北京市某中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷（解析版）

2024-2025学年初三第一学期数学学科期中练习

考试时间：120分钟满分：100分

一、选择题(本题共16分，每小题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一

个.

1.方程f+2x=l的二次项系数，一次项系数和常数项分别是()

A.1.2.0B,1.2,1c,1.2--1D.1.-24

【答案】c

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，把方程整理成一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式

是解题的关键.

【详解】解：方程F=1整理成一般式为/+、=1=0,

方程f+21=1的二次项系数，一次项系数和常数项分别是1,2,-1,

故选：C.

2.下列2024年巴黎奥运会的运动图标中，是中心对称图形的是()

建*。喙

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来

的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.根据中心对称图形的概念求解即可.

【详解】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C.不是:中心对称图形，故本选项不合题意；

D,是中心对称图形，故本选项符合题意；

故选：D.

3.在平面直角坐标系中，将抛物线『=先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物

线的解析式是()

.r=(.v+2)3+3.r=-(.r-2)3+3

D.

33

c.r=-(.v+2)+3D.r=-(.T-2)-3

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；因此此题可根

据“左加右减，上加下减”进行求解即可.

【详解】解：由题意可得平移后的抛物线解析式为丁=-（*-）

故选：B.

4.在平面直角坐标系中，点月（圆一2）和点2（1力）关于原点对称，则。一6的值为（）

A.-3B,-1C.1D.3

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称的特征是解题的关键；根

据“点的坐标关于原点对称，这两个点的横纵坐标都互为相反数"可得”=-1，匕然后代入求解即

可.

【详解】解：由点工（°「2）和点3（"）关于原点对称，可知0=・1力=2,

/.=-1-2=-3；

故选A.

5.用配方法解一元二次方程Y-6x+g=0,配方后得到的方程是（）

A（》一

60=44n（x-6r=28

C（-V-3）3=17D（X-31=1

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，把常数项移到右边，在两边加上一次项系数的一半的平

方，把左边转化为完全平方式即可求解，掌握配方法是解题的关键.

【详解】解:移项得，

配方得，f-6.1+9=-3+9,

即（x-3/=l,

故选：D.

6.若抛物线对称轴为直线工=1,与彳轴交于点则该抛物线与光轴的另一交点的坐标是（）

AG。）B.（T。）cP。）D.（W

【答案】A

【解析】

【分析】根据抛物线对称性及对称轴为直线*=1求解.

【详解】解：抛物线对称轴为直线工=1,点A坐标为

由抛物线的对称性可得图象与x轴另一交点坐标为（S0

故选：A.

【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象关于对称轴对称.

7.如图，4?是8的切线，点C是。。上的一点，连接CD,AC,力C交。。于点2,若

NC=10°,则N4的度数是（）

A.40°B.45。C,50°D,55°

【答案】c

【解析】

【分析】本题主要考查切线的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质及等腰三角形的性质是解题

的关键；连接0。由题意易得/%=90°,/00（7=/0=2（）°,然后可得乙400=40°,进而问题

可求解.

【详解】解：连接。。,如图所示：

:幺。是的切线，

:.^ODA=90°,

...。。=8,/。=20。，

•-•ZOBC=ZC=20°，

...ZZOZ）=2ZC=40o,

.•.乙4=90。-乙4。。=50。；

故选c.

8.在平面直角坐标系中，若抛物线】'=一丁+加工+"的图象在第三象限存在两个横、纵坐标相同的

点，则抛物线丁=一,一（"一1口+”的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查的是二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的图象与性质，先根据题意可得：抛物

线】'=-f+桁1+”的图象与直线1二1在第三象限有两个交点，再结合图象与两个函数的对称轴可得答

案.

【详解】解：.••抛物线的图象在第三象限存在两个横、纵坐标相同的点，

，抛物线丁=-1+加X+”的图象与直线】'=X在第三象限有两个交点，

m1m

...J'=―/+加工+”的对称轴为直线'=亍，】'=_{一（加_1口+，7的对称轴为直线'二m一不，

m\m1

x=-x=-----x=—

：.2与22关于直线4对称，

=一/一（加一1）X+"的图象不经过第二象限；

故选：B

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.抛物线丁=+4'+1的顶点的坐标为.

