常见几何模型专练-2025年中考数学基础知识分点练

常见几何模型专练

模型一倍长中线模型

1.(2024泰安)如图①，在等腰RtA4BC中/ABC=900,AB=CB点D,E分别在AB,CB±.DB=EB,连接A

E,CD,取AE中点F,连接BF.

(1)求证：CD=2BF,CD1BF-,

⑵将△DBE绕点B顺时针旋转到图②的位置

①请直接写出BF与CD的位置关系：；

②求证：CD=2BF.

图①图②

第1题图

模型二截长补短模型

1.(2024牡丹江)数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究.在RSABC中”乙4cB=90°,zBXC=30。,

点D在直线BC上,将线段AD绕点A顺时针旋转60。得到线段AE,过点E作.EF||BC,交直线AB于点F.

⑴当点D在线段BC上时，如图①,求证：BD+EF=AB-

分析问题：某同学在思考这道题时，想利用AD=4E构造全等三角形，便尝试着在AB上截取AM=EF,,连

接DM,通过证明两个三角形全等，最终证出结论；

推理证明：写出图①的证明过程；

探究问题：

(2)当点D在线段BC的延长线上时，如图②；当点D在线段CB的延长线上时，如图③，请判断并直接写出

线段BD,EF,AB之间的数量关系；

拓展思考：

⑶在(1)(2)的条件下，若AC=6V3,CD=2BD,则EF=

AA

2.（2024扬州）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后

再研究一般情况，证明结论.

如图,已知是ATIBC的外接圆，点D在。。上GW〉BD）J®$AD,BD,CD.

【特殊化感知】

⑴如图①，若"CB=60。,点D在AO延长线上，则AD-BD与CD的数量关系为；

【一般化探究】

⑵如图②，若乙4cB=60。,点C,D在AB同侧判断AD-BD与CD的数量关系并说明理由；

【拓展性延伸】

⑶若乙4cB=a,,直接写出AD,BD,CD满足的数量关系.（用含a的式子表示）

第2题困

模型三构造特殊三角形

类型一构造等边三角形

1.（2023随州）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题:给定不在同一条直线上的三个点A,B,C,

求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被

称为“费马点”或“托里拆利点"该问题也被称为“将军巡营”问题.

（1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处

从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶

点）

当△ABC的三个内角均小于120。时,

如图①，将△4PC绕点C顺时针旋转60。得到△AP匕连接PP',

由PC=P'C.APCP'=60。,可知'trianglePCP'为①三角形,故PP'=PC,又P'A'=P4,故PA+PB

+PC=P'A'+PB+PP'>slantA'B…由②可知.当B,P,P,A在同一条直线上时,PA+PB+PC取

最小值；

如图②，最小值为&B,此时的P点为该三角形的“费马点”，

—APC=/BPC=/APB=③；

已知当△力BC有一个内角大于或等于120。时，“费马点为该三角形的某个顶点如图③，若Z-BAC>120。,则

该三角形的“费马点”为④点;

⑵如图④，在△48C中,三个内角均小于120。,且AC=3,BC=4,乙4cB=30。,已知点P为A-BC的“费马

点”，求P4+PB+PC的值；

⑶如图⑤，设村庄A,B,C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km,BC=2V3km,NACB=60。现欲建一中

转站P沿直线向A,B,C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A,B,C的铺设成本分别为a元/km,a元/km,

&a元/km,选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为元.（结果用含a的式子表示）

类型二构造直角三角形

2.(2023营口)在回2BCD中，AADB=90。,点E在CD上点G在AB上，点F在BD的延长线上，连接EF.DG,

⑴如图①，当k=1时，请用等式表示线段AG与线段DF的数量关系:

⑵如图②，当k=旧时，写出线段AD,DE和DF之间的数量关系，并说明理由；

⑶在⑵的条件下，当点G是AB的中点时，连接BE,求tan/EBF的值.

3.（2024重庆B卷）在RtA中,AACB=90°,AC=3C,过点B作BD\\AC.

