北京市某中学2024-2025学年九年级上学期开学测数学试题（解析版）

初三年级数学学科开学测

一、（选择题（本题共30分，每小题3分）

1.下列二次根式是最简二次根式的是（）

A.AB.VsC.D.氏

【答案】c

【解析】

【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时

满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.

【详解】V3-3不是最简二次根式；

、后=?火不是最简二次根式；

Ji彳是最简二次根式；

L不是最简二次根式；

故选

【点睛】本题考查最简二次根式的定义.解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必

须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

2.小明同学在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度与鞋子的码数1之间满足一次函数

关系，下表给出丁与1的一些对应值：根据小明的数据，可以得出该品牌38码鞋子的长度为（）

码数X26303442

长度y18202226

A.24cinB.25cmc.26cmD.38cm

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了一次函数的应用.根据待定系数求出一次函数解析式，然后再将代入函

数

解析式，求出y的值即可.

【详解】解：设'与1的一次函数解析式为

...点（26,叫做处在该函数图象上，

'26Jt+b=18

.’30^+6=20

解得卜=一,

1.

>•=—X4-5

即丁与1的函数解析式为,2，

5.=1x38+5=24

当x=,8时，2,

故选：A.

3.如图，在匕TWl、中，。，£分别是A8,.40的中点，FDLAB交CB的延长线于点?若工F=3,

F

A.2B.3C.3.5D.4

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形中位线定理，掌握线段垂直平分线性质和三角形中位线

定理是解题的关键.根据。是的中点，FD1AB,可以得到幺尸二尸^「',进而求出CB,再由三

角形中位线定理，即可求出。E.

【详解】解：：。是A8的中点，FD1AB,AF^3,

FD是AB的垂直平分线，

AF=FB=3

•：CB^CF-FB,CF=7,

,CB=4,

D,E分别是AB,•4c的中点，

DE是--必C的中位线，

DR=gcB=1

-

故选：A.

4.某校篮球社团共有30名球员，如表是该社团成员的年龄分布统计表，对于不同的下列关于年龄的

统计量不会发生改变的是（）

年龄（单位：岁）13141516

频数（单位：名）812X10-x

A,平均数，中位数B.众数，中位数C.众数，方差D.平均数，方差

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查频数分布表及统计量的选择.由频数分布表可知后两组的频数和为10,即可得知

总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案.

【详解】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为、+10-'=1。，

则总人数为：5+15+10=30.

14+14..

-----=14

故该组数据的众数为14岁，中位数为：2岁，

即对于不同的X,关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数；

故选：B.

5.已知.v是关于T的二次函数，部分V与丁的对应值如表所示：则当<0时，》的取值范围是

()

X-1—,-10i2

ym1—,ni6

AB.-F<6

c-3s.r<6

【答案】c

【解析】

【分析】本题考查二次函数的应用.用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数性质解答即

可.

【详解】解：设J=将点（1.1）、（2.6）、（―）代入得:

a+b+c=1a=1

4a-Y+c=-2,解得

y-r+2r-2-(r+l)-3

抛物线的顶点为开口向上,

当x=-4时，.v=6,

当，=9时，'=

当-4<x<0时，_3s.r<6；

故选：c.

6.已知1"6|+而忑+9-10=0,则以小脑。为三边长的三角形是()

A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理.先求出a,b,c的值，再根据勾股定理逆定

理判断.

【详解】解：・."6|+而忑+(c-lO)'=O,

/.a-6=0,6-8=0,c-10=0,

解得a=6,6=3,c=10.

可知J+〃=1。0=t?,

所以a,6,C为边长的三角形是直角三角形.

故选：B.

7.一元二次方程於:-6.1+3=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()

A.k<3B.左<3且左H0c.k=3D.左三3且ZHO

【答案】B

【解析】

【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可；

【详解】解：由题意得：快中°

解得：1<3且上工0

故选：B.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，同时要满足该方程的二次项系数不为°；熟练运用根的判

别式是解题关键.

