福建省福州市2023-2024学年高二数学下学期期末联考试题（含答案）

福州市2023—2024学年第二学期期末联考

高二数学试卷

【完卷时间：120分钟；满分：150分】

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.命题“女eR，x可乂°”的否定是（）

ABxeR,x^|x|0BR,x>|x|0

CVxeR,x<\x\0DVx6R,x川x|0

2.在以下4幅散点图中，V和x成正线性相关关系的是（）

V-A

6.

5.

4

3.

2.

1

vz

6

5

4

3

2

1

D

3.假如女儿身高丁（单位：cm）关于父亲身高x（单位：cm）的经验回归方程为y=0.81x+25.82,

已知父亲身高为17°cm,则（）

A.女儿的身高必为164cmB.女儿的身高估计为164cm

C.女儿的身高必为178cmD.女儿的身高估计为178cm

4.X是离散型随机变量，£（X）=6,O（X）=0.5,X|=2X-5,那么£区）和。（X,分别是（）

A£（XJ=12,°（XJ=1b£（XJ=7,O（&）=1

C.£（X）=12,O（X）=2D.£（X）=7,O（M）=2

5.已知随机变量X〜随机变量y〜N（〃+2,/）,若P（XW0）=尸（XN2）,

仆2）=0.3,则尸（3W买4）=（）

A0.2B,0.3c,0.5D,0.7

1/21

6.函数，=eM"Tx—”的图象大致是（）

]nx+]ny=x

7.已知乙y为正实数，了，则（）

ABx<^yQx+y>lDx+）〈l

8.已知函数/（X）的定义域为R,且/。）=/（2-x）,若函数g（x）=/G）+,-2x|有唯一零点，则

/0)=()

A.-1B.0C.1D.2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知"<茨'°ceR,则下列不等式成立的是（）

1111

A.LB/Y而C.fD.

_-2,

io.高斯取整函数卜二㈤又称“下取整函数”，其中国表示不大于x的最大整数，如〔Z

.若函数/G)=x-[x]，xeR则/（*）的值可能是（）

A.0B.0.5C.1D.2

2/21

者:(2x-3)12=%+%(x-1)+a,(x-1J+…+a”(x-1)+tz(x—0则()

11.12

12

Z(T)%=3i2

旬=一1

A.B.z=0

1212a

=24

C.Z=1D.z=l乙

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

log,x,x>QC

/（X）=<

y,x-°,则

12.已知函数7/的值为.

%y=

13.如图，曲线①②③④中有3条分别是函数V=2、y=3\I的图象，其中曲线①与④关于

y=

了轴对称，曲线②与③关于了轴对称，则的图象是曲线—.（填曲线序号）

14.某班安排甲、乙、丙、丁4位同学参加3项不同的社会公益活动，要求每项活动至少有1人参加，且

甲、乙不能参加同一项活动，则共有种不同的安排方案.（用数字作答）

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A^|x2-3x-10<0j5=^x|2-m<x<2m+

15.已知集合

（1）当加=1时,求“UB./nQ*）；

⑵若B=A,求实数加的取值范围.

16.当药品A注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少.

（1）按照医嘱，护士给患者甲注射了°mg药品A两小时后，患者甲血液中药品A的残存量为225mg,

求。的值；

（2）另一种药物8注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.如果同时给两位患者

分别注射80°mg药品A和500mg药品,请你计算注射后几个小时两位患者体内两种药品的残余量恰好

相等.（第（2）问计算结果保留2位小数）

3/21

参考值：lg2=0.301,lg3=0.477

17.节日在即，某店家为此购入一批袋装糖果(每袋1kg),现从中随机抽取100袋，将它们进行分级，统

计结果如下：

等级一等品二等品三等品

袋数404020

(1)若将频率视为概率，从这100袋糖果中有放回地随机抽取4袋，求恰好有2袋是三等品的概率;

(2)用样本估计总体，该店家制定了两种销售方案：

方案一：将糖果混合后不分类售出，售价为20元,kg；

方案二：按品级出售，售价如下：

等级一等品二等品三等品

售价(元"g)242217

为追求更高利润，该店家应采用哪种方案?

(3)用分层抽样的方法从这100袋糖果中抽取10袋，再从抽取的10袋糖果中随机抽取3袋，记抽到一

等品的袋数为X,求X的分布列与数学期望.

