费马点与加权费马点详细总结专题突破-2025年中考数学原卷版

费马点与加权费马点详组总it

MB/题型•解读/

知识点梳理

【希黑费与点】

【加权费马点】

I

I

加17满分•技巧/

知识点梳理

【常加费马点】

【问题提出】如图AABC所有的内角都小于120度，在A4BC内部有一点P,连接P4PB、PC,

当PA+PB+PC的值最小时，求此时N4PB与NAPC的度数.

P

BC

【问题处理】如图1,将AZCP绕着点C顺时针旋转60度得到则ZV1CP丝CP^CP',AP^A,P,,

又：/PCP'=60°,.♦.△PCP'是等边三角形，:.PP'=PC,：.PA+PB+PC=P,A,+PB+PP,,

如图2,当且仅当点B、P、P\4共线时，P4+PB+PC最小，最小值为4B,此时/BPC=/4PC=/4PB=

120°

【问题归纳】如费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点.费马点结论：

①对于一个各角不超过120。的三角形，费马点是对各边的张角都是120。的点，所以三角形的费马点也叫三

角形的等角中心；

②对于有一个角超过120。的三角形，费马点就是这个内角的顶点.

【如何作费马点】如图3,连接A4，，我们发现△AC4为等边三角形，点P在4B上，同理，我们可以得到等边

△氏4月，点P也在CB，上，因此，我们可以以AABC三角形任意两边为边向外构造等边三角形，相应连线的交

点即为费马点。（最大角小于120°时）

图3

【例1】如图，在△4BC中，ZACB=9Q°，AB=AC=\,P是△/BC内一点，求为+P2+PC的最小值.

【练习1】如图，已知矩形/5CD,/2=4,3C=6,点M为矩形内一点，点E为2C边上任意一点，则M4+MD+ME

的最小值为.

【加权费马点】

如果所求最值中三条线段的系数有不为1的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，解决方法类似，也

是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择不同的旋转或放缩方法。

［知一学系读】

当只有一条线段带有不为1的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，

一种是旋转特殊角度：血对应旋转90°,百对应旋转120°

另一种是旋转放缩，对应三角形三边之比

【例3】在等边三角形ABC中，边长为4,P为三角形ABC内部一点，求/尸+5P+J，PC的最小值

【练习2】在RtZXABC中，ZC=3,比=26，P为三角形ABC内部一点，求4尸+5尸+也尸。的最小值

BCBC

【知二多系读】

其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的。

以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的，对于给定的系数，我们该如何选取旋转

中心呢？我们总结了以下方法：

1.为最小系数3NH■外；

2.中国大小婚系mtor比例；

3.最大系数事定*修中心（例*最大au^PAir面，或以A为*修中心），关桥系数不为1的一条■盘南

在的三角第.

【例3】如图，在AABC中，//C5=60。，8。=3，/C=4,在AABC内部有一点P,连接尸4PB,PC,

则（1）!尸/+@尸8+尸。的最小值为_______（2）且尸/+工必+尸。的最小值为________

2222

AA

BCBC

【练习3】如图，在△力BC中，/。5=60°，3。=36，/。=6,在448。内部有一点「,连接尸4PB,PC,

则2PA+PB+亚PC的最小值为.

曜R/核心•题型/

普通费马点最值问题

1.（2021滨州）如图，在中，NZCB=90。，NA4C=30。，AB=2,点。是内一点，则

/%+PB+PC的最小值为.

CA

2.问题背景：如图1,将△力BC绕点4逆时针旋转60°得到△力DE,DE与BC交于点P,可推出结论：PA

+PC=PE.

问题解决：如图2,在△MNG中，MN=6,ZM=75°,MG=4JL点。是△MNG内一点，则点。到4

MNG三个顶点的距离和的最小值是

图2

3.如图，在△力BC中，ZCAB=9Q°,AB^AC=2,P是△ABC内一点，求雨+PB+PC的最小值.

4.已知，在△力BC中，ZACB=30°,AC=4,4B=J7（C8＞。）点P是AABC内一动点，则而+PB+PC

的最小值为

A

P

B-C

5.如图，已知矩形4BCD,4B=4,BC=6,点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则M4+MD+

ME的最小值为.

6.4B、C、。四个城市恰好为一个边长为2a正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市之

间都有公路相通，并使整个公路系统的总长度CAP+BP+PQ+DQ+CQ）最小，则应当如何修建？最小

长度是多少？

2023•随州中考真题

7.1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点4B,C,求平

面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，

该点也被称为“费马点''或"托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题.