_.[a(a>b)_,\b[a>b]

8.对任意两个实数a,6定义两种运算：卜S并且定义运算顺序仍

然是先做括号内的，例如(一」念3=3,(-2)03=-?[(-2)®3]02=J,那么I*㊉」®旧等

于().

A.75B,3C,6D.36

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了求一个数的立方根，无理数的大小比较，理解新定义是比较两数的大小是解题的关

键.根据新定义先计算后㊉】=店，进而计算,503,即可求解.

a(aNb)_.b(aNb)

a©Z>=>a®b=4

【详解】解：:b(a<b]a(a<bi

,-.>/5>>/4=2,石㊉2=亚

，有<5=3,心缸）。旧

=>/503

=6

故选A

9.矩形纸片两邻边的长分别为a,b（A<b）,连接它的一条对角线，用四张这样的矩形纸片按如图所示

的方式拼成正方形/CD,其边长为a+b.图中正方形/CD,正方形E发;H和正方形A0部。的面

积之和为（）

D.4a'+4b'

A.2aJ+262B.2aJ+3&3c.3o'+劲'

【答案】c

【解析】

【分析】此题考查了勾股定理，完全平方公式,

首先根据勾股定理得到皿"=即'+3产3=a'+b',然后利用正方形幺BCD,正方形EFGH和正方形

的面积之和为：代入求解即可.

【详解】,zJ=90°

.•.EF'=BE、BF=a'$

二正方形褴（72正方形EPGH和正方形必因的面积之和为:

AB、EF'+MN'

二（a+6]+a，+6，+（b—

=a'+2ob+b'+优+a~-+b'

=%■方’.

故选：c.

10.如图1,在一，必0中，-4=9匚°,，虻-3,工（？=4,p是边EC上的一个动点，过点尸分别作

RD1/A于点D,PELAC于焉E,连接0E.如图2所示的图象中,是该图象的最低

点.下列四组变量中，y与x之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（)

A.点P与B的距离为x,点尸与C的距离为y

B.点P与8的距离为方点。与E的距离为y

C.点P与。的距离为x,点P与E的距离为y

D.点P与。的距离为x,点。与E的距离为y

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，动点问题的函数图象，先由勾股定理得到

I.-----5-AF——

£工'=4.必''+.五”:5,如图所示，连接加）,过点A作瓶15「于凡由等面积法得到5,

bK=­

则5；再证明四边形月DFE是矩形，得到。E=/l尸；则当工尸一次，时，”＞最小，即此时DE

12

最小，即DE的最小值为5；再由而点尸到点£的距离可以无限小，得到点。与E的距离为y,点P到

点。的距离可以无限性，得到点P与B的距离为无，据此可得答案.

【详解】解：••・在一「中，4=90°,AB~3,AC-A,

.一一，曲+小八二5,

如图所示，连接心，过点A作于R

5卬=mAC^\BCAF

S;2x3x4=-X5AF

J，

BF=JAB2-AF^-

5

,-PDlAB^PELAC,

♦.四边形HDPE是矩形,

•.DR=AP；

•.当"1BC时，”最小,即此时OE最小,

12

.•.D51的最小值为5

而点尸到点E的距离可以无限小，

由函数图象可知点D与E的距离为y,

而点尸到点D的距离可以无限性，

•••由函数图象可知点P与B的距离为x,

故选：B.

二、填空题（本题共20分，每小题2分）

11.计算后*位=.

【答案】6

【解析】

【分析】利用二次根式的乘法法则进行求解即可.

【详解】解：氏=5=6

故答案为：6.

【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则和二次根式的性质是解题的关键.

s3——F(4—5)3+(6-5尸+(5■]]+(内-5)3+(w-5)3~|

12.已知一组数据的方差：5L」，那么M+"的值为

【答案】10

【解析】

【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差和算术平均数的定义.由题意知，这组数据分别为

4、6、5、力、“，且平均数为5,再根据算术平均数的定义可得答案.