⑴如图①，若点D在点B的左侧，连接CD,过点A作2E回CD交BC于点E.若点E是BC的中点，求证：

AC=2BD;

(2)如图②，若点D在点B的右侧，连接AD,点F是AD的中点，连接BF并延长交AC于点G,连接CF.

过点F作FM1BC交AB于点M,CN平分乙4cB交BG于点N,求证：AM=CN+BD;

(3)若点D在点B的右侧，连接AD,点F是AD的中点，且4F=4C点P是直线AC上一动点，连接FP,

将FP绕点F逆时针旋转60。得到FQ,连接BQ,点R是直线AD上一动点，连接BR,QR.在点P的运动过程中，当B

Q取得最小值时，在平面内将ABQR沿直线QR翻折得到ATQ/?,,连接FT.在点R的运动过程中，直接写出行的

最大值.

第3题图

模型四一线三等角模型

类型一直角型一线三等角

1.(2024甘肃省卷)【模型建立】

(1)如图①，已知AABE和=BC,CD回BD,2EI2BD.用等式写出线段AE,DE,CD的数量关

系，并说明理由；

【模型应用】

⑵如图②，在正方形ABCD中，点E,F分别在对角线BD和边CD上,AE^\EF,AE=E凡用等式写出线段BE,A

D,DF的数量关系，并说明理由；

【模型迁移】

⑶如图③在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AESEF.AE=EF.用等式写出线

段BE,AD,DF的数量关系，并说明理由.

第1题图

2.（2024扬州）如图，点A,B,M,E,F依次在直线1上，点A.B固定不动，且48=2,分别以AB,EF为边在直线1

同侧作正方形ABCD、正方形EFGH,APMN=90。,直角边MP恒过点C,直角边MN恒过点H.

⑴如图①，若BE=10,EF=12,求点M与点B之间的距离；

（2）如图①若BE=10,当点M在点B,E之间运动时，求HE的最大值；

⑶如图②，若.BF=22,当点E在点B,F之间运动时，点M随之运动，连接CH,点。是CH的中点，连接HB,

MO,则：2OM+的最小值为.

类型二非直角型一线三等角

3.（2024绥化）综合与实践

问题情境

在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象.纸片AABC和ADEF满

足乙ACB=乙EDF=90°,4C=BC=DF=DE=2cm.

下面是创新小组的探究过程.

操作发现

⑴如图①，取AB的中点O，将两张纸片放置在同一平面内，使点O与点F重合.当旋转△DEF纸片交AC边

于点H、交BC边于点G时，设/4H=<x<2）,BG=y,请你探究出y与x的函数关系式，并写出解答过程；

问题解决

⑵如图②，在⑴的条件下连接GH,发现△的周长是一个定值，请你写出这个定值，并说明理由；

拓展延伸

⑶如图③，当点F在AB边上运动（不包括端点A,B）,且始终保持^AFE=60。请你直接写出△DEF纸片的

斜边EF与△ABC纸片的直角边所夹锐角的正切值_______.（结果保留根号）

第3题图

模型五手拉手模型

类型一全等型

1.（2024新疆）【探究】

（1）已知△ABC和△4DE都是等边三角形.

①如图①，当点D在BC上时，连接CE.请探究CA,CE和CD之间的数量关系，并说明理由；

②如图②,当点D在线段BC的延长线上时,连接CE.请再次探究CA,CE和CD之间的数量关系，并说明理

由.

【运用】

⑵如图③，等边三角形ABC中，AB=6,点E在AC上，CE=2a.点D是直线BC上的动点，连接DE,以DE

为边在DE的右侧作等边三角形DEF,连接CF.当△CE尸为直角三角形时，请直接写出BD的长.

第1题图

类型二相似型

2.（2024江西）综合与实践

如图,在RtAABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD,以CD为直角边在CD的右

侧构造RtACDE,NDCE=90。,连接BE,=m.

特例感知

⑴如图①，当m=l时,BE与AD之间的位置关系是______，数量关系是；

类比迁移

(2)如图②，当n#l时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想；

拓展应用

⑶在⑴的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF,EF,BF,如图③.已知AC=6,设AD=x,四边形CDFE的面积

为y.