18.2023年5月13日，榕江和美乡村足球超级联赛(简称“村超”)盛大开幕，迅速在全国范围内乃至国

际舞台上引起了热烈反响，激发了全民的运动热情.今年，更是迎来了足球传奇人物卡卡的亲临访问.现

有一支“村超”球队，其中甲球员是其主力队员，且是一位多面手，胜任多个位置.经统计，该球队在已

进行的42场“村超”比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如下表所示：

球队的胜负情况

上场合计

胜负

甲球员上场535

甲球员未上场7

合计3242

4/21

（1）完成2x2列联表，依据小概率值0=0・01的独立性检验，分析球队的胜负是否与甲球员上场有关；

（2）由于教练布阵的不同，甲球员在场上的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打

前锋、中场、后卫的概率分别为0.6,0.2,0.2,相应球队赢球的概率分别为0.9,0.5,0.8.当甲球员

上场参加比赛时，

（i）求球队赢球的概率；

（ii）如果球队已获胜，计算该场比赛甲球员打前锋的概率.

2_n（ad-bc¥

附：(a+b)(c+d)(a+c)S+d),n=a+b+c+d

a0.150.100.050.0250.0100001

Xa2.0722.7063.8415.0246.63510.828

f（x）=———

19.已知函数2、+l.

（1）我们知道要研究一个函数的性质，通常会从函数的定义域、值域（最值）、奇偶性（对称性）、单调

性（极值）、周期性、特殊的点与线（如渐近线）等方面着手.据此，请回答以下问题：

（i）试探究函数的性质并说明理由；

（ii）根据（i）中结论作出JU）的草图；

⑵若”【IT,者隋2+的（1吗》）+/。唱》）＞0,求实数加的取值范围.

5/21

福州市八县（市）协作校2023—2024学年第二学期期末联考高二数学试卷

【完卷时间：120分钟；满分：150分】

命题：连江县教师进修学校附属中学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.命题“"eR，x'|x|°"的否定是。

ABxeR,x用0geR,0

CVxeR,x<|x|0DVxeR,x^\x\0

【答案】D

【解析】

【分析】将特称命题否定为全称命题即可.

【详解】命题“*eR，龙郎|0”的否定是，，VxeR,x邦|0„

故选：D

2.在以下4幅散点图中，7和x成正线性相关关系的是（）

【分析】利用散点图可直观看出是否线性相关和正相关.

【详解】对于A,由于散点图分散，估计没有线性相关关系，故A错误；

对于B,根据散点图集中在一条递增的直线附近，说明它们线性相关且是正相关，故B正确;

对于C,根据散点图集中在一条递减的直线附近，说明它们线性相关且是负相关，故C错误;

对于D,根据散点图集中在一条曲线附近，说明它们非线性相关，故D错误；

故选：B.

6/21

3.假如女儿身高）（单位：cm）关于父亲身高x（单位：cm）的经验回归方程为>=°.81X+25.82,

已知父亲身高为cm,则（）

A.女儿的身高必为164cmB.女儿的身高估计为164cm

C.女儿的身高必为178cmD.女儿的身高估计为178cm

【答案】B

【解析】

【分析】根据经验回归方程求解即可.

【详解】由N=S81x+25-82,x=170,

代入得f=0.81x170+25.82=163.52»164cm）

故选：B

4.X是离散型随机变量，E（X）=6,D（X）=0.5,X]=2X-5,那么£区）和。（X）分别是（）

儿£（XJ=12,O（XJ=1B.£（乂）=7,。区）=1

C£（XJ=12,"XJ=2上E（XJ=7,O（M）=2

【答案】D

【解析】

【分析】由期望和方差的运算性质求解即可

【详解】由期望和方差的运算性质知E（XD=E（2X-5）=2E（X）-5=7

D（Xi）=D（2X-5）=22D（X）=2

故选D

【点睛】本题考查期望和方差的运算性质，熟记公式，准确计算是关键，是基础题

5.已知随机变量X〜随机变量+若尸（XW0）"（X>2）,

尸（M2）=0.3,则尸（3W买4）=（）

A.0.2B,0.3c,0.5D,0.7

【答案】A

【解析】

【分析】由尸（XW°）=尸（X*2）结合对称性得出〃，再由对称性得出尸G〈婆4）

7/2I

_0+2_

【详解】因为P（XW°）=尸（XN2）,所以“2

因为尸（YW2）=0.3,所以尸（2W买3）=0.5-0.3=0.2

又尸（3W买4）=P（2W芟3）=02,所以八正确；

故选：A

6.函数^=/"一上—1|的图象大致是（）

【答案】D

【解析】

【分析】去掉绝对值，得到具体的函数表达式，即可作出判断.

