高二年级下册期中数学试卷（巩固篇）解析版-2024-2025学年高二数学（人教A版选择性必修第三册）

2024-2025学年高二下学期期中数学试卷(巩固篇)

参考答案与试题解析

第I卷(选择题)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.(5分)下列说法中不正确的是()

A.若随机变量X〜N(l,02),P(X<4)=0.79,则P(X<—2)=0.21

B.若随机变量X〜则期望E(X)=¥

a7

C.已知随机变量X的分布列为P(X=i)=证而(i=l,2,3),则p(x=2)=g

D.从3名男生，2名女生中选取2人，则其中至少有一名女生的概率为看

【解题思路】根据正态分布的性质判断A,根据二项分布的期望公式判断B,根据分布列的性质求出a,即

可判断C,根据古典概型的概率公式判断D.

【解答过程】对于A：随机变量X〜N(l"2)且p(x<4)=0.79,

则P(X<-2)=P(X>4)=1-P(X<4)=0.21,故A正确；

对于B：随机变量X〜则期望E(X)=10xg=与,故B正确；

对于C：因为P(X=0==1,2,3),所以P(X=1)=],P(X=2)=S，p(x=3)=最,

所以]+2+工=1,解得a=g,所以P(X=2)=j故C错误；

对于D：从3名男生，2名女生中选取2人，则其中至少有一名女生的概率「=小詈=看，故D正确；

故选：C.

2.(5分)(x—y)(x+y)4的展开式中的系数为()

A.-1B.-2C.-3D.4

【解题思路】根据第一个括号内取项情况分两类，利用通项求相应项系数再合并即可得.

【解答过程】(％+丫/二项展开式的通项为九+1=C枭4-kyk(k=o,l,2,3,4),

要得到/,项，有两类方法：

第一类：当(x-y)中取X项时，则需(％+y)4展开式中的%y3项与之相乘，

由4-k=l得，k=3,即74=髭移3,则/y3系数为髭=4；

第二类：当(x-y)中取-y项时，则需(x+y)4展开式中的%2y2项与之相乘，

由4一k=2得，k=2,即73=C%2y2,则/y3项的系数为-鬣=-6;

综上可知，展开式中Ny3的系数为-6+4=-2.

故选：B.

3.(5分)某中学派6名教师到/,B,C,D,E五个山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安

排一名教师前去支教.学校考虑到教师甲的家乡在山区/,决定派教师甲到山区，，同时考虑到教师乙与丙

为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有()

A.360种B.336种C.216种D.120种

【解题思路】对山区4的派发人数分类，若派到山区2只有甲，剩下教师按人数分组以后计算种数，再减去

乙丙教师安排到同一山区的种数，即可得山区4只派甲的情况的种数，进而求出总的情况数量.

【解答过程】若派到山区力有2人，则不同的派法有Ag=120种；

若派到山区4只有甲，先把其余5人分为四组，每组人数分别为再将四组教师分配到B,C,D,E四个山

区，不同派法有量Af=240种,

其中乙和丙安排到同一山区的情况有A》=24种，所以派到山区4只有甲的派法有240-24=216种；

所以不同的派法共有120+216=336种.

故选：B.

4.(5分)已知直线y=k久+6既是曲线y=Inx的切线，也是曲线y=-ln(-久)的切线，则()

A.k=~e,b—0B.k=1,b—0

C.k=-e,b=-1D.fc=1,b=-1

【解题思路】设出切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可.

【解答过程】设直线与曲线y=Inx的切点为(Xi,lnxi)且X1>0,

与曲线y=-ln(-x)的切点为(%2，Tn(-X2))且<0,

11

又y=(\nxy=y=[-in(-%)]=

则直线y=kx+b与曲线y=In%的切线方程为y-lmq=，即y=《％+Imq-l,

ii

直线y=kx+b与曲线y=-ln(-%)的切线方程为y+ln(-%2)=(x-x2)»即y=-々+l-ln(-x2)，

则上羽二、，解得｛J，二：e，故k=M=[b=ln%i-l=。，

[lnxi-1=l-ln(-x2)i%2-e巧e

故选：A.