【答案】（2,5）

【解析】

【分析】本题主要考查了二次函数的性质等知识点，直接将二次函数解析式化成顶点式，根据二次函数的

性质进行解答即可，熟知二次函数的性质是解答此题的关键.

【详解】解：•.•-V=7'+4X+1=-（1）2+5,

...抛物线L7’+4x+1的顶点坐标是（75）,

故答案为：仁'5）.

10.已知a是方程V+X-2=0的一个根，则代数式（“+D的值为.

【答案】3

【解析】

【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；由题意易得

+=2,然后代值求解即可.

【详解】解：骨是方程0+2r-2=0的一个根,

.*.fl3+2a-2=0,gpa:+2a=2,

.(a+1)2=J+?a+l=3.

故答案为3.

11.某个二次函数，当xNl时，y随尤的增大而增大，请写出一个满足条件的函数表达式.

【答案】y=(x-1)2(答案不唯一)

【解析】

【分析】根据当xNl时，y随x的增大而增大，可以得到该函数的图象开口方向和对称轴尤的取值范围，

然后即可写出一个符合要求的函数解析式.

【详解】解：：当近1时，y随x的增大而增大，

，该函数图象开口向上，对称轴直线立1,

•••符合该条件的二次函数的表达式可以是y=(x-1)2,

故答案为：产(x-1)2,(答案不唯一).

【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数的性质，写出相应的函数解析式，注

意本题答案不唯一.

12.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1,点尸表示筒车

的一个盛水桶.如图2,当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心。为圆心，1sm为半径的圆，且圆

心在水面上方，若圆被水面截得的弦圈长为4m,当筒车工作时，则盛水桶在水面以下的最大深度为

_____m.

【答案】1

【解析】

【分析】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键；过点。作交于点

C,交00于点以，则有HC=3C=2cm,然后根据勾股定理可进行求解.

【详解】解：过点。作。交48于点c,交°。于点/，如图所示：

o

ZC=5C=-A8=2cm

・・・1c，

...OC=^AO2-AC2=1.5cm,

,•CH=OH-OC=\cm.

故答案为：1.

13.某工厂2022年生产1吨某产品的成本是700元，由于原料价格上涨，两年后，2024年生产1吨该产

品的成本是850元，求该种产品成本的年平均增长率.设年平均增长率为X,则所列的方程应为.

［林案］700(1+x)‘=850

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的应用(增长率问题)，充分理解题意，正确列出方程是解题的关键.

设年平均增长率为根据某工厂2022年生产1吨某产品的成本是700元，两年后，2024年生产1吨该

产品的成本是850元，即可列出方程.

【详解】解：设年平均增长率为x,

根据题意可得：

700(1+.T)2=850

故答案为：7°°(l+x)="0.

14.如图，A4BC中，48=40°,将二3C绕点4逆时针旋转a度(0°<a<180°)后得到

△4DE,点石恰好落在上，Z£AD=60°,则£2==.

D

【答案】20

【解析】

【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出

/C=80°,再根据旋转的性质得到月E=2C,ZCAE=则乙4EC=NC=80°,由此根据三角

形内角和定理求出的度数即可得到答案.

【详解】解：由旋转的性质可得花=EG二C4E=s0,ABAC=^EAD

...A月3。中，4=40。，ABAC=AEAD=60°,

ZC=ISO0-Z5-ZBZC=80°,

.•.ZZ£C=ZC=80°,

.•.ZC^=180o-Zi4FC-ZC=20°,

.­=20,

故答案为：-0.

15.如图在一个残缺的圆的一段圆弧上任取两点4B,连接A8,再作出A8的垂直平分线，交A8于点

D,交蠢于点°,如果知道曲CD的长度，即可计算得出这个残缺的圆的半径，已知

AB=4>/3cm,CD=2cm,则圆的半径为cm,阴影部分的面积为cm2.

【答案】①.4②.3

【解析】

【分析】设点。为圆心，由垂径定理的推论可知点。在直线G)上，连接。3、BC,利用线段垂直平分线

的性质和勾股定理求出圆的半径，进而可得0°=。0,得到48垂直平分线"，即得

CB=OB=OC,得到NB0C=6O°,再证明AODB%C£M(SAS)可得当再=S向影因。，据此即可求

解.