①求y与X的函数表达式，并求出y的最小值；

②当BF=2时，请直接写出AD的长度.

第2题图

3.(2024成都)数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个

纸片绕这个顶点旋转来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和ADE中，48=4。=3BC=DE=4,乙4BC

=/.ADE=90°.

【初步感知】

⑴如图①，连接BD,CE,在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究沿勺值；

CE

【深入探究】

(2)如图②，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时.延长ED

交AC于点F,求CF的长；

【拓展延伸】

(3)在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C,D,E三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所有直角三角

形CDE的面积；若不能，请说明理由.

模型六半角模型

类型一90。角含45。角

1.(2024宜宾)如图,正方形ABCD的边长为1,M,N是边BC,CD上的动点.若乙MAN=45。,则MN的最小值为

第1题图

2.（2023赤峰）数学兴趣小组探究了以下几何图形.如图①，把一个含有45。角的三角尺放在正方形ABCD中，使

45。角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45。角的两边CM,CN始终与正方形的边AD,

AB所在直线分别相交于点M,N,连接MN,可得△CMN.

【探究一】如图②，把ACDM绕点C逆时针旋转90。得至[]△CB”,同时得到点H在直线AB上.求证：NCNM

=/.CNH;

【探究二】在图②中，连接BD,分别交CM,CN于点E,F.求证：ACEFACNM;

【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD与三角尺45。角两边CM,CN分别交于点E,F,连接AC

交BD于点O,求益的值.

第2题图

3.（2024乐山）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：

【问题情境】

如图①，在△ABC中,NBAC=9（r,AB=AC,点D,E在边BC上，且NDAE=45o,BD=3,CE=4,求DE的长.

解如图②，将AABD绕点A逆时针旋转90。狷到△ACD,连接ED.

由旋转的特征得/BAD=/CAD；/B=/ACD,AD=AD,BD=CD，/A\

/BAC=9(T,/DAE=45。,，ZBAD+ZEAC=45°,

,

ZBAD=ZCAD',.\ZCAD'+ZEAC=45°,BPZEAD=45°.3—DE—CBDEC⑻

ZDAE=ZD'AE.图①图②

第3题图

在小口人£和4D'AE中,AD=AD,NDAE=ND'AE,AE=AE,；._©_..\DE=D'E.

又ZECD'=ZECA+ZACD'=ZECA+ZB=90°,

.•.在RSECD'中，②.

,/CD=BD=3,CE=4,DE=D'E=③.

【问题解决】

上述问题情境中，“①”处应填:_____广②”处应填______广③”处应填：________；

刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究,只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变

应万变.

【知识迁移】

如图③，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，

连接AE,AF,分别与对角线BD交于M,N两点.探究BM,MN,DN的数量关系并证明；

第3题图③

【拓展应用】

如图④.在矩形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，且NEAF=NCEF=45。探究BE,EF,DF的数量关系：

—；(直接写出结论，不必证明)

【问题再探】

如图⑤，在△ABC中,NABC=9(T,AB=4,BC=3点D,E在边AC上，且NDBE=45。.设AD=x,CE=y，求y与x的函数

关系式.

类型二120。角含60。角

4.(2024龙东地区)已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,NMAN="B4C,NM4V在NBAC的内部，点M,N在B

C上，点M在点N的左侧，探究线段BM,NC,MN之间的数量关系.

(1)如图①，当NBAC=90。时，探究如下:

由/BAC=9(T,AB=AC可知，将△ACN绕点A顺时针旋转90。得到△ABP,则CN=BP且/PBM=90。,连接PM,

易证△AMP0ZXAMN,可得MP=MN,在RtAPBM中,.BM2+BP2=MP?,则有BM2+NC2=MN2;

⑵当/BAC=60。时.如图②;当NBAC=120。时.如图③.分别写出线段BM,NC,MN之间的数量关系，并选择图

②或图③进行证明.