5.（5分）设4B是一个随机试验中的两个事件，且2（4）='P（B）=*PQ+瓦）=,则（）

A.P（B|4）=：B.PQ后）=2

C.P（X）=P®4）D.P^AB4-XF）=

【解题思路】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得.

【解答过程】因为P（4）=g,P（B）=*则P（3）=1-P（B）=，

又P（4+豆）=PQ4）+P（百）一P（月豆），即：=!+P（4月），

所以p（a瓦）=5,故B错误；

•­•PQ4B）+P（4R）=P（4）,P（AB）+*=a•,•PQ4B）=p

■•.P（F|X）=^7^-=t=7>故A错误；

_1

。（a4）=需=?=±。（百）="，"（阴4）=PG），故C正确.

因为P（4豆+AB）=P（4豆）+P（AB）=*+P（ZB），

P（B）=P（AB）+P（AB），.q=；+P（AB），.奴而）=

■•-P（AB+AB）='+六卷，故D错误.

故选：C.

6.（5分）定义在（0,勺上的函数/（%）,「（%）是/Q）的导函数，且「Q）〈一tan久"（%）成立，a=2/g）,

b=V2f（^）,°=竽虑），则a,b,c的大小关系为（）

A.b>a>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c

【解题思路】由条件可得r（x）+tanx"（x）<0,构造函数久久）=瞿，利用导数判断函数g（x）的单调性,

比较函数值的大小即可.

【解答过程】因为xe（oq）时，cosx>0,

所以广（%）<-tan%"（%）可化为（（%）+tanx-/（x）<0,

设g（x）=SS，xe（°，5

[H||—（，（%）Y—f'QQcos久+fQQsin;v_/QO+tan#/。）八

人J9-IcosJ-coS2x—cosx<5

所以函数g(x)在(03)上的单调递减，

因猊ww所以g⑵＞这)＞陪),

所以笑＞笑＞里即争物何。＞2照),

643

所以c＞b＞a.

故选：B.

7.(5分)不透明口袋中有几个相同的黑色小球和红色、白色、蓝色的小球各1个，从中任取4个小球，§表

示当n=2时取出黑球的数目，77表示当ri=3时取出黑球的数目，则下列结论中成立的是()

A.E⑹＜E⑺皿9＜D(〃)B.E(f)＞E⑺,。⑹＜。⑺

C.E(f)〈伙初0痣)＞。⑺D.E(f)＞穴初D&)＞。⑺

【解题思路】当n=2时，f的可能取值为1,2,分别求出相应的概率，进而求出期望和方差；当九=3时，〃

可取1,2,3,分别求出相应的概率，进而求出期望和方差，再比较即可得解得.

【解答过程】当几=2时，忑的可能取值为1,2,

Pa=l)=^=l，。(毛=2)=等=|,

因此E(f)=lx|+2x|=*。⑹=5x|+《x|=£；

当:n=3时，〃的可能取值为1,2,3,

"〃=1)=等=(,P(4=2)=誓=|,P5=3)=震=",

1211?1?

因止匕=1x-+2x-+3x-=2,D(〃)=1x-+0x-+1x-=

所以E(f)VE⑺,D⑹VD⑺.

故选：A.

8.(5分)已知函数,若函数y=/(X)—依有且只有3个零点，则实数k的取值范围

为()

A.(04)B.g,l)C.(1,+8)D.g,l)

【解题思路】根据题意，得到X=。是y=质的一个零点，转化为X＞0和X＜。时，分别有一个零点，

分类讨论，结合二次函数的性质，以及利用导数的几何意义，即可求解.

