第3章 不等式 章末小结（解析版）

第3章不等式章末小结

第3章《不等式》章末小结.................................................................1

知识框架...............................................................................1

一、典型题型..........................................................................1

题型1一元二次不等式的解法....................................................3

题型2不等式恒成立问题.........................................................5

题型3利用基本不等式求最值....................................................7

二、活学活用培优训练.................................................................19

典型题型

题型1一元二次不等式的解法

解题技巧：一元二次不等式的解法是本章重要内容，是后续学习的基础和保障.常与集合实际

应用、方程等交汇命题.主要考查学生的数学运算能力和逻辑推理以及数学建模能力，对于不

含参的一元二次不等式的解法常转化为ax2+fec+c>0(a>0)或af+6x+c<0(a>0)的形式结合二

次函数的图象求解.对于含参的一元二次不等式应先看二次项系数的正负，其次考虑判别式，

最后分析两根的大小分类讨论.

例1已知集合A={x|x2+X-2W0},B=1X|\!N0},则NnB=()

A.{x|-2<x<2}B.{x|-2<x<l}C.{x|-2<x<-l}D.{x|-2<x<-l}

【答案】D

【分析】求出集合AB后可求4口民

【详解】A={x|-2<x<l},而2={x[x<-L或xN2},

故A「3={x|_24尤<-!},

故选：D.

例2(多选题)若不等式依?+6无+c>0的解集为(-1,2),则下列说法正确的是()

A.a<0B.a+b+c>0

C.关于％的不等式+c%+3a>0解集为(-3,1)D.关于九的不等式Zzx?+c%+3a>0解集为

(ro,-3)U(l,+oo)

【答案】ABD

【分析】先由题意及根与系数的关系得到。<0，，b=-a,c=-2a,即可判断A、B；对于C、D：把不等式

6尤2+c龙+3a>0转化为无2+2尤—3>0，即可求解.

【详解】因为不等式妆?+法+c>0的解集为(-1,2),

hC

所以。<0,--=1,-=-2,i^b=-a,c=-2a,止匕时a+6+c=-2a>0,所以A正确，B正确；

aa

bx2+ex+>0<x>—ax2—2ax+3a>0<=>x2+2x-3>0,解得：无<—3或x>l.所以D正确；C错误.

故选:ABD

例3定义一种新的集合运算A：4初=匡上64,且万e8}.

⑴求集合M;

⑵设不等式(x-2a)(x+a-2)<0的解集为P,若xe尸是xeM的必要条件，求实数。的取值范围.

【答案】⑴计卜…:

19

(2){fl|a<--^,a>-)

【分析】(1)解不等式求得集合43,根据集合新定义即可求得答案；

(2)由xeP是xe"的必要条件可得Ma尸，分类讨论，列出不等式组，求得实数a的取值范围.

(1)

由题意解不等式(4x+l)(x+2)<0得：-2〈一;,

解工>1,即二一1=^^>0,得一1(尤<2,

x+1x+lX+1

故A=j.X-2<尤<—B={x1-1<x<2},

^M=B\A={x\x&B,且无eA}=2caA

(2)

若xeP是xeM的必要条件，则河=尸.

2-a<--

4

29

①当2a>2—仪即〃>§■时,P=^x\2-a<x<2a}则<2a>2即a>一；

4

2

a>一

I3

2]]

②当2a<2—〃即时，P=^x\la<x<2-a^,贝卜2〃〈一,即〃<一区；

2—〃22

2

③当2a=2-。即。=§时，尸=0,此时不满足条件，

19

综上，所求实数。的取值范围为｛。1。<-京或.

题型2不等式恒成立问题

解题技巧：不等式恒成立问题是不等式的重要内容，也是数学中的重要内容.常与二次函数及

函数图象相结合命题.对于不等式恒成立求参数范围的问题常见类型及解题策略有以下几类.

(1)变更主元法

根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元.

(2)分离参数法

先将参数与变量分离到等式两边，转化为相关函数得最值问题.

