北京市某校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷（解析版）

北京市回民学校

2024-2025学年度第一学期期中练习（11月）

初三数学

一、选择题（每小题2分，共16分）

1.一张薄纸，一双巧手，在一剪一刻间幻化出千姿百态的美丽图案，令人叹为观止，这就是剪纸艺术.剪

纸作品形式多样，以下剪纸作品中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义逐一判断即可.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、既是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部

分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

2.若抛物线'=7'+】经过点（一工31,贝!j%的值是（）

A.-1B.-2C.-3D.3

【答案】C

【解析】

【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，把（"Ji代入），=-/+从r+】后解方程求出匕的值.

【详解】解：把‘"代入得，

3=-（-2）3-2Z>+l

解得b=-3

故选：c

3.下列关于抛物线J二一/•:的说法正确的是（）

A.抛物线开口向上B.在对称轴的右侧，随丁的增大而增大

C.顶点坐标为D.当x-L有最大值是2

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次函数的图象和性质，逐项判断即可求解.

【详解】解：

.,•抛物线的开口向下，故A选项错误，不符合题意；

•.•抛物线'=*[’的对称轴为】'轴，且抛物线的开口向下，

在对称轴的右侧，y随尤的增大而减小，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，故B选项错误，不符

合题意；

抛物线J=-『十]的顶点坐标为'。,故C选项错误，不符合题意；

..•抛物线的顶点坐标为(°二1,抛物线的开口向下，

...当、=0,F有最大值是2,故D选项正确，符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.

4..车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征()

A.圆上各点到圆心的距离相等B.直径是圆中最长的弦

C.同弧所对的圆周角相等D.圆是中心对称图形

【答案】A

【解析】

【分析】根据车轮的特点和功能进行解答.

【详解】车轮做成圆形是为了在行进过程中保持和地面的高度不变，

是利用了圆上各点到圆心的距离相等.

故选：A.

【点睛】本题考查了对圆的基本认识，即墨经所说：圆，一中同长也，属于基础知识，难度较小.

5.某快递公司今年一月份完成投递的快递总件数为10万件，二月份、三月份每月投递的件数逐月增加，

第一季度总投递件数为331万件，问：二、三月份平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率

为、，根据题意得方程().

A10il+xf-33l口10(1+.XI4-10(1+AI3=33.1

c10+10(l+.v)J=331D10+10(1i+10(l+rf-331

【答案】D

【解析】

【分析】根据该快递公司今年一月份及第一季度完成投递的快递总件数，即可得出关于x的一元二次方

程，此题得解.

【详解】解：依题意，得：10+10(1+无)+10(1+x)2=33.1.

故选：D.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关

键.

6.如图，斯,是O°的两条直径，点A是劣弧亦的中点.若一OCF-'o,则一.怔十的度数

【答案】C

【解析】

【分析】连接。月，如图所示，由对顶角性质、邻补角定义得到，DOF,再由同弧所对的圆心角相等及

等腰三角形的判定与性质，结合三角形内角和定理求出角度即可得到答案.

【详解】解：连接。如图所示：

A

•:"OD=4COF=3；

ZZ＞（?F=180o-32o=148o,

;点A是劣弧。尸的中点，

〃0D=40F=-ZI>OF=74。

AD=AF则2

OD~OA,

ZJWC=州工53。

故选：c.

【点睛】本题考查圆中求角度，涉及对顶角性质、邻补角定义、同弧所对圆心角相等、圆的性质、等腰三

角形的判定与性质、三角形内角和等知识，熟记相关几何性质，数形结合找准各个角度之间的关系是解决

问题的关键.

7.小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度a,设计出一个外轮廓为正六边

形的图案（如图），则a可以为（）

A.30°B.60°

C.90°D.120°

【答案】B

【解析】

【分析】由题意依据每次旋转相同角度a,旋转了六次，且旋转了六次刚好旋转了一周为360。进行分析

即可得出答案.

【详解】解：因为每次旋转相同角度a,旋转了六次，

且旋转了六次刚好旋转了一周为360°,

所以每次旋转相同角度a=36°-6=601

故选：B.

【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是能够找到旋转中心，从而确定旋转角的度数.

