北京市燕山区2024-2025学年九年级上学期期中数学试题（解析版）

燕山地区2024-2025学年第一学期九年级期中质量监测

数学试卷

1.本试卷共7页，三道大题，28道小题.满分100分.考试时间120

考

分钟.

生

2.在试卷、答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号.

须

3.选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹笔作答.

知

4.所有试题均在答题卡上作答，在试卷上作答无效.

一、选择题(本题共16分，每小题2分)

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.

1.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是()

A./'B.\XC.

【答案】D

【解析】

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解.把一个图形绕某一点旋转

180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿

一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.

本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键.

【详解】解：A.不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；

B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；

C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项符合题意；

D.既是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项合题意.

故选：D.

2.二次函数】'=-2的顶点坐标是()

AA.(-1.2)oR.(1.-2)Cc.(1.2)nU.(-1-21

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的顶点式FMOU-，I+k,顶点

坐标为(A*1.由抛物线的顶点坐标式可求得答案.

【详解】解：•・•二次函数】'=门+':-2

顶点坐标为「1一＞.

故选：D.

3.如图，将必“8(4408=90°)绕点。逆时针旋转30。得到PJAC。。，则NCOS=()

B

OA

A.30°B.60°C.70°D.90°

【答案】B

【解析】

【分析】根据旋转图形的定义，可得结合已知条件"1。8二"°,算得

4OC=&OB-ZAOC=90°-30°=60°.

【详解】解：•••PsHOE绕点。逆时针旋转30。得到PJV。。,

.-.ZAOC=30°,

-.-ZAOB=90°,

£BOC=AAOB--4OC=90°-30°=60°.

故选：B.

【点睛】本题考查了旋转角的定义，确定相关的旋转角是解题的关键.

4.一元二次方程''、一「二」的解是（）

A,玉=0・U=1B,T1=Tj=1

C,毁=0.4=-1DVt=T3=-1

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法求出方程的解，即可.

【详解】解：=°,

.1.、=）或x-】=0,

..$=0,0=1；

故选A.

5.已知二7则代数式"（'-7一$的值为（）

A.2B.-2C.3D.-4

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，将［"变形为=1,再代入到

口1a-7；，-3进行计算即可得.

【详解】解：、-7a-1-0

/.2cr-7a-1

，二？1=1

贝产Q・7)-3=1・3=・2,

故选：B.

6.用酉己方法解方程力下列配方正确的是()

A.(X-?)'=5B.(*+球=5c.(D、3D,('+：)'=3

【答案】c

【解析】

【分析】本题考查了配方法解一元二次方程.熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键.

根据T71+1・0,配方得一3进行作答即可.

【详解】解：T-4x+l・0,

y---1x+4--1*4,

(j-2?=3

故选：c.

7.已知抛物线】•=6-+fn+c,其中ab<0,r>0.下列说法正确的是()

A.该抛物线经过原点，

B.该抛物线的对称轴在】'轴左侧

C.该抛物线的顶点可能在第一象限

D.该抛物线与1轴必有公共点

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数口图象与系数的关系，需要对题中所给的ab<0,c>0,进行分类讨论，也可以画出

它的草图，然后根据图象解答即可.

【详解】解:A、>0,

•••该抛物线与'轴的交点在1轴上方，不经过原点，

...此选项说法错误，不符合题意；

B、itb<：?,

与b异号，

该抛物线的对称轴在y轴右侧,

此选项说法错误，不符合题意;

.bAac-b1

C、由已知可得抛物线顶点为2a4。

一＞0

已知，所以顶点可能在第一象限，第四象限或者X轴上，

...此选项说法正确，符合题意；

D、令了=11,则+bx+c=Q,

L=尸-4ac,

而无法判断其正负情况，

不能判断抛物线与T轴必有公共点，

...此选项说法错误，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查了二次函数各项系数对其图象的影响，对已知条件进行分类讨

论是解决问题的关键.

8.如图，在&中，ZC=90°,4c=5,5C=10,动点M,N分别从A,C两点同时出发，

点M

从点A开始沿边.4C向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿C5向点6以每秒2个

单位长度的速度移动，设运动时间为；，点A，，°之间的距离为丁，一,MC"的面积为S,则T与f,S

与，满足的函数关系分别是（）

A.正比例函数关系，一次函数关系B.正比例函数关系，二次函数关系

C.一次函数关系，正比例函数关系D.一次函数关系，二次函数关系

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查一次函数和二次函数的几何应用，根据题意，结合图形，列出.「与f,S与，满足的函

数关系式，根据一次函数和二次函数的定义判断即可.

【详解】解：由题意，K,则==

一工＜S=CM=!x2tx（5-力=・尸+5t

则产T+5,22.

与］满足一次函数关系，$与：满足二次函数关系，

故选：D.