(3)数形结合法

利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化.

例1已知〃x)=d+|x-1|,不等式〃x)N(m+2)x-1恒成立，实数加取值范围是()

A.[-3-2应,0]B.[-3-272,-3+272]

C.[-3+2\/^,o]D.卜8,—3-[j[-3+2A/^,+8)

【答案】A

【分析】将不等式〃另2(m+2卜—1恒成立转化为(厂以+卜一心如，4gW=x2-2x+l+|x-l|,若

g(x)=x2-X,X>1,等价于znw(x-l)而n；若g(x)=j?-3x+2,x<l,等价于/一(〃z+3)x+220,运用一元

二次不等式对应的一元二次方程根的分布分类讨论，求出加的取值范围即可.

【详解】•--/(%)=x2+|x-l|,/(X)>(；77+2)X-1,

/.x2+|x-l|>(m+2)x-l,BP(x-1)2+\x-]\>mx,

^g(x)=x2-2x+l+|x-l|,

^^(x)=x2-x,x>l,x2-x>mx,等价于根Wx—l,

令=,.\/z(x)>0,.*.m<0,

若g(x)=f—3x+2,xvl,x2-3x+2>mx,BPx2—(m+3)x+2>0,

①当A=(m+3)2—8WO,即一3—204根<一3+2夜时，

不等式f—(m+3)x+2Z0在无vl上恒成立；

②当A=(机+3)2—8>0,即加>一3+20或胆<一3—2夜时，

要使不等式炉-(帆+3)龙+2"在％vl上恒成立，

l2-(m+3)xl+2>0,

'二________m<0

则有,m+3-J(m+3『-8，解得,加+3>2夜，一3+20<加工0，

N1I

I2

综上所述，实数机取值范围是[-3-2垃,0].

故选：A.

例2(多选题)已知3xeR,不等式x2_4x-a-l<0不成立，则下列。的取值不正确的是()

A.(-oo,-5]B.(-00,-2]C.(F,-3]D.(-℃,-1]

【答案】BCD

【分析】特称命题的否定为全称命题，BxeR,不等式d一以-“-1<0不成立，等价于VxeR,不等式

x2-4x-a-l>0恒成立，再利用A<0即可得到答案.

【详解】已知HxeR,不等式元2—4x—a-l<0不成立，等价于VxeR,不等式无？-4尤一“-120恒成立，

△=16+4(。+1)W0n。W-5.只要。的取值是｛a\a<-5｝的子集就正确.则选项BCD都不正确.

故选：BCD.

例3已知/5)=1元-l|+|x-3|.

⑴解关于x的不等式/(x)46；

(2)若对任意实数x,及任意正实数a,b,且。+6=1,都有±+孚》/1恒成立，求实数2的取值范围.

ab

【答案】⑴曰,5]

⑵(-00,6+4在

【分析】（1）对绝对值进行分类讨论，即可求解

（2）根据基本不等式，可得±+¥.(a+&)>4+/(x)+477w,进而问题转化为

ab

14+/（无）+4右而]>A,进而求出所求的2范围

L」nun

(1)

2x-4,x>3

/(x)=|x-l|+|x-3|=J2,l<x<3可得,

4-2x,x<l

当xN3时，不等式/（x）46等价于2元—446,解得x«5,,.,x>3,.\3<x<5,

当lvx<3时，不等式/（%）«6等价于246,此时不等式恒成立，

当％VI时，不等式/（%）V6等价于4一2%<6,解得]之一1,,

综上所述，不等式6的解集是[-1,5]

⑵

-+^^=[-+^^-]-(a+b'>=4+--+-^^-+fM，a>0,b>0,f(x)>0,

ab\abJab

.•・4+竺+牛+/(x)Z4+/(x)+4师J,当且仅当竺=且鲁时成立，

abab

所以，对任意实数X,及任意正实数。，b,且a+b=l,都有刍+坐恒成立，

ab

2x-4,x>3

等价于[4+/(X)+4"^[,"N2,设/=灰5,由(1)得，/(x)=|x-l|+|x-3|=2,l<x<3,明显可见,

4-2x,x<1

/（元）22,所以，g⑺=4+产+4f,当f=0时，g0）有最小值，gaU=5（^）=4+2+472=6+472,

所以，此时实数2的取值范围为6+4段,综上所述，实数2的取值范围（-8,6+4a]