8.如图，抛物线J=与X轴交于点交y轴的正半轴于点（？，对称轴交抛

物线于点。，交＞轴与点E,则下列结论：①？a+b=0；②b+%＞0；③a+bAd+hm（用为任

意实数）；④一元二次方程a-+加r+c*1=0有两个不相等的实数根；⑤若点尸为对称轴上的动点，则

1所一厂”有最大值，最大值为JJ+9.其中正确的有（）

B.3个C.4个D.5个

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查二次函数图象和性质，根据已知点的特点可求对称轴为直线J=1,则b=-：a；由函

数的图象可知，。＜口再由＞=-X可知6＞°；当＞=1时，函数有最大值a+b+c得

a+力力；由图象得一元二次方程aY♦bi+r+?=0有两个不相等的实数根；根据三角形三连

关系可得以-口b4c.

【详解】解：•.・抛物线"d+A+c与无轴交于点4T℃（3.0）,

x==I

对称轴为直线-,

_A=1

2a,即b=_>.

；.，+6=0,故①正确；

..•抛物线开口向下，

.•.：；=0,

：.b=-2a>0,

:抛物线交y轴的正半轴，

c>0,

.”+N>0,故②正确；

•.•对称轴为直线1=1,开口向下，

1=1时，y有最大值，最大值为a+5+C,

,\a+b+c>.;m'+bm+c（相为任意实数），

即：；+52。巾、6力，故③错误；

v抛物线开口向下，抛物线】'=s'+"+c与x轴交于点4T0）03,0）,

所以抛物线'=6二+"+°与直线j=-2有两个交点，如图，

所以，一元二次方程a1+bi+。+[=0有两个不相等的实数根，故④正确；

:对称轴交y轴的正半轴于点C,

••，

由对称性可知PA-PB,

2

JPB-PC^PA-PC^AC^ylOA^OC=1故⑤不正确；

综上，正确的结论是①②④，共3个，

故选：B.

二、填空题（每小题2分，共16分）

9.在平面直角坐标系中，点4（-4,3）关于原点对称的点A'的坐标是

【答案】（4,-3）.

【解析】

【分析】根据关于原点的对称点横坐标和纵坐标都变为原来的相反数，即可求解.

【详解】点A(-4,3)关于原点对称的点4'的坐标是：(4,-3).

故答案为(4,-3).

【点睛】本题考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键.

10.一元二次方程Y-4=°的根是.

【答案】

【解析】

【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程成为解题的关键.

直接运用因式分解法解一元二次方程即可.

【详解】解：T'-4=0,

(x-2)(x+2)=0

x-2=0,x+2=0i

所以该方程的解为：工・？，与=-2.

故答案为：'b=

11.。。的半径为4cm，点P到圆心O的距离为5cm，点P与G)0的位置关系是.

【答案】点尸在8外

【解析】

【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离d,圆的半径为r,则当d>，时，点在

圆外；当d=r时，点在圆上；当时，点在圆内，据此求解即可.

【详解】解：的半径为4cm,点尸到圆心。的距离为54-5,

/.点尸与的位置关系是点p在8外.

故答案为：点尸在外.

12.若一元二次方程>'-3x+c・0无解，则0的取值范围为.

9

C>一

【答案】8

【解析】

【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到*然后求出。的取值范围.

【详解】解：关于x的一元二次方程二/-3》+0・0无解，

•/u=2,b=-3,c=c,

.二二b2-Aac-।一"-4-2c<0

9

C>ST

解得s,

>9

的取值范围是8.

9

故答案为：S.

【点睛】本题考查了一元二次方程OX2+Z?X+C=0(4加)的根的判别式△=历-4碗：当△>(),方程有两个不

相等的实数根；当△=(),方程有两个相等的实数根；当△<(),方程没有实数根.

13.二次函数」"-4K-7(a・0)的对称轴为x=i,则。的值是

【答案】2

【解析】

【分析】由抛物线的对称轴列出方程为，求出。的值即可.

【详解】解：1at'Mr-7("0)的对称轴为工，

\•对称轴为1-1,

故答案为：2.

【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，准确解一元一次方程是解题的关键.

14.如图，四边形前CD内接于。。，5为DC延长线上的一点.若/8虚=6丁.则一氏4。的度数

是.

【分析】本题考查圆L内接四边形对角互补，掌握性质即可解题.

【详解】解：•：四边形48CD内接于8,

Z5X2?+Z5CD=18O°,

Z5CD=118°,

34）=七。，

故答案为：62°.

15.马面裙（图1）叉名马面褶裙，是我国古代女子穿着的主要裙式之一.如图2,一条马面裙裙面可以近似

地看作扇环48CD（＜口和EC的圆心为点。），a,D分别为的中点，08=30=1上1m,

则该马面裙裙面的周长为土。.