【解答过程】解：由函数久久)=[/若y=/(*)—依有且只有3个零点，

当％=0时，可得/(0)=Ini=0,可得％=0是y=/(%)-质的一个零点，

-1-1-1

当％<0时，由-％2+产=k％,可得久二万一々V0,解得k〉］；

当久>0时，f(x)=ln(x+1),可得((x)=W，可得/(0)=1，

要使得函数y=/(x)-kx在x>0上有一个零点，

即函数y=/(%)与y=kx的图象有一个公共点，则满足0<k<1,

综上可得：1<fc<l,即函数f(x)-丘有三个零点时，实数k的范围为&1)

故选：B.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.(6分)己知(%-今)"的展开式的第2项与第3项系数的和为3,则()

A.n=8

B.展开式的各项系数的和为击

C.展开式的各二项式系数的和为256

D.展开式的常数项为第5项

【解题思路】应用的展开式的通项公式结合题意求出n,再利用通项公式研究常数项：由乂=1可求

展开式的各项系数的和；由二项式系数性质可求展开式的各二项式系数的和.

【解答过程】解：因为(%-击)"的展开式的通项公式为Tr+l=CX-(-f=(一万C常Vr,

(丁=0,1,…刀),

所以(号)第+(-/鬣=3,即一%三=3,

解得九=8(九=一3舍去)，故A正确；

1r

所以77+i=（一］）C6%8—2r（丁=0,1,.,九），

当8-2r=0,即r=4时门为常数项，故D正确;

所以(%—A)-展开式的各项系数的和为(1-=短，故B错误；

所以(%—5)8展开式的各二项式系数的和为28=256,故C正确.

故选：ACD.

10.(6分)下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉,

小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次

碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1,2,

3,6,用X表示小球落入格子的号码，则()

A.P(X=1)=P(X=6)=*B.E(X)=|

35

c.D(X)=5D.D(x)=-

【解题思路】设y=x-1,分析出丫〜B(5,3,从而求出x的可能取值及相应的概率，求出期望和方差，得到

正确答案.

【解答过程】设4=“向右下落”，则彳=“向左下落”，且PQ4)=P(a)=，

设y=x-i,因为小球在下落过程中共碰撞5次，所以丫〜B(5,9，

于是P(y=k)=P(X=k+1)=Cg(|)k(l-|)5"fc=C貂7(Ze=0,123,4,5).

所以P(X=l)=P(X=6)=(^G)5=aA正确；

P(X=2)=P(X=5)=cX/=*

。侬=3)=25=4)=以)=0，

17

所以E(X)=E(Y+1)=E(y)+l=5x-+l=-,B错误；

D(X)=£>(r+l)=D(r)=5x|x(l-l)=pC错误，D正确

故选：AD.

11.(6分)己知函数/(久)=川一3%+2,则()

A./(X)有两个极值点B.f(x)有三个零点

C•点(0,2)是曲线丫=/(比)的对称中心D.过点(0,2)可作曲线y=/(x)的一条切线

【解题思路】利用导数分析函数八久)的单调性和极值，结合零点存在定理可判断A,B选项，利用函数对称

性的定义可判断C选项，利用导函数的几何意义可判断D选项.

【解答过程】因为函数/1(X)=炉一3x+2,所以尸(x)=3/-3=3(x-l)(x+1),

令广(久)=0，解得：x=±1,

当％<-1或%>1时,/'(x)>0,则/'(%)的单调增区间为(-8,-1),(1,+8),

当—1<X<1时，尸(x)<0,则/(x)的单调减区间为(—1,1),

故当％=-1为函数的极大值点，极大值为f(-1)=4,当x=l为函数的极小值点，极小值为『(1)=0,故A

正确；

当Xf+8时，/■(%)—+8,当久T-8时，/(%)->-00,则/'(X)的图象如下:

所以f(x)有2个零点，故B错误：

对任意xeR,/(-%)+/(%)=(-x3+3x+2)+(x3-3x+2)=4,所以点(0,2)是曲线y=的对称中心,

故C正确；

因为f(0)=2,r(x)=3/_3,则r(0)=-3,所以切线方程为：y-2=-3x,即y=-3x+2,所以过点(0,2)

可作曲线y=f(x)的一条切线；

故选：ACD.

第n卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)已知随机变量X服从N(l,o2),若P(X<0.5)=0.2,贝|P(0.54X41,5)=一败_.

【解题思路】根据正态分布性质求概率.