IM

【详解】当时，J=e-|x-l|=x-（x-l）=l；排除°；

y=”"鹏-|x-ll=--（l-x）=x+—-1>1

当0<x<］时，xv7%,排除AB选项.

故选：D.

,।1

lnx+lny=----x

7.已知x，y为正实数，y，则（）

<

A.x>yB.XYc,x+v>iD.x+y<1

【答案】c

【解析】

8/21

【分析】利用构造一个函数，结合求导思想分析单调性，从而可得出选项.

,,11,1,11

lnx+lny=xlnx+x=—InyH——=In——I——

【详解】由y得:yVV,

由江又粉/（x）=lnx+x皿|/'（"）=1+1>°

构造函数v7，则X，

可知"x）Tnx+x在（0,+。）上递增,

,,111

Inx+x=In—d--x=—_

结合yy,得y,即孙二1i

由基本不等式可知：x+丁,2屈=2,

当且仅当》=歹=1时等号成立，所以x+>>L

故选：C.

8.已知函数/（X）的定义域为R,且"x）="2-X）,若函数g（x）="x）+,-2x|有唯一零点，则

/。）=O

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】转化为两函数图象交点问题，函数图象对称轴都为x=l且两函数图象只有唯一交点即可知交点

横坐标为1得解.

【详解】因为函数/（"）的定义域为R,且/（"）=/（2—"）,

所以函数/（x）的图象关于x=l轴对称，

由g小）+--2,有唯一零点知，/（》）=-尸-2x|有唯一根，

即y=/（x）与〃（》）=一,-2x|的图象有唯-交点，

而〃（x）=-|x2-2x|图象关于X=1对称，

所以“1）=3）=T.

故选：A

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9/21

9.己知氏'°ceR,则下列不等式成立的是()

111-1,

7<一3,入32、心2-------------------------Fb

A.bagac<bea>bD.ba

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用作差法，结合不等式的性质，即可由选项逐一求解.

11a-b_1,1

【详解】对于A,由于°<6<0,则必>0，°—'<0,所以Zaab，故6a,A正确，

对于B,若。=°时，ac3=bc\故B错误，

对于C,由于。+6<0,"b<0,所以八/六+切,⑹>o,故/>匕c正确，

—Hq-1—hb]=(a-6)[1H|<0_L+q<_L+6

对于D,由于)I曲)，故/,a,D正确,

故选：ACD

r_3__

10.高斯取整函数>=["]又称“下取整函数"，其中[“1表示不大于X的最大整数，如〔2_

[-3]=-3,g=2=

1/(")的值可能是()

L』」.若函数JI/LJ，贝।

A.0B.0,5C.1D.2

【答案】AB

【解析】

【分析】根据定义可得/(x)=x—D4xeR的表达式,

通过图象可得函数的值域，即可求解.

x+2,—2Vx<—1

x+1,-1<x<0

y=x-[x]=<x,0<x<1

x-l,l<x<2

【详解】由题意可得〔…，，

则对应的图象为：

10/21

由图象可知

故选：AB

（2x-3）12=%+%（X-］）+出（%-1）+•••+Q］］（X-1）+Q］2（X-1）则（）

11.

£12（—i）Z=3口

A.%=TB.i=°

12

-24

C.日

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A,令》=1可求出％,对于B,令》=°可求得答案，对于C,对等式两边求导后，令

X———3

X=2可求得答案，对于D,令2结合g=1可求得答案.

【详解】对于A,令％=1,贝|（2-3『="。，得旬=1,所以A错误,

对于B,令x=0,则（一3）=旬一%+。2

12

Z（-1）zat4

所以百所以B正确,

又寸于C由（21—3）=+Q］（X—1）+%（1—1）+•••+Q］］（X—1）+%2（X-］）

彳?24（21—3）=4+22（x—1）+…+11。"（x—1）+12。］2（工—1）

令x=2,则24x（4—3）"=q+22+…+11%+12%2,

12

£iai=24

所以T所以C正确,

2

3

X———0=/H--%+出

对于D,令2则2

11/21

所以2,

£123〃=一1

所以T2，所以D正确，

故选：BCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

八log,x.x>0（（1

12.已知函数13"5%-°,则［⑷）的值为____.

£

【答案】9

【解析】

巾440

【分析】先求14人再求114〃即可.