【详解】解：设点。为圆心，由垂径定理的推论可知点。在直线C。上，连接OB、BC,

垂直平分

BD=AD=^AB=2^cm

^ODB=90°,

设圆估半径为xcm,则OB=1cm,OD=（'一；）cm,

在中，炉，

.（x-2）2+（2>/3）2=.x2

••'f，

解得I,

圆的半径为4cm,OD=4-2=2cm,

:.CD=OD,

垂直平分线。C,

•••CB=OB，

：.CB=OB=OC,

为等边三角形，

.•.乙8。。=60。，

•：OD=CD,AODB=ACDA,BD=AD,

.A。。性ACD4(SAS)

•・

S-ODB='-血，

_60nx42_82

.屈再一

S：„B0D-———-yTOlll

8

—7C

故答案为：4,3.

【点睛】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理，扇形的面积，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分

线的性质，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线并判断出色①。为等边三角形是解题的关键.

16.如图，△侬C与ACDH中，AC=BC,CD=CE,ZACB=NDCE=120°,连接BO,点尸、

H、G分别为QE、BD、45的中点，则/阳G的度数为°；若47=6,2,在

△COE绕点。任意旋转的过程中，则ARG旨面积的最大值是.

【分析】利用SAS可证得一月⑵冬苏可，于是可得也）=砥，NCAQ=NC38,根据三角形的中

位线定理可证得面=郎，即△尸HG是等腰三角形，利用平行线的性质、角的和差关系及三角形的内

角和定理可推出/斤可°=60°,于是可证得ARGH是等边三角形，易证得边长为。的等边三角形的面积

MS—3AD2

为4,因而可得皿一4~=16,根据三角形三边之间的关系可知愈＜HC+C0,

因而，当A、。、。三点共线时，即点。在幺。延长线上时，4。取得最大值，此时

AD=AC+CD=^,据此即可求出ARGH面积的最大值.

【详解】解：：=ADCE=120°,

ZACD+ZDCB-ZBCE+Z.DCB,

NACD=NBCE,

在口和A5CE中,

AC=BC

ZACD=ZBCE

CD=CE

..A4CZ)%BC®(SAS),

:.AD=BE,/CAD=NC8E,

；点尸、H、G分别为DE、BD、48的中点,

GH--ADHF--BE

..GH4。且2,HF"BE且2

■：AD=BE,

GH=HF,

JHG是等腰三角形，

■：GH//AD,

^HGB=ADAB,

:HF//BE,

..dHD=NEBD,

又,:乙GHD=ADBA+AHGB,

4FHG=4FHD+NGHD

=AEBD+ADBA+AHGB

=ACBE+^CBD+^DBA+AHGB

=^CAD+ACBD+ZDBA+ZDAB

=(Z.CAD+NDAB)+(ZC3Z)+ADBA)

=ACAB+ACBA

=180°-ZJ4C5

=180°-120°

=60°,

"HG是等边三角形,

即AFGH是等边三角形，

如图，是边长为。的等边三角形，AP是底边上的高,

PM=PN^MN=La

LP=4LM，-PM，=^a3-,a)=

S^=—MNLP=—xax—a=—a3

.对dFGH来说，

S.g=%H，

4,

•rGH=-AD

又2,

.'当皿取得最大值时，S-FM取得最大值，

在“。。中，AD<AC+CD,

-当A、°、。三点共线时，即点D在延长线上时，心取得最大值，

此时，AD=AC+CD=6+2=8,

Sb=—AD3=旦8'=46

：xFGH面积的最大值是4万

故答案为：6°,4相.

【点睛】本题主要考查了等式的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的定

义，两直线平行同位角相等，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定，三线合一，

勾股定理，三角形的面积公式，三角形三边之间的关系等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用

是解题的关键.

三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题

7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.解方程：/=4x+5.

［答案］=_1力=5

【解析】

【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；先移项，然后

再根据十字相乘法可进行求解方程.

【详解】解：方程可变形为；-4x-5=0,

.(x+l)(.x-5)=0

.•.x+l=o或*-5=0,

解得：』=一1与=5.

18.如图，四边形&C。的顶点都在上，边BC为直径，延长艮4、CD交于E且=

求证：CD=DE.

【答案】见解析

【解析】

【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，根据等边对等

角和圆内接四边形的性质等可得出/0=/月，根据等角对等边得出30=BE,根据圆周角定理可得出

BD1CE,最后根据等腰三角形三线合一即可得证.

