二次函数新定义型综合问题（四大题型）（学生版）-2025年中考数学

二次麴数新定义型综合问题

目录

解密中考................................................................................1

题型特训提分............................................................................2

题型一新定义型二次西数之共生我仲BMWfr线.............................................2

题型二新定义型二次图数之特殊形状问题..................................................8

题型三新定义型二次语数与其他函数的绿合问题..........................................11

题型四新定义型二次函数与几何图形的绿合问题..........................................14

解密电寿

考倩分析:二次函数新定义型综合题是全国中考的热点内容,更是全国中考的必考内容。每年都有一些

考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1.从考点频率看，属中频偏高考点，多在压轴题出现，约占解答题15%—20%。近年随核心素养考查加

重，频率略有上升,各地试卷年均1-2题，常与函数性质、几何综合结合。

2.从题型角度看，以解答题为主（占比超80%）,分三类:①新定义概念（如“友好抛物线”），需根据定义求

解析式;②新性质探究（如“最值点”关系），需推导规律;③跨知识应用（如结合坐标系定义“距离函数”），综合

度高，分步设问（2—3小问）。

备考策略：1.强化读题建模:圈画新定义关键词，用示例辅助理解（如通过图像标注“新顶点”）；

2.分阶训练:先练单一知识点新定义（如仅含函数），再攻几何代数综合题；

3.提炼通法:按“理解定义t翻译条件一联立方程/几何关系-验证结果”步骤解题,注意分类讨论与数

形结合，积累典型模型（如“对称型”“最值型”新定义）。

题蛰特调提分

题型一新定义型二次函数之共生或伴st加物线

1.（24—25九年级下•江西抚州•阶段练习）新定义：若二次函数为力=€^2+6/+c（a#O,a,b,c是常

数），则称U2=-a"+be-c为功的“关联”二次函数,称这两个函数为互为“关联”二次函数.

（1）写出夕=〃—4c+1的“关联”二次函数的表达式,并写出该互为“关联”二次函数的图象的一个性

质；

（2）若（1）中的互为“关联”二次函数的图象与正比例函数4=far（R#O）的图象只有两个交点，求R的

值；

（3）如图，二次函数S与y2互为“关联”二次函数，4B分别是互为“关联”的两个二次函数功与y2的

图象的顶点，。是纺的图象与"轴正半轴的交点，连接ABAC,若点A为（一2,1）,且△ABC为

直角三角形，求点。的坐标.

1.明确定义:紧扣题目对“共生伴随抛物线”的定义（如顶点关联、系数对称等），例:若定义为“与原抛

物线对称轴相同,开口方向相反”，则设原抛物线为y=a（x—拉丁+鼠伴随抛物线为y=-a（x-K）2+

ko

2.联立关系：根据定义列解析式，结合交点、最值等条件联立方程（如两抛物线交于立轴同一点,代入

求解a、h、fc）o

3.分类讨论:若定义含多种情形（如伴随抛物线顶点为原抛物线与沙轴交点），需分情况推导,验根时

确保符合所有约束条件。

4.数形结合：通过画图直观呈现两抛物线位置关系,辅助分析参数取值范围。

2.（2025•河南焦作•一模）新定义：如果二次函数夕=ax2+bx+c（a#0）的图象经过点（—1,0）,那么称此

二次函数图象为“定点抛物线”.

⑴若抛物线“="—mc+2—卜与c轴只有一个公共点，且是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式.

（2）已知抛物线夕=+"*一m+"为常数，且0）.

①求证:该抛物线为“定点抛物线”；

②若小<0,当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点。（2,s）,（瓦土），当时,求k的取值范

围.

3.（23—24九年级上•浙江•期中）新定义:我们把抛物线yi=ax2+bx+c与抛物线外=bd+arc+c其

中ab¥0）称为“关联抛物线”.例如：抛物线%=3d+4尤+2的“关联抛物线”为纺=4d+3工+2.

2

已知抛物线Ci：%=2ax+ac+a-2（a¥0）的“关联抛物线”为C2.

（1）写出抛物线a的函数表达式（用含a的式子表示）统=，顶点坐标为.

（2）对于G和Q，当幼〉纺时，求力的取值范围.

（3）若a>0,当a—3WcWa—1时，a的最大值与最小值的差为2a,求a的值.

4.（2025•山东•一模）新定义:我们把抛物线y=ax2+bx+c（其中ab¥0与抛物线y=bx2+ax+c称为

“关联抛物线”，例如，抛物线y=2d+3宓+1的“关联抛物线”为y=3x2+2x+l,已知抛物线G：y

=4ax2+ax+4：a-3（a>0）的''关联抛物线”为G，G与沙轴交于点E.