【解答过程】因为尸0<0.5)=02,及正态分布的对称性可得

P(0.5<X<1,5)=2P(0,5<X<1)=2x(0.5-0.2)=0.6.

故答案为：06

13.(5分)将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入下图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不

相同，则有一不同的涂色方法.

【解题思路】根据题意，分类讨论，①若夙。同色.②若8、。不同色，由分类加法原理，计算可得答案.

【解答过程】图中区域分别为4B,C,D,E,则分2类讨论，

①若B、D同色，先涂4方法有心种，再涂B、D,方法有最种，最后涂E、C,

共有禺Cl-4=48种不同方法.

②若B、。不同色，先涂4方法有《种，再涂B、D,方法有A反,

最后涂E、C只有1种方法，所以若8、。不同色时共有禺1=24种不同方法，

综上，所有的涂法共有48+24=72(种).

故答案为：72.

2x

14.(5分)已知函数/'(%)=-%2+口，5(x)=Xe,若对任意的冷e存在尤ie［-，2］使得/(/)=g

(久2)，则实数。的取值范围是—艮<a<4_.

【解题思路】结合导数和二次函数的性质可求出〃%)和9(%)的值域，结合已知条件可得［0,e］£［a-4,a-)

从而可求出实数a的取值范围.

【解答过程】g(x)=Ne”的导函数为=2xex+x2ex=xex(x+2),当％=0时,g'(x)=0,

由时，g'(x)<0,x€(0,l］时，g'(x)>0,

可得g(W在［一1,0］上单调递减，在(0,1］上单调递增，

故g(x)在[一1,1]上的最小值为g(0)=0,最大值为g(l)=e,

所以对于任意的冷€[-1，1]，5(x2)e[0,e].

因为/'(x)=-%2+a开口向下，对称轴为y轴，

又卜!一°|<|2-0|，所以当x=0时，/(x)max=a,当x=2时，/'(x)min=。-4,

则函数/'(X)=-%2+&在[-(，2]上的值域为|0-4,可，

又因为存在/(%1)=。(冷).

由题意，#[0,e]£[a-4,a],

可得a-4W0<eWa,解得eWaW4.

故答案为：e<cz<4.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数.

(1)选其中5人排成一排；

(2)全体站成一排，男、女各站在一起；

(3)全体站成一排，男生不能站在一起；

(4)全体站成一排，男不站排头也不站排尾.

【解题思路】(1)(2)(3)(4)根据不同要求，依题意列出不同情况满足的排列组合的式子计算即可

得到方法种数.

【解答过程】(1)选其中5人排成一排，不同的排队方案有C%名=2520种.

(2)全体站成一排，男女各站一起，有A熟弘，=288种.

(3)全体站成一排，男生不能站在一起，有A抬《=1440种.

(4)全体站成一排，男不站排头也不站排尾，

选2女生排头和尾，其它5人作全排列，有人幺？=1440种.

16.(15分)为了解人们对环保的认知程度，某市为不同年龄和不同职业的人举办了一次环保知识竞赛，

满分100分.随机抽取的8人的得分为84,78,81,84,85,84,85,91.

(1)计算样本平均数土和样本方差s2；

(2)若这次环保知识竞赛的得分X服从正态分布N2),其中〃和广的估计值分别为样本平均数M和样本方差

s2,若按照15.87%,68.26%,13.59%,2.28%的比例将参赛者的竞赛成绩从低分到高分依次划分为参与奖、

二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线.(结果保留两位小数)(参考数据2旧=3.46)

附：若随机变量X服从正态分布N(〃,(j2),贝<7WXW〃+<7)=0.6826,

P(〃—2<r<X<fi+2。)~0.9544,P(〃—3cr<X<[i+3cr)~0.9974.

【解题思路】(1)根据题意，由平均数的计算公式和方差的计算公式，准确计算，即可求解；

(2)根据题意，得到该市所有参赛者的成绩X〜N(84,12),设竞赛成绩达到a及以上为特等奖，成绩达到b

但小于a为一等奖，成绩达到c但小于b为二等奖，成绩未达到c为参与奖，结合正态分布曲线的对称性质，

分别求得a力,c的值，即可得到结论.

