尺规作图与无刻度直尺作图-2025年中考数学基础知识分点练

第二十二讲尺规作图与无刻度直尺作图

命题点1五种基本尺规作图

类型一作图已知

考向1判断作图结果（47考）

1.（2024河北）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的（）

A.角平分线

B.高线

C.中位线

D.中线第】题图

2.（2024烟台）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为乙4OB

的平分线的有（

A.1个B.2个C.3个D.4个

考向2根据作图痕迹进行相关判断与计算（93考）

3.（2024眉山）如图在△4BC中，AB=AC=6,BC=4,,分别以点A,点B为圆心，大于的长为半径作

弧，两弧交于点E,F,过点E,F作直线交AC于点D,连接BD,贝［|△BCD的周长为)

4.（2024湖北省卷）如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA

于点M,交BC于点N,分别以点M,N为圆心，大于卷MN的长为半径画弧，两弧在乙4BC的内部相交于点D、

画射线BD,连接AC.若乙CAB=50。,贝！I"BD的度数是

()

A30。8.25。

C.20°0.15°

5.(2024武汉)如图，小美同学按如下步骤作四边形ABCD:⑴画NM4N;(2)以点A为圆心，1个单位长为半径

画弧，分别交AM,AN于点B,D；(3)分别以点B,D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C;(4)连接BC,

CD,BD.若N4=44。,则NCBD的大小是()

464°8.66°

C.68。0.70。

6.(2024贵州)如图，在△力中，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交BC于点D,连接AD.若.AB

=5,,则AD的长为.

7.(2024山东省卷)如图，已知4MAN以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM,AN相交于点B,C；

分别以B,C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在NM4N内部相交于点P,作射线AP.分别以A,B为圆

心，以大于|AB的长为半径作弧，两弧相交于点D,E,作直线DE分别与AB,AP相交于点F,Q.若AB=4,乙PQE=

67.5。,则F至UAN的距离为.

8.(2024辽宁)如图,四边形ABCD中，AD\\BC,AD>AB,AD=a,AB=10,以点A为圆心，以AB长为半径作

弧，与BC相交于点E,连接AE.以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与EA,EC相交于点M,N,再分别

以点M,N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在"EC的内部相交于点P,作射线EP,与AD相交于点

F,则FD的长为.(用含a的代数式表示)

9.(2024日照)如图以团A8CD的顶点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E,再分别以A,E为圆心，

大于34E长为半径画弧，两弧交于点F,画射线BF,交AD于点G,交CD的延长线于点H.

⑴由以上作图可知，N1与N2的数量关系是一；

(2)求证：CB=CH;

(3)若AB=4,4G=2GD/ABC=60。,求△8cH的面积.

类型二根据条件作图

考向3依据要求直接作图（36考）

10.（2024广西）如图，在AABC中,N2=45。,4c>BC.

⑴尺规作图：作线段AB的垂直平分线1,分别交AB,AC于点D,E；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标

明字母）

⑵在⑴所作的图中，连接BE,若AB=8,求BE的长.

第10题图

11.（2024河南）如图，在RtAABC中，CD是斜边AB上的中线，BE||DC交AC的延长线于点E.

（1）请用无刻度的直尺和圆规作NECM,使乙ECM=N4且射线CM交BE于点F；（保留作图痕迹，不写作法）

⑵证明⑴中得到的四边形CDBF是菱彩

第II意图

12.（2024赤峰）如图在△ABC中.D是AB中点.

⑴求作：AC的垂直平分线•••（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

⑵若1交AC于点E,连接DE并延长至点F,使EF=2。民连接BE,CF.补全图形，并证明四边形BCFE是平

行四边形.

13.（2024威海）感悟如图①，在△4BE中,点C,D在边BE上,AB=AE,BC=DE.