【详解】解：由题意知，这组数据分别为4、6、5、巾、”，且平均数为5,

1（4+6+5+?»+»）=5

解得：出+”=10,

故答案为：10

13.在平面直角坐标系x°y中，对于1的每一个值，一次函数1=巾i+二=1）的值都大于函数）*=二'

的值，那么根的值是.

【答案】2

【解析】

【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据题意得出一次函数】'=巾1+二”"工》的图象与函数

.v=2v的图象互相平行即可求解.

【详解】解：.••对于1的每一个值，一次函数）'=加x+?（mw°）的值都大于函数*的值，

...一次函数V=巾'+'的图象与函数）'=八的图象互相平行，

•♦•,，，；=2，

故答案为：2.

14.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边工i;=6cm,5C=Scm,现将一”（？折叠，使点5与点

A重合，折痕为。E,则i二'的长为.

7

—an

【答案】4

【解析】

【分析】根据折叠的性质，则二.二4,设,则D8-DX=8-1,再根据勾股定理，即可.

【详解】由题意得，DB=DA,

设3>=x,

,:BC-Scm,

/.DB-DA=,S-A,

・・・一1。0=9。°,AC=6cm,

.6J+xJ=|8-X）3

••，

7

x=­

：.4,

7

CD--cm

4

7

—an

故答案为：4.

【点睛】本题考查勾股定理，折叠的知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用，折叠的性质.

15.在平面直角坐标系xC'中，将直线‘I丁向下平移1个单位长度，得到直线G+L

则巾二.

【答案】2

【解析】

【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换.根据”上加下减，左加右减”的规律进行解答即可.

【详解】解：将直线’1〕'=-T+"向下平移1个单位长度得J=

•4：F=T+I,

.,.",-1=1,解得E=2，

故答案为：2.

16.如图，在二亚七’中，-408=90°,分别以边ACBC.45为直径画半圆.记两个月牙形图案

QCff和。尸面积之和（图中阴影部分）为用，--必0的面积为凡，则S]S】（填

“>"，“=”或）.

【答案】=

【解析】

【分析】本题考查勾股定理，圆面积公式等.根据题意设题二C』「二'、£「二’7,分别表示出两个阴影

面积和，再表示出一独°的面积，后比较大小即可.

【详解】解：设加=c/C=b.BC=a,

一兀W=900,

=—it（―o）*+~sb+—n'（—6）3—-it（—c）s

故答案为：二.

17.如图，在平面直角坐标系1r0V中，点忿,】‘轴于点B,以4B为边作菱形加CD,

若点C在'•轴上，则点D的坐标为.

【答案】R0）或（4。）

【解析】

【分析】本题考查坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，分两种情况：①点°在原点的右侧；②点。在

原点的左侧，并结合平移的性质即可得解.解题的关键是掌握菱形的性质及勾股定理.

【详解】解：•.•点"('二")，加丁轴，

©,AB.3,

•.•四边形45CD是菱形，

5.4CD,BA=CD,

在心狈中，酱加邛y附=1

①点0在原点的右侧，如图，

•••QO=1,点(’在T轴上，

•.•C(1.0)，

V5.4//CD,3H=8,川3二内，310二后,

则线段向下平移20个单位再向右平移1个单位与线段CD重合，其中点是点5的对应点，点。

是

点A的对应点，

•.•C(-LOi，

7CD,3H=CD,川3:8),310.?V5),

则线段34向下平移2J5■个单位再向左平移1个单位与线段CO重合，其中点。是点5的对应点，点。

是点A的对应点，

,02.0)；

综上所述，点。的坐标为(2,0)或'40I.

故答案为：(2,0)或

jn

Co]DX

18.对于二次函数J=当时，丁随丁的增大而减小，那么a的取值范围为.