O*

【答案】（6万+12）

【解析】

【分析】本题主要考查了弧长计算公式，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定定理是解

题的关键.根据等边三角形的判定和性质以及弧长公式进行计算即可.

【详解】解：=0B~0C,

二B0C为等边三角形，

乙8。。=60。，

•・・点A为。5的中点，点。为。「的中点，

•.•0A二AB-cin。口二（？□=b1m，

Tpj6（brx6、

AD=———=%

180（dm）,

-60^x12.

BC=--------=An

180（dm）,

该马面裙裙面的周长为45+BC+DC+/D=6+4*+6+lr=（6,+12）dm,

故答案为：（6-H）.

16.如图，在矩形心。二中，.虻=4,£「=），尸是矩形上方一个动点.且满足JPB=90°,连接

DP,则。P的最大值是.

P

C

【答案】2A/2+2##2+2>/2

【解析】

【分析】本题考查了矩形的性质、圆周角定理、三角形的三边关系、勾股定理，确定。尸的最大值时点P

的位置是本题的关键.由乙4尸8=可知点P在以，始为直径的圆上，作辅助圆O,确定当P、0、D

共线时，PD最大,最大值即为。F'的长，先根据勾股定理计算。二’的长，就是半径03的长，可得

DP的长.

【详解】解：90°,

.•.点尸在以.43为直径的圆上，

取,45的中点为。，画半圆，如图，连接OP,连接0。并延长交圆于P,

在一0RP中，。产+CD>PD,

当尸、0、。共线时，。尸的长最大，最大值即为。F'的长，

•.•四边形是矩形，.钻=4,BC=2,

，…八…AO=OB=^-AB=2

：.ADAO=90°,AD-5C-2,2

匚工=JoH+,必：=人〔，

DP=0D+0P=0D+0B=2>/2+2,

故答案为：

三、解答题(共68分)

17.解一元二次方程：/-4|+-二0.

【答案】。="右，匕="8

【解析】

-b*—4。」

【分析】先找出a,b及c的值，再代入求根公式一工进行计算即可.

【详解】解：a-i,b=-4,c=2

A=-4ac=(-4)3-4xlx2=8>0

所以，方程有两个不相等的实数根

x「btR-4ac=4±2止;/

X=5-2--"

.*i=2+W.Vj=2-V?

【点睛】此题考查了解一元二次方程-公式法，利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出

a,b及c的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式即可求出解.

18.已知二次函数_工'_4、+6.

⑴将j=-X’-4x+6化成》=心.A尸+1•的形式；

(2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得

图象与'轴的另一个交点的坐标.

【答案】⑴F=-?|x+】)+8

(2)将抛物线-4T+6向右平移3个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点，平移后所得图

象与无轴的另一个交点的坐标为(4°1

【解析】

【分析】本题考查二次函数一般式化为顶点式及二次函数图象的平移，掌握配方法的方法是解答的关键.

(1)利用配方法将二次函数一般式化为顶点式即可；

(2)根据二次函数的图象与x轴的交点坐标确定如何平移后经过原点，进而可得另一个交点坐标.

【小问1详解】

解,由1・=YX，-4V+6得J'=■牛'+?工+】-U+6=-2(T+1)'+8；

【小问2详解】

解：当了=°时，由一4""+8=0解得玉=1,与=-3,

则抛物线,・心"4*+6与尤轴的交点坐标为(的)，(TO),

将抛物线一+6向右平移3个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点，平移后所得图象

与x轴的另一个交点的坐标为(40).

19.如图，在平面直角坐标系中，*1工5|,37.'工3IOM经过从3二三点.

斗

—T.—x；.—T.———:—--—:

—Jy....1—:

C

(1)在网格图中画出圆M(包括圆心)，并且点M的坐标:

(2)判断与丫轴的位置关系：.

【答案】(1)见解析，('-)

(2)相交

【解析】

【分析】本题考查了过三点的圆，圆与直线的位置关系，解题的关键是掌握三点定圆的方法；

(1)作犯、3的垂直平分线交于点则//为圆心，A"的长为半径的圆即为所求；

(2)确定圆的半径及圆心M到；轴的距离即可判断；

【小问1详解】

解：连接43、BC,分别作＜3、3('的垂直平分线交于点M,以M为圆心，人"的长为半径的圆即

为所求，如图所示：

咻：

点M坐标为：(‘•3

故答案为：GQ；

【小问2详解】

•；M4-7(3-2)+(2-5)-加，

即：O.H的半径

点M到丁轴的距离d=3,

...S.加，

0M与•、'轴相交，

故答案为：相交.