/1；1=log2j=1幅2-=-2

【详解】由题意得4,

所以1I"19

1

故答案为：9

%y=

13.如图，曲线①②③④中有3条分别是函数了=2、y=3\（3J的图象，其中曲线①与④关于

了轴对称，曲线②与③关于了轴对称，则的图象是曲线—（填曲线序号）

;

o\

【答案】②

【解析】

12/21

【分析】由指数函数的性质先确定曲线③是函数了二3工的图象，由对称性得'的图象.

【详解】由指数函数的单调性可知，函数V=2'，和的图象分别是曲线③④中的一条，

当x=l时，31>2\所以曲线③是函数>=3-'的图象，

函数的图象与函数>的图象关于J轴对称，

所以的图象是曲线②.

故答案为：②.

14.某班安排甲、乙、丙、丁4位同学参加3项不同的社会公益活动，要求每项活动至少有1人参加，且

甲、乙不能参加同一项活动，则共有种不同的安排方案.(用数字作答)

【答案】30

【解析】

【分析】以丙、丁参加同一项活动和丙、丁不参加同一项活动分类讨论，结合排列组合知识求解即可.

【详解】当丙、丁参加同一项活动时，共有人；=3x2x1=6种；

当丙、丁不参加同一项活动时，共有A〉C1C；=24种；

综上，共有30种不同的安排方案.

故答案为：30

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知集合力=*丫-3计10<0}B={x|2-«<x<2m+l}_

⑴当切=i时，求

(2)若B=A,求实数加的取值范围.

【答案】⑴入8=(-2,5),"&8)=(-2,1”(3,5)

⑵(一叫2)

【解析】

【分析】(1)解一元二次不等式可得集合A,再由集合交并补混合运算可得结果.

(2)由8=幺可知B是A的子集，对8是否为空集分析讨论，解不等式可得结果.

13/21

【小问1详解】

由X2-3X-10V0得(X—5)(X+2)V0

解得-2〈某5,

所以Ng）.

当加=1时，8=[1,3],

所以仙=（一2,5）,

CR^=（-°O,1）^（3,+OO）

所以"（词）=（—2,1卜（3,5）

【小问2详解】

,1

_YYI一

①若8=0,贝产一/〉2〃?+1,即3

此时满足8az.

m-

②若BW0,则3,

1

m>—

3

<2-m>-2

2m+l<5

要使8=/,当且仅当〔，

Lw丽2

解得3

综上，加的取值范围为（一°°，2）.

16.当药品A注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少.

（1）按照医嘱，护士给患者甲注射了°mg药品A两小时后，患者甲血液中药品A的残存量为225mg,

求。的值；

（2）另一种药物8注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.如果同时给两位患者

分别注射80°mg药品A和500mg药品8,请你计算注射后几个小时两位患者体内两种药品的残余量恰好

相等.（第（2）问计算结果保留2位小数）

参考值：lg2=0.301,lg3=0.477

【答案】（1）400

14/21

⑵15.24

【解析】

【分析】(1)根据题意，列出方程代入计算，即可得到结果；

(2)根据题意，列出方程，结合对数的运算代入计算，即可得到结果.

【小问1详解】

由题意可得，注射药品A两小时后药品A的残存量为“0—25%)=56.25%rnng,

所以56.25%0=225,解得a=400,即注射了400mg药品A,0的值为400.

【小问2详解】

设药物8注射量为优，则“小时后残余量为机0—,

设药物A注射量为七则"小时后残余量为‘(1—25%),

又题可知，药物A注射量为80°mg,药物5注射量为500mg,

设"小时后残余量相同，则8。。(1-25%);5。。(1-1。％)",

1.6=f^T„益=

即,两边取对数可得1g1.6=1g1.2,即55,

艮产-吟=山6一吟［gp41g2-l=„(lgl2-l)；

pn41g2-l=»(lg3+lg4-l)4x0.301-1=zz(O.477+2x0.301-1)

解得〃“15.24,所以注射15.24小时后两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.

17.节日在即，某店家为此购入一批袋装糖果(每袋1kg),现从中随机抽取100袋，将它们进行分级，统

计结果如下：

等级一等品二等品三等品

袋数404020

(1)若将频率视为概率，从这100袋糖果中有放回地随机抽取4袋，求恰好有2袋是三等品的概率;

(2)用样本估计总体，该店家制定了两种销售方案：

方案一：将糖果混合后不分类售出，售价为20元/kg；

方案二：按品级出售，售价如下：

15/21

等级一等品二等品三等品

售价(元"g)242217

为追求更高利润，该店家应采用哪种方案？

(3)用分层抽样的方法从这100袋糖果中抽取10袋，再从抽取的10袋糖果中随机抽取3袋，记抽到一

等品的袋数为X,求X的分布列与数学期望.