求证：.Z.BAC=Z.EAD-,

应用⑴如图②，用直尺和圆规在直线BC上取点D，点E（点D在点E的左侧），使得Z.EAD=NBAC,且DE

=BC;（不写作法，保留作图痕迹）

⑵如图③，用直尺和圆规在直线AC上取一点D，在直线BC上取一点E，使得乙CDE=NB2C,且DE=4B.（不

考向4转化类作图（27考）

14.（2024陕西）如图，已知直线1和1外一点A请用尺规作图法，求作一个等腰直角△ABC,使得顶点B和顶点

C都在直线1上.（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可.保留作图痕迹，不写作法）

第14题图

15.新考法注重学习过程（2024浙江）尺规作图问题：

如图①，点E是回A8CD边AD上一点（不包含A,D）,连接CE,用尺规作AF〃CE,F是边BC上一点.

小浙：如图②，以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点F,连接AF厕AF\\CE.

小江：以点A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点F,连接AF,则AF\\CE.

小浙：小江，你的作法有问题.

小江：哦...我明白了！

⑴证明：AF\\CE;

⑵指出小江作法中存在的问题.

图①图②

第15题图

16.（2024绥化）已知：AABC.

（1）尺规作图：画出.A4BC的重心G；（保留作图痕迹,不要求写作法和证明）

⑵在⑴的条件下，连接AG,BG.已知A4BG的面积等于5m2厕△48C的面积是______cm^{2}.

第16题图

17.（2024连云港）如图,AB与CD相交于点E,EC=ED,AC\\BD.

⑴求证：AAEC=ABED;

（2）用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形DMCN，使得点M在AC上，点N在BD上.（不写作法，保留作图

痕迹，标明字母）

18.新考法传统文化（2024甘肃省卷）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白

彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缗多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，

体现了古代劳动人民的智慧.如图①的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的

三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图②，已知。O和圆上一点M.作法如下：

①以点M为圆心,OM长为半径，作弧交。O于A,B两点；

②延长MO交0。于点C;

即点A,B,C将。O的圆周三等分.

⑴请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图②中将。O的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）；

⑵根据⑴画出的图形，连接AB,AC,BC,若。O的半径为2cm很UA48c的周长为cm.

图①图②

第18题图

19.（2024扬州）如图，已知NPZQ及AP边上一点C.

⑴用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O,使得乙COQ=2NC4Q;（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在⑴的条件下，以点O为圆心，以OA为半径的圆交射线AQ于点B,用无刻度直尺和圆规在射线CP上求

作点M,使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）

（3）在⑴、⑵的条件下，若siiM=|,CM=12,求BM的长.

20.新考法补充过程、依据（2024兰州）观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单更便于操作的方

法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”.如图①，•他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角，具体作法如下：

①木条的两端分别最为点M,N,先将木条的端点M与点A重合，任意摆放木条后，另一个端点N的位置

记为点B、连接AB；

②木条的端点N固定在点B处，将木条绕点B顺时针旋转一定的角度，端点M的落点记为点C（点A,B,C

不在同一条直线上）；

③连接CB并延长，将木条沿点C到点B的方向平移，使得端点M与点B重合，端点N在CB延长线上的落

点记为点B:

④用另一根足够长的木条画线，连接AD,AC，则画出的/DAC是直角.

操作体验：⑴根据“观察发现’中的信息重现刘师傅的画法.如图②，BA=BC,请画出以点A为顶点的直角，记

作ADAC;

推理论证：（2）如图①，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据；

证明：•••AB=BC=BD,

.•.△ABC与AABD是等腰三角形.

\therefore\angleBCA=\angleBAC,\angleBDA=\angleBAD.依据1)

Z.BCA+^BDA=ABAC+乙BAD=ADAC.

'：/DAC+NBCA+/BDA=180）（依据2）

2/.DAC=180".

ADAC=90°.

依据1：；依据2:;

拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减

少误差.如图③，点O在直线1上，请用无刻度的直尺和圆规在图③中作出一个以O为顶点的直角，记作/POQ,

使得直角边OP（或OQ）在直线1上.（保留作图痕迹，不写作法）

图②图③

第20题图

21.新考法新定义（2024盐城）如图①,E,F,G,H分别是团4BCD各边的中点，连接AF,CE交于点M,连接A

G,CH交于点N,将四边形AMCN称为口ABCD的“中顶点四边形”.^\ABCD

第21题图

⑴求证：中顶点四边形AMCN为平行四边形；

（2）①如图②，连接AC,BD交于点O,可得M,N两点都在BD上，当团2BCD满足________时，中顶点四边形AM

CN是菱形；

②如图③，已知矩形AMCN为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形.（保

留作图痕迹，不写作法）

命题点2无刻度直尺作图

类型一网格内作图（24考）

22.（2024滨州）如图，在边长为1的正方形网格中，点A,B均在格点上.