模型七对角互补模型

1.(2024贵州)综合与探究:如图，乙40B=90。,点P在乙4。8的平分线上.P2回。A于点A.

(1)【操作判断】

如图①，过点P作PC回。B于点C,根据题意在图①中画出PC,图中乙4PC的度数为度；

(2)【问题探究】

如图②,点M在线段AO上,连接PM,过点P作PN回PM交射线OB于点N.求证:(OM+ON=2PA-

(3)【拓展延伸】

点M在射线AO上连接PM过点P作PN回交射线OB于点N,射线NM与射线PO相交于点F者(ON

=3OM,求案的值.

OF

2.(2024眉山)综合与实践

问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心O

处，并绕点。旋转，探究直角三角板与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况.

操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点O处，在旋转过程中：

(1)若正方形边长为4,当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为；当一条直角边与正方形的

一边垂直时，重叠部分的面积为；

(2)若正方形的面积为S,重叠部分的面积为S],在旋转过程中.&与S的关系为；

类比探究：如图①，若等腰直角三角板的直角顶点与点O重合，在旋转过程中，两条直角边分别交正方形两边

于E,F两点，小宇经过多次实验得到结论BE+DF=&OC,请你帮他进行证明；

拓展延伸：如图②，若正方形边长为4,将另一个直角三角板中(60。角的顶点与点O重合，在旋转过程中，

当三角板的直角边交AB于点M,斜边交BC于点N,且BM=BN时，请求出重叠部分的面积.

V6+V2

,tan15°=2—V3

4

3.（2024河南）综合与实践

在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验.请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究.

定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.

⑴操作判断

用分别含有30。和45。角的直角三角形纸板拼出如图①所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有

_；（填序号）

（2）性质探究

根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质.下面研究与对角线相关的性质.如图②，四边形ABCD是邻等

对补四边形,AB=2D,AC是它的一条对角线.

①写出图中相等的角，并说明理由；

②若BC=m,DC=n/BCD=28,,求AC的长（用含m,n,。的式子表示）.

（3）拓展应用

如图③，在Rt△ABC中，ZS=90°,AB=3,BC=4,,分别在边BC,AC上取点M,N,使四边形ABMN是邻

等对补四边形.当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN的长.

模型八利用垂线段最短求最值

类型——条线段最值

1.(2024南充)如图在RtA4BC中，zC=90。,NB=30°,BC=6,AD平分"AB交BC于点D,点E为边A

B上一点，则线段DE长度的最小值为()

C.2D.3

笫2题图

2.(2024凉山州)如图,。M的圆心为M(4,0),半径为2.P是直线y=x+4上的一个动点过点P作。M的切线,

切点为Q,则PQ的最小值为.

3.(2024长春)【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边△ABC中，AB=3,

点M,N分别在边AC,BC上，且4M=CN,试探究线段MN长度的最小值.

【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路

径，进而解决上述几何问题.

【问题解决】如图②，过点C,M分别作MN,BC的平行线，并交于点P,作射线AP.在【问题呈现】的条

件下，完成下列问题：

⑴证明：AM=MP;

(2)ZCAP的大小为度,线段MN长度的最小值为；

【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③.小明收集了该房屋的相关数据，并

画出了示意图,如图④.△ABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，AB=AC=CD=2米.^ACB=30。,MN

是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上.在调整钢丝绳端点位置时，其长度也

随之改变，但需始终保持AM=DM钢丝绳MN长度的最小值为米.

第3题图

类型二两条线段最值

考向1"AP+BP”型

4.（2022娄底）如图,菱形ABCD的边长为2,乙4BC=45。,点P,Q分别是BC,BD上的动点，CQ+PQ的最小

值为.

考向2"kAP+BP”型（“胡不归”问题）

5.（2023湘西州）如图，OO是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4.过点B作BE团2C于点E,点P为线段B

E上一动点（点P不与B,E重合）厕CP+的最小值为.

6.（2024凉山州）如图,在菱形ABCD中，=60°,AB=2,E是BC边上一个动点，连接AE,AE的垂直平分

线MN交AE于点M,交BD于点N,连接EN,CN.