【详解】证明：•.•OE=ZM,

:"E=4EAD,

•.•四边形4300的顶点都在°。上，

.­.ZC+Z5TW=180O,

又/瓦4。+/尻4。=180。，

-,AEAD=^C,

；.Z.C=ZE,

.-.BC=BE,

•.•8C为oo直径，

:^BDC=9Q°,即BD_LCE,

:.CD=DE.

19,已知：如图，在L4SC中，AB=AC.求作：△/30的外接圆.

BC

下面是小张的作法：

①如图，作6C的垂直平分线4；

②作AC的垂直平分线4,与4交于点0；

③以。为圆心，Q4长度为半径作圆.

则。。是A&C的外接圆.

（1）请你用无刻度直尺和圆规在图中补全图形.

（2）小李看到他的作法后灵机一动，找到了A&C的内心.下面是小李的作法:

直线4与月C交于点。，连接交40于点/,则点/是乙力》。的内心.

请你补全下面证明.

...4_LaC,%经过点0,

：.AC=CD（①）（填推理的依据），

...乙43。=_②—（③）（填推理的依据）.

AB=AC,：.^BA0=^CA0.

与HO交于点.•.点/是乙430的内心.

【答案】（1）见解析（2）垂径定理，-CBD,等弧所对的圆周角相等

【解析】

【分析】（1）根据题意补全图形即可；

（2）利用垂径定理和圆周角定理可证明结论成立.

【小问1详解】

解：如图，°。是△£°的外接圆.

【小问2详解】

证明.如图，

’2经过点。，

.•.HC=C£）（垂径定理）（填推理的依据），

：.AABD=£CBD（等弧所对的圆周角相等）（填推理的依据）.

,"叫AB=AC,

；,ABAO=ACAO.

:。方与幺。交于点/,

...点/是心力*。的内心.

故答案为：垂径定理，4CBD,等弧所对的圆周角相等.

【点睛】本题考查作图-复杂作图、线段的垂直平分线的性质、垂径定理、圆周角定理、三角形的外心和

内心等知识，解题的关键是熟练掌握三角形外心的性质，属于中考常考题型.

20.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：

X012345

y30~1038

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象;

2345

2~+

（3）当时，y的取值范围为

［答案］⑴J'=/_4x+3

（2）图象见详解（3）-lSj'<8

【解析】

【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键;

（1）根据表格代值进行求解即可；

（2）根据描点、连线可进行求解；

（3）由（2）中图象，结合求函数值，求解即可.

【小问1详解】

解：设二次函数的解析式为J'=aT+bx+c,由表格可得：

c=3

<a+6+c=0

4a+26+c=-1

a=1

<6=—4

解得：Ic=3,

...该二次函数的解析式为J'=Y-4》+3；

【小问2详解】

解：由题意可得函数图象如下：

2F

3F

4F

5b

6h

【小问3详解】

解:当x=-l时，y=(T)'-4x(-l)+3=8,

当*=3时，y=3'-4x3+3=o,

当x=2时，函数有最小值，最小值为：

.♦.当时，y的取值范围为_1«尸<8；

故答案为：-1--v<8.

21.如图，在平面直角坐标系1°丁中，5（-1,C将caBC绕原点。顺时针旋转

90。得到耳G（点4,4,’1分别是点A,B,C的对应点）.

-J_I_I_I-------1I_I_I_!_>

（1）在图中画出-440i；

（2）LHBC旋转到一44G的过程中，点c经过的路径长为；

（3）先将点2关于原点对称得到心，再将点8》向右平移一个单位，向上平移/I个单位得到筑，使用

落在一4必01内部（不含边界），直接写出力的取值范围为.

【答案】（1）图见详解

凡

---兀

（2）2

（3）2<h<4

【解析】

【分析】本题主要考查弧长公式、旋转的性质及勾股定理，熟练掌握弧长公式、旋转的性质及勾股定理是

解题的关键；

（1）根据旋转可先标出点4,4,g的位置，进而问题可求解；

（2）由题意可得℃=而，然后根据弧长公式可进行求解；

（3）根据题意结合（1）中图形可直接进行求解.

