估算，题目不难，是基础题.

16.1

【分析】直接由②-①即可得出答案.

【详解】原方程组为(x、+2'y=4二①二

[2x+y=5②

由②-①得x-y=l.

故答案为：1.

【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是学会观察，并用整体法求解.

17.1

【分析】本题考查无理数的整数部分，根据无理数的估算方法估算出1<石-1<2即可求解.

【详解】解：石〈囱，

答案第6页，共17页

•1•2<V5<3,

*'•1<y[5-1<2,

...[后-1J=1,

故答案为：1.

18.1<x<6

【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边

的差，而小于两边的和.根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的

两边差小于第三边可得答案.

【详解】解：••・三角形的三边长分别为5,8,2x+l,

根据三角形的三边关系可得：8-5<2x+l<8+5,

解得1<x<6,

故答案为：l<x<6.

19.0或-6##-6或0

【分析】根据平方根和立方根的概念求解.

【详解】•••病=9,(±3)2=9,(-3)3=-27,

V81的平方根是±3,-27的立方根是-3.

则：闻的平方根与-27立方根的和为：3-3=0,或者-3-3=-6,

故答案为：0或-6.

【点睛】考查的是平方根和立方根的概念，熟知算术平方根及立方根的定义是解答此题的关

键.

20.x<8

【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式是

解题的关键.根据运行程序，列出不等式，然后求解即可.

【详解】解：依题意得：3x-6<18,

解得x<8.

故答案为：x<8.

21.1<AD<4##4>AD>1

【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握倍长中线法构造全等是解题的关键;

答案第7页，共17页

延长4D到E,使DE=AD,连接CE,根据SAS可证A/BOGAECD,得4B=CE=5,再

由三角形的三边关系即可得出结论.

【详解】解：如图，延长/。到£,使DE=AD,连接CE,

则有/£=2/。，

ZADB=ZEDC,DE=AD,

:"BD%ECD(SAS),

AB=CE=5,

在中，由三角形三边关系得CE-/C</E</C+CE,

5-3<AE<5+3,

/.2<2AD<8,

AD<4,

故答案为：1<4D<4.

【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，化简二次根式，观察可知，二次根式里面的整

数为序号，分数的分子为1,分母为序号加2,开方的结果外面的整数为序号加1,二次根

式里面的分数的分子为1,分母为序号加2,据此规律求解即可.

以此类推可知,

答案第8页，共17页

故答案为:

23.V3-6

【分析】本题考查的是实数的混合运算，先计算算术平方根，立方根，绝对值，再合并即可.

【详解】解：74+^^64-7(-3)2+|^3-1|

【分析】根据加减消元法解答即可.

【详解】解:

①x2+②x3,得：13x=13,

即x=1,

把X=1代入②，得3-2>=1,解得y=l,

・••方程组的解为

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，属于基础题型，熟练掌握代入法和加减法求解

的方法是关键.

(x=3

25.5

b=5

【分析】方程组利用代入消元法求出解即可.

3x+2y=19①

【详解】解:

2x-y=1(2)

由②得：y=2x-l③，

把③代入①得：3x+2(2x-l)=19,即x=3,

把x=3代入③得：>=5,

[x=3

则方程组的解为

[y=5

【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法解方程是解本题的关键.

26.-l<x<3,画图见解析

答案第9页，共17页

【分析】本题考查的是求一元一次不等式组的解集，理解一元一次不等式组的解法是解答关

键.要注意无是否取包含有等于，若取包含有等于时则X在该点是实心的，反之X在该点是

空心的.先求出每一个不等式的解集，然后确定出不等式组的解集，最后在数轴表示出来即

可.

4x-2>3(x-l)©

【详解】解：二+l>x-3②

由①去括号得4x-223x-3,

解得x2-1；

由②去分母得

x—5+2>2(x—3),

去括号得

x—5+2>2x—69

移项并合并同类项得

-x>一3,

解得x<3,

在数轴上表示如下：

-2-101234

・•.不等式组的解集是：-l<x<3.

27.-2<x<l；不等式组所有的整数解为：一1,0,1

【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可.

2x>5x—3①

【详解】解：〈4x+2办

L3

解不等式①，得：x<l；

解不等式②，得：x>-2；

所以，不等式组的解集为：-2<x<l.

该不等式组所有的整数解为：一1,0,1.

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找;

大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

答案第10页，共17页

x=2

28.