⑴求证：EN=CN;

⑵求2EN+BN的最小值.

第6题图

模型九利用两点之间线段最短求最值

类型——条线段最值

1.（2024宜宾）如图，在△2BC中,AB=342,AC=2,以BC为边作Rt△BCD.BC=BD,点D与点A在BC

的两侧，则AD的最大值为（）

4.2+3V2B.6+2V2C.5D.8

第2题图

类型二两条线段和最值

2.（2024成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（3,0）,B（0,2）过点B作y轴的垂线1P为直线1上一动点,

连接PO,PA,则PO+PA的最小值为.

更多新考法试题

均选自万唯《初中数学几何模型与中考新考法》

3.（2024内江）如图在△28c中，4ABC=60°,BC=8,E是BC边上一点，且BE=2,点I是△28C的内心,

BI的延长线交AC于点D,P是BD上一动点，连接PE,PC,则PE+PC的最小值为.

第4题图

4.（2024新疆）如图,抛物线y=科久2-4x+6与y轴交于点A,与x轴交于点B,线段CD在抛物线的对称轴上

移动（点C在点D下方），且CD=3.当AD+8c的值最小时，点C的坐标为.

类型三/n条线段和最值（5>slant3）

5.（2024滨州）如图,四边形AOBC四个顶点的坐标分别是2（-1，3）,0（0,0）］（3,-1）。5,4）在该平面内找一点已

使它到四个顶点的距离之和PA+PO+PB+PC最小，则P点坐标为.

¥

5

4C

D

第5吻图第6尊图第7®图

6.（2024绥化）如图，已知乙AOB=50。,点P为N20B内部一点，点M为射线OA,点N为射线OB上的两个动

点，当△PMN的周长最小时，则上MPN=

类型四两条线段差最值

7.（2022成都）如图在菱形ABCD中，过点D作DE团CD交对角线AC于点E,连接BE,点P是线段BE上一动

点，作P关于直线DE的对称点点Q是AC上一动点，连接P，Q,DQ.者AE=14,C£=18厕DQ-P，Q的最大

值为

模型十与圆有关的最值（含隐圆）问题类型一点圆最值

1.（2024达州）如图,△ABC是等腰直角三角形,NABC=9（T,AB=4,点D,E分别在AC,BC边上运动，连接AE,

BD交于点F,且始终满足4。='CE厕下列结论：①AE=（②NDFE=135。;③^ABF面积的最大值是4V2-4;

@CF的最小值是2V10-2夜其中正确的是（）

A.①③B.①②④C.②③④D.①②③④

第1题图第2题图第3题图

2.（2023徐州）如图，在R3ABC中,/C=9（T,CA=CB=3,点D在边BC上.将△ACD沿AD折叠，使点C落在点

C处，连接BC,则BC的最小值为.

类型二线圆最值

3.（2024烟台）如图，在=ABCD中,/C=12（T,AB=8,BC=10.E为边CD的中点,F为边AD上的一动点，将△DEF

沿EF翻折得ADEF,连接AD；BD,则△ABD面积的最小值为.

类型三定点定长作圆

4.（2024德阳）一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：dm）的正方形纸片ABCD，他在边AB

和AD上分别取点E和点M,使AE=BE,AM=1,又在线段MD上任取一点N（点N可与端点重合），再将△EAN沿NE

所在直线折叠得到△E&N,随后连接D4.小王同学通过多次实践得到以下结论：

①当点N在线段MD上运动时，点为在以E为圆心的圆弧上运动；

②当达到最大值时，4到直线AD的距离达到最大；

③。义的最小值为2遥-2;

④达到最小值时，MN=5—底

你认为小王同学得到的结论正确的个数是()

5.（2024河南）如图，在R3ABC中,/ACB=9（F,CA=CB=3,线段CD绕点C在平面内旋转过点B作AD的垂线，

交射线AD于点E.若CD=1,则AE的最大值为最小值为.

