甘肃省白银市靖远某中学2025年高考数学模拟试卷（含解析）

甘肃省白银市靖远一中2025年高考数学模拟试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若/(x)=1,W(2)=(

)

1乙tX,r_-L

A.0B.1C.2D.4

2.已知sin(f+a)=则cos(a-f)的值为()

A1B这C-1D-考

A，33J3U-3

3.已知一组从小到大排列的数据：1,3,m,17,19若其极差等于平均数的2倍，则m的值为()

A.4B.5C.6D.8

4.已知p："0<x<1”是“/<1”的必要不充分条件，q：i是虚数单位，mnGN,(1+i)n=-4,则

()

A.p和q都是真命题B.”和q都是真命题

C.p和飞都是真命题D.”和7?都是真命题

5.一个圆台的母线长为5,上、下底面的半径分别为2,5,则圆台的体积为()

A.647rB.567rC.487rD.527r

6.已知向量a和3满足m=2,\b\=i,|a+b|=/7,则向量a+B在向量a上的投影向量为()

22

8.若%o为方程式20%+elnx—2e=0的根，则久°+lnx0=()

A.eB.e2C.2D.4

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数/(%)=|cos%+则下列结论正确的有()

A.对任意aER,函数/(%)的最大值与最小值的差为2

B.存在QGR,使得对任意％ER,/(x)+f(ji—x)=2a

C.当a70时，存在非零实数x,使得f(X+今=fG-％)

D.当a=0时，存在T6(0,兀)，x0&R,使得对任意葭GZ,都有/'(比)=/Qo+nT)

nn

10.已知无为数列{即}的前ri项和，且满足为=(-l)an-2-,则下列结论正确的有()

A1

A.=-B.当九为偶数时，册=1

14

1

C.当九为奇数时，an=—D.S5+S6=--

11.如图所示，这是曲线E:(/+y2)3=8%2y2,设P(%°,y°)和QyQ为曲线

E上的任意两点，且满足PG{(%o，yo)l%oeZ或y。eZ},则下列结论正确的有

()

A.淄+比W2

B.满足%oeZ且y°eZ的点P(%0,yo)共有4个

C.曲线E关于直线y=±%对称

D.任取一点尸®),yo)，该点满足%oeZ且y。eZ的概率为总

三、填空题：本题共3小题，共20分。

12.椭圆4+4=1的离心率为______.

64

13.已知三棱锥P-4EF的三条侧棱P4,PE,PF两两垂直，且P4=2,PE=PF=1,则三棱锥P-AEF

的外接球的半径为;若M为线段PE的中点，则过点M的平面截三棱锥P-4EF的外接球所得截面面

积的最小值为.

2b2

14.若正实数a,b满足a+b=l,则n£+上的最小值是____.

a+1D+Z

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

在AABC中，内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,角4的角平分线交BC于点。，且as讥C=ccos*

AD=2AA3.

(1)求角a.

(2)已知c=3b.

(i)求加c的值;

(ii)求sinB的值.

16.(本小题12分)

如图，A,B是抛物线C：y2=2px(p>0)上异于顶点的两个动点，直线过抛物线C的焦点F,且焦点尸

到准线的距离为2.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若|4B|=6,求AQ4B的面积.

17.（本小题12分）

如图，在直三棱柱ABC—a/iG中，/.BAC=90°,AB=AC=AA1=2,E是BC中点.

(1)求证：〃平面AEG；

(2)求平面AEG与平面4BB14所成锐二面角的余弦值;

(3)求点当到平面AEG的距离.

18.(本小题12分)

某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动.现有4名男教师，2名女教师报名，本

周随机选取2人参加.

(1)求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率；

(2)记参加活动的女教师人数为X,求X的分布列及期望E(X)；

(3)若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1

项或2项的可能性均为：，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为提

每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得

分之和为y,求丫的期望E(Y).

19.(本小题12分)

n

定义：i=lttj=ar-a2...an,其中九GN*.