【答案】aWl

【解析】

【分析】本题主要考查二次函数的性质，理解二次函数图像的性质是解题的关键.根据题意知抛物线开口

向下，只有抛物线的对称轴小于或等于1时，满足当时，丁随丁的增大而减小，由此即可求解.

2a

x=----=a

【详解】解：；二次函数二5，开口向下，对称轴为直线211-11，

aSl时，满足当x>l时，丫随'的增大而减小,

故答案为：aSl.

19.对于实数1,我们规定卜]表示不大于丁的最大整数，如[4]=4,L二t=一'现对82进

行如下操作:

,这样对82只需进行3次操作后变为1.类似地，对

625只需进行次操作后变为1.

【答案】四

【解析】

【分析】本题考查了无理数的估算，新定义.根据程序图一步一步计算即可得出答案.

谒卜图山小25

【详解】解：第一次,

[5]-5

第二次,圜・圜

第三次,

=I

第四次,

...对625只需进行四次操作后变为1.

故答案为：四.

20.磁力棋的棋盘为9.9的正方形网格，每个小正方形网格的边长为i.磁力珠（近似看成点）可放在网

格交点处，摆放时要求任意两颗磁力珠不吸到一起.若两颗磁力珠不吸到一起，则它们之间的距离应不小

于根据以上规则，回答下列问题:

4

8…"_____：

匚匚匚匚园im二

（1）如图，小颖在棋盘A,B,C三处放置了互不相吸的三颗磁力珠.若她想从外门中选择一个位置再

放一颗磁力珠，与其他磁力珠互不相吸，则她选择的位置是;

（2）棋盘最多可摆放颗互不相吸的磁力珠.

【答案】①.5②.20

【解析】

【分析】此题考查了网格与勾股定理，正确掌握勾股定理的计算是解题的关键：

（1）根据勾股定理计算4.月到点A,B,C的距离即可判断；

（2）根据题意画出图形即可得到答案.

【详解】解：⑴..率,

•••丹不符合要求；

..1=5P、B=JF+F=VI月4=Vl3+33=加

5符合要求，

故答案为巴；

（2）如图所示，连接皿骂CF/C,

可以发现：四边形4E玛。为边长为‘5的正方形，

以行为边长，在四边形工5月,基础上继续做正方形，格点处的点即为满足条件的磁力珠,

4

C

故答案为20.

三、解答题（21—26题每题6分，27—28题每题7分）

21.在平面直角坐标系中，函数‘=”的图象经过点且与丫轴交于

点c.

（1）求该函数的解析式及点C的坐标；

（2）当工<二时，对于X的每一个值，函数J=的值大于函数】'=匕・+6”*”的值，直接写出

n的取值范围.

【答案】（1）函数的解析式为卜=、；4二点C的坐标为''

（2）月10

【解析】

【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，

（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当【=0时，求出即可求解.

（2）根据题意结合解出不等式-3、+">1+?结合1<:，即可求解.

【小问1详解】

解：将出3.5I.8IT0）,代入函数解析式得，

j3*-+6=5卜=】

|-Jr+b=0；解得H=

函数的解析式为：丁二丁+:,

当x=0时，.*=

...点c1，坐标为「

【小问2详解】

解：由题意得，

n-2

x<-----

即4,

又x<2,

4

解得：”10,

的取值范围为"10.

22.如图，在一3C中，AB-AC,D,E分别是43,的中点，BF//DS,EF//DB.

(1)求证：四边形3DE尸是菱形；

(2)连接DF交3C于点M,连接°。若BE=4,求ZW,CD的长.

【答案】(1)详见解析

(2)DM=1,CD-百

【解析】

nn”DE=^-AB=BD

【分析】(1)先证明四边形BDE尸是平行四边形，再由三角形中位线的性质得出

即可得出四边形BDEF是菱形；

(2)由菱形的性质得出5£,0尸，BM=MS=2,由勾股定理可求出答案.