题型3利用基本不等式求最值

解题技巧：基本不等式是不等式部分的重要内容，其主要应用是求函数的最值或范围.既适用

于一个变量情况，也适用于两个变量情况.基本思路为创设应用不等式的条件，合理拆分项或

凑配因式是常用的解题技巧.而拆与凑的目的在于使等号能够成立.

例1若x<0,则x+j-2有（）

4x

A.最小值-1B.最小值-3C.最大值-1D.最大值-3

【答案】D

【分析】根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.

【详解】因为x<0,所以x+[-2=-1一n+']-2<-2,-六二一一2=-3,当且仅当一尤=即x=一

4xI4J丫Tx-4x2

时等号成立，故x+；-2有最大值-3.

4x

故选：D.

例2（多选题）若正实数。，b满足。+6=1,则下列说法正确的是（）

A.而有最大值;B.〃+扬有最大值后

C.1+：有最小值4D.有最小值比

ab2

【答案】ABC

【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别分析各选项即可判断.

【详解】解：因为正实数。，6满足。+6=1，所以1=。+622疯，当且仅当。=6=1时取等号，所以仍4：,

故而有最大值;，故A正确；（夜+扬）=a+b+2y[ab=1+2y[ab<1+2^=2,当且仅当a=6=g时取等

号，

故6+北〈行，即^/^+^/F有最大值正,故B正确；

l+l=£±^=j_>4,当且仅当=（时取等号，故1+：有最小值4,故C正确；

ababab2ab

iii

a2+b2=（a+b）92-2ab=l-2ab>-^,当且仅当。=6=：时取等号，所以片+〃有最小值g,故D错误.

故选：ABC.

例3已知二次函数/（%）=加+乐+。（a,b,c为实数）

⑴若〃x）<0的解集为（1,2）,求不等式c尤2+如+°<0的解集；

⑵若对任意尤wR,6>0时，〃x）±0恒成立，求牛的最小值；

b

⑶若对任意xeR,2x+2wy（x）W2x2-2x+4恒成立，求ab的最大值.

【答案】（1）卜

(2)1

【分析】(1)根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系即可求解.

(2)根据二次函数的性质可得。>0力>0,〃一44(0,进而根据基本不等式即可求解.

(3)取x=l得a+6+c=4,根据判别式小于。可得c=a+2,进而可得a,c,b的关系，根据基本不等式即

可求解

bc

(1)依题意知，。>0,且方程o?+"+c=o的两根为1,2由根与系数间的关系得一2=3,—=2,则

aa

b=-3a,c=2a.+bx+a=2a1-3ax+a=a(2x2-3x+l)=tz(2x-l)(x-l)<0^^：^<x<l,即

原不等式的解集为

(2)因为XER力>0时，/(%)之。恒成立，故得。>08>0/2—4〃。<0,那4acN〃，即0>(),所以

£±£>Z^£>^=i(当且仅当。=。=2时等号成立)

bbb2

(3)令％=1,则4«a+〃+c<4,所以Q+0+C=4.对任意x£R,2x+2"以？+"+°,恒成立，所以

依2+0—2)x+c—220恒成立.所以〃>o且八二9一2)2—4。(。-2)=(1+。一2)2—4〃(。-2)=(〃一。+2)2<。

71c7,l(2a+b广；当且仅当

a^=~x2ab<-..........a=-,b=l

所以c=a+2,此;时2a+Z?=2,因此2222时等号成立，此时

511

c=—ab=a(^2-2a)=2a(^l—a)=—2+-<-

2(或22)验证

—x2+x+—

22成立故乃的最大值为万.