(1)求证：当％>0时，卜％W%-1(当且仅当久=1时取等号).

(2)对于任意正整数n,是否存在正整数血，使得不等式百=1(1+》<m恒成立？若存在，请求出山的最

小值；若不存在，请说明理由.

(3)若正项数列｛即｝满足2即+$=忌+/A0<b<,n€N*,求证：研嬴*可

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：因为/(%)=偿巴丁)'“<1，

由已知，当xNl时，/(%)=2X,

所以/(2)=22=4.

故选：D.

根据分段函数分段处理的办法，代入求值即可.

本题主要考查了函数值的求解，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：cos(a-7)=cos(7一a)=cos《-(a+7)]=sin(a+?)=；，

故选：A.

直接利用诱导公式的应用求出结果.

本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

3.【答案】B

【解析】解：一组从小到大排列的数据：1,3,m,17,19.

则平均数为其1+3+M+17+19)=其40+㈤，极差为19-1=18,

...极差等于平均数的2倍，

-(40+m)=18,解得巾=5.

故选：B.

利用已知条件求出极差和平均数，再利用极差和平均数的关系即可求得m的值.

本题主要考查极差的定义，以及平均数公式，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：当n=4时，(1+i)4=[(1+I)2]2=(2i)2=-4,可得q是真命题，飞是假命题；

因为好<1解得—1<x<1,所以“0<%<1”是<1”的充分不必要条件，所以p是假命题，”是

真命题.

综上可知，”和q都是真命题.

故选：B.

根据必要不充分条件的定义及存在命题的性质结合非的定义判断即可.

本题主要考查充分必要条件的判断，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：由题意圆台的母线长为5,上、下底面的半径分别为2,5,

可得圆台的高为h=J52—(5-27=4,

•••圆台的体积V="(22+52+2X5)X4=527r.

故选：D.

首先求出圆台的高，再由圆台的体积公式计算可得.

本题考查了圆台的体积公式，是基础题.

6.【答案】D

【解析】»：\a+b\=V7,

.■.\a\2+2a-b+\b\2=7,

又闻=2,\b\—1,

••-4+2a-b+l=7,a-b=1,

■.(a+b)-a=\a\2+a-b=4+1=5,

故所求投影向量为：

\a\\a\=22=4

故选：D.

利用向量模长公式求出a石的数量积，再通过投影向量的公式计算向量益+3在向量a上的投影向量即可得

解.

本题主要考查投影向量的求解，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：因为过双曲线的焦点并垂直于实轴的弦的长是2,所以生=2,

a

因为双曲线为盘Y=l(a>0),所以52=3,所以誓=2,解得a=3,

所以双曲线为tY=l,必⑹。)，

因为点P(x,y)，所以k=三为4P的斜率,

所以当4P与半圆+(y-1)2=1(久>0)相切时，斜率k最小,

此时设4P的方程为y=k(x—3),所以/ex—y—3k0,所以早曾1,

解得k=-7或左=。(舍去)，所以左加九=-7-

故选：A.

利用已知条件先求出点4的坐标，再借助直线与圆的位置关系求解即可.

本题考查直线与双曲线的综合应用，属于中档题.

8.【答案】C

【解析】解：由题意可知函数/(%)=一2?2的定义域为(0,+8),

又因为%。为方程/e"+e2lnx-2e2=0的根，所以％o>0,

所以瞪e~=e2(2—ITIXQ),

即比e&=e2-In—.

xo

又因为%0>0,

一p22

所以％oe%。=—•In—p,

%o%o

令9(%)=xex(x>0),

则“(%)=靖(％+1)>0,

所以g(%)在(0,+8)上单调递增.

222

又因为g(ln三)=三.也与，

e2

所以％°=In—=2—lnx0，

%0

所以％°+lnxQ=2.

故选：C.

22

由题意确定%o满足方程%。靖。=—In—,构造函数g(%)=xex(x>0),由其单调性即可求解.

%0%0

本题考查了函数与方程思想、转化思想，考查了导数的综合运用，属于中档题.