【小问1详解】

证明：...即DE,EFDB,

...四边形3DEF是平行四边形，

-AB^AC,

,•,^45C=-C,

,:D,£分别是,囱〕的中点，

~BD=-AB

二是-上1的中位线，2

DE=-AC

••—9

:.BD=EE,

四边形BCE尸是菱形；

【小问2详解】

解：：四边形3DE尸是菱形，

BM=EM=-BE=2

:.DFLBE,2

.♦.NDWH=90。，

“/：.是必c?的中位线,

DE=^AC=j5

,-.CE=BE=4,

在PaA0KM中，DM-y/DE3-EM3=V5-4=1,

在RtLCDM中，CM=EM+CE=2+4=6,

:CD-JQM'+CM'=71+36=757

【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等

知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.

23.下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程.

己知：一”c；

求作：菱形4EZ）射（点E在加上，点。在上，点F在工C上）；

作法：①作二84c的角平分线，交ac于点》

②作线段,4D的垂直平分线，交/W于点E,交4c于点R

③连接DE、DF.

所以四边形，记。尸为所求的菱形.

根据小明设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：

证明：.，必？平分，氏4C,

..&AD=/CAD.

vEF是线段AD的垂直平分线，

EA=ED.FA=FD

&AD=2ADEZCAD=ZADF,

Z.CAD=AADE,^BAD=ZADF

EDAC,DFAB.（）（填推理的依据）

四边形.装。尸为平行四边形.（）（填推理的依据）

•;EA=ED,

四边形尸为菱形.（）（填推理的依据）

【答案】（1）见解析（2）内错角相等，两直线平行；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有

一组两边相等的平行四边形是菱形

【解析】

【分析】本题考查了菱形的判定，尺规作图等知识，解题的关键是：

（1）根据题意直接作图即可；

（2）由作图可得AD平分一艮4（7,E产是线段AD的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，等边

对等角以及角平分线的定义可得N04D=乙49工/员必:乙41/,利用平行线的判定可得配「，

DF"AB,进而可得四边形工ED月为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得到

结论.

【小问1详解】

解：如图，四边形尸即为所求，

证明：丁.4。平分

•&AD=2CAD.

vEr是线段dD的垂直平分线，

EA=ED.FA=FD

&AD=ZADE,ZCAD=ZADF,

Z.CAD=LADE,^BAD=LADF

SDAC,DFAB.（内错角相等，两直线平行）

四边形,任。尸为平行四边形.（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

-.-£4=£D,

四边形尸为菱形.（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）

故答案为：内错角相等，两直线平行；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一组邻边相等的平行

四边形是菱形.

24.某校举办中华传统文化知识大赛，该校七年级共240名学生和八年级共260名学生都参加了比赛.为

了解答题情况，进行了抽样调查，从这两个年级各随机抽取20名学生，获取了他们的成绩（百分制），

并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息.

a.七、八两个年级学生成绩的频数分布直方图如下(数据分成4组：<50<<<70,70<30,

8O£x<90,90MxM100)：

七年级学生成嫡的孩数分布在方图八年级学生成缄的颖数分布百力图

b.七年级学生的成绩在80S90这一组的是:

8082848586878787878789

c.七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下:

平均中位众

数数数

七年

84.2mn

级

八年

84.687.588

级

根据以上信息，回答下列问题:

(1)写出表中相，〃的值；

(2)估计七、八两个年级成绩在90s.i三10。的人数一共为

(3)把七年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为P1,把八年级抽取的

20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为「工比较Pl,的大小，并说明理由.

【答案】(1)86.5,87；

(2)126；(3)Pl<P],理由见解析.

【解析】

【分析】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是

解题的关键.

(1)根据中位数和众数的概念求解即可；

(2)根据样本估计总体的方法求解即可；

(3)根据两个年级抽取的20名学生的成绩在9°二、三10°的人数判断出P1,的大小，进而比较即

可.

