北京市某中学2024-2025学年上学期 八年级 数学期中试题（解析版）

北京市第一六六中学2024-2025学年上学期八年级数学期中试题

（考试时长：ioo分钟）

考查目标

知识：八年级上册

能力：识图、运算、数据分析、几何直观、逻辑推理、数形结合、分类讨论

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

1.下面图形中，是轴对称图形的是（）

XX

可回收物其他垃圾厨余垃圾有害垃圾

RecydatMeResidualWasteFoodWasteHazardousWaste

①②③④

A.③④B.①②C.①③D.②④

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了轴对称图形.解决问题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义，轴对称图形的定

义：如果一个平面图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图

形.根据轴对称图形的特征及定义逐一判断.

【详解】③④为轴对称图形，①②不具备对称性.

故选：A.

2.地处北京怀柔科学城刀“北京光源”（HEPS）是我国第一台高能同步辐射光源，在施工时严格执行“防

微振动控制”的要求，控制精度级别达到纳米（nm）lnm=0000000001m.将0.000000001用科

学记数法表示应为（）

A.B.1*】09C,10x10*1°D.0k104

【答案】B

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为aT0”的形式，其中】三忖＜1°,〃为整数.确定"的值时，要看把原

数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，〃是正

数；

当原数的绝对值＜1时，〃是负数.

【详解】解：0000000001=1x1O-,.

故选B.

【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a-10"的形式，其中

1三同〈1。，〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及”的值.

3.在生物实验课上，老师布置了“测量雉形瓶内部底面内径”的任务.小亮同学想到了以下这个方案：如

图，用螺丝钉将两根小棒功，8c的中点。固定，利用全等三角形的性质，只要测得小，。之间的距

离，就可知道内径的长度.此方案中，判定一月05和一D0C是全等三角形的依据是（）

Cv--jD

A.W33B.S心C.ASAD.AAS

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的判定.根据题意确定全等三角形的判定条件是解题的关键.

由题意可证然后作答即可.

【详解】解：由题意知，0B~0C,ZA0B=ZD0C,0A=0D,

.一一DOUSASl

,,，

故选：B.

3a

4.若分式。-3有意义，则n的取值范围是（）

A.。工0B."3c.a<3D.aN3

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义条件（分式分母不为零）建立不等式求解，即可解

题.

3d

【详解】解：：分式」-3有意义，

a-Sw0,解得aw3,

故选：B.

5.下列计算中，正确的是（）

/八'5

A.JB.c.aw-a3=a}D,a4-a

【答案】D

【解析】

【分析】此题考查合并同类项，幕的乘方，同底数幕乘除法，根据法则依次判断即可，熟练掌握各计算法

则是解题的关键.

【详解】A.〉与/不是同类项，不能合并，故错误；

B.（/）"I故错误；

C.。故错误；

3*7

D.'。=。，故正确；

故选：D.

6.如图，在平面直角坐标系‘2•'中，一”「为等腰三角形，45=、轴，若

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查坐标与图形，三线合一，过点A作屈1.T轴，交于点。，求出。点坐标，根据

三线合一，得到。为良。的中点，进而求出r点坐标即可.

【详解】解：过点A作,蚯_L、轴，交3C于点。，

c.ADlBC,

..•4C.5).a(-Ll),

••，

•.•-，”。为等腰三角形，

.-.BD=CD,

.C(2+2+1,1)即:(5,1).

故选c.

7.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则一S的大小为（）

a

A.85°B.75°c,65°D,60°

【答案】B

【解析】

【分析】先根据直角三角板的性质得出/ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论.

【详解】解：如图所示，

由一副三角板的性质可知：ZECD=60°,ZBCA=45°,ZD=90°,

ZACD=ZECD-ZBCA=60°-45o=15°,

Za=18O°-ZD-ZACD=180°-90°-15°=75°,

故选:B.

【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180。是解答此题的关键.

8.下列变形是因式分解的是()

.-T|v+l,i=T3+TX'+6X+4=(X+3)'-5

A1B.