（1）若点E的坐标为（0,-1）,求G的解析式；

（2）设G的顶点为尸，若△OE尸是以。尸为底的等腰三角形，求点E的坐标；

（3）过①轴上一点P,作①轴的垂线分别交抛物线G，G，于点M，N.

①当MN=6a时，求点P的坐标

②当a-4&;rWa—2时，。2的最大值与最小值的差为2a,求a的值.

5.(2025•辽宁阜新•一模)在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究,如果将

二次函数：夕++c(aW0)图象上的点人(a:,,)的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之

和，就会得到的一个新的点A(x,2+9).他们把这个点4：定义为点人的“和点”.他们发现:二次函

数U=+尻+c(a#0)所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为y=ax2+

bx+c(a#0)的''和抛物线”.例如，二次函数,=x2+x+l的“和抛物线”就是y=x2+x+l+x=

/+22+1,请按照定义完成：

(1)点P(l,2)的''和"点是；

(2)如果抛物线y=x2+bx+3(a#0)经过点河(1,一3),求该抛物线的“和抛物线”；

(3)已知抛物线y=x2+bx+c图象上的点B(x,g)的“和点”是瓦(一1,1)，若该抛物线的顶点坐标为

(p,q),该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为(m,n).

①当0WcW5时，求ri的取值范围.

②小明发现，当c取不同值时，所有的顶点(p,q)组成一条新的抛物线,设为外，所有的顶点g,n)也

组成一条新的抛物线，设为以，请直接写出这两条新抛物线顶点之间的距离.

6.如图，抛物线力:9="一4c+3上的点A,口，C,。分别关于直线y=1的对称点为分

别关于点P(O,1)中心对称的点为A",8〃，如下表:

40,3)8(1,0)。⑵—1)。(3,0)

4(0,—1)8(1,2)0(2⑶“3,2)

A,f(0,-1)B"(—1,2)。'(_____，_____)。"(―3⑵

(1)①补全表格；

②在下图中，描出表格中的点4,再用平滑的曲线依次连接各点得到的图象记为〃；描出

表格中的点人〃，B",C",再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为

形成新定义:直线n=m与y轴交于点P(O,m)，我们把抛物线L关于直线y=m的对称抛物线L1,叫

作抛物线L的“共线抛物线”;把抛物线L关于点P(O,m)中心对称的抛物线乙2,叫作抛物线L的“共

点抛物线”.

问题探究

(2)①若抛物线L与它的“共点抛物线”L2的函数值都随着力的增大而减小，求力的取值范围；

②若直线y=m与抛物线入、“共线抛物线”"，“共点抛物线”L2有且只有四个交点,求m的取值范

围.

③已知抛物线L：夕=加2—2a;r+a+3的“共线抛物线”右的解析式为y=--^-x2+kx--^-k2-5.

请写出抛物线L的“共点抛物线”乙2的解析式.

7.(24-25九年级上•辽宁铁岭•期末)阅读以下材料，并解决相应问题：

定义义口果二次函数沙=£11谟+30；+5(电片0,电,bi，ci是常数)与夕=&2如+62±十。2((12片0,a2>b2,

C2是常数)满足&+=1,Cl=C2且对称轴相同的二次函数互为''友好对称二次函数”.例如：y=

2"+4X-3的“友好对称二次函数”为y=—/—2必一3.

⑴夕=-善"的，，友好对称二次函数，，为”=-靖+2t+3的“友好对称二次函数”为；

(2)关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是;(填序号)

①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”;

②二次项系数为y的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；

(3)y=ax2—2ax+3(a#l)的“友好对称二次函数"为4=(1—a)rr2—2(1—a)s+3；

④任意两个“友好对称二次函数”与y轴一定有交点,与比轴至少有一个二次函数有交点.

2

⑶如图，二次函数乙皿=ax-4ax+l(a#1)与其“友好对称二次函数”L2都与y轴交于点4点

C分别在〃，乙上，点B,C的横坐标均为m(0<m<2)，它们关于L,的对称轴的对称点分别为点B',

。，连接BBLB'C',C'C,CB.若巾=1,且四边形WOC的邻边之比为1:2,直接写出a的值.

题型二新定义型二次函数之精殊移状问题

8.定义：由两条与①轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”.

【概念理解】

（1）抛物线%=2（力一1）（>—2）与抛物线例=靖一3必+2是否围成“月牙线”？说明理由.

【尝试应用】

⑵抛物线%/Q—I）z—2与抛物线纺=a靖+近+c（a>/）组成一个如图所示的“月牙线”，与

力轴有相同的交点河，N（点河在点N的左侧）,与y轴的交点分别为A,B.

①求a:b:c的值.

②已知点P（T0,m）和点Q（如n）在“月牙线”上，山〉小且巾—九的值始终不大于2,求线段43长的

取值范围.