活学活用培优训练

一、单选题

1.下列命题中，是真命题的是()

A.如果那么ac>bcB.如果那么Qi?〉/?/

nh

c.如果那么D.如果a>〃，c<d,那么Q-c>b-d

cc

【答案】D

【分析】根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案.

【详解】对于A,如果c=0,那么=故错误；

对于B,如果。=。，那么〃/=历2,故错误；

对于C,如果c<0,那么故错误；

CC

对于D,如果cvd,那么一c>-d,由々>6,则。一。>/?一d,故正确.

故选：D.

2.若关于x的不等式“e'+fov+cvO的解集是(-M),贝I()

A.b>0B.a+c>0

C.a+b+oQD.8Q+2〃+C>0

【答案】D

np]I「—

【分析】由题意得到7一，求得上c的表达式，结合ae°+6x0+c<0,得到a>0,进而判定A、

ae+b+c=O

B错误，再根据九=1和九=2,根据不等式的性质，可判断C错误，D正确.

【详解】由不等式ae"+bx+c<0的解集是(一LD，即方程ae"+Zzx+c=O的两个根为-1和1,

4ze-1-b+c=O(e+二)z,=-(^2

所以，解得c=•a，

ae+b+c=O22

又由OG(-M),则由〃e°+力xO+c=〃+c=〃-(e+e与."。，即2-(e+e]).，<0,

22

所以必有a>0,

对于A中，b=_(eeI〃且q>0,所以bvO,所以A错误；

2

对于B中，当％=0时，得至！J〃e°+bxO+c=〃+c=Q-9t^~^.Q<O,所以B错误；

2

对于C中，当x=l时，ae+b+c=O,又由a+b+c<ae+6+c=0,所以C错误；

对于D中，当尤=2时，可得肉+26+00,

又由8a+2b+c>ae2+2〃+c>0,所以D正确.

故选：D.

3.已知尤>0，y>0,条件p:尤+2y=2*y,条件g:x+y应，贝！是4的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用"1"的妙用探讨命题"若p则/'的真假，取特殊值计算说明"若q则"'的真假即可判断作答.

【详解】因为Q。，^>0,由x+2y=2孙得：(+[=1,

则(尤+y)+^>-+2=齐亚,

x2

当且仅当x=JIy,即〉=上会/=1+4时取等号，因此，

3

因x>0,y>0,由％+》之万+后，取x=2,y=2,贝(J%+2y=6,2孙=8,即x+2yw2孙，q(,p,

所以。是4的充分不必要条件.

故选：A

41

4.已知正实数。,b满足——-+-~~-=1,则。+2〃的最小值为()

a+bb+1

A.6B.8C.10D.12

【答案】B

41

【分析】令。+2/?=々+〃+6+1—1,用a+/?+/?+1分另ij乘----+-=1两边再用均值不等式求解即可.

a+bb+1

4]

【详解】因为一-+-=1,且〃力为正实数

a+bb+1

771/77八/4I..a+b4(Z?+l)1

所以Q+Z?+8+1=(Q+Z?+8+1)(----1----)=4H-----1--------+1

a+bb+\Z?+la+b

>5+2l—x^^=9,当且仅当誉=险乎即a=6+2时等号成立.

VZ?+la+bb+la+b

所以a+2Z?+l29,a+2Z?28.

故选:B.

5.关于X的不等式痛2_如+根+l>0恒成立，则加的取值范围为()

A.(0,+oo)B.[0,+8)

C.(-8,-1)U(0,+8)D.E-gU。，+0

【答案】B

【分析】通过讨论m的范围，结合二次函数的性质求出加的范围即可.

【详解】解：机=0时，1>0成立，

fm>0

机。0时，].24/1、C，

=m-4m(m+1)<0

故机>0,

综上：m..0,

故选:B.

