高二年级下册期中数学试卷（提高篇）解析版-2024-2025学年高二数学（人教A版选择性必修第三册）

2024-2025学年高二下学期期中数学试卷(提高篇)

参考答案与试题解析

第I卷(选择题)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.(5分)下列说法中不正确的是()

A.若随机变量X〜N(l,02),P(X<4)=0.79,则P(X<—2)=0.21

B.若随机变量X〜则期望E(X)=¥

a7

C.已知随机变量X的分布列为P(X=i)=证而(i=l,2,3),则p(x=2)=g

D.从3名男生，2名女生中选取2人，则其中至少有一名女生的概率为看

【解题思路】根据正态分布的性质判断A,根据二项分布的期望公式判断B,根据分布列的性质求出a,即

可判断C,根据古典概型的概率公式判断D.

【解答过程】对于A：随机变量X〜N(l"2)且p(x<4)=0.79,

则P(X<-2)=P(X>4)=1—P(X<4)=0.21,故A正确；

对于B：随机变量X〜则期望E(X)=10xg=与,故B正确；

对于C：因为P(X=0==1,2,3),所以P(X=1)=],尸(X=2)=,p(x=3)=最,

所以]+2+工=1,解得a=g,所以P(X=2)=j故C错误；

对于D：从3名男生，2名女生中选取2人，则其中至少有一名女生的概率「=小詈=看，故D正确；

故选：C.

2.(5分)甲、乙等5人计划去上海、苏州及青岛三个城市调查农民工薪资情况.每个人只能去一个城市,

并且每个城市都要有人去，则不同的分配方案共有种数为()

A.150B.300C.450D.540

【解题思路】先分组再分配，结合排列组合即可求解.

【解答过程】把5人分组有两类情况：1:1:3和2:2:1.

先把5人按1:1:3分组，有量种分组方法，

按2:2:1分组，有甯种分组方法，

cr22

因此不同分组方法数为禺+第r,

八2

再把三组人安排到三个城市，有A?种方法，

所以不同分配方法种数是（髭+甯）Ag=（10+15）X6=150.

故选：A.

3.（5分）已知直线丁=k%+b既是曲线丫=e'的切线，也是曲线丫=-e—久的切线，贝!J（）

A.k=e,b=0B.k=l,b=0

C.k=e,b=-1D.fc=l,b=-1

【解题思路】曲线y=e、上的切点为。i，d】），曲线y=-e-上的切点为（%2，-已一外），由题意可得

{e%i-——e~X2-Xoe~X2—b'求解即可.

【解答过程】设曲线y=e、上的切点为。1£句），曲线y=—e-上的切点为（%2,—eT2）,

X1X2

e=e~=kX1-X2

%1(e=e=k

v(ex)z=ex,(—e-x)z=e-x,kxi+b=e=>teX1—%xeX1=­e~X2—xe~X2=b

X22

kx2+b=—e~

解得{b=0

fc=e'

故选：A.

4.（5分）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”.后人称其为“赵爽弦图”.如图，现提

供5种颜色给图中的5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同.记事件4“区域2

和区域4颜色不同”，事件8：“所有区域颜色均不相同”，贝〃（8|力）=（）

【解题思路】由已知，结合条件概率公式求解即可.

【解答过程】事件4“区域2和区域4颜色不同唧从5种颜色选出两种放入区域2和区域4,

再从剩余的3种颜色选出一种放入区域5,剩余的区域1和区域3分别都有两种选择，

即有A2禺禺6=240种，

48事件有第=120种,

所以P(BM)=e^=舒气，

故选：C.

5.(5分)已知/(%)=(2-%)8=的++。2%2+…+。8%8,则下列描述正确的是()

A.西+。2+…+。8=1

B./(—I)除以5所得的余数是1

8

C.|G1|+|a2|+-+|a8|=3

38—1

D.。2+。4+。6+。8=~2~

【解题思路】利用赋值法即可判断ACD,根据二项式展开式的通项即可求解B.

828

【解答过程】/(x)=(2-x)=a0+arx+a2x+...+a8x,

.•.令％=1,可得/(l)=劭+的+劭+…+。8=1，再令工=0,可得a()=28,

+。2+…+。8=1—=1—2®=-255,故A错误.

由于|劭|+|。1|+Itt21+…+Itt8b即(2+%)8展开式各项系数和系数和，

故|劭|+|@i|+|徇1+…+1为1=3%A\a±\+|即1+■■■+\as\=38—28,故C错误.

844432

由题意，/(-I)=3=9=(10-1)=C2-1O-CJO•10+C?o•10-C?0-10+1,

显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，/(-I)除以5所得的余数是1,故B正确.

因—CLQ+CL-^+0,2+…+CLQ—1,/(—1)—CZg—+。2一•a•+=3®

所以。0+。2+。4+。6+。8=?广,

所以。2+。4+。6+。8=?广-2%故D错误.

故选：B.

6.(5分)已知函数/(%)=cos%+e久，且。=/(2)、b=c=/(ln2),则a、b、c的大小关系()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

【解题思路】根据题意，求导得广(%)，即可得到/(%)在(0,+8)上单调递增，从而可比较函数值的大小关系.