1.拆解新定义：明确“特殊形状”的几何特征（如抛物线与坐标轴围成等腰梯形、顶点与交点构成等边三

角形等）,标注关键条件（边长、角度、对称关系）。

2.坐标代数化:设二次函数为y=ax2+bx+c,求顶点、与坐标轴交点坐标，用距离公式、斜率表示形状

边/角关系（如\AB\=|BC|fcWBC=-l）o

3.分类讨论建模:按形状顶点位置或边的对应关系分情况，列方程（组）求解（如等腰三角形分顶角在顶

点或底边）,注意判别式与定义域限制。

4.图形验证:代入解验证是否满足形状定义，舍去退化解（如三点共线的三角形）,结合图像判断参数合

理性。

9.二次函数"="—的图象交力轴于原点。及点4

感知特例

⑴当m=1时，如图1,抛物线乙：9="—上的点B,O,。，人，。分别关于点A中心对称的点为

A,D,如下表：

0(0,0)C(LT)4―，—)。(3,3)

B\5,-3)O'(4,0)。(3,1)4(2,0)。'(1,一3)

①补全表格；

②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点,得到的图象记为，.

形成概念

我们发现形如(1)中的图象，上的点和抛物线刀上的点关于点A中心对称，则称□是L的“孔像抛物

线”.例如，当巾=—2时，图2中的抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”.

探究问题

⑵①当m=-1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线"L'的函数值都随着x的增大而减小，则c的取值

范围为;

②在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数4=

2mx的所有“孔像抛物线”〃，都有唯一交点,这条抛物线的解析式可能是.(填“9=附2+辰

+c”或"y=ax2+bnc"或"y=ax2+c"或"y=a/",其中abc半0)；

③若二次函数y=x2-2mx及它的“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点，求成的值.

10.定义:若直线夕=-1与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的

“反碟长”.如图，已知抛物线Li：y=—〃与直线,1相交于p,Q.

⑴抛物线好的“反碟长"PQ=.

（2）抛物线随其顶点沿直线y=^x向上平移，得到抛物线L2.

①当抛物线〃的顶点平移到点（6,3）,抛物线L的解析式是.抛物线"的“反碟长”是

②若抛物线。的“反碟长”是一个偶数，则其顶点的纵坐标可能是.（填写所有正确的选项）

A.15B.16C.24D.25

③当抛物线L2的顶点A和抛物线L2与直线y=-1的两个交点。构成一个等边三角形时（点B在

点C左右），求点A的坐标.

题型三新定义型二次系数与其他函数的综合问题

11.（2025・湖南岳阳•模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，对于“积值”给出如下定义:点人（力,9）是函数

图象上任意一点,横坐标x与纵坐标y的乘积xy称为点A（x,y）在函数图象上的“积值”；

【举例】已知点4（1,4）在函数沙=力+3的图象上，点41,4）在函数“=3；+3图象上的“积值”为叼=

1x4=4.

【问题】根据定义，解答下列问题：

（1）已知点B是函数9=立图象上任意一点，则点B在该函数图象上的“积值”为；

X-------

（2）求点M（m,-3）在函数夕=炉+4尤+1图象上的“积值”；

（3）已知点「（然,为）在函数沙=21一b（b为常数，且6>4）的图象上，当OWcWl时，点P在函数夕=

2c—b图象上的“积值”的最小值为一3,求b的值.

巧

1.吃透双定义:先明确二次函数新定义（如“联动函数”），再分析其他函数（一次/反比例）性质，标注交

点、增减性等关联点。

2.联立方程求解:将两函数解析式联立,转化为一元二次方程（如ax2+bx+c=kx+小）,用判别式判

断交点个数，或用韦达定理求参数关系。

3.数形结合分析:画草图观察两函数位置（如二次函数顶点在反比例函数图象上），结合新定义条件（如

“最低点纵坐标等于一次函数截距”）列等式。

4.分类讨论参数:若新定义含参数,分情况讨论参数对两函数交点、最值的影响,验根时兼顾定义域与实

际意义。

12.(2025•辽宁盘锦・模拟预测)定义：若以函数夕图象上的点P与平面内两个点A,B为顶点构成的三角

形是等边三角形，则称P是U上关于A,口的“等边点”.在平面直角坐标系中，已知4(0,3),8(—1,

0),0(3,0).

(1)正比例函数功上存在关于的“等边点”，直接写出正比例函数%的解析式；

(2)点Q是“轴正半轴上一点，点P是反比例函数例上关于C，Q的“等边点”，且PC〃4轴，求反比例

函数改的解析式；

(3)二次函数统过点4B,。，则明的解析式为；

①如图①,射线AK交多轴于点K,点人是y3上关于Af,N的“等边点”，其中“在射线AKI.,N在射

线AC上，求点K的坐标；

②如图②，点E是第一象限内二次函数灯的对称轴上一动点，若点P是窝上关于。，后的等边点，直

接写出点P的横坐标.