【小问1详解】

解：如⑴图可知：。。=“。+39+（。-2（=而

,nnrJTJ

..•点C经过的路径长为一180-2；

-V-1-37r

故答案为2；

【小问3详解】

解：点8关于原点对称的2口一"，由将点^2向右平移一个单位，向上平移九个单位得到±3,则

B3cs,

要使用落在一481G内部(不含边界)，由图可知：力的取值范围为2<方〈4；

故答案为？<h<4.

22.已知关于x的方程/+(上一3)K斤-1)=0.

(1)求证：无论％为何值，方程总有两个实数根；

(2)若方程有两个实数根%,与，且卜1一占卜3,求人的值.

【答案】⑴见详解(2)"I=2K=-4

【解析】

【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及

根与系数的关系是解题的关键；

(1)由题意可根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；

(2)由题意得』+与=一k+3,玉与=一？a一11,然后代入进行求解即可.

【小问1详解】

解：由题意得：

223

△=6-4ac=(jt-3)+8(Jt-l)=^+2i+l=(A：+l)>01

无论%为何值，方程总有两个实数根；

【小问2详解】

解：由题意得："1+/=一上+3，*\!=一2住一1),

•.•Nf卜3,

33

.(xj-Ay)=(Xj+xa)-=(「-3)'+8(无.1)=9

,*''?

整理得：(*+1)=9,

解得：与=?内=-4.

23.一年一度的红窗汇，是课程学习成果的展示、交流、分享和变现的平台，是十一系的学子们期待的盛

会.某社团设计了一款文创产品，想要在红窗汇售卖，为了解同学们的购买意向，社团成员提前进行了市

场调研.经过统计，该产品的制作成本为每件30元，当售价定为每件50元时，预计可以销售80件，售

价每下降1元，预计可多销售5件.

设该产品的售价下降尤元，预计销售利润为y元.

(1)求y与x的函数关系式(不必写出龙的取值范围)；

(2)该产品的售价定为多少元时，预计可获得最大利润？最大利润是多少元？

【答案】⑴J'=-5a，+2°x+160°

(2)该产品的售价为48元时，可获得最大利润，最大利润为1620元

【解析】

【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题是解题的关键;

(1)由题意可得销售量为岱0+''I件，然后可得函数解析式;

(2)根据(1)中函数解析式及二次函数的性质可进行求解.

【小问1详解】

解：由题意得：

(50-30-x)(80+5xi=-5.x3+20x4-1600

J

.­.y与尤的函数关系式为丁=一5丁+20x4-1600.

【小问2详解】

解：由(1)可知：

y=-5x2+20x+1600=-5(x-2)3+1620

v-5<0,

.•.当X=2时，即售价为48元时，可获得最大利润，最大利润为1620元；

答：该产品的售价为48元时，可获得最大利润，最大利润为1620元.

24.如图，在RtZkMC中，乙4cB=90°,。为边上的点，以也)为直径作0。，连接8。并延长交

。。于点E,连接CE,CE=BC.

(1)求证：CE是。。的切线；

(2)连接421,若。。=1,BC=2,求4后的长.

【答案】(1)详见解析

AE=§后

(2)5,详见解析

【解析】

【分析】（1）连接CE,贝■48DC,由CE=BC,得NCEB=NCBE,而

£ACB=90°,则NOEC-NO£D+NCKB-NBDC+NCBE-90。，即可证明CE是GX?的切线；

（2）由勾股定理得OE'+C3=℃',而CE=BC=2,OC=OD+CD=OD+\,所以

3

QD+-=（。0+1）,求得2,则2,如图，过点E作监14?交心于点凡利

用三角形的面积公式求得职的长，然后利用勾股定理即可求得AE的长.

【小问1详解】

连接03,则OE=OD,

.1.Z.OED=NODE,

••2ODE=£BDC,

：Z0ED=ZBDC,

•:CE=BC,

:/CEB=4JBE,

•.•403=90。，

ZOEC=ZOED+Z.CEB=NBDC+NOBE=90。,

•.•OE是。。的半径，且CE_LC£,

8是O。的切线.