)=-l

【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，由②x2-①可得x=-2y,再进一步求解即

可.

7x-8尸22①

【详解】解:

3x-5y=ll②

②x2—①，得—x—2〉=。，即x=-2y③,

把③代入①，得-14”8V=22,

即.

把了=一1代入③，得尤=2.

[x=2

则方程组的解是，.

。=一1

29.(1)答案见详解；

(2)答案见详解;

(3)答案见详解；

(4)8.

【分析】(1)用刻度尺确定边8c的中点。，连接4D即可；

(2)利用量角器量出//D2的度数，再求:/4D8度数，确定的平分线交42于点

M,则。M即为所求；

(3)过点C作CNLAD交/。延长线于N,则CN即为所求；

(4)根据已知列式计算即可.

【详解】(1)解：如下图所示，

线段即为所求的A48c的中线；

(2)解：如下图所示，

线段。M即为所求的AAB。的角平分线；

(3)解:如下图所示,

线段CN即为A4CZ)的高线；

(4)解：CtiADC—CMDB=3,

AC+AD+CD-AD-BD-AB=3),

答案第11页，共17页

•：CD=BD,

AC—AB=3,

•・•AB=5,

:.AC=8,

故答案为：8.

【点睛】此题考查了三角形的中线、角平分线、高线的作法，三角形的周长等知识，熟练掌

握三角形的中线、角平分线与高线的作图方法是解答此题的关键.

30.见解析

【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，根据已知条件证△/BCg/kADE,则该全等

三角形的对应边相等=DE.

【详解】证明：=

ABAD+ACAD=ZCAE+ZCAD,即：ABAC=ZDAE.

在l\ABC和KADE中，

AB=AD

<NBAC=NDAE,

AC=AE

:.^ABC^ADE(SAS),

：.BC=DE.

31.详见解析

【分析】先将4E=BF转化为4F=BE,再利用SAS证明两个三角形全等.

【详解】证明：因为/£=8月

所以，AE+EF=BF+EF,

即AF=BE,

在AID厂和△5CE中，

答案第12页，共17页

AD=BC

,ZA=NB

AF=BE

所以，NADF=ABCE.

【点睛】用SAS证明两三角形全等.

32.(1)/种产品应生产8件，B种产品应生产2件.

(2)3

(3)当生产/种产品2件，B种产品8件时可获得最大利润，其最大利润为26万元

【分析】(1)设/种产品应生产x件，则8种产品应生产(10-x)件，列出方程即可解决.

(2)设/种产品应生产"?件，则8种产品应生产件，列出不等式组解决问题.

(3)得出利润y与/产品数量x的函数关系式，根据增减性可得，5产品生产越多，获利

越大，因而8取最大值时，获利最大，据此即可求解.

【详解】(1)解：设/种产品应生产x件，则5种产品应生产(10-x)件，

由题意，x+3(10—x)=14,

解得x=8,

■■-W-x=2,

-.A种产品应生产8件，2种产品应生产2件.

(2)设N种产品应生产件，则8种产品应生产(10-m)件，

由题意得

2机+5(10-机)<44

m+3(10—m)>20'

解这个不等式组，得2口<5,

••力为正整数，加可以取2或3或4；

二生产方案有3种：

①生产A种产品2件，B种产品8件；

②生产4种产品3件，8种产品7件.

③生产4种产品4件，3种产品6件.

(3)设总利润为y万元，生产/种产品x件，则生产3种产品(10-x)件，

则利润y=x+3(10-x)=-2x+30,

则了随x的增大而减小，即可得，/产品生产越少，获利越大，

答案第13页，共17页

所以当生产4种产品2件，8种产品8件时可获得最大利润，其最大利润为2x1+8x3=26

（万元）.

【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是学

会构建方程或不等式解决问题，属于中考常考题型.

33.⑴见解析

⑵4

⑶点尸的坐标为（10,0）或（-6,0）或（0,5）或（0,-3）

【分析】本题考查作图一复杂作图、坐标与图形性质、三角形的面积.

（1）根据点B,C的坐标描点再连线即可.

（2）利用割补法求三角形的面积即可.

（3）当点尸在x轴上时，设点P的坐标为（加⑼，根据题意可列方程为:、何-2卜1=4,

求出加的值即可得点P的坐标.当点尸在y轴上时，设点尸的坐标为（0,〃），根据题意可列

方程为gx|"-l|x2