C.T3+n--3=X|x|-3DIJ+2.V+1=(.T+1|3

【答案】D

【解析】

【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案.

【详解】解：A、‘中，是整式乘法，故本选项不符合题意；

B、Y+6x+4=(x+3)-5不是把多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合题意；

c、'+V-3='"+》)-3不是把多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合题意；

3

Dv+2x+l=(X+1I故本选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式.

9.如图1所示，是一把木工台锯时使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度.在图2的六角尺示意图

中，x的值为()

A.135B.120C.112.5D.112

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了多边形的内角和，一元一次方程的应用等知识.先求出六边形的内角和为再

列出方程，解方程即可求解.

【详解】解:由题意得六边形的内角和为

.135+1+v+9：i+126+120+2A-12O1=720

••，

解得।=11二5.

故选：c

io.若把一个正方形纸片按下图所示方法三次对折后再沿虚线剪开，则剩余部分展开后得到的图形是（）

【答案】A

【解析】

【详解】自己动手制作一个正方形纸片，再按题目进行操作，最后展开图形即可.

故选：A.

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

x+1

11.若分式1-3的值为0,贝。=.

【答案】-1

【解析】

【分析】本题考查了分式的值为o,即分子为o,分母不为o,据此进行列式计算，即可作答.

x+1

【详解】解：•.•分式K的值为0,

•・・1+1=。,x-3至0，

解得）=-1,

故答案:-1.

12.因式分解：2mJ-2wi3=.

［型安］2桁（僧+力）（加一〃）

【解析】

【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，得到）E2一二］再将利用平方差公式进行分解，即可

解题.

r洋版、板-w,-2wiJ=2w（m3-?j3）=2m|w+n）iw-ni

故答案为：2*g十九）（

【答案】700##70度

【解析】

【分析】本题考查全等三角形的性质，先根据三角形内角和定理求出/二=70°,再根据全等三角形的性

质得出答案.掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键.

Z2=180°-50°-60°=70°,

..•两个三角形全等，

.-.21=22=70°,

.-.Z1的度数为70。.

故答案为：70°.

14.等腰三角形的一个内角为5”，则它的顶角的度数为

【答案】80°或50°

【解析】

【分析】分50°的内角是等腰三角形的底角或顶角两种情况，利用三角形内角和定理求解.

【详解】解：当50°的内角是等腰三角形的底角时，

它的顶角的度数为：180°-50°-50°=80°；

当50°的内角是等腰三角形的顶角时，

-x（180o-50°）=65°

它的底角的度数为：2,符合要求；

故答案为：80°或50°.

【点睛】本题考查等腰三角形的定义、三角形内角和定理，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解.

15.如图，利用图①和图②的阴影面积相等，写出一个正确的等式_____.

图①图②

【答案】（。+2）（。-2）=磁-4

【解析】

【分析】根据图形分别写出图①与图②中阴影部分面积，由阴影部分面积相等得出等式.

【详解】•.•图①中阴影部分面积=（。+2）（。-2）,图②中阴影部分面积=°2-4,

V图①和图②的阴影面积相等，

（a+2）（tz-2）=672-4,

故答案为：（a+2）（a-2）=。2-4.

【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，结合图形得到阴影部分的面积是解题的关键.

16.如图，在AABC中，点D是AB边的中点，过点D作边AB的垂线1,E是1上任意一点，且AC=5,

BC=8,则^AEC的周长最小值为.

【答案】13

【解析】

【分析】连接BE,依据I是AB的垂直平分线，可得AE=BE,进而得到AE+CE=BE+CE,依据

BE+CE>BC,

可知当8,E,C在同一直线上时，8E+CE的最小值等于的长，而AC长不变，故△AEC的周长最小

值等于AC+BC.

【详解】如图，连接2E.

:点。是48边的中点，11AB,是A8的垂直平分线，；.AE=BE,：.AE+CE=BE+CE.

：BE+CE>BC,.•.当8,E,C在同一直线上时，8E+CE的最小值等于8C的长，而AC长不变，.SAEC的

周长最小值等于AC+BC=5+8=13.