类型四定弦定角（含直角对直径）

6.（2024苏州）如图矩形ABCD中,AB=W,BC=1动点E,F分别从点A,C同时出发，以每秒1个单位长度的

速度沿AB,CD向终点B,D运动，过点E,F作直线1,过点A作直线1的垂线，垂足为G,贝UAG的最大值为

A.V3

AEBBD

第6题图第7题图

7.（2024扬州）如图，已知两条平行线点A是li上的定点,AB_L%于点B,点C,D分别是人、%上的动点，

且满足AC=BD,连接CD交线段AB于点E,BH±CD于点H,则当NBAH最大时,sin/BAH的值为.

8.（2024广元）如图，在△ABC中,AB=5,tan/C=2,则的最大值为.

第8题图

9.（2024陕西）问题提出

⑴如图①，在△ABC中,ABMISZCMSO。/、4ABC的外接圆OO,则配它的长为；（结果保留兀）

问题解决

（2）如图②所示，道路AB的一侧是湿地，某生态研究所在湿地上建有观测点D,E,C.线段AD,AC和BC为观测

步道,其中点A和点B为观测步道出入口.已知点E在AC上，且AE=EC,/DAB=60o,NABC=12（T,AB=1200m,AD=

BC=900m.现要在湿地上修建一个新观测点P,使/DPC=60。,再在线段AB上选一个新的步道出入口点F,并修

通三条新步道PF,PD,PC,使新步道PF经过观测点E,并将五边形ABCPD的面积平分.

请问：是否存在满足要求的点P和点F?若存在，求此时PF的长；若不存在，请说明理由.（点A,B,C,P,

D在同一平面内，道路AB与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号）

D,”

AB

图②

第9题图

类型五"kAP+BP”型（阿氏圆）

10.（2023烟台）如图,抛物线y=收+版+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,AB=4.抛物线的对

称轴x=3与经过点A的直线y=kx-l交于点D,与x轴交于点E.

（1）求直线AD及抛物线的表达式；

（2）在抛物线上是否存在点M，使得AADM是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；

若不存在，请说明理由；

（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为OB上一个动点.请求出PC+4的最小值.

模型十一主从联动

类型一直线轨迹

1.（2024乐山）如图,在菱形ABCD中，乙4BC=60Q,AB=1,点P是BC边上一个动点，在BC延长线上找一点

Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接DP,AQ交于点M.当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为

()

第1题图第2期图

2.（2024泰安）如图,菱形ABCD中2B=60。,点E是AB边上的点AE=4,BE=8,点F是BC上的一点,△EGF是以

点G为直角顶点,/EFG为30。角的直角三角形，连接AG.当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是

()

A.2B.4V3-2,C.2V3D.4

3.（2023安徽）如图,E是线段AB上一点,aADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P,F分

别是CD,AB的中点若AB=4,则下列结论错误的是）

A.PA+PB的最小值为3百

B.PE+PF的最小值为2V3

C.ACDE周长的最小值为6

D.四边形ABCD面积的最小值为3V3

第4题图

4.（2024连云港）如图在△ABC中，ZC=90°,zB=30。,"=2.点P在边AC上，过点P作PD回AB,垂足为

D,过点D作DF团BC,垂足为F.连接PF,取PF的中点E.在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路

径长为

5.（2023常州）如图，在RtA4BC中,ABAC=90°,AB=AC=4,D是AC延长线上的一点，CD=2.M是边B

C上的一点（点M与点B,C不重合），以CD,CM为邻边作口CMND.连接AN并取AN的中点P,连接PM，则PM

的取值范围是.

6.（2024徐州）如图，在团4BCD中,AB=6,AD=10,ABAD=60°,P为边AB上的动点.连接PC,将PC绕点P

逆时针旋转（60。得到PE,过点E作EF\\AB,EF交直线AD于点F.连接PF,DE,分别取PF,DE的中点M,N,连接M

N,交AD于点Q.

（1）若点P与点B重合，则线段MN的长度为；

（2）随着点P的运动，MN与AQ的长度是否发生变化?若不变，求出MN与AQ的长度；若改变，请说明理

由.