（1）AB的长为;

（2）请只用无刻度的直尺,在如图所示的网格中，画出以AB为边的矩形ABCD，使其面积为个,并简要说明点

c,D的位置是如何找到的（不用证明）：.

第22题图

23.新考法无刻度直尺画切线（2024吉林省卷）图①、图②均是4x4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为

格点.点A,B,C,D,E,。均在格点上.图①中已画出四边形ABCD,图②中已画出以OE为半径的。O,只用无

刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图.

⑴在图①中，画出四边形ABCD的一条对称轴；

（2）在图②中，画出经过点E的。。的切线.

图①图②

第23期国

类型二根据图形的性质作图（10考）

24.（2024江西）如图，AC为菱形ABCD的对角线,请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）.

⑴如图①，过点B作AC的垂线；

⑵如图②，点E为线段AB的中点，过点B作AC的平行线.

第二十二讲尺规作图与无刻度直尺作图

1.B2.D

3.C【解析】由作图知,EF垂直平分AB,.,.AD=BD,.^.△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC,：AB

=AC=6,BC=4,?.ABCD的周长=6+4=10.

4.C【解析】TAB为半圆O的直径,.,.NACB=90。,在R3ACB中,NCAB=50。,.,./ABC=40。,由作图可得B

D是/ABC的平分线,，4CBD=^ABC=20°.

5.C【解析】由作图步骤易知四边形ABCD为菱彩/A=44。,则.4ABe=180°-44°=136°,VBD平分/A

BC,AZCBD=68°.

6.5

7.V2【解析】如解图，过点F作FGXAN于点G,；NPQE=67.5。,；./AQF=NPQE=67.5。.由作图可知,DE

为线段AB的垂直平分线,AP平分/MAN,；.AF=BF=|AB=2,ZFAQ=90°-ZAQF=22.5°,AZFAG=2ZFAQ=45°,iS

RtAAFG中,FG=AF-sin/FAG=VI；.F到AN的距离为V2

第7题解图

解题技巧

解决本题的关键是构造直角三角形，结合对顶角相等，垂直平分线及角平分线性质求出特殊角，利用三角函数

解题.

8.a-10【解析】由作图痕迹可得,AB=AE=10,EF为/AEC的平分线,，ZAEF=ZCEF,VAD〃BC,；.NAFE

=NCEF,ZAEF=ZAFE,AAF=AE=10,/.FD=AD-AF=a-10.

9.⑴解:N1=N2;

⑵证明：；四边形ABCD为平行四边形,

由作图步骤得/1=/2,

.,.ZH=Z2,.\CB=CH;

(3)解：•.•四边形ABCD为平行四边形，

AD〃BC,AD=BC,；.Z2=ZAGB,

由作图步骤得/1=/2,

Z1=ZAGB,AG=AB=4,

VAG=2GD,.\GD=2,

/.BC=AD=AG+DG=4+2=6,

由(2)得CH=BC=6,

如解图，过点H作HK1BC,交BC的延长线于点K,ZHKC=90°,

四边形ABCD是平行四边形，

AB〃CD,；./HCK=NABC=60°,在RtAHCK中，HK=CH-sin60°=3痘，：.S^BCH=^BC-HK=6X3

V3=9v

第9题解图

10.解：（1）尺规作图如解图①所示；

第10题解图

⑵如解图②,YDE垂直平分线段AB,

.\EB=EA,.\ZEBA=ZA=45°,.\/BEA=90°,在RtAABE中,BE=AB-cosNABE,；.BE=4或

11.⑴解：尺规作图如解图所示；

Q

⑵证明:由(1)得,/ECF=/A,，CF〃AB.

；BE〃DC,.•.四边形CDBF是平行四边形.

,/CD是RtAABC斜边AB上的中线，

；.CD=BD....平彳亍四边形CDBF是菱形.

