北京市某中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷（解析版）

大峪中学2024—2025第一学期初二年级

数学学科期中考试试卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（共8小题，每小

题2分，共16分）.

1.下列计算正确的是（）

A.a'a-2a*B.'L?=Ac.（帅）’=a%£）a*-a3=a*

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查同底数塞的乘法、塞的乘方、积的乘方及同底数塞的除法，熟练掌握同底数赛的乘

法、累的乘方、积的乘方及同底数嘉的除法是解题的关键.根据同底数哥的乘法、募的乘方、积的乘方及

同底数哥的除法可进行排除选项.

【详解】A.a3a=a*,原计算错误，故不符合题意；

B.（'）",原计算正确，故符合题意；

C.（山川=/沙，原计算错误，故不符合题意；

D.a'^a-a,原计算错误，故不符合题意；

故选：B.

2.如图，一"C中.位边上的高线为（）

A.ADB.CEc.AFD.BG

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查三角形的高，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做

三角形的高，据此判断即可.

【详解】解：由已知图形可得。月上/8于E,

因此CE是月8边上的高线，

故选B.

3.如图，盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法

的根据是（）

HA.两点之间，线段最短B.三角形的稳定性

C.长方形的四个角都是直角D.四边形的稳定性

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角形的稳定性求解即可得.

【详解】解：在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，利用了

三角形的稳定性.

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题关键.

4.将两个分别含30。和45。角的直角三角板如图放置，则/a的度数是（）

【解析】

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.

【详解】由三角形的外角性质得,Za-60--45»-l5*.

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质以及三角板的度

数是解题的关键.

5.如图为了测量8点到河对而的目标A之间的距离，在2点同侧选择了一点C,测得45c=65・，

乙4cs=35°,然后在M处立了标杆，使NA£BC=65°,ZA/C8=35°,得到一MBGfi△45C,所

以

测得A0的长就是A,8两点间的距离，这里判定一上必「一一.450的理由是（）

A.SASB.AASC.ASAD.SSS

【答案】c

【解析】

【分析】本题考查的是全等三角形的判定，由已知条件可知利用的是ASA,问题得解.

【详解】解：在一M8C和乙至C中，

2MBe=NABC

<BC=BC

NMCB=ZACB

—.13C(ASA).

故选c.

【点睛】本题考查全等三角形判定的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

6.观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算为()

133

.(a-b^=a-2ab+b^n(a+6)(a—b)=a—ft

A.D.

J32

Ca|a+b)=a'+abD(a+6|=a-^ab+b

【答案】B

【解析】

【分析】运用长方形的面积及正方形的面积公式计算即可.

【详解】解：左边长方形的面积为：(a+b)(a-bi,

右边的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积：/-9,

则表示的运算为：9+b)g-b)=af,

故选B.

【点睛】本题主要考查平方差公式的几何运用，能够熟练运用面积表示平方差公式是解题关键.

7.已知4?v+9是完全平方式，则根为()

A.6B.±6C.±12D.12

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的解题的关键.利用完全平方公式的结构特征判断

即可确定出m的值.

【详解】解：T+9=(*)'+”，+3,是完全平方式，

.-.m=±2x2x3=±12,

故选：c.

8.设。，占是实数，定义一种新运算："*6=la-b「，下面有四个推断：

Ia*b-t)*a.

②=/*b3

(§)(-a)•/>=<:*(-5)

t匕*(b+c)=a*b+a*c

其中所有正确推断的序号是()

AI12<3>：1R：jX'3'：'j：'[⑵T：'3

D.cJ.nLv.

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式9川="一.+.是解题的关

键.

根据定义，分别计算等号的左边和等号的右边，即可判断，得出答案.

【详解】解：-疗，

则b"a=("/=m-疗故,正确；

it?*4i'=ia-t'i'l-\a-b^

则L」，

a'"b'=(a'-b')=[(a-b)(a+b)]=(a-b)*(a+b/+后°加、口

」；故，错陕；

a333

rn|(-a)fe=r(-a)-&l=(-a-6)=(a+6)

a"(-b)=[a-(询了=9+6。故3正确；

,a*(h+c：i=Fa-|&+cll3=(a-b-c)3=a3+b3+c2-Zab+2bc-Zac

则L」，

1

+(a-c)'二a'-2ab+b'+a'-Zac+c'=2a+6'+c'-Zab-Zac+h："4出

，改午日

误，

故正确的为13.