20.已知抛物线)'=_/+^+3经过点川(-2.3)

(1)求"?的值，并求出此抛物线的顶点坐标；

(2)画出函数r=”勺图象

(3)当一3＜1＜0时，结合函数图象直接写】’的取值范围.

【答案】(1)桁=一」，顶点坐标为‘T'l

(2)图见解析(3)°＜丁＜4

【解析】

【分析】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式，熟知二次函数图象上点的坐标特

征，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围是解答的关键.

(1)将已知点代入函数解析式中求得加值，然后将函数解析式化为顶点式即可求解;

(2)利用列表、描点、连线的步骤作函数图象即可；

(3)根据所画的图象即可解答.

【小问1详解】

解：把乂(-2'3)代入丁=-1+吠、+3得，-4-1加+3=3,

解得巾=一:，

.j=-x,-2x+3=-(x+l)3+4

•**,

••・抛物线的顶点坐标为(-"I

【小问2详解】

解：列表:

.・・・・・

X一,-101

y.・・03430・・・

解：由图象可知，该抛物线开口向下，有最大值4,

•.•当x=0时，J=3,当x=_3时，J=0

;当一3Vx<0时，y的取值范围是

21.如图，48是。。的直径，BC是的弦，直径DE过30的中点尸.求证：

【答案】见解析

【解析】

BE=CE=—BC

【分析】连接OC,根据等腰三角形性质得出OE£BC,根据垂径定理求出“,求出

AD^BE,即可得出答案.

【详解】证明：连接

D

.OC^OB,尸为3。中点，

j.OELBC,

,/OE过。，

丽=谗=!前

,,一,

•.•3C4=_B0E,

:.AD^BE,

AD=-BC

••1

【点睛】本题考查了等腰三角形性质，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系的应用，熟练掌握相关定理

是解题关键.

22.已知关于x的一元二次方程f-6力T+9/-1=0.

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设此方程的两个根分别为\,与，且工vI.若工=3,求相的值.

【答案】（1）见解析（2）2

【解析】

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，求出出自-4>0,即可证明结论成立；

（2）首先求出』=3a-l,v3=3m+l；然后根据,T：=得到3E+1=X3m-1）-R,然后求解

即可.

本题考查了根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当A>0时，方

程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根.

【小问1详解】

什口?id△（）3（313

证明：依题意，得=-6w-49m-11=36m-36m+4=4>0,

此方程有两个不相等的实数根；

【小问2详解】

解：1'・6阳+9加'-】=0,

（x-3m）'=I

解得、=3加士1,

..X=3力-1,Xj=3»J+1

3m+l=2(3m-J)-3

Q）画出一”。绕点。逆时针旋转90°后的一A8cl.

（2）在（1）的条件下，求线段3「扫过的面积（结果保留町.

【答案】（1）图见解析

（2）2n

【解析】

【分析】本题考查坐标与旋转，求扇形的面积：

（1）依据旋转变换的性质画出图形即可；

（2）依据图形面积的和差关系，可得扫过的面积=扇形的面积一扇形°5片的面积，由此计算

即可.

【小问1详解】

••・线段的扫过的面积为:黑师「.翳（6=%

24.如图，四边形ABCD内接于。O,BD是。。的直径，过点A作AE,CD,交CD的延长线于点E,

DA平分/BDE.

(1)求证：AE是。O的切线；

(2)已知AE=4cm,CD=6cm,求。。的半径.

___'

【答案】(1)证明见解析；(2)5.

【解析】

【分析】(1)连接0A,根据等边对等角得出/OD4=/OAO,进而得出/。证得

EC//0A,从而证得AE_L0A,即可证得AE是。。的切线；

(2)过点。作OfUCZ),垂足为点?从而证得四边形AOEE是矩形，得出OF=AE=4c"z,根据垂径定

1

理得出DF=2CD=3cm,在RtZk。。尸中，根据勾股定理即可求得。0的半径.

【详解】

(1)证明：连结。A.

VOA=(90,

：.ZODA=ZOAD.

；DA平分NBDE,

：.ZODA=ZEDA.

：.ZOAD^ZEDA,

J.EC//OA.

VAEXCD,

：.OA±AE.

•.•点A在。。上，

.•.AE是。。的切线.