6.若命题〃正式―1,3],打2_（2，—l）x+3—a<0〃为假命题，则实数x的取值范围为（）

A.[-1,4]B.0,|C.[-l,0]U|,4D,[-l,0）U^|,4

【答案】C

【分析】等价于"V。e[―1,3],依~—（2a—l）x+3—。2。”为真命题.令g（a）=（尤2—2x—1）。+w+32。，解不

g(-D>0

等式即得解.

g(3)>0

【详解】解：命题“三”€[—1,3],依2—（2。-1）尤+3—。<0"为假命题，其否定为真命题,

即“Voe[—l,3],a?—(2a—1)尤+3—a20”为真命题.

令g(a)=ax2-lax+x+3-fl=(x2-2.x-l)a+x+3>0,

则卜㈠后。，即一+4一

[g⑶20[3x2-5x>0

-l<x<4「

解得5Tn，所以实数X的取值范围为[-l，0]UI，4

x>-^x<03

13

故选：C

二、多选题

7.已知a,b,c£R,下列命题为真命题的是（）

A.若av方<0,贝!J/vahv/B.若〃>力，贝！

C.若ac?>be1,则D.若b<a<0,则

ab

【答案】BCD

【分析】利用作差法可知A、D正误；由不等式性质知B、C正确.

【详解】对于A,当avbv。时，a2-ab=a^a-b）>Q,：.a2>ab,A错误；

对于B,若当c=0时，则若。。。，则，>。，则有。，〉历2,B正确;

对于C,ac2>be2,则/wo,二。〉。，C正确；

对于D,当0>a>〃时，--y=<0,D正确.

ababab

故选：BCD.

8.2022年1月，在世界田联公布的2022赛季首期各项世界排名中，我国一运动员以1325分排名男子100

米世界第八名，极大地激励了学生对百米赛跑的热爱.甲、乙、丙三名学生同时参加了一次百米赛跑，所

用时间（单位：秒）分别为（，T2,T3.甲有一半的时间以速度（单位：米/秒）匕奔跑，另一半的时间以

速度匕奔跑；乙全程以速度后%奔跑；丙有一半的路程以速度匕奔跑，另一半的路程以速度匕奔跑.其中

匕>0,K>0.则下列结论中一定成立的是（）

A.T1<T2<T3B.TX>T2>T3

,111

c.T?3=T；D.—+—=y

【答案】AC

【分析】首先利用时间和速度的关系表示三人的时间，再利用不等式的关系，结合选项，比较大小，即可

判断选项.

11r=_122_丁wo心=型+3a

【详解】由题意彳工乂+:?7；%=10。，所以1匕+匕，（=方丁，h%2匕匕,

22h+K

根据基本不等式可知乂芋2师上言乎>0,故当且仅当乂=%时等号全部成立，故A选

项正确，B选项错误；

100100_100\2K+K

12匕匕一MX一2，故c选项正确;1।1=F~1乂+匕，,此=1，故D选项错误.

2Vt+V2Z£-100100100-T?

故选：AC.

9.下列说法正确的有（）

A."a>旷是"同>网"的充分不必要条件

B.命题“*eR,V—尤-2=0"的否定是"VxeR,%2—x—2^0"

C.若命题"VxeR,Y+l〉”?."是真命题，则实数加的取值范围是（Y°,1）

D.设a,6eR,贝〃而+l/a+6”的充要条件是"a,6都不为1”

【答案】BCD

【分析】根据充分必要条件的定义判断AD、命题的否定的定义B,由不等式恒成立判断C.

【详解】a>b,可取a=0,b=T,此时时<同，

吃°>旷不是"|。|>网”的充分条件,A错.

命题“HxeR,X2-X-2=0",否定"VxeR,x2—x-2w0”,B对.

命题“V无£尺，/+1>m〃是真命题，回1>机，C对.

若ab+lwa+Z?,KPab+l—a—b^Q,即(a—l)(b—1)wO,

贝Ijawl,bwl,充分.

若awl,bwl,贝!J(a-l)。-l)wO,贝！J1+而wa+〃，必要，

团〃必+lwa+人是“a,6都为1〃的充要条件，D对.

故选：BCD.