9.【答案】BCD

【解析】解：对于4当。=0时，/(%)=\cosx\,其最大值为1,最小值为0,

则/(%)的最大值与最小值的差为1,故A错误；

对于8,当a=l时，/(x)=\cosx+1|=1+cosx,

f(jl—%)=|COS(7T—%)+11=11—COSXI=1—COSX,

因此对任意％eR,/(%)+f(ji—%)=1+cosx+1—cosx=2=2a,故3正确；

对于C,因为f(%+1)=|cos(^+x)+a|=|a—sinx\,

-%)=|cos(^—%)+a|=|a+sinx\,

当％=7T时，/(%+^)=/(^-x)=|a|,故C正确；

对于。，当a=0时，/(%)=\cosx\,

此时函数的周期为7T,

取T=安配=p

贝,Oo)=/(力=|cosj|=苧，

当?1=1时,f(x0+nT)=凭+今=|cos(J+^)|=|—s呜|=苧，

当?1=2时，/(x0+nT)=/(；+兀)=|cos(：+兀)|=|-cos^|=

当ri=3时，/Oo+nT)=/(；+亨)=|cos(^+y)|=|sin^|=苧，

当?i=4时，/(x0+nT)=/(：+2兀)=|cos(:+2兀)|=|cos^|=苧，

当"=5时,f(x0+nT)=/(；+：)=|cos(Jy)|=|cos(；+个|=|—s呜|=争

由周期函数可知，对任意neZ,都有/(%o)=/Oo+">故。正确.

故选：BCD.

对于4选项，取特殊值a=0;

对于B选项，取特殊值a=1；

对于C选项，取特殊值X=7T;

对于。选项，取特殊值T=JZ%o=P4即可判断.

本题考查了余弦函数的性质，考查了分类讨论思想，属于中档题.

10.【答案】BC

【解析】解：Sn为数列的前n项和,且满足％=(-DSn—2-%

当71=1时，Si=T=_的_2-1,解得的=一右故A错误；

n+1

当n>2时,an=Sn-Sn_1=(-l)"an-2r-(―1产％…+2-=(―1)飞+(-1)为…+/，

当n为偶数时，5=即+an_r+参，

1、。

。九一1=—尹'n>2,

即即=_2Al，71为正奇数，故C正确；

当n为奇数时，2%,=—%i-i+宗=—十，即即_1=2^1，

即即=或，n为正偶数，故B正确；

S+S

s6=2s5+a6=2(玄一玄)+/=一去=一专，故。错误.

故选：BC.

令n=1,求出的，判断4；当n22时，求得厮=+(-I)%.：!+玄，分n为偶数和n为奇数讨论

求与，判断B和C；由Ss+S6=2Ss+ci6代入求值，判断D.

本题考查数列的递推式和数列的通项与前71项和的关系，考查转化思想和运算能力，属于中档题.

11.【答案】ACD

【解析】解：因为(后+资尸=8x2y2<8(苧］,

所以以+走<2,当且仅当媚=资=1时取等号，所以选项A正确；

因为瞪+据42,所以|%o|wJ2，

所以满足%oEZ且y°EZ的点P共有(一1,一1)，(—L1)，(0,0)，(1,-1)，(1,1)这5个，

所以选项B错误；

因为将点(—y,—%)代入E：(久2+y2)3=8%2y2,可得(%2+y2)3—8%2y2,因此关于y=一%对称，

点(％X)代入E：(%2+y2)3=8%2y2,可得(%2+、2)3=取2y2,因此关于y=%对称,所以C项正确；

因为E具有对称性，所以只研究E在第一象限上的点的横坐标或纵坐标为整数的情况，

,2

令%0=1,那么(1+y2)3=8y2,设y>0,那么有l+y2=2yG,

2

令yW=3t>0,那么1+/=2。

所以(t—l)(t2+t-l)=0,解得t=1或t=要，

所以1+y2=2装有两个正根1和J(告与,

所以结合曲线的对称性可知在第一象限横坐标或纵坐标为整数的点共有3个：

(1,1),(J(有:4,1),(1,J(要尸),四个象限一共12个，再加上(0,0),

所以整个曲线上横坐标或纵坐标为整数的点共有13个，

所以任取一点PQ),yo)，那么该点满足配ez且yoCZ的概率为K，因此选项D正确.