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.点儿"3）关于原点的对称点的坐标为.

(1.-3)

【答案】

【解析】

【分析】此题主要考查关于原点对称的点的坐标特点，掌握“关于原点对称时，横纵坐标都为相反数”是

解题的关键.

【详解】解：MU关于原点的对称点的坐标为（L-3）,

故答案为：（I）.

io.若关于丁的一元二次方程有实数根，写出c的一个值可以是.（写出一个即可）

【答案】1（答案不唯一）

【解析】

【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，正确理解题意、掌握非负数的性质是关键.根据非负数的

性质可得当时，一元二次方程x*=c有实数根，于是只要使。的值为负数即可.

【详解】解：；关于x的一元二次方程？=。有实数根，

/.20,

的值可以是1（答案不唯一）.

故答案为：1（答案不唯一）.

11.在函数】』l记中，当尤>1时,y随尤的增大而—.（填“增大”或“减小”）

【答案】增大

【解析】

【分析】根据其顶点式函数:'='，一】''可知，抛物线开口向上，对称轴为1=1,在对称轴右侧y随x的

增大而增大，可得到答案.

【详解】由题意可知：函数J=开口向上，在对称轴右侧y随尤的增大而增大，又•••对称轴为

x=l,

...当时，y随的增大而增大，

故答案为：增大.

【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴及增减性，掌握当二次函数开口向上时，在对称轴的右侧y随

x的增大而增大，在对称轴的左侧y随x的增大而减小是解题的关键.

（0-4i

12.写出一个二次函数，使其满足：开口向下且过点，这个二次函数的解析式可以是

.（写出一个即可）

【答案】4（答案不唯一）

【解析】

【分析】本题考查构造二次函数.根据开口向上，得到°<°,与y轴交于点‘。一’1,得到。=-4,进

行构造即可.

【详解】解：设抛物线的解析式为.v=aT'+b*+c,

•••抛物线的开口向下，与y轴交于点

<0,c=-4,

・•・二次函数可以为：】

故答案为：•」二-''-」（答案不唯一）

13.已知抛物线「J上有两点"电"和3'"匚I则.ny、.（用“>”，“<”，

“=”填写）

【答案】>

【解析】

【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出相应的函数值是解题的关键.

分别把A、B点的横坐标代入抛物线解析式求解即可.

t详解】解：将，（1和E「',代入「“（X->得，

F=（0—2]=4jr,-13-21=1

，*

故答案为：>.

14.如图，在平面直角坐标系中，四边形0月80是矩形，点将矩形。月5。绕点

。逆时针旋转90°,则旋转后点B的对应点坐标为.

【解析】

【分析】本题考查了矩形的性质、旋转的性质，熟练掌握矩形的性质、旋转的性质，是解题的关键.

利用矩形的性质以及旋转变换的性质得到4B"=H8=：!,BC'=3,进而求解即可.

【详解】解:如图:

8'.……

C----------

♦・•四边形OWC是矩形,点43。，0（0二）,

OC=AB^Z,30=04=3,

由旋转变换的性质可得：B'd,

•••B'在第二象限，

''V&।,即旋转后点B的对应点坐标为1-2.3).

故答案为：(-2.3).

15.如图，直线H=E+"与抛物线>=厂+故+C交于A,8两点，其中点4?.一3),点5(5.0),

当M>•>时，》的取值范围是.

【答案】2<x<5

【解析】

【分析】本题考查了根据直线和抛物线交点确定不等式的解集.解题的关键在于对知识的熟练掌握与数形

结合.

由题意知，当时，则T的取值范围是抛物线图象在直线图象下方对应的所有的'的取值，然后数

形结合求解即可.

【详解】解：由题意知，当J、>丁)时，则'的取值范围是抛物线图象在直线图象下方对应的所有的1的

取值，

•图象交于点义？13),点3(5.0),

...当】时，2<%<5,

故答案为：-<x<5.

16.某企业有4S两条加工相同原材料的生产线.在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为

Q"/小时；在一天内，8生产线共加工b吨原材料，加工时间为'上小时.第一天，该企业将5

吨原材料分配到A3两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生

产线的吨数与分配到8生产线的吨数的比为.第二天开工前，该企业按第一天的分配结果

分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了加吨原材料，给5生产线分配了"吨原材料.若两条生产线

m

都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则力的值为.

1

【答案】①.2：3②.二

【解析】

【分析】设分配到A生产线的吨数为x吨，则分配到8生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得

=+然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为

4|2+m|+］=2（3+»l+3进而求解即可得出答案.