故选：D.

二、填空题：(共8小题，每小题2分，共16分).

9.三角形的两边长分别为4和6,那么第三边。的取值范围是.

【答案】2<a<10.

【解析】

【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边a的取值范围.

【详解】解：：三角形的两边长分别为4和6,第三边的长为a,

，根据三角形的三边关系，得：6-4<a<6+4,即：2<a<10.

故答案为：2<a<10.

【点睛】此题考查了三角形的三边关系.此题比较简单，注意掌握已知三角形两边，则第三边的长度应是

大于两边的差而小于两边的和.

10.若一个多边形的每一个外角都等于40°,则这个多边形的边数是.

【答案】9

【解析】

【详解】解：360-40=9,即这个多边形的边数是9.

故答案为：9.

一■r■cJR

11.若a=i,a=一，则a=.

【答案】72

【解析】

【分析】本题考查了同底数哥的乘法和募的乘方运算，先逆用同底数幕的乘法和幕的乘方法则变形，然后

把。"=3,a"=二代入计算即可.

【详解】解：•.•厂=3,a"=2,

“心=户户=(r|fl.『=3,xY=72

故答案为：72.

12.如图，△A8C中，ZB=20°,。是8C延长线上一点，且NACD=60°,则乙4的度数是

____________度.

【解析】

【分析】直接根据三角形外角的性质可得结果.

【详解】解：VZB=20°,ZACD=6Q0,/AC。是△ABC的外角，

ZACD=ZB+ZA,

...乙i・TCD-£B・60*-](r・4(r,

故答案为：40.

【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题

的关键

13.如图，中，ZX=90°,3。平分/45C,交4C于点。，DELBC于E,若45=6,

30=10,AC^3,则J-'OE的周长为.

【答案】12

【解析】

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，可证明45。/65D得到

BE=A3=6,DEAD,进而求出的长，再根据三角形周长计算公式求解即可.

【详解】解：平分乙

:.的口=MBD,

2=90。，DE1BC,

;.ZA=ZBED=900,

又•:BD=BD,

.一月30—

••，

•••BB=AB=6,DB=AD，

:.CE=BC-BE=A,

ACDE的周长=CD+QE+Cff=8+功+4=+4=8+4=12,

故答案为：12.

14.如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，贝『】+-1+-$=.

【答案】135。

【解析】

【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用:'U证明一W*二BED,根

据全等三角形的性质得出一卷「=-3,结合直角三角形的性质求出-1+/3=90。，再根据

/2=45°,求解即可.熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键.

【详解】解：如图，

A

由题意得，BD=AC,BC=DE,ZJ4C5=ZZ)=90O,Z2=45°,

在A/J。和ABED中，

'AC=BD

'ZACB=ZD

BC=DE

.AAS:L'二二二；”

.-.ZABC=Z3,

•.•一近+N1=9O。，

.•.Nl+N3=90。，

.­.Zl+Z2+Z3=135°,

故答案为：1350.

15.如图，在四边形幺5。二'中，，站=,也），添加一个条件使得二90^ADC,可添加的条件是

［答案］3c=2X7或/B4C=NZX4C或N3-ND-90*（答案不唯一）.

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即•二二、SAS、ASA、AAS和

HL）是解题的关键.由己知条件：45=愈及公共边4C,要使△的空乙以*,可添加EC=ZX7

或=或根据全等三角形的判定即可求证，掌握全等三角形的判定方法是

解题的关键.

【详解】解：若添加条件为：？「二二＜\证明如下：

在—--L5。和-4ZXT中，

AB-AD

■AC=AC

.•.BC=DC，

・・;

若添加条件为：^BAC^^DAC,证明如下：

在和」ADC中，

AB-AD

<ZA4C=Z£!XC

..AC=AC

•，

...一必C_.42ViJAJi

若添加条件为：Z3-ZZ)-90,,证明如下：

:」7J9D*,

一从5C和-4DC为直角三角形，

在F.t中，

AB^AD

.•.4C=AC9

.RiAj45C5fiRtA^PC|'HL)

故答案为：3。=。。或/34。="4。或々・/。-90*(答案不唯一).