12.解:⑴直线1如解图①所示；

(2)补全图形，如解图②所示，

证明：由⑴作图知，E为AC的中点，

VD,E分别为AB,AC的中点,

DE\\BC,DE=泗，

-I

：EF=2DE,即DE=jEF,

.\EF=BC,

：EF〃BC,.•.四边形BCFE是平行四边形.

13.感悟证明如解图①过点A作AH,BE于点H,

AB=AE,BC=DE,ZBAH=ZEAH,BH=HE,

.,.CH=DH,.\ZCAH=ZDAH,.\ZBAC=ZEAD;

应用：解：⑴如解图②，点D,E即为所求；(作法不唯一)

⑵如解图③，点D,E即为所求作法不唯一)

解题技巧

解决本题的关键是由感悟中总结归纳出作等角可转化为作等线段.

14.解：如解图①，等腰直角4ABC即为所求.(答案不唯一)

如解图②，③，等腰直角4ABC即为所求.

15.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形,

；.AD〃BC,

由作图可知,CF=AE,

四边形AFCE是平行四边形，

；.AF〃CE;

(2)解:如解图，过点A作AGXBC于点G,当CE>AG且CE<AB时，以点A为圆心，CE长为半径画弧，此

时这个弧与BC有两个不同的交点F,F,使得四边形AECF不能唯一确定.

16.解:⑴如解图，点G即为所求;

【作法提示】①作BC的垂直平分线交BC于点D;②作AC的垂直平分线交AC于点F；③连接AD,BF相

交于点G；④标出点G,点G即为所求.

(2)15.

22

【解法提示】：G>AABC的重心，・•.AG=|4D,.•.1=|J.F/1BG的面积等于5cm,.-.S^ABD=7.5cm.

3b^ABD§

又；D是BC的中点，，SA4BC=2S-BD=15cm2.

解题技巧

由重心的性质得出SAABC与SAABD的比值，由D是BC中点推出SAABC-

17.(1)证明:：AC〃BD,

,>.ZA=ZB,ZC=ZD.

Z-A=乙B

在^AEC和^BED中｛z_C=z.D,

EC=ED

：.AAEC^ABED(AAS);

⑵解:菱形DMCN如解图所示：

第17题解图

18.解:⑴如解图①点A,B,C即为将。0的圆周三等分；

第18题解图①

（2）6V3

【解法提示】如解图②，连接AM,由（1）可知点A,B,C是0O的三等分点,.-.AB=AC=BC,AB=AC=BC,

gPAABC为等边三角形,.,.NABC=NAMC=60<V；CM为。O的直径,NCAM=90。,，AC=MCsin^CMA=4sin6

0°=2V3(cm),.'.AABC的周长为AB+BC+AC=6V3cm.

第18题解图②

19.解：（1）如解图①，点O即为所求作（作法不唯一）；

第19题解图①

（2）如解图②，点M即为所求作（作法不唯一）；

第19题解图②

【作法提示】连接BC,以点B为圆心，BC长为半径画弧交AQ于点Bi,以点Bx为圆心，任意长为半径画

弧交AQ于点Ci,Di,分别以点J,Di为圆心，大于巳6。1的长为半径在孰Di上方画弧，交于点Fi,作射线

BiFi交AP于点M,点M即为所求点的位置

⑶如解图③，连接BM,

A

第19题解图③

由(1)(2)彳导AC_LBC,MBi=MC=12,

在RtAABiM中，sinA=吗=。=乌,

15MA5MAr

：.MA=20,JAC=AM-CM=8,

在RtAABC中,sinA=-=

15AB5

设BC=3x,则AB=5x,

由勾股定理得，（3支）2+82=（5x）2,解得x=2（负值已舍去）,

，BC=6,

.•.在RtABMC中，由勾股定理得，BM=V62+122=6倔

20.解:⑴如解图①,NDAC即为所求作；

C*

D

(2)等边对等角(或等腰三角形的两个底角相等)；三角形的内角和为180°；

(3)如解图②,NPOQ即为所求作.

题多解

如解图③；如解图④.(其他作法正确即可，作法不唯一)