13.（2024•浙江湖州•一模）定义:对于g关于力的函数，函数在◎4/&电（61<%2）范围内的最大值，记作

如函数g=2/，在-=范围内，该函数的最大值是6,即，1,3]=6.

请根据以上信息，完成以下问题：

已知函数y=（Q—I）%?—42+Q2_1（。为常数）

（1）若Q=2.

①直接写出该函数的表达式，并求"[1,4]的值；

②已知闻谓]=3,求2的值.

（2）若该函数的图象经过点（0,0）,且3,知=配求k的值.

题型四新定义型二次系数与几何图册的综合问题

14.(2024.上海虹口.二模)新定义：已知抛物线g=0砂+法+c(其中abcW0),我们把抛物线g=c/+0力

+b称为y=ax2+bx+c的“轮换抛物线”.例如:抛物线y=2x2+3x+l的“轮换抛物线”为y=x2

+2/x+3.

已知抛物线C«y=4mx2+(4m-5)2:+m的“轮换抛物线”为&，抛物线G、G与0轴分别交于点

E、尸，点E在点F的上方，抛物线&的顶点为P

(1)如果点E的坐标为(0,1),求抛物线G的表达式；

(2)设抛物线&的对称轴与直线y=3x+8相交于点Q,如果四边形PQEF为平行四边形，求点E的

坐标；

⑶已知点M(-4,n)在抛物线&上，点N坐标为(-2,-7y),当&PMN与APEF相似时，求小的

值.

1.译定义条件:将新定义(如“抛物线与三角形构成'关联图形’”)转化为坐标关系，例:顶点在三角形某

边上,或与边交点满足特定距离。

2.建函数与几何桥梁:用二次函数解析式表示几何图形顶点/交点坐标,结合全等/相似、面积公式等列方

程(如用距离公式表示边长相等)。

3.分情况讨论:按几何图形位置(如顶点在左/右侧)或新定义多情形分类，避免漏解。

4.验图形逻辑:代入解验证是否符合几何图形完整性(如三角形不共线、抛物线不与边重合)，结合图像舍

去矛盾解。

15.（24—25九年级上•上海浦东新•阶段练习）新定义:对于抛物线y=ax2+brr+c,若〃=ac,则称该抛

物线是黄金抛物线，若抛物线y=x2-2x+m是黄金抛物线，与u轴交于点力，顶点为。.

（1）求:此黄金抛物线的表达式及。点坐标；

（2）点B（2,k）在这个黄金抛物线上.

①点C（c,-*）在这个黄金抛物线的对称轴上，求：NOBC的正切值.

②在射线AB上找一点P,使以点P、4。所组成的三角形与XAOD相似，求：P点坐标.

16.新定义:关于，轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”.

（1）求:抛物线y=-ycc2+x+l的”同轴对称抛物线”.

（2）如图，在平面直角坐标系中，点口是抛物线L:y=ax2-4ax+l上一点,点B的横坐标为1,过点B

作立轴的垂线，交抛物线力的“同轴对称抛物线”于点。，分别作点B、。关于抛物线对称轴对称的点

B\C.

①当四边形8BOC为正方形时，求：a的值.

②在①的条件下,抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像与一次函数夕=x-l相交于点河和点N（其

中河在N的左边），将抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像向上平移得到新的抛物线L'与一次函数“

=，—1相交于点P和点Q（其中P在Q的左边），满足PM+QN=MV,试在抛物线L'上有且仅有三

个点/，R2,品，使得△跖VRI，△MN%，ZWN%的面积均为定值S,请直接写出：风,显，用的坐标•

17.（2024•广东东莞•三模）阅读理解

【信息提取】

新定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，则一条抛物线叫另一条抛物线的

“友好抛物线”.

新知识:对于直线7/1=卜逆+仇（自手0）和92=k2x+b2（A；2¥o），若自•=—1，则直线U1与Vi互相垂直;

若直线仍与为互相垂直，则自,k2=—L

【感知理解】

（1）抛物线仪=—23+2）2—3的“友好抛物线”为y2=；

22

（2）若抛物线y1=ax+bx+c（a/0）与y2=mx+nx+0）互为“友好抛物线”，则a与m的数

量关系为,b与n的数量关系为,c与q的数量关系为;

【综合应用】

（3）如图,抛物线"一42+3的顶点为E,h的“友好抛物线”12的顶点为尸，过点O的直线13与

抛物线卜交于点3（点4在B的左侧）,与抛物线12交于点C,。（点。在。的左侧）.若四边形