16.如图，动点。与线段45构成=30,其边长满足，43=9,C4=%+2,C5=2a-3.点Q在

一月C8的平分线上，且-42('=:坨。，则1的取值范围是,一月的面积的最大值为.

£45

【答案】①.三②.彳

【解析】

【分析】在一45「中，由三角形三边关系”在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差

小于第三边”可知4?+反？>,45,代入数值即可确定a的取值范围；延长血)、C8交于点E,首先利

用“A3A”证明△NCD9A4CD,由全等三角形的性质可得,4C=EC=2o+2,AD-ED,进而

可求得BE=5,结合三角形中线的性质易知？"之行=12，确定面积的最大值，即可获得

答案.

【详解】解：：在二中，一4M+5C、.石，

2a+2+2a-3>9,

5

a>一

解得2；

如下图，延长3、C8交于点、E,

•.•CD为//C3的平分线，

:.ZACD=£ECD,

在&/ICD和空。。中，

AACD=ZECD

<CD=CD

Z>4DC=Z£DC=90°

...JCMAECD(ASA),

,•MC=5C=2a+2,AD=ED,

-CB=2a-3,

•-•5E=2a+2-(2a-3)=5J

­：.W=ED,

...EUJO?_ASI=1

当时，u，4EE的面积取最大值，

0rM=1x9x5=&

即-22,

-竺

c_~r

：.4.

>工—

故答案为：>2,T.

【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、解一元一次不等式、角平分线、全等三角形的判定与性质、三

角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键.

三、解答题：(17题每小题3分共12分；18题6分；19-20题每题4分；21题3分；22-26

题每小题5分；27-28题每小题7分)

17.计算

,c、（15A*V"-12rr3-3A|-i-?Ai

（2），,

⑶（［T+.V「-…J.v11T-2,vl

（4）103*97

【答案】（1）二

⑵-5xy+4p-J+l

（3）3T'+4r+5』

（4）9991

【解析】

【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

（1）先算嘉的乘方和同底数幕的乘法，再合并同类项；

（2）根据多项式与单形式的除法法则计算即可；

（3）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再合并同类项；

（4）利用平方差公式计算.

【小问1详解】

=-a；

【小问2详解】

05.<v3-12A\rJ-3i)-1-3xl

jvrr*

=]+(-3*|-12i3r3-(-3x)-3x-(-3x)

=-5TJV3>1.

【小问3详解】

解：(2x+.riJ-(.v+2.rl(i->)

=4T2+4»，-x3+4y3

=+4yv+

【小问4详解】

33

铲103x97=(100+3)(100-3)=WO-?=9991

用牛：.

18.已知求代数式m+(*-3)(X+3T(X-5I的值.

【答案】4

【解析】

【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值问题，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键.

先进行整式的混合运算，然后把T：-八-1代入化简后的式子，即可求得结果.

【详解】解：

=jr3-2x+l+x3-9-2x+10

=2x3-4x+2

=2（/-2x）+2

当时，

原式=2,1+二=4.

19.下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.

°C三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180。，

已知：如图,AA5C,

求证：

方法一方法二

证明：如图，过点A作匚五N3C证明：如图，过点c作0D”,超.

A八

B乙-----------B乙------------

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】方法一：依据平行线的性质，即可得到U=从而可求证三角形的内

角和为180°.

方法二：由平行线的性质得：ZA=ZACD,』B+/BCO=180。，从而可求证三角形的内角和为180°.

【详解】证明：

方法一：过点A作DXiiBC,

DAE

-----------------<

则NC=/E4C.（两直线平行，内错角相等）

:点、D,A,&在同一条直线上，

.•.ZDJ45+Z5AC+ZC=180°,（平角的定义）

..ZB+ZA4C+ZC=180°.

即三角形的内角和为1S1".

方法二：

如图，过点c作％.M

AZA=ZACD,ZB+ZBCD=1SO°,

.•.ZB+ZACB+ZA=180°.

即三角形的内角和为1S（°.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关

键.

20.如图，点5,尸，C,E在一条直线上，BF=CE,AB//ED,AC//FD.求证：

一H8L-DEF.

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据可得BC=EF,再由.3〃ED,AC//FD.可得/ACB=/DFE,

即可求证.