(2)解：过点。作。PLC。，垂足为点?

"?ZOAE=ZAED=ZOFD=9Q°,

四边形AOFE是矩形.

0F—AE—4cm.

又•「OALC。，

1

：.DF^2CD=3cin.

在Rt/XOD尸中，0Z）=J。斤'+=5cm,

即。。的半径为5cm.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理

的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键.

25.在平面直角坐标系xOy中,抛物线.『二S'-3ax+1与>轴交于点A.

（1）求抛物线的对称轴；

（2）点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标；

（3）已知点P（0,2）,d'+LL,若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值

范围.

_3

【答案】（1）'—2；（2）点B的坐标为‘3/I；（3）-14a<0或a之二

【解析】

【分析】（1）根据对称轴公式即可求解；

（2）先求出点A的坐标，再求出其对称性即可求解；

（3）根据题意作图，根据函数图象的性质即可求解.

_-3a3

【详解】解：⑴由抛物线】'=--3a*+1,可知'-5.

••・抛物线的对称轴为直线-.

⑵••・抛物线J=6、%'+1与y轴交于点4

令x=0,y=l

二点A的坐标为

■

i

•・•点8是点A关于直线一--的对称点，

.••点8的坐标为E）.

（3）「点4（°」），点8（3」），点尸（°二），点°（。+“），

.••点P在点A的上方，点Q在直线4=1上.

①当a〉0时，a+IT,点。在点A的右侧.

（i）如图1,当a+l」3即<「二'时，点。在点2的左侧，

结合函数图象，可知线段尸。与抛物线没有公共点；

(ii)如图2,当a+l；3,即时，点。在点8的右侧，或与点8重合，

结合函数图象，可知线段尸。与抛物线恰有一个公共点

②当aUO时，a+11,点。在点B的左侧.

(i)如图3,当11,即一1三「0时，点。在点A的右侧，或与点A重合,

结合函数图象，可知线段尸。与抛物线恰有一个公共点；

(ii)如图4,当a+l=0,即el时，点。在点A的左侧，

结合函数图象，可知线段尸。与抛物线没有公共点.

综上所述，。的取值范围是一15。「0或。之2.

【点睛】此题主要考查二次函数的图象综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质、根据题意画图求

解.

26.利用以下素材解决问题.

问

十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家一一探秘桥洞形状”的数学活

题

动，某小组探究的一座拱桥如图1,图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽

驱

AB端点到拱顶点C距离兑。=30=10m,拱顶离水面的距离=5m

动

yx3+5

【答案】任务一：方案一、1M；方案二、.15

任务二：方案一、货船能顺利通过；方案二、货船能顺利通过

【解析】

【分析】任务一：方案一，设圆心为o,连接砒OB、0C,根据4c=30=10,得而=坛，结

合

“CD=-AC

CDLAB,知直线QU过点o,根据，得/C4D=30°,得乙《7。・6。・，得一二-,是等边

三角形，得0,4二10；方案二，根据顶点C坐标为⑷-5）,设桥拱的函数解析式为〕•:6’+5,将

5（5>/3.0）.HPI-T卡版

代入即可求解;

任务二：方案一，连接OE,设E耳交℃于/，根据矩形性质得四米,得OCLEH,得力-5,

结合半径为10得到得D/N366>3.5,即可判断；方案二，当8点的横坐标为5时,

尸467>33,即可判断.

【详解】解：任务一：方案一，设圆的圆心为。，连接0氏0C.

•.7(?=8(?=10,

:.AC=BC.

•;CD1A9,

ZADC^9Q°.AB-BD=-AB”

2，直线CD过点o.

••­CD-5，

CD^-AC

*

.­.ZC4D=30°.

:.ZACD=90°-ZC4D=60°.

•■OA=OC,

-a4c是等边三角形.

：,OA=AC=}Q.

故半径为1Cm.

方案二，

...顶点C坐标为（65）,

•••设桥拱的函数解析式为J'=ax'+5.

vAD»BD*=5s,

..昨6.0）

代入得°=乃。+5.

a」

解得15.

任务二:

方案一，

如图，连接。E,设EH交。I'于/.

由上知。后=10,

•.•矩形ER汨中，EHFG,

：.OCLEH.

EljEH=5

•・1•

：。="史-前=5百.

.-.D/=OZ-OD=fhA-5«366>35

故货船能顺利通过.

方案二,

EI=HI--EH=5

如图，：-,

.•.»横坐标为5.