【详解】解：设分配到A生产线的吨数为尤吨，则分配到2生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得：

4T+1=2（5-.TI+3解得：*=2,

，分配到B生产线的吨数为5-2=3（吨），

...分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为2：3；

第二天开工时，给A生产线分配了仁+用）吨原材料，给5生产线分配了（3+%）吨原材料，

:加工时间相同，

.411+I+1二1I3+“I+S

••，

1

m--n

解得：2,

m1

=

；,72;

故答案为‘3,2.

【点睛】本题主要考查一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方程的

应用及比例的基本性质是解题的关键.

三、解答题（本题共68分，第17题~第22题，每题各5分；第23题~第26题，每题各6

分；第27题~第28题，每题7分）

17.解方程：*'-4=0.

［答案］n=

【解析】

【分析】用因式分解法求解即可.

【详解】解：X’-4=0

（x-2）（x+2）=0

-V-2=0或T+0

.=2,.Xj=-2

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式

法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键.

18.如图，在一儿5c中，一4二£=9中，将--钻。绕点c顺时针旋转90°得到点A与点。对

应，点8与点E对应.

(1)依题意补全图形；

(2)直线AB与直线DE的位置关系为.

【答案】(1)见解析(2)ABIDE

【解析】

【分析】(1)直接根据旋转的性质作图即可；

(2)如图：延长DE交43于点F,然后根据旋转的性质可得然后根据对顶角相等并结

合一4(73=90°即可解答.

【小问1详解】

解：延长DE交45于点尸

由旋转可得:一「口口=-3,

­：Z.CRD-ZABF,

=乙侬

•.ZACB=90°,

乙4+4=乙4+乙4M=90°,

.-.ZAPS=90°,即

【点睛】本题主要考查了旋转作图和旋转的性质等知识点，灵活运用旋转的性质成为解答本题的关键.

19.已知力是方程F--T-2=0的根，求代数式力⑺；-1%、的值.

【答案】7

【解析】

【分析】根据方程解的定义得到州'-m=再根据川州-加+5进行求解即可.

【详解】解：•••力是方程1=°的根，

；.wJ-w-2=0,

.­.w2-w=2,

wlw7-li+5=m3-m+5=2+5=7

【点睛】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边

相等的未知数的值是解题的关键.

(1)在下图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；

(2)点PY*该函数的图象上(填“在”或“不在”).

【答案】(1)作图见解析

(2)不在

【解析】

【分析】(1)利用五点法作图即可；

(2)把'二一二代入函数解析式求得函数值即可判断.

【小问1详解】

解：如图,

X-10123

y30103

解：把、=-」代入函数解析式得，J=m"Tl=4+4=8,

••.尸（一，7）不在函数图象上,

故答案为：不在.

【点睛】本题考查画二次函数图象及二次函数图象上点的坐标，利用描点法作出函数图象是解题的关键.

21.如图，在-必,中，ZC=90°,ZB=20°,将一以'绕点A顺时针旋转25°得到AXDE,AD交

BC于点?若，超=3,求朋的长.

【答案】3企

【解析】

【分析】利用旋转的性质，得到工「二HE,—为等腰直角二角形，利用勾股定理进行求解即可.

【详解】解：；-绕点A顺时针旋转二5°得到_.WE,

.^AB=25°,AC=AE

••,4£=3，

•.尔』.

.•ZB=20°,

\^AFC=^FAB+£B=45°.

."_C=9C°,

♦.一a4是等腰直角三角形.

­.=SV?_

【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理.熟练掌握旋转的性质和勾股定理是解题的关键.

22.在平面直角坐标系'今中，抛物线F=-+外+c经过4。3)和&L01两点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)求该抛物线的对称轴和顶点坐标.

【答案】⑴.】•=、’7'+'

(2)对称轴为直线丫=2,顶点为‘:一11

【解析】

【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及顶点坐标和对称轴，熟练掌握知识点是解题的关

键.

(1)运用待定系数法求解即可；

⑵配方成-I即可求解.

【小问1详解】

解：,•・抛物线】•=f+br+c经过加3和3(1.0)两点，

】+b+c=0

c=3，

b=-4

解得：卜=3,

..・解析式为："T'-4T+3；

【小问2详解】

融V=XI-4A+3=(X-2)3-1

解：，，

・••对称轴为直线X=二，顶点为「•一”.

23.已知关于X的一元二次方程'm-6)T-6^=0.

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若该方程有一个实数根小于2,求冽的取值范围.

【答案】(1)见解析(2)E>-2

【解析】

【分析】(1)求得该一元二次方程根的判别式大于等于零即可证明结论；

(2)先求出该方程的解，然后令一个实数根小于2,然后求解不等式即可解答.

【小问1详解】

证明：由题意，△=(m-a'-4x(-S»)

-«,+12»+36

-U+6)J>0.

该方程总有两个实数根.

【小问2详解】

(2)解：解方程x'+'：巾-6，r-6巾=0,得：h=-"：，%=°.