【小问1详解】

:一共抽取20名学生

・•・中位数为第10名学生和第11名学生成绩的平均数

・•・第10名学生和第11名学生成绩分别为86,87

86+87

=865

抽取的20名七年级学生的成绩中87出现的次数最多

•・众数”=87；

【小问2详解】

46

240xA+260x—=)26

2020(人)

.•・估计七、八两个年级成绩在90三IS100的人数一共为126人;

【小问3详解】

•••七年级抽取的20名学生的成绩在90SVS100的有4人

・•・排名第5的学生的成绩80s中最高成绩，

P\=;护

•••八年级抽取的20名学生的成绩在90iXS100的有6人

排名第5的学生的成绩29°

25.已知关于x的一元二次方程'-NaT)-a'-a-?二°有两个不相等的实数根“、与

(1)求。的取值范围

(2)若玉、与满足TJ+-%、二=飞，求0的值.

【答案】(1)a<3

(2)a=-1

【解析】

【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数关系，解一元二次方程；

(1)由一元二次方程根的情况与判别式的关系得出不等式求解即可；

(2)由一元二次方程根与系数关系，结合题中条件得出方程求解即可.

【小问1详解】

解：•..关于尤的一元二次方程=°有两个不相等的实数根，

AA=[-2|a-l)]-4|a-a-2|>0解得：a<3

【小问2详解】

解：...关于苫的一元二次方程、._2团―1)1+/_0_?=0,

Xj+x3=2(a-1)-a-2

•/xi+¥—2”16,

3

吊=16,gp[2(a-liJ-3(a-a-2|=161十字相乘因式分解得：4=J

ai=6,

26.对于函数】'=."+用I（析为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质•请将

小明的探究过程补充完整，并解决问题，

（1）当”;=0时，函数为」:当k=7时，函数为用描点法画出了这两个函数的图

象，如图所示，观察函数图象可知：函数的图象关于对称：对于函数'二口'+71,当

,»=时，J=3；

（2）当加=-4时，函数为"2v-4l,对于函数"一一'一川，当1c＜：3时，》的取值范围是

⑶结合函数尸二户1,'="+7|和＞'=px-4|的图象，可知函数】'Hp**加的图象可由函

数尸=I-"的图象平移得到，它们具有类似的性质.

①若加＞0,写出由函数」二的图象得到函数」;T的图象的平移方式；

②若点和"+都在函数1=4+同的图象上，且】、＞八，直接写出；的取值范围（用含力

的式子表示）.

【答案】（1）y轴，或-5；

⑵°斗＜：；

（3）①向左平移2个单位长度；②2.

【解析】

【分析】本题主要考查一次函数图象性质、解不等式等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

（1）结合图象可得，+7卜3,求解即可;

（2）分别求出当、二L二工时，的函数值，在结合图象即可得出答案；

,v=|2x+m|=|2fx+—11.

（3）①由I1'-T再结合图象即可得出答案；

②由'"+*X"J可得，*"+巾1的图象关于T=F对称,点“+1心।关于'=-］的

对称点为（-"-'一□'：）।,再根据乂〉H：，进而得出答案.

【小问1详解】

解：由题意，结合图象可得，函数=的图象关于y轴对称,

又令］,=p\+7|=3,

,2x+7=±3,

X=一二或-5,

故答案为：y轴，-：或-5；

【小问2详解】

当x=2时，y=|4-4|=o

当x=3时,.v=|6-4|=2

结合图象可知，当时，y的取值范围为

故答案为：0

【小问3详解】

U：v=|2.v+m|=%

解：

m

结合图象可得，若力＞0,将函数4二1-』的图象向左平移5个单位长度得到函数'=的图象;

②＞，=2x+w|=|2l

m

"户+同的图象关于'5对称,

m

...点关于'3的对称点为（FT-LR,

•..若点（5）和"+LT都在函数》=1、'+同的图象上，且乂>为

t<-m-f—1.

m+1

解得:

27.在正方形MCD中，E是边上的一个动点（不与点8,C重合），连接月E,尸为点B关于直线

HE的对称点.