【小问2详解】

•.•NOEC=90。，

-,OE2+CE2=OC\

-：CD=\,BC=2,OE-OD,

,-.CE=BC=2,OC=OD+CD=OD+\,

.oz)'+y=(OZ)+1)’

OD=OE=-

解得2,

35

OC=-+}=-

如图，过点E作期^^愈交功于点尸,

B

-OE^EC=-OC^EF

.•.在RtZkOEC中，22

-x2=-xEF

EF=-

5,

在Rt△。昉中，OE=OF、E『,

.符叫9,

/.OF=0.9（负值舍去），

：.AF=OA+OF=2.4,

在RUAE9中，AE2=AF2+EF2,

AE=-j5

5（负值舍去），

的长是5.

【点晴】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定定理、勾股定理，

三角形的面积等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键.

25.“十一”当天，某景区工作人员统计了上午7：30至下午16:30期间，累计进入景区的游客人数与累

计离开景区的游客人数，据统计，上午830时该景区已累计进入游客1380人，从此时开始陆续有游玩结

束的游客离开.从上午730开始计时，经过的时间记为统计时间则累计进入景区游客人

数】’（单位：人）与累计离开景区游客人数二（单位：人）随统计时间x（单位：h）

变化的部分数据如下表所示：

统计

4

时间014567S9

r/h

累计

24013803300

进入2400408047405280570060006180

景区

游客

人数

17

人

累计

离开

景区

游客\030060090012001500180021002400

人数

二/

人

探究发现，T与K,二与注之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述.

（1）根据表中数据，通过描点、连线的方式，补全了与工的函数图象；

（2）根据表中数据，通过描点、连线的方式，画出二与/的函数图象，并直接写出二关于X的函数关系

式为（不要求写出自变量的取值范围）；

M3

6600-

6000-

5400-

4800-

4200-

3(100-

3000-

2400-

1800-

1200-

600-

____।__।_।_।_।_।_।_।_।—>

o123456789x

（3）结合表格、图象推断，统计时间工大约为时，景区内游客人数最多（保留一位小数）；

（4）当景区内游客人数达到3400人时，将触发人流高峰黄色预警，则统计时间工大约为时，将首

次触发人流高峰黄色预警（保留一位小数）.

【答案】（1）图见解析

（2）图见解析，二=300》一300

⑶7.5

（4）46

【解析】

【分析】（1）根据表中数据，用描点法画出函数图象即可；

（2）根据表中数据，用描点法画出函数图象，由表中数据可知，二与x之间的数量关系满足一次函数,

设二关于X的函数关系式为二=h+b,利用表中数据列出二元一次方程组，解之，即可求出发、b的

值，于是得解；

(3)设剩余人数为"'，则一,通过表中数据计算出W的值并将其列入表格，然后结合表格、图象

推断即可得出答案;

(4)结合表格、图象推断即可得出答案.

【小问1详解】

解：根据表中数据，用描点法画出函数图象如下:

根据表中数据可知，二与I之间的数量关系满足一次函数,

设二关于工的函数关系式为二=6+6,

根据题意，得:

k+b=0

L%+6=300，

后=300

解得：［b=-300

..S关于X的函数关系式为二=300X-300,

故答案为：二=300x-300；

【小问3详解】

解：设剩余人数为

则W=J

计算出W的具体数据，如下表所示(最后一行)：

统计

r

时间014567S9

x/h

累计

进入

景区

游客240138024003300408047405280570060006180

人数

yl

人

累计

离开

景区

游客\030060090012001500180021002400

人数

人

剩余

人数

\138021002700318035403780390039003780

w/

人

从表中数据可以看出，剩余人数W的值以直线x=7.5为对称轴，当丫<75时，剩余人数W随着X的增

大而增大，当x>75时，剩余人数w随着x的增大而减小，

-结合表格、图象推断，统计时间工大约为x=7.5时，景区内游客人数最多，

故答案为：7.5；

【小问4详解】

解：..•当1=4时，剩余人数w=3150,

当x=5时，剩余人数w=3540,

结合表格、图象推断，统计时间工大约为1=4.6时，景区内游客人数将首次达到3400人，此时将首

次触发人流高峰黄色预警，

故答案为:4.6.

【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，从表格获取信息，用描点法画函数图象，待定系数法求一

次函数解析式，解二元一次方程组，有理数的减法运算，从函数图象获取信息等知识点，熟练掌握待定系

数法求一次函数解析式并能从表格和图象中正确获取信息是解题的关键.