【详解】证明：：3尸=

：.BF+CF=CE+CF,即BC=EF,

■：.AB//ED,AC//FD.

：.ZB=ZE,ZACB=ZDFE,

在△ABC和△。所中，

'：ZB=ZE,BC=EF,ZACB=ZDFE,

：.AABC^/\DEF.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.

21.已知：如图，一出立’.

求作：点P,使得点尸在一必。内，且到三边43,BC,C4的距离相等.

【答案】见解析

【解析】

【分析】此题主要考查了尺规作图，角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质.作出一犯「和

工'/(;8的平分线，两线的交点处就是尸点位置.

【详解】解：如图所示：

22.已知，如图，在一.必。中，AD,分别是二方。的高和角平分线，若NB=30°,ZC-50,,

求一。月E的度数.

【解析】

【分析】根据三角形内角和定理为180度，得一反4C,根据三角形角平分线平分-8月三角形高为

直角，即可求出二DAE的度数.

【详解】•./3+/。+44。=180°且/3=30°,ZC-50,

.­.ZB4C=100,

♦.•■超是一•把七’的角平分线

.•一艮4(?=--R.AC

二及40=50°

又.4D是—45'的高

.-.ZJ4DC=90°

在二ADC中，_ADC+_C+一已49=180・

.•.90。+5了+_匚41；=15。°

.•._匚4。=羽。

^EAC=£CAD+£DAE=50°

70。+945=50。

【点睛】本题考查三角形的内角和定理，三角形的高、角平分线的性质等知识；解题的关键是掌握，三角

形内角和为1SD°,角平分线平分角.

23.已知一个等腰三角形的两边长分别为3cm和San,求它的周长.

【答案】19cm

【解析】

【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分腰长为3和San两种情况，根据

构成三角形的条件先验证是否能构成三角形，再根据三角形周长计算公式求解即可.

【详解】解：当腰长为3cm时，则该等腰三角形的三边长分别为3cm,3cm,San,

•.•3+3<8,

，此时不能构成三角形，不符合题意；

当腰长为5am时，则该等腰三角形的三边长分别为3cm,Sam,San,

v3+8>8,

.••此时能构成三角形，符合题意，

该等腰三角形的周长为3+§+S=19cm；

综上所述，该等腰三角形的周长为19cm.

24•计算：

(x-l)(x+l)=

(x-l)(x3+x+1)=

(X-1)(T,+X3+X+1)=

(x-l)(x*+x,+r3+x+1)=

从上面的计算中你发现的规律(用含力的一般形式表示).

【答案】，1；F-1；T-L31；…+'+'+”=U

【解析】

【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，根据多项式乘以多项式的计算法则求出前面4个式子

的结果，进而总结规律求解即可.

【详解】解：7-/+1|=

(x-l)(x3+x+l)=x3-x3+r3-x+x-l=x3-l

(%—1"？+工'+«+1)=f+?+x'+x-P-x,一工一】=、■-1

x4+x3+x2+x+l)=x^+x4+x5+x3+x-x<-x1-x3-x-l=x3-I

以此类推可知，一八1.

JJ

25.求证：当"是整数时，两个连续奇数的平方差仁”+»是8的倍数

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】运用平方差公式将(2n+l)2-(2n-l)2化简，得出结果含有因数8即可.

【详解】：n是整数，

/.2n+l与2n-l是两个连续的奇数，

(2n+l)2-(2n-l)2=(2n+l+2n-l)(2n+l-2n+l)=4nx2=8n,

...两个连续奇数的平方差(2n+l)2-(2n-l)2是8的倍数.

【点睛】此题考查了平方差公式的应用.注意整体思想在解题中的应用.

26.已知：如图，A、8、。三点在同一直线上，AC-BC,DC-EC,4cB=ZDS=90°,判

断线段HD与线段6E的关系，并证明你的结论.

【答案】AD=BE.ADIBSt证明见解析

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，根据5心证明得

AD=BE,ZADC=ZBEC；然后根据三角形内角和定理可证ADI房.

【详解】解：凡O=6三，理由：

•.•乙O=ZDCE=90。，

:.ZACB+ZBCD=ZDCff+Z5CD,

JCO-BCE.