①若-艮四=&,求-4D尸的大小（用含仪的式子表示）；

②用等式表示线段心，尸尸和尸。之间的数量关系，并证明；

（2）已知4E=2,连接尸c,若尸。八£,M,N是正方形蜀CD的对角线BD上的两个动点，且

BN=BM+6,连接EM,AN,直接写出RM+4N的最小值.

【答案】（1）补全图形见解析，①JDP=45°+a；②5=1PF+PD,证明见解析

⑵*

【解析】

【分析】（1）①根据题意补全图形，由轴对称的性质可得出一E4E「一反4£-a,由正方形的性质可

得出.4P=4）,ZA4D-90*-2a,由三角形内角和定理即可得出/ZDP=N"?D=45°+a

PG=-PD

②过点A作HG_LD斤于点G,则-.工3尸=90°,由等腰三角形三线合一的性质可得出2,

由①可知，ZAPD=A50+a,&AF=a,即可求出NF=45°,进一步可得出XG=FG,由勾股

”』出=Q(PF+*D)

定理可得出-4=Y'-r)，由线段的和差关系可得出-，变形即可得证.

(2)由对称得.超上月产，BF=PF,结合等腰三角形的性质得点£为EC的中点，过点A作

AG处,且4?=£亚，则四边形4GMW■为平行四边形，那么EL'+4V的最小值就等于

EL!+GM,当点G,M,E三点共线时，EM+GM取最小值，由题意得A3=MX=4,过点G作

GQ工AB交加于点色作GA_LCfl交CB延长线于点H,则四边形英明为矩形，有GH=QB,

窕=如，求得闻=8=L对应有的=3=1,HB=OQ=\t利用勾股定理求得GK,即可

求得EV+WN的最小值.

【小问1详解】

①•••点P与点B关于直线儿？对称

.•.<E垂直平分AP,AB=AP,且NP4R=NK4笈=a,

•.•四边形45co是正方形，

.-.AB=AD,"AD=9。。,

.-.AP-AD,-ABAD-/.BAE-APAE=90°-2a,

,Z^Z>P=Z^D=(180°-ZA4D)*2=45°+a

②过点A作4G_LD尸于点G,如下图:则一53尸=9。°

■.AP^AD,

PG=-PD

.NXRD="+NA4F,

由①可知，^APD-A50+a,4AF=a,

"=45。

...ZGXF=ZF=45°,

：.AG=FG

在.二、中，/，_、.0•'+”厂一J-M

AF=W（PF+PG|=0（尸尸+!尸0）

即WAF=IPF+PD.

【小问2详解】

由对称性得4E_L3尸，BF-PF,BE=PE,

...PCAE,

.-.BPLPC,

.-.Z1=Z2,

.,Zl+Z4=Z2+Z3=90°,

...Z4=Z3,

则3E=£F=EC,

・•.E为2c的中点，

-.-BC-AB-J,

过点A作4G〃MN,且4G=MM,

则四边形H01/A'为平行四边形，

.-.AG=MN,AN=GM,

+AN的最小值就等于SM+GM,

••・当点G,M,E三点共线时，EM♦GM取最小值,

•：BN=BM+a,

...,43=MJ=C

过点G作GQ48交4B于点°,作GA_LOB交C?延长线于点H,

则四边形窕3丹为矩形，

...GH=QB,GQ=HR,

...430=45。，AG■MN,

,阕=8=1,

•・•AB=?,

.,GH=QB=\,HB=GQ=\,

GE=JW+HE：=小,

则EU+WT的最小值为

【点睛】本题主要考查轴对称的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及平行四边形的判

定和性质，解题的关键是熟悉正方形和等腰三角形的性质，作出辅助线和利用动态的思想找到对应的最小

值.

28.对于平面直角坐标系^^'中的点尸与图形印