96

【答案】⑴625

6

(2)方案二(3)分布列见解析，数学期望为

【解析】

【分析】(1)根据二项分布的概率公式即可求解，

(2)求解方案二中ikg糖果的售价为V,即可比较求解，

(3)由抽样比求解个数，即可利用超几何分布的概率公式求解分布列，进而可求解期望.

【小问1详解】

P(^)=—=-

设事件/="从这100袋糖果中随机抽取1个，抽到三等品”，则1005.

Z〜5(4」)

现有放回地随机抽取4个，设抽到三等品的袋数为Z,则5,

尸(Z=2)=《

所以恰好有2袋是三等品的概率

【小问2详解】

设方案二中1kg糖果的售价为丫，则

%)=24喘+22喘+17x需21.8

(元),

因为*(y)>2o,从追求更高利润考虑，该店家应采用方案二.

【小问3详解】

用分层抽样的方法从这100袋糖果中抽取10袋，则其中一等品有4袋，非一等品有6袋.

依题意，才服从超几何分布，其可能的取值为0,1,2,3.

16/21

尸(")=”C2^1;1

jo乙

c^C23C31

P(X=2]=^^=—尸(X=3)=T=—

''c；。10')c：。30

所以X的分布列为

X0123

]_31

P

62To30

£(X)=0x-+lx-+2x—+3x—

所以''6210305

18.2023年5月13日，榕江和美乡村足球超级联赛(简称“村超”)盛大开幕，迅速在全国范围内乃至国

际舞台上引起了热烈反响，激发了全民的运动热情.今年，更是迎来了足球传奇人物卡卡的亲临访问.现

有一支“村超”球队，其中甲球员是其主力队员，且是一位多面手，胜任多个位置.经统计，该球队在已

进行的42场“村超”比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如下表所示:

球队的胜负情况

上场合计

胜负

甲球员上场535

甲球员未上场7

合计3242

(1)完成2x2列联表，依据小概率值a=0・°l的独立性检验，分析球队的胜负是否与甲球员上场有关；

(2)由于教练布阵的不同，甲球员在场上的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打

前锋、中场、后卫的概率分别为0.6,0.2,0.2,相应球队赢球的概率分别为0.9,0.5,0.8.当甲球员

上场参加比赛时，

(i)求球队赢球的概率；

(ii)如果球队已获胜，计算该场比赛甲球员打前锋的概率.

17/21

2n(ad-be)2

力二--------------------------------------------------------

附：(a+b)(c+d)(a+c)S+d),n=a+b+c+d

a0.150.100.050.0250.0100.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.63510.828

【答案】(1)列联表见解析，认为球队的胜负与甲球员是否上场有关

(2)(i)0,8；(ii)0.675

【解析】

2

【分析】(1)根据题中数据完成列联表即可，根据公式求出力,再对照临界值表即可得出结论;

(2)(i)根据条件概率和全概率公式求解即可；

(ii)利用条件概率公式和乘法公式就算即可.

【小问1详解】

根据题意，可得2x2的列联表：

球队的胜负情况

上场合计

月生负

甲球员上场30535

甲球员未上场257

合计321042

零假设为球队的胜负与甲球员是否上场无关,

根据列联表中的数据，经计算得到

7n(ad-bc^42x(30x5-5x27

%=7——、/“、/)——r=——----------L=10.5>6.635=/0】

(〃+b)(c+d)(Q+c)(b+d)32x10x35x7

根据小概率值a=°-01的独立性检验，我们推断“0不成立，

即认为球队的胜负与甲球员是否上场有关，此推断犯错误的概率不大于°・01；

【小问2详解】

设/="甲球员上场打前锋”，B="甲球员上场打中场”，C="甲球员上场打后卫”,

18/21

D="球队获得胜利”.则。=/°8口°,且4民0两两互斥,

依题意得，P（/）=0-6，P（3）=P（C）=0.2

P（D\A）=0.9,P（D\B）=0.5,P（D\C）=0.8

（i）由全概率公式得尸（0=尸（“）尸四/）+尸（8）尸9团）+尸（C）P©C）

=0.6x0.9+0.2x0.5+0.2x0.8=0.8.

（ii）“如果球队已获胜，计算该场比赛甲