故选：ACD.

对于4用基本不等式的推论即可证明；

对于8,根据4可判断|xol3合，再代入整数计算即可判断；

对于C,代入(y,x),(-y,-x)即可判断;

对于D,求出所有横坐标或者纵坐标为整数的点的个数，再利用古典概型求概率即可.

本题考查曲线与方程，属于中档题.

12.【答案】苧

【解析】解：由椭圆卷+21,得。2=6,62=4,故6=]—.=

故答案为：

根据离心率公式直接求解即可.

本题主要考查求椭圆的离心率，属于基础题.

13.【答案】甯

【解析】解：三棱锥P—AEF的三条侧棱P4PE,PF两两垂直，且P4=

2,PE=PF=1,

将三棱锥P-AEF补形为成长方体PEQA-FGNH,

则三棱锥P-4EF的外接球的半径R即长方体PEQ4-FGNH对角线长的一

半,

即R=PA2+PE2+PF2=苧

当截面与0M垂直时，截面面积最小，设截面半径为r,

又0M=JEN=¥，所以产=R2_OM2=I，

224

所以截面面积的最小值为兀产=

故答案为：乎；

24

由于三棱锥三条侧棱两两垂直，所以把三棱锥的外接球问题转化成长方体的外接球问题来处理即可；分析

出当截面与。M垂直时，截面面积最小，再去解由球半径R,截面圆半径r和球心到截面圆的距离。M组成的

直角三角形即可求出r,进而求出截面圆的面积.

本题主要考查了棱锥外接球性质的应用，属于中档题.

14.【答案】"

【解析】解：方法一a+b=l,.,.a+l+b+2=4,

222a2(b+2)b2(a+l)

ab1ao19

=4(^+l+KT2)(Cl+1+Z，+2)=4[a++b2]

a+1+b+2a+1+b+2

111

>-(a2+2ab+b2)=-(a+h)2=

444

当且仅当a=%匕=|时取等号，，鲁+告2"

方法二：设a+l=s,b+2=3贝!Js+t=a+b+3=4,

..a2,b2_(s-l)2(.2)2141414

=s-2+-+t-4+=s+t+-+-6=-+-2,

•a+1b+2st777

14114it4s9

••--+7=4(-+7)(S+t)=4(-+T+5)>

当且仅当s=*t=*即。=$6=1时取等号,

a2b291

-------------->—2=—.

a+1b+2-44

故答案为：

4

方法一，直接根据基本不等式“1”的妙用求解.

方法二，利用换元法，然后根据基本不等式“1”的妙用求解.

本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题.

15.【答案】4=全

(助b=*c=8；(助詈.

【解析】解：(1),•easinC=ccosg,由正弦定理得siziAsinC=sinCcos^,

又ce(0,TT),则s讥c丰o,

..A.AA

•••sinA=cos-=zsm-cos-,

A

又COS5H0,

,A1

•••sin-=

•・•白(0,今，则

(2)(即由⑴知4=或4D是角4的角平分线，

S^ABC=S^ABD+S^ACD，

•*.之cbsin^=-ADsin^+上匕•ADsiny,

2326Z6

又AD=2/3,

则得cb=2c+2b,又c=3b,

2

3b=8bf解得b=*即c=8.

(团)a=Vc2+h2—2cbcosA=J64+号—程=

.b.721

•••sinBn=-sinAA=.

a14

(1)由已知，利用正弦定理可得s讥4=cos*再由二倍角公式可得sin3=,,由矢(0,勺，可得4=今

(2)(团)由SMBC=SAABD+S-CD，利用面积公式及已知条件，即可求得b,c的值；

(ii)利用余弦定理求出a,再利用正弦定理即可求得s讥B的值.