•••方程有一个实数根小于2,

-w<2.

w>-2.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识点，当一元二次根的判别式大

于等于零，则该方程有两个不相等的实数根或相等的实数根.

24.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长

出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43,求这种植物每个支干长出的小分支个数

【答案】6

【解析】

【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是无，根据主干、支干和小分支的总数是43,即可得出关

于尤的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是尤，

依题意得：1+1+1=43,

整理得：/+1-41=0,

解得：升=-7(不合题意，舍去)，T3=0.

故答案为：6.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

25.己知一曲。在平面直角坐标系中的位置如图所示.

(1)作出一儿5。关于原点对称的一4反。1；

(2)求出一A与口的面积.

【答案】(1)图形见解析

5

(2)二

【解析】

【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特征，能够利用关于原点对称的点的坐标的特征作出

反射，并灵活运用'割补法'求出其面积是解决本题的关键.

(1)利用关于原点对称的点的坐标特征：在平面直角坐标系中，点尸(工】')关于原点对称的点的坐标为

-

尸(-X,yi,求得4(2.一？)，4(3,0),g(Ll)即可作出51cl.

(2)利用“割补法”构造梯形3MB1,则一481cl的面积二梯形。逐曲1的面积-S.am-S-n,即

可求出」当与。】的面积.

【小问1详解】

解：如图，构造梯形0产户瓦.

由平面直角坐标系中图形可知：C1B=3,窈=1,4尸=1,4尸=?.

；.S_Xld=-S_o1M-S_，n

=((qE+8尸》EF-lxqfxE^-lx^xB.F

=-(3-i-2|x(l+D-lx3xl-lxlx2

=—x(3+2)x(l+l)-Xx3x1-Xxlx2

=—5

26.在平面直角坐标系式»中，点M箝》)在抛物线F=a『+bx+c(a>0)上,设抛物线的

对称轴为x=L

(1)若m=",求r的值；

(2)若cv巾求，的取值范围.

【答案】⑴r=l

1.

—<t<1

(2)-

【解析】

【分析】本题主要考查了二次函数的性质

(1)依据题意，若桁=’？，从而对称轴是直线-，进而可以得解；

(2)把MI")代入解析式J'=ax'+b*+c,根据C<加〈”得出f的取值范围.

【小问1详解】

解：由题意，若尼=",

1-1+3]/

对称轴是直线.二.

即。=1；

【小问2详解】

解：；抛物线】'=aT'+bx+c的对称轴为x=t,

・rbt

-a,

二-一：H,

r-m2-16,

,AT(3.n)在抛物线y=ad+bi+c(a>0)上,

a+2at+c=冽①

i

9a-6o，+c=?12；

，

①一②得，州-n,-8a+Sw,

vm<n

,1->!<0,

-Sn♦前<0,

,/a>0,

f<1,

由①得，v；-c・G+,

m-c>0,

a+2af>0,

va>0,

1

"1-1>_-

■,

-----<t<1

f的取值范围为-

27.如图,在一中，==为BC的中点，点。在M7上，以点A为中心，将

线段,必顺时针旋转a得到线段,四，连接BE匚£.

（1）比较公8他与/CAD的大小；用等式表示线段之间的数量关系，并证明；

（2）过点M■作，短的垂线，交EE于点N,用等式表示线段儿与ND的数量关系，并证明.

【答案】a）^BAE=ACAD,BM=BE+MD,理由见详解；（2）DN=EN,理由见详解.

【解析】

【分析】（1）由题意及旋转的性质易得NA4C=NE4D=a,AE-AD,然后可证胎A4CD,

进而问题可求解；

（2）过点E作即_LAB,垂足为点。，交BC于点,H,由（1）可得乙45E=BE=CD,易证

BH-BE-CD,进而可得打鼠=DM,然后可得从加”:咫，最后根据相似三角形的性质可求

证.

【详解】（1）证明：•.•-3.4C=-E4D=a,

--艮42?+—CAL：=a,

.•.—R4£=_OLD,

由旋转的性质可得,4E二月。，

-AB^AC,

）（

•.•^ABE^4CZSAL*I，

:点M为BC的中点，

:=,

••r'MD+CD=MD+EE，

:.BM=RE+MD；

(2)证明：DI'：^EN,理由如下：

过点E作垂足为点。，交BC于点H,如图所示:

..「底3=_实£=乳，。，

由⑴可得“88〜4CD,

.•.一七工、-,BE^：'D,

-AB=AC,

；.-A31J=」i'=-ABE,

,：BQ=BQ,

.一一30H，'A"i

••，

•••BH=BE=CD，

:.^DMN^^DHE,

DM_DN

:.~DH=TE=2,

:.DN=EN.

【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的

性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质是

解题的关键.

28.定义