【点睛】本题考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要

作点关于某直线的对称点.

17.如图1,某温室屋顶结构外框为-•必'C,其中一3=£「=30°,立柱,4L=1m,且与横梁Bi?垂

直.冬季将至，为了增大向阳面面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为四0（点E在

的延长线上），立柱跖上80,如图2所示.若此时立柱EF=3m,则向阳面斜梁增加部分,45的长

度为m.

【解析】

【分析】本题主要考查30°角的直角三角形的性质，掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关

键.

利用-3=EC=30°,由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得

BE二二EF二6m,再利用垂直平分线的性质进而得出.45二工「二4m,即可得出，函.

【详解】解：：立柱4。=,且与横梁BC垂直，Z5=ZC=30°

AB=AC-2AD=4m,

VZ5=3O°,

：,BE=2EF=6m,

AE=EB-AB=6-4=2m,

故答案为：2.

18.如图①是某年某月的月历，用如图②所示的“凹”字型框在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框

中的五个数分别为4'''⑦"S'"J

日一二三四五六

12345

，一・―，・・・・，

678;9：10：11;12

131415；161718：19

20212223242526：^4

2728293031Qla。3

图①图②

(1)用含。的代数式表示:

⑵年「好=

【答案】①9一6②.74

【解析】

【分析】本题考查了列代数式，多项式乘多项式，整式的加减运算.熟练掌握列代数式，多项式乘多项

式，整式的加减运算是解题的关键.

(1)由题意知，4+计算求解即可；

(2)解：由题意知，4=a-1-7=a-8,%=a-l,%=a+l,贝汁

01a「a#,=m-8|(a+D-(a-l)|a-6),计算求解即可.

【详解】⑴解：由题意知，a4=a+l-7=a-6,

故答案为：a-6；

⑵解：由题意知，4=aT-7=a-8,%=a-l,%=a+l,

.。M厂叩4=(a-8)|a+l-a-1i(a-6l=--7a-8-(J-7a+6|=-14

••，

故答案为：-14.

三、解答题(本题共54分，第19题8分，第20题5分，第21题4分，第22题5分，第

23题4分，第24题5分，第25题4分，第26题5分，第27题7分，第28题7分)解答

应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

19.计算和代数式求值

(1)计算：

⑵己知/+%-1=0,求o—的值

【答案】(1)4(2)-1

【解析】

【分析】本题考查实数的运算，代数式求值，一元二次方程的解法，理解相关知识是解答关键.

(1)根据负整数指数累的运算法则，零指数累的运算法则，算术平方根来进行计算求解；

(2)先将/+%-1=0变形求出%=1,再将口+")5・")-(/+%1进行化简把

"'+%=1代入求值.

【小问1详解】

(!)■(A2)。+百

解：

=1-1+3

2

■2-1+3

=4.

【小问2详解】

解：.；，/+%-1=0,

n2+2n=1,

.(m+n)(m-n)-(m1+2n)

=m1-n1-mi-2rt

=-n1-2”

=-1.

20.数学课上，王老师布置如下任务：如图，AABC中，BOAB>AC,在BC边上取一点P,使

ZAPC=2ZABC.

A

小路的作法如下：

①作AB边的垂直平分线，交BC于点P,交AB于点Q；

②连结AP.

请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以下推理，注明其中

蕴含的数学依据：

•/PQ是AB的垂直平分线

/.AP=,（依据：）；

ZABC=,（依据：）.

ZAPC=2ZABC.

【答案】尺规作图见解析；BP,线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；ZBAP,等边对等角.

【解析】

【分析】按照线段垂直平分线的作图方法作出的垂直平分线，然后按照线段垂直平分线的性质、等腰

三角形的性质、三角形外角的性质求解即可.

【详解】如图，

,/PQ是AB的垂直平分线

•••AP=BP,(依据：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)；

ZABC=ZBAP,(依据：等边对等角).

ZAPC=2ZABC.