本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，余弦定理的应用，还考查了三角形面积公式的应用，属于中档

题.

16.【答案】y2=4x；

V-6.

【解析】解：(1)因为4B是抛物线C：y2=2p%(p>0)上异于顶点的两个动点，

直线2B过抛物线C的焦点F,且焦点F到准线的距离为2,

所以p=2,所以抛物线C的方程为y2=4%；

(2)由(1)得尸(1,0),且直线4B不垂直于y轴，

所以设直线4B的方程为x=ny+l,

联立J：：I得丫？一4ny-4=0,设4(%1，%)，B(x2,y2),

则4=16n2+16>0,yi+72=4m，yry2=-4,

2=222

所以=V1+n\yr—y2lV1+n-V16n+16=4(1+n)=6,解得九2=1.

又点。到直线4B的距离d=而餐=孚，

所以SAO,=|\AB\d=x6x竽=yj~6,

所以△04B的面积为，石.

(1)由焦点到准线的距离求解出p的值，则得抛物线的方程；

(2)设直线4B的方程为x=ny+L与抛物线的方程联立，利用弦长公式解出几，求出点。到直线4B的距

离，即可求得AOAB的面积.

本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，属中档题.

17.【答案】解：(1)证明：连接C4,交4G于。点，连接。E,

直棱柱中，AC=AA1=2,显然。是C①中点，

又因为E是BC中点，所以0E〃84,

因为。Eu面4EQ,BA±C面4EC],贝UB&〃面

(2)由直三棱柱48C—4B1C1中ABAC=90°,故可构建如图所示空间直角坐标系,

所以平面的一个法向量为记=(0,1,0),

又因为EQU0),6(0,2,2),

所以衣=(1,1,0),宿=(0,2,2),

设平面AEG的法向量为元=Q,y,z),则屈1元，宿_L元，

所以巴，令y=—L则—

所以平面AEG与平面4BB14所成锐二面角的余弦值为：|cos<m,n>|=I瑞看I=?.

(3)因为4(2,0,2),所以福=(2,0,2)，

则点名到平面4EQ的距离d=|霄|=表=苧.

【解析】(1)连接C4,交4G于。点，连接OE,易证。再由线面平行的判定定理证明结论;

(2)构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值；

(3)根据(2)所得空间直角坐标系，应用向量法求点面距.

本题考查线面平行的证明，二面角的求法，点到平面的距离求法，属于中档题.

18.【答案】解：(1)设“有女教师参加活动”为事件4“恰有一名女教师参加活动”为事件B,

则P(48)=等=9P⑷=当产3

、8

所以「伊|4)=瑞=萼8

9

(2)依题意知X服从超几何分布，且P(X=k)=七一(卜=0,1,2),

C6

p(x=0)=q=I，P(x=1)=婴=2P(x=2)=4=

、/ci5、7c|15v7d15

所以X的分布列为：

X012

281

P

51515

F(X)=0X|+1XA+2X±=|.

(3)设一名女教师参加活动可获得分数为XI,一名男教师参加活动可获得分数为X2，

则X］的所有可能取值为3,6,X2的所有可能取值为6,9,

P(X1=3)=P(X1=6)=芯1E(X1)=3x1^+6x1^9=^,

11115

尸(X2=6)=P(X2=9)=5，E(Xz)=6x-+9x-=y,

有X名女教师参加活动，则男教师有2-X名参加活动，

y=|91x5+y(2-x)=15-3X,

所以E(Y)=EQ5-3X)=15-3E(X)=15-3xj=13.

即两个教师得分之和的期望为(13分).

【解析】(1)由条件概率的计算公式即可求解；

(2)参加活动的女教师人数为X,则X服从超几何分布，即可写出X的分布列及期望.

(3)根据一名女教师和一名男教师参加活动获得分数的期望，即可得Y=15-3X,即可求得E(y).

本题考查超几何分布