-：AC=BC,DC=EC,

.在段”口

••7”.3(7，

•.A•D=BS,ZADC=£BEC，

-BFD--CFE,

：.UBF=_ECF=9。。,

：.ADLBE.

27.如图，在一儿5’「中，一五、3=90°,AC^BC,Z)为射线上一点(不与点B,°重合)，连

接ZD并延长到点E,使得DZ=/D,连接曲，过点5作即的垂线交直线4c于点尸.

(1)如图1,点。在线段C5上，且。£＜：「□.

①请补全图形;

②判断CD,DB,0尸之间的数量关系，并证明.

(2)如图2,若点。在线段的延长线上，请画出图形，直接写出CD,DB,CF之间的数量关

系.

【答案】(1)①见解析；②Ca=BD+「尸，证明见解析

(2)画图见解析，CF=CD+BD

【解析】

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质；

(1)①根据题意画出图形即可；②作交C?的延长线于，3，证明-EGD得到

CD-DG,AC=EG,从而得到EG=3C,证明LCAFHAGAB得到CR=BG,即可得证；

(2)根据题意画出图形，作EG_LC8交CB的延长线于G,证明“OARTD得到CD=DG,

AC-EG,从而得到RG=BC,证明ACB月JfiWHE得到CF=BG,即可得证.

【小问1详解】

解：①补全图形如图所示：

②。。=8口+。尸，

证明：如图，作EQ_LCB交C8的延长线于G,

在二48和&EGD中，

ZACD=AEOD

<ZADC=Z£ZX7

AD=ED

CD-DO,AC=EG,

\-AC-BC,

RG=BC,

,：BF1BE,

__£5F=90°,

..ACBF+^EBG=90°,

•.•4EG+Z£BG=90。,

£BEG=£CBF,

在—C*RF和AGEB中，

NFCB="GR

'Z.CBF=£GEB

BC=EG

nCBFmGEB'S

CF=BG,

CD=DG=BD+BG=BD+CF;

【小问2详解】

解：画出如图所示：

关系：CF=CD+BD,

作HG_L2C交BC的延长线于G,

则3(?。=一E(M=90。，

在“CD和—GD中,

£ACD=ZEGD

，&DC=HXJ

AD=ED

A<CDBA£GD(AA3)

CD-DO,AC=EG,

■.AC=BC,

RG=BC,

vBF1BE,

Z£5F=90°,

..ACBF+-EBG=90°,

vqEG+*G=90。，

,LBEG=ACBF,

在一C'3F和-二F三中，

2FCB=ABGE

-£CBF=£GEB

BC=EG

△CBF处GEB'S

CF=BG,

CF=BG=BC+CD+DG=BD+CD；

28.在平面直角坐标系,Cv中，对于点尸和点A,若存在点°,使得J40=D0°,且.4°=4P,则称

点0为点尸关于点A的“链垂点”.

<：：：：：：：：：4

(1)如图1,

工：若点A的坐标为(2,1),则点A关于点。的“链垂点”坐标为；

2若点5,3)为点0关于点(，的“链垂点”，且点位于1轴上方，试求点0的坐标；

(2)如图:，图形G是端点为(1,0)和(2,1)的线段，图形月是以点。为中心，各边分别与坐标轴平行且

边长为6的正方形，点Z)为图形G上的动点，对于点3(°/"：'<c",存在点。，使得点。关于点E的

“链垂点”恰好在图形H上，请直接写出，的取值范围.

<141

【答案】⑴！或U；-;

(2)-?<?<-1.

【解析】

【分析】(1)「利用“链垂点”的定义，画出图形，再利用直角三角形的性质和全等三角形的性质解

答即可；

匕设点的坐标为''利用“链垂点”的定义和直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质列出

关于I,F的方程组解答即可；

(2)利用待定系数法求得端点为(1,0)和(2,1)的线段所在直线的解析式，设得到点D的坐标为

(加，加-L,贝打三”：三2,利用(1)中的方法求得。与物的关系式，进而得到关于，的不等式，解不等

式即可得出结论.

【小问1详解】

1由题意：点E,斤为点A关于点。的“链垂点”，如图,

5

4

:点A的坐标为(2,1),

0G=2,AG=1,

•.•点E,尸为点A关于点C的“链垂点”，

.