三、填空题

10.给出以下4个说法：①已知a,b是正实数，^a2-b2=l,则。一6<1;②若无>2,则X+122；③

X

若a>b,c<Q9贝!|—〉一；(J)若％2—XH—>0,贝(jX£R.

ab4

其中正确的说法是(填序号).

【答案】①②

【分析】根据不等式的性质判断各个命题.

22

【详角星】a-b=(a+b)(a-b)=lf因为a>O,b>。，所以a+Z?>0,从而a-b>0,即a>b>0,

a+b>a-b>0,所以a+Z?>l>a-b>0,①正确；

若x>2,贝I]九+'之=2,②正确；

xVx

若a>b,c<0,例如。=2*=-4,c=-8,<-=-4<-=2,不成立，③错；

abab

x2—尤+；=,只有xwg时，才有Y-x+；=[x-g]>0,④错.

故答案为：①②

【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键.在基本不等式/+及22仍中，如果疝b,

此不等式仍然成立，只是等号取不到.

11.命题”HxwR,ax。+依+2<0"为假命题，则实数a的取值范围是.

【答案】[0,8]

【分析】写出原命题的否定，再利用二次型不等式恒成立求解作答.

【详解】因命题“玉wR,加+依+2<0〃为假命题，贝!J命题"Vx^R,办2+依+220"为真命题,

当〃=0时，2^0恒成立，则4=0,

4>0

当awO时，必有，解得0<aK8,

△=/一8。<0

所以实数。的取值范围是[。,8].

故答案为：[0,8]

12.设a,b>Q,且2G+b=l，则£的最小值为___________1

b

【答案】0

【分析】由题可得.=代入£,结合均值不等式即可得出答案.

4b

【详解】因为2&+b=l,所以〃=[—\1：=色?，

所以f=

b4b44Z?2

当且仅当。=。力=1时取等.

所叫的最小值为0.

故答案为：0.

四、解答题

ab,2

13.若。力£（0+8）,则----------1----------K——

2a+ba+2b3

⑴若存在常数也使得不等式』+八<”<—十上对任意正数匕恒成立,试求常数〃的

ab

值，并证明不等式:M<------------1------------

a+2b2a+b

ab,ab

⑵证明不等式:-----------1----------V-----------1----------

3a+2b2a+3b2a+3b3a+2b

2

【答案】证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）令a=6即可求解“，利用不等式性质即可证明不等式；（2）从原不等式入手，对原不等式变形,

通过分类讨论。与b之间的大小关系即可证明.

222

【详解】证明：⑴当。=6时，<—,故M="

ab(a+26)-26(2。+6)-2aZ?aab2

由----------1----------=--------------------1--------------------=2-2(-----------1----------)且------------1------------<一,

a+2b2a+ba+2b2a+ba+2b2a+bf2a+ba+2b3

利用不等式性质可得，

3a+2b2a+b

abjab

3a+2b2Q+3b2a+3b3a+2b

只需证明」-------<—--------,即士也4士也，

3a+2Z?3a+2b2a+3Z?2Q+3b3a+2b2a+3b

①当“=匕时，显然不等式卢2V产当成立，

3a+2b2a+3b

②当而％时，不妨令。>>，即。一8>0,a~b<a~b^3a+2b>2a+3b,

3a+2Z?2。+3b

由于,显然3〃+2Z?22a+3Z?成立，

故原不等式上+上“表r上成立;

b/a、b小5一

同理，当。〈匕时，原不等式#7r+------<------+------也成工

3a+2b2a+3b2a+3b3a+2b

a、b,a、b

综上所述，对于任意。，be(0+8),----------1----------&-----------1----------均成_yL.