(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空,

②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角

形的某个顶点)

当。的三个内角均小于120。时，如图1,将△4PC绕，点C顺时针旋转60。得到A/'P'C,连接PP,

由尸C=PCtNFCP'=60。，可知△PCP为三角形，故PP'=PC,又PA=P4,故

PA+PB+PC=PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,当B,P,P',4在同一条直线上时，尸/+尸3+尸。取最小值，如图2,最小值为43,此时

的P点为该三角形的“费马点”，且有N4PC=NBPC=NAPB=；

已知当“8C有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若/A4C2120。，

则该三角形的“费马点”为点.

(2)如图4,在△48c中，三个内角均小于120。，且/。=摘8。=4食/4C3=30°,已知点P为。8c的“费

马点“，求尸/+必+尸C的值；

(3)如图5,设村庄4B,C的连线构成一个三角形，且已知/。=41<111食3。=2收01食44。3=60。.现欲

建一中转站P沿直线向4B,C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄4B,C的铺设成本分别为a

元/km,a元/km,J5a元/km,选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为元.(结果

用含a的式子表示)

广东省江门市一模

8.如图，在“3C中，NBAC=90°,AB=5,AC=，点尸为“8C内部一点，则点尸到。BC三个顶点

之和的最小值是

武汉中考

9.问题背景：如图1,将△N8C绕点/逆时针旋转60°得到△/£>£,DE与BC交于点、P,可推出结论:

PA+PC=PE.

问题解决：如图2,在△"、心中，MN=6,ZM=75°,MG=4枝,点。是△"△心内一点，则点。到

三个顶点的距离和的最小值是

图1图2

2023•四川宜宾•中考真题

10.如图，抛物线了=/+反+0经过点/（-3,0）,顶点为又（-1,间，且抛物线与y轴的交点B在（0,-2）和

（0，-3）之间（不含端点），则下列结论：

③当-3VxVl时，y<0；②当5M的面积为主叵时，a=--,

22

③当为直角三角形时，在“。8内存在唯一点P,

使得PA+PO+PB的值最小，最小值的平方为18+9石.

其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）

一题四问，从特殊到一般

11.背景资料：在已知“BC所在平面上求一点尸，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是

法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点如图

1,当“3C三个内角均小于120。时，费马点尸在AA8C内部，当//必=/4?。=/。％=120。时，则

P/+P5+PC取得最小值.

(1)如图2,等边“8C内有一点P,若点尸到顶点/、B、C的距离分别为3,4,5,求//P8的度数，为

了解决本题，我们可以将A/BP绕顶点/旋转到△NCP处，此时A/CP'WA/8尸这样就可以利用旋转变换，

将三条线段P4、PB、尸C转化到一个三角形中，从而求出44PB=；

知识生成：怎样找三个内角均小于120。的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三

角形并连接等边三角形的顶点与“8。的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点.请同学们探索以下问

题.

(2)如图3,“3C三个内角均小于120。，在“3C外侧作等边三角形“班'，连接C5',求证：CB'^^ABC

的费马点.

(3)如图4,在A7\48C中，ZC=90°,NC=1,N/BC=30。，点尸为AA8C的费马点，连接4P、8P、CP,

求尸/+尸3+尸。的值.

(4)如图5,在正方形中，点E为内部任意一点，连接NE、BE、CE,且边长/3=2；求AE+BE+CE

的最小值.

加权费马点•单系数型

2023•武汉・慧泉中学校月考

3

12.如图，RtZi/BC中，/CAB=30。,BC=~,点尸为内一点，连接PA,PB,PC,则尸。+尸8+有川

的最小值为.

西安市铁一中二模

13.已知，如图在中，//C5=30。，BC=5,/C=6,在AA8C内部有一点。，连接则

DA+DB+逝DC的最小值是•

2023•成都市郸都区中考二模

14.如图，矩形/BCD中，48=2,BC=3,点E是N3的中点，点厂是8C边上一动点.将N3EF沿着E尸

翻折，使得点5落在点皮处，若点P是矩形内一动点，连接PC、PD,则近尸C+PD的最

小值为.

加权费马点•多系数型

15.在边长为4的正△力BC中有一点P,连接24、PB、PC,求（工力P+BP+@PC）?的最小值

22

16.在等边三角形ABC