【点睛】本题考查了尺规作图，段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握

各知识点是解答本题的关键.

(2x-3)(x,-2x+2)

【答案】皿-口

【解析】

【分析】本题考查分式加减法，解决本题的关键是能对原分式分母进行因式分解，并进行通分，将异分母

分式化为同分母分式，再按照同分母分式的加法计算即可.

■X(X—11

22.如图，A,。两点在FC所在直线同侧，J_且匚垂足分别为A,DSO的交点

为E,AB-SC.求证：BE-CS.

D

'E

BC

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据垂直的定义得出一4=一0,再由全等三角形的判定和性质证明即可.

【详解】证明：〜必上月。*。,。。，垂足分别为A,D,

，乙4=90。,〃=90。

在^ASE和一DCE中，

Z-A.—/力.

-ZAfiB=乙DEC,

AB=DC,

.-.^ABE'-^DCE.

.BE=CE.

【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键.

2i+84x-3,

-------=--------+1

23.解方程：3A-9.1-3.

【答案】x=:

【解析】

【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法和步骤，注意解分式方程需要

检验.

先去分母，然后去括号，在移项合并，系数化为1,验根，即可得到答案；

2x+84x-3,

-------=--------+1

［详解］解：3.X-9A-3

2x+8=3(4x-3)+3x-9

2x+8=12x-9+3i-9

-13A=-26,

x=2,

检验，当】=?时，3、-9H0,

、=?是原分式方程的解.

24.如图，在平面直角坐标系「中，-儿?？的三个顶点的坐标分别是且1.01,

（1）在图中作出一Sc关于1轴对称的一4片01,其中4的坐标为；

（2）如果要使以C。为顶点的三角形与一，独。全等（A。不重合），写出所有符合条件的点。

坐标.

【答案】（1）图见解析，（工-3）

（2）（°,$或（°，一1）或（2.-1）

【解析】

【分析】（1）由关于1轴对称的点的坐标的特征先确定4、反'♦三点的坐标，再描点，连线即可；

（2）根据全等三角形的判定可画出图形，根据图形可直接写出一个符合条件的点。坐标.

【小问1详解】

如图，一4片01即为所求；4的坐标为（2,-3）；

故答案为：（2,-3）；

如图2,所有符合条件的点。坐标为：（°，（°，1）■*I）»

【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定等，解题关键是牢固掌握关于坐标轴对称的点的坐

标的特征并能灵活运用.

25.列分式方程解应用题：

截止到2020年11月23日，全国832个国家级贫困县全部脱贫摘帽.某单位党支部在“精准扶贫”活动

中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗.已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格贵10元，用

480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，求甲、乙两种树苗每棵的价格.

【答案】甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元.

【解析】

【分析】设甲种树苗每棵的价格是尤元，则乙种树苗每棵的价格是（'’元，根据用480元购买乙种树

苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同列方程解答.

【详解】解：设甲种树苗每棵的价格是尤元，则乙种树苗每棵的价格是门+1°,元.

480360

依题意有'+10―丫，

解得x.30.

经检验，i=是原方程的解，且符合题意.\+10=30+10=40.

答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元.

【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意确定等量关系是解题的关键.

26.如图，甲长方形的两边长分别为，“+1,面积为S1，乙长方形的两边长分别为，

小+4,面积为5（其中相为正整数）.

m+4

-----------

m+\甲加+2乙

（1）4==,$=（用含机的多项式表示），1（填“<„、

“=”或“>”）；

(2)有一正方形，其周长与甲长方形周长相等，面积为S,求证：为定值.

【答案】(1)巾'+8力+7,力~+6力+8,>

(2)见解析

【解析】

【分析】本题考查了整式的加减乘除混合运算的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键.

(1)由长方形的面积可得用,'*的代数式，计算得S-S="L】，根据m的取值范围即可判断S1,

S：的大小

(2)计算甲长方形的周长，即可得正方形的边长及面积，再计算即得答案.