26.在平面直角坐标系XQF中，已知抛物线丁=--a'x+2a\

（1）求抛物线的顶点坐标（用含。的代数式表示）；

（2）已知点尸（人仍），°（毛’心）是抛物线上的两点.若对于l-aS*S2-a,"'"T,都有

求0的取值范围.

【答案】（1）该抛物线的顶点坐标为卬'01

1,

.-<a<1

（2）。<°或2

【解析】

【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；

（1）根据配方法配成顶点式，然后问题可求解；

（2）由题意可分①当°<°和。>°进行分类讨论，然后结合二次函数的性质可进行求解.

【小问1详解】

解：由丁=a'-%"+2?配成顶点式可得：

y=-tax+a?|+a3=a（x-a）~+a3

...该抛物线的顶点坐标为）；

【小问2详解】

解：由题意可知。工0,则可分：

①当a<0时，抛物线开口向下，对称轴为直线x=a,

•••\-a>1,^-1<-1，

要使Ji<J‘2,则需满足点p到对称轴的距离要比点。到对称轴的距离更远，

•・•点。到对称轴的距离为°-（°-"=L点P到对称轴的距离为』一,即】一\一°：一，

.1.l-2a>l,解得:a<0；

②当a>0时，抛物线开口向上，要使】、<】、，则需满足点尸到对称轴的距离要比点Q到对称轴的距离

更近，

•・•点Q到对称轴的距离为°一（"1）=1,点P到对称轴的距离为忖一4

1

ClV—

当玉>0时，需满足l-a>a,即2,

...1-xx-a<2-2a

1a<1

.•二-2。<1,解得：2（与2相矛盾，故不符合题意）；

当时，需满足2-a<。，即

・.？a-24a-玉W2a-1,

解得：a<1(与a>1相矛盾，故不符合题意)；

1,

一<a<1

当时，解得：2,此时0<2。一1<1,0<2-2<7<1,所以此种情况始终满足

?"i<13；

1,

八-<a<1,

综上所述：当。<°或2时，都有

27.已知在AHBC中，AB=AC,ZACB=cx,作点B关于射线C4的对称点口,连接CD,点知是

线段8上的动点，连接将线段,绕点M逆时针旋转的角度为180°-？”,得到线段MM,连

(1)当a=45。，且点"与点c重合时，如图1,请补全图形，并求证：点石为3N的中点；

(2)当45°<a<90。，且点M不与点c、。重合时，连接幺D,如图2,(1)中的结论是否成立？若

成立，请证明；若不成立，请说明理由.

【答案】(1)图和证明见详解

(2)成立，理由见详解

【解析】

【分析】本题主要考查轴对称的性质、等腰三角形的性质、平行线所截线段成比例及全等三角形的性质与

判定，熟练掌握轴对称的性质、等腰三角形的性质、平行线所截线段成比例及全等三角形的性质与判定是

解题的关键；

(1)根据题意可直接进行作图，由题意易得乙川。是等腰直角三角形，AB=AD=CN,然后可证

△ABE'CNE,进而问题可求证；

(2)在4。上截取一点凡使得MF=MD,设与C4交于点o,由题意可先证--NMD,

然后可得乙4FM=ADM=180°-a,则有N3DM=90°=/3。4进而根据平行线所截线段成比例

可进行求解.

【小问1详解】

解：所作图形如图所示：

是等腰直角三角形，

.-.ZC45=90°,

由轴对称的性质可知：AB=AD=AC,^CAD=9Q0,

由旋转的性质可知：AC=CN=AB,ZACN=180°-2a=90°=ACAB,

•；ZAEB=4CEN,

...AA5E〈ACWE（AAS）,

BE=EN,

即点E为BN的中点；

【小问2详解】

解：（1）中的结论成立，理由如下：

在4。上截取一点E使得MF=MD,设BZ）与CN交于点。如图所示，

由轴对称的性质可知：C4垂直平分8。，

Z5OC=^COD=^BOA=%°,AB=AD=AC,ZACB=^ACD=a,^CAB=Z.CAD,

BO=OD,

ZABC=AACB=a=AADC,

,-,ABAC=ACAD=}3Q0-2a,ZCDO-90,-a,

,:MF=MD,

:.—MDF=Z.MFD=(X,

...ZDA/F=180°-2a,

由旋转的性质可得：