3a+2b2a+3b2a+3b3Q+lb

14.(1)比较d与炉—、+i的大小;

（2）已知a>b>c,且〃+Z?+c=0,

c

①求证:>----.

a—cb-c

②求工的取值范围.

a

【答案】(1)当x=l时，x>=x2-x+l,当x>l时，x)>x2-x+l,当尤<1时，^<x2-x+l;①证明详

见解析；②-2<—<0.

a

【分析】(1)对两式作差，然后因式分解并分X=l,X>1,X<1三种情况讨论，即可求解;

(2)①由a>"c且a+6+c=0,可得c<0,再结合不等式的基本性质，即可求解；

②由题意，有。>0,c<0,又2=-£-1<1即可求解.

aa

【详解】解：(1)~(-^2—+1)=(x3—X2)+(x—1)=(x2+l)(x—1),

当％=1时，（/+1）（冗一1）=0,故%3=f—%+1,

当了>1时，（%2+1）（x一1）>0,故%3>%2一次+],

当XV1时，（%2+1）（工-1）<0,故％3<%2—%+］；

（2）①证明：・.,Q>b>c且a+/?+c=0,

c<0,

*：a>b>c,

.\a-c>b-c>0,两边取倒数得」一<「一，

a-cb-c

又c<0,

•*----->----，从而得证.

a-cb-c

②,.,々>人>。且〃+b+c=O,

.\a>Q,c<0,

ch

所以£<o,-<i,

aa

hchc

因为a+/?+c=O,所以l+2+£=0,即2=—上一1,

aaaa

所以-即£>-2,

aa

综上，—2<—<0.

a

15.已知集合A={x|—%2+3%+4之。},B=x2-3x-10>0^

⑴求钎，(”)C5

⑵若集合。={%|2根<%<加+1},>3xeC,尤wA为假命题.求加的取值范围.

[答案]⑴④5={%卜2K%«5}；(aA)cB={4v<_2或x>5}；

⑵机4一2或机21.

【分析】(1)利用二次不等式的解法可化简集合4B,进而即得；

(2)由题可得也EC,xeA为真命题，即AcC=0,然后分C=0,Cw0讨论即得.

(1)

团集合A=^x\-x2+3x+4>0^={x|-l<x<4),

5=同%2_3%-10)。}={小v-2或尤>5},

团条3={%]-2<%«5},=v-1或x>4},

团A)c5={%]]<—2或1>5}；

(2)

03x€G无wA为倨(命题，

SV^GC,xeA为真命题，即AcC=0,

又C={X|2mvxvm+1},A={x|—lWxW4},

当C=0时，2根2m+1,即加N/,AnC=0；

当Cw0时，由AcC=0可得，

f2m<m+l、（2m<m+1

|m+l<—1，4'

解得m<-2,

综上，冽的取值范围为机（-2或机Nl.

16.（1）若不等式/+依+120对于一切X£成立，求。的范围；

（2）不等式%2_2依+々+24。的解集为若M=求实数。的取值范围.

【答案】（1）（2）^-1,—•

【分析】（1）由题意可得-aWx+工对于一切xJo，M恒成立，结合对勾函数的单调性得出。的范围；

（2）有两种情况：其一是M=0,此时/<0；其二是河蛊,此时△=（）或△>（）,分三种情况

计算a的取值范围，再取并集，即得所求.

【详解】（1）解：不等式/+办+120对于一切恒成立，即有-a4x+工对于一切xe（0，!]恒成立.

12」xI2」

由于对勾函数y=x+!在（0，1]上递减，所以当尤=1时，y有最小值为!■,

x12」22

则有-。4|,解得故a的取值范围为。上一生；

（2）设/（x）=/-2ax+a+2,有A=（-2。）?-4（。+2）=4（/一。一2）.

①当/<0时，-lva<2,M=0c[l,4]

②当A=0时，a=—l或2.

若a=T时，-le[l,4],故舍去.

若。=2时，M?={2}G[1,4].

③当△>（）时，有。<-1或。>2.

设方程f（x）=。的两根为4，巧，且不<电，那么”=[%,尤2]

由Ma[1,4]可得1WX]<%V4,

/(1)>0

/(4)>0

故应有/(1)>0,/(4)N0,且/(%)的对称轴x=ae[l,4],即《

1<«<4

A>0

3-(2>0

18