【小问1详解】

由长方形的面积的计算方法可得，

S-Im+7/刖+Fl=.+§川+7,

S=(制+9(帆+]=iw+6烦4-S,

S]-邑=2/w-1,

•・•加为正整数，

2m-l>0,

c、q

即r5；

故答案为："；：+&"+?,，/+6m+S,>.

【小问2详解】

甲长方形的周长为(所+7+加+1)><2=4力+16,

4/77+16

“---:—=m+4A

周长为4力+16的正方形的边长为4,

边长为力+4的正方形的面积S=""+4/="『+力"+16,

S-S、=(也’+8w+16)—(用'+8zn+7)=9

即S-△为定值9.

27.已知等边一-M°，点D为4?边上一点，连接3D,在工「的右侧作射线CM，使

Z4CM=ZABD^°<60°I延长BZ)交射线CMl于点后,连接花，作人/flMS于点

H.

EH

(i)如图i,当点。为工1‘中点时，~AEH=°,的值为；

(2)如图2,当点。在4c上运动时.

①直接写出一5五，二的度数；

②用等式表示线段M,CE,万H之间的数量关系，并证明.

【答案】⑴60,2;

(2)①60°；②BE=CE+2EH,证明见解析

【解析】

【分析】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30°

的直角三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键；

(1)利用等边三角形的性质证明=-EC工=30°,^EAH=300,从而可得结论;

(2)①利用三角形的内角和定理可得答案；②如图，在CM上截取「二；-£3,连接4G,证明

^ABE—二.WCG,可得，定=,4。，再证明EH=HG即可.

【小问1详解】

解：如图，当点。为幺。中点时，等边一”「，

AD=CD^-AC

.-.BDLAC,分E=NC5E=30。，2,

是4C的垂直平分线，

三「的，

.•.工4=

IM

4c—

产-----------1c

，:ZACM=ZABD,

.•.乙4cM=30。，

.•.HC=/RCZ=30°,

乙州H=300+30°=60°,

V,

.•._EAH=30°,

EH_1

:.7E=2,

i

故答案为：60,z；

【小问2详解】

①孙Z/O/,ZADB=^CDE,

...由八字形可得：^BEC=/.BAD=6Q°,

②BE=CR+二EH,理由如下：

如图，在CM上截取CG=3E,连接4G,

AE=AG,

vAV1CA/,

:.EH=HG,

BE=CG=CE+EG=CE+划.

28.在平面直角坐标系中，对于点尸和点目（点H的横、纵坐标相等），给出如下定义：4为过点

E伪劣）且与1轴垂直的直线，4为过点H的.》且与.v轴垂直的直线，先作点P关于『1的对称点E,再

作点E关于“的对称点P,则称点P是点尸关于点月（儿力的“关联点”.

例如：如图，点G（T）关于原点0（0.0）的“关联点”是G'.L-D.

（1）①点（-3.1）关于点（一二一0的关联点坐标为_；

（2）如果点尸'。」）是点尸（一泉T）关于点E（办）的“关联点”，那么〃:一

（3）j,（.）的“关联点”为H,如果AOA4'是以。月为底的等腰三角形，求该三角形

的面积；

（4）点仇儿？）关于点”仍•瓦的“关联点”为8',如果以83'为边的等腰直角三角形只在第一象限

内，直接写出〃的取值范围.

【答案】⑴（T-5）

⑵-1

（3）1：

—<A<2

⑷3或:<方<4

【解析】

【分析】⑴由题意知，'】为直线、=-二，为直线卜=一二，则点「浦）关于’】的对称点为用一】」），

皿-13）关于h的对称点为'—L-5i；

（2）设点尸关于7】的对称点为E,则产'与后关于乙对称，则点E的横坐标与产'的横坐标相同，为1,

L-3+11

由点尸的横坐标为一?,可得一二一,计算求解即可；

（3）由4。44'是以G4为底的等腰三角形，可知川在。,4的垂直平分线上，即］“=:，设点A关于乙

,A■2+4_3

的对称点为E,则4与E关于人对称，如图1,日3.4、即一二一，可求

A”A