类型二圆轨迹

7.（2024龙东地区）如图，在RtAABC中，乙4cB=90°,tanzFXC=|,BC=2,AD=1,线段AD绕点A旋转，

点P为CD的中点，则BP的最大值是一

第7题图

8.(2024日照)如图①,AB为。。的直径，48=12,点C是。O上异于A,B的任一点，连接AC,BC,过点A作射线.

AD^AC.D为射线AD上一点，连接CD.

【特例感知】

(1)若BC=6,则AC=_-

⑵若点C,D在直线AB同侧，且ZXDC=NB,,求证:四边形ABCD是平行四边形；

【深入探究】若在点C运动过程中，始终有tan乙4DC=旧,连接OD.

(3)如图②，当CD与。O相切时，求OD的长度；

⑷求OD长度的取值范围.

图①图②备用图

第8题图

模型一倍长中线模型

1.⑴证明:在^ABE和^CBD中，

VAB=BC,ZABE=ZCBD,BE=BD,

JAABE^ACBD(SAS),

・・・AE=CD,NFAB=NBCD.

,/F是RtAABE斜边AE的中点，

・・・AE=2BF,

・・・CD=2BF,

•••BF=^AE=AF,・•・Z.FAB=Z.FBA.

：.ZFBA=ZBCD,

ZFBA+ZFBC=90°,

・•.ZFBC+ZBCD=90°.

ACD±BF;

(2)①解:BF,CD;

【解法提示】如解图①，延长BF到点G,使FG=BF,连接AG.延长EB到点M,使BE=BM,连接AM并延长交C

D于点N.易证△AGB之ABDC(理由同(2)②)..・.NABG=NBCD,丁F是AE中点,B是EM中点,BF是△AE

M中位线,，BF〃AN,・'.ZABG=ZBAN=ZBCD,.\ZANC=ZABC=90°,AAN±CD,VBF^AN,ABF±CD.

第1题解图

②证明:如解图②，延长BF到点G,使FG=BF,连接AG,

AF=EF,FG=BF,ZAFG=ZEFB,

AAGF^AEBF(SAS),

・•・ZFAG=ZFEB,AG=BE,

・・・AG〃BE.

.*.ZGAB+ZABE=180°,

VZABC=ZEBD=90°,

.*.ZABE+ZDBC=180°.

・•・ZGAB=ZDBC,

VBE=BD,

・・・AG=BD.

在^AGB和^BDC中，

vAG=BD,乙GAB=乙DBC,AB=CB,

••.△AGB=△BDC(SAS),

BG=CD,

•・•BG=2BFt

ACD=2BF.

类题通法

1.倍长中线

如图，在△ABC中,AD是BC边上的中线.

结论:△ACD^AEBD.

2.倍长类中线

如图，在△ABC中,D是边BC的中点,E是AB上一点，连接DE.

结论:△BDE^ACDF.

模型二截长补短模型

1.⑴证明:由题知，在AB边上截取AM=EF,连接DM.在RtAABC中,.Z.B=90°-Z.BAC=90°-30°=60°,

：EF〃BC,

/.ZEFB=ZB=60°,

又：NEAD=60。，

ZEFB=ZEAD.

又：NBAD=/EAD-NEAF,

ZAEF=ZEFB-ZEAF,

ZBAD=ZAEF,

又；AD=AE,AM=EF,

ADAM^AAEF(SAS),

/.AF=DM,ZAMD=ZEFA=180°-ZEFB=180°-60°=120°,

.­.乙BMD=180°-Z.AMD=180°-120°=60°,

ZB=60°,

ZBMD=ZB=ZBDM.

AABMD是等边三角形，

.\BD=BM=DM.