【解答过程】(1)根据题意，由平均数的计算公式和方差的计算公式得：

_-1

数据的平均数为久=(x(84+78+81+84+85+84+85+91)=84,

数据的方差为s2=1x(0+36+9+0+1+0+1+49)=12.

(2)该市所有参赛者的成绩X近似服从正态分布X〜N(84,12),

设竞赛成绩达到a及以上为特等奖，成绩达到b但小于a为一等奖，

成绩达到c但小于b为二等奖，成绩未达到c为参与奖，

贝a)=2.28%,P(bWX<a)=13.59%,P(cWX<b)=68.26%,P(X<c)=15.87%.

因为且匕等殳丝型x2.28%,所以a=〃+2门90.92.

P(/i—2(j<X<fi+2ff')—P(<fj.—a<X<p,+(r')

因为-2-«13.59%,

所以b七〃+0七87.46,

因为尸(〃—0<X</z+cr)«0.6826,所以cx[i—o«80.54,

综上可得，分数小于80.54的为参与奖，分数大于或等于80.54且小于87.46的为二等奖，分数大于或等于

87.46且小于90.92的为一等奖，分数大于或等于90.92的为特等奖.

23*10

17.(15分)已知(2%—1)1°=a0+aIx+a2x+a3x+•••+a10x?xeR.

(1)求的的值；

(2)求Qi+做+。3T---+。10的值；

(3)求|a°|+|ai|+\a2\+…+laq的值.

lofefc

【解题思路】(1)利用二项式(2x—I)】。展开式的通项公式几+1=C^o(2x)-(-l)(O<k<10且keN)求

解；

(2)分别令刀=0,令无=1求解；

(3)根据展开式的通项得到偶数项的系数为负数，令久=-1求解.

【解答过程】(1)二项式展开式的通项为：九+1=肾0(2%)1。-鼠—1次0wkw10且keN),

所以78=C；o(2%)3(—1)7=-960%3,所以@3=-960.

(2)令第=0,得劭=1,

令％=1,得Q0+Qi+G,2+的+…+。10=(2—1)1°=1,

所以+敢+。3+…。10=0.

(3)因为展开式的通项为。+1=C5o(2x)lo-fc(-l)fc(O<k<10且kGN),

所以当k为奇数时，项的系数为负数.

所以|劭|+|。1|+|。2|+…=。0—+。2---+。10，

令％=—19得—+02—。3+…+=(—3)1°=31°,

10

kol+ki|+\a2\+-••+|aio|=3.

18.(17分)为了研究新高考数学多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两

项”的概率为表正确答案是“选三项”的概率为3.现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有

思路，只能靠猜.

(1)求三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率；

(2)学生甲的答题策略是“猜一个选项“，学生乙的答题策略是“猜两个选项”，(“选两项”全对得6分，选对一

个得3分，有错选得0分，“选三项”全对得6分，选对一个得2分，对两个得4分，有错选得0分)试分别

计算甲、乙两位同学得分的数学期望.

【解题思路】(1)利用组合数和概率乘法公式即可计算求解.

(2)甲得分的取值有0、2、3,分别计算各个取值的概率，即可根据数学期望定义公式计算求解甲同学得

分的数学期望；乙得分的取值有0、4、6,分别计算各个取值的概率，即可根据数学期望定义公式计算求解

甲同学得分的数学期望.

【解答过程】(1)由题得三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率为鬣6)3=(

(2)记甲同学答一道多选题得分为X,则X=0,2,3,

11113133111

P(X=0)=-x-+-x-=-;P(X=2)=-x-=i；P(X=3)=-x-=-)

所以甲同学得分的数学期望为E(X)=0xg+2x《+3x(=£=*

记乙同学答一道多选题得分为匕贝丹=0,4,6,

p(y=0)=|x+|x^|=|x(1-1)+|x|=|；p(y=：4)=|x^=|x|=i；p(y=6)=|x^=