1'=-—x5+5«4.67>35

.•「15

故货船能顺利通过.

【点睛】本题考查了二次函数和圆的实际应用.熟练掌握待定系数法示解析式，二次函数的图象和性质,

弧弦的关系，垂径定理，等腰三角形性质，等边三角形减和性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理

解直角三角形，矩形性质，是解题关键.

27.在用AABC中，4cA=90°,CA^CB,点D是&9C外一动点（点8,点。位于A「两

侧），连接CD,愈.

图1图2

(1)如图1,点。是的中点，连接0D,当--为等边三角形时，一一怔)「的度数是

(2)如图2,连接30,当-4LC=135°时，探究线段用。，CD,。月之间的数量关系，并说明理

由；

(3)如图3,是一.「的外接圆，点。在4c上，点E为,45上一点，连接CE,DE,当

.45=1,正1-7时，直接写出&CDE面积的最大值及此时线段3口的长.

【答案】(1)135°

(2)BD=J：CD+DA,理由见解析

214M

BD=

(3)aCDE面积的面积最大值为4,此时，

【解析】

【分析】(1)由等腰直角三角形的性质得一℃4=90°,04,再由等边三角形的性质得

OD=OA,/.ODA-AD0A-60®,然后求出N0DC=75°,即可求解；

(2)过点。作CHLCD交4D的延长线于点片，证

5cHmBCD^SAS)MCH三hBCD(SAS),得BD=AH=HD+DA=6CD+AD；

(3)连接。0,由勾股定理得CE=5,过点。作。"ICE于"，延长加交圆。于点。，此时点。

到CE的距离最大，RCDE面积的面积最大，然后由三角形面积求出‘-'一丁，则

DN=0D-0N=l…

5,即可求解三角形CL匕的面积最大值，最后用勾股定理借助(2)的结论求出

AD,即可求出月。.

【小问1详解】

解：•.•4CA=90°,BC=4C,点。是痴的中点，

CO=—>1B—OA

ZCOA=90a,2,

・・•-.48是等边三角形，

0D=0A,NODH=ZDCA=60。，

OC=OD,/.COD=ZCOA-ADOA=900-600=30°,

ZODC=i(1800-ZCOD)=1x(1800-30。)=75。

—1,

Z/lDC=NOZX:+/。。.4=75°+60°=135°,

故答案为：135°；

【小问2详解】

解：线段BD,CD,D月之间的数量关系为：BD^JZCD^DA,理由如下：

过点°作CH"LCD交ZD的延长线于点如图:所示:

则NCDH=180°-Z4DC=180°-135°=45°,

一。CW是等腰直角三角形，

CH~CD,HD=JiCD,

VZJCT4=90°,

ACHRCD,

c.ACH^BCD(SAS\

BD=AH^HD+DA=j2CD+AD.

【小问3详解】

vZJC4=90°,BC=AC,

是等腰直角三角形，

ZABC-45*,

•♦,CO是一必c的外接圆，

。是A3的中点，

OC=OA='^-J45=—(Aff+55)=—x(l+7)=4

OC-LAB,222,

OH=Q4-本=4-1=3,

在中，由勾股定理得：。&=J。。'+。肥=W+33=5,

,;CE是定值，

点D到CE的距离最大时，从:口£面积的面积最大，

•••/山是。°的直径，

过点。作如1CE于N,延长改与。。的交点恰好是点。时，点。到CE的距离最大，ACDE面积

的面积最大，

-S,oa^LoCOE^CEON

_一，

八”OC0E4x312

CE55,

•：0D=0C=4,

DN=OD-ON=A-±=±

55,

CN=4心-0靖=(4a-(—)a=—

此时，在直角/WO中，v55.

CD=QCW+DN'=/(—)J+(i)a=至

在直角ACM)中，V55,

在直角_赦中，BD^^-AD2=S3-ADi,

BD=JiCD+AD=Wx^+AD=^~+AD

由⑵知，55

8，-3n(¥^+皿1

.6M

AD=

5,

/一力gM/M14M

BpUn=-$―+AU=♦5-+.5・=$

皿期

即二ODE面积的面积最大值为4,此时，5.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角

三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、四点共圆、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形面

积等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质和圆周角定理.

28.在平面直角坐标系‘匚」中，。。的半径为2.对于直线/和线段80,给出如下定义：若将线段3(7

关于直线/对称，可以得到CC的弦月C'(3',C''分别是8,C