,/AB=AM+BM,

，AB=EF+BD;

(2)解:图②结论:AB=BD-EF或AB=BD+EF;图③结论:AB=EF-BD;

【解法提示】图②结论：①如解图①，当点E在线段AB右侧时，在BD上取点H，使BH=AB,连接AH并

延长到点G,使AG=AF,连接DG,：/ABC=60。,AABH是等边三角形,NBAH=60。,：线段AD绕点A顺时针旋

转60。得到线段AE,.\/DAE=60o,AE=AD,；.NBAH=/DAE,，NBAH-/EAH=NDAE-/EAH,即/BAE=/HA

D,又：AG=AF,；.△FAE经△GAD(SAS),；.EF=DG,ZAFE=ZG,VBD/7EF,.*.ZABC=ZF=ZG=60°,VZD

HG=ZAHB=60°,.,.ADHG是等边三角形；.DH=DG=EF,，AB=BH=BD-DH=BD-EF;②如解图②，当点E在线段AB

左侧时，在射线BC上取点H,使BH=BA,连接AH.在AH上取一点G,使AG=AF,连接DG,VZABC=60°,/.AABH

是等边三角形,.••ZBAH=60°,V线段AD绕点A顺时针旋转60。得到线段AE,；.ZDAE=60°,AE=AD,.\ZBA

H=ZDAE,.*.ZBAH-ZBAD=NDAE-/BAD,即/BAE=/HAD,又：AG=AF,；.^FAE丝△GAD(SAS),；.EF=D

G,ZAFE=ZAGD,VBD〃EF,；.ZABC=ZBFE=60°,；.ZAFE=ZAGD=120°,ZDGH=180°-ZAGD=60°,

ZAHB=60°,AADHG是等边三角形,，DH=DG=EF,AB=BH=BD+DH=BD+EF.图③结论:如解图③，在EF上取点

H,连接AH,使AH=AF,：EF/7BC,AZF=ZABC=60°,VAH=AF,.\△AHF是等边三角形,/AHF=NHAF=60°,

/./AHE=120。,：将线段AD绕点A顺时针旋转60。得到线段AE,；.AD=AE,ZDAE=60°,.\ZDAB+ZEAH=18

0°-ZEAD-ZHAF=60°,VZD+ZDAB=ZABC=60°,.\ZD=ZEAH,VZDBA=180°-ZABC=120°=ZEH

A,AD=AE,AAEAH^AADB(AAS),BD=AH=FH,.\AH=FH,BD=HF,AB=EH=EF-FH=EF-BD.

易错点拨

当点D在BC的延长线上时，E点的位置有在AB左侧和右侧两种情况，需分类讨论，避免漏解.

⑶解:10或18.

【解法提示】当点D在线段BC上时，如题图①所示，：/BAC=30o,NC=90o,；.AB=2BC,AB2=BC2+AC2,

(2BCY=BC2+(6V3)2,.-.BC=6,：.AB=2BC=12,CD=2BD,BC=BD+CD,BD=|fiC=2,由(1)可知,BD

+EF=AB,，EF=AB-BD=12-2=10;当点D在线段BC的延长线上时，：CD<BD与CD=2BD矛盾，，不符合题意；当点

D在线段CB的延长线上时，CD=2BD=BD+BC,BC=6,BD=BC=6,由⑵可

知,AB=EF-BD,：AB=2BC=12,；.EF=AB+BD=12+6=18.综上所述,EF=10或18.

2.解:(1)AD-BD=CD;

【解法提示】如解图①.连接OB,OC,：CA=CB,ZACB=60o,.\AABC是等边三角形，则NCAB=/ABC=60。,

,/OO是4ABC的外接圆，点D在AO的延长线上,AD是。O的直径,，ZABD=ZACD=90°,AD是/BAC的平

分线，则ZDAB=30°,ZODC=ZODB=60°,AODC和4ODB都是等边三角形,；.BD=OD=CD//AD=2OD,.\AD

-BD=CD.

(2)AD-BD=CD.理由如下：

VCA=CB,ZACB=60°,

/.△ABC为等边三角形，

.\AC=AB,ZBAC=60°,

如解图②，延长DB至点E,使BE=CD,连接AE,

:四边形ACDB为圆内接四边形，

.,.ZACD+ZABD=180°.

又；ZABD+ZABE=180°,

ZACD=ZABE,

在小ACD和小ABE中，

AC^AB

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