【解答过程】由/(%)=cosx+e*可得4(%)=-sin%+ex,

当%>0时，「(第)=—sinx+ex>—sinx+1>0,

所以/(%)在(0,+8)上单调递增，

又(-1112=上詈=处/<0,所以(<ln2,

即(<ln2<2,则f@</(ln2)<f(2),

所以b<c<a.

故选：D.

7.(5分)不透明口袋中有n个相同的黑色小球和红色、白色、蓝色的小球各1个，从中任取4个小球，f表

示当律=2时取出黑球的数目，〃表示当n=3时取出黑球的数目，则下列结论中成立的是()

A-E⑹(伙磔刀仔尸0⑺B.E(f)>EQD(9<D⑺

C-E⑹⑹>Dg)D.%)>伙〃)网口>。8)

【解题思路】当n=2时，J的可能取值为1,2,分别求出相应的概率，进而求出期望和方差；当几=3时，〃

可取1,2,3,分别求出相应的概率，进而求出期望和方差，再比较即可得解得.

【解答过程】当兀=2时，。的可能取值为1,2,

Pg=l)-C4-pP(f=2)_C4-p

7QQQ74QA

因此E(f)=ixg+2X]m，%)=^xm+元X1元；

当n=3时，〃的可能取值为I,2,3,

PO7=1)=甯=",P(”=2)=管=|,05=3)=^=",

1al1312

因止匕E(〃)=lXg+2Xg+3Xg=2,D(??)=lx-+Ox-+lx-=-,

所以E(f)<ES),D(f)<0(77).

故选：A.

8.(5分)设函数〃>)=[ax—On+l)eX](ax—Inx)(其中e为自然对数的底数)，若存在实数。使得/(久)

<0恒成立，则实数”的取值范围是()

A.-1,+8)B.(—1,+8)C.(e?-1,+8)D.(-oo;——1)

【解题思路】由题意可得<0等价于[a—⑺+等)<0,

令g(x)=W，/i(x)=(?«+1)亍，函数y=。(久))和函数y=h(x)的图象，一个在直线y=a的上方，一个在直线

y=a的下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，即可得出答案.

【解答过程】函数/(%)的定义域为(0,+oo),由/(%)V0得[a%—(m+l)ex](ax—Inx)<0,

所以[a-(TH+等)<0.令9(%)=等附%)=(m+1)亍，

由题意得，函数y=g(%)和函数y=九(久)的图象，一个在直线y=a的上方，一个在直线y=a的下方，等价

于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，

由g(x)=等(x>o)得g'O)=

所以当xe(0,e)时，g<x)>0,g(x)单调递增，当x€(e,+8)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

所以g(x)max=9(e)=詈=|>g(x)无最小值，

由h(x)=(m+1)^(尤>0)得，"(X)=。"+"：2tAO'

若爪+1<0时，当x6(0,1)时，/iz(%)>0,九(乃单调递增，当x6(1,+8)时，h'(x)<0,h(x)单调递减，所

以八(久)有最大值，无最小值，不合题意，

若m+1>0时，当％6(1,+8)时，h.'(x)>0,h(x)单调递增，当时刀6(0,1),h'(x)<0,/i(x)单调递减，所

以八(%)min=八⑴=(巾+l)e,则由九⑴>g(e)即(m+l)e>|■且m+1>0,得m>»l.

故选：A.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.(6分)甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照留念，下列结论正确的是()

A.站成一排不同的站法共有120种

B.若甲和乙不相邻，则不同的站法共有36种

C.若甲站在最中间，则不同的站法共有24种

D.若甲不站排头，且乙不站排尾，则不同的站法共有78种

【解题思路】由排列组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理及分类加法计数原理及不相邻问题插空

法逐一判断即可.

【解答过程】对于A,甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，不同的站队方式共有Ag=120种，A正确；

对于B,甲和乙不相邻的站队方式有A达％=72种，B不正确；

对于C,甲在最中间的不同的站队方式有A》=24种，C正确；

对于D,若甲站排尾，则乙与其余三人可任意排，此时的排法数为A才种；

若甲不站排尾，则先从中间3个位置中选一个给甲，再从除排尾的剩余的3个位置中选一个给乙，其余的

三个人任意排，则此时的排法数为禺段A郛中，

所以不同的站法有A今+CK必,=78种.

故选：ACD.

10.(6分)甲、乙两人进行趣味篮球对抗赛，约定比赛规则如下：每局比赛获胜的一方积1分，负者积0

分，无平局，积分首先达到3分的一方获得最终胜利，比赛结束.若甲每局比赛获胜的概率为|,且每局比

赛相互独立，X表示比赛结束时两人的积分之和，则()

A.X服从二项分布

B.P(X=3)=：

C.比赛结束时，甲、乙的积分之比为3:1的概率为卷

D.随机变量X的数学期望为嘿

【解题思路】利用二项分布的特征判断A；计算概率判断BC；求出分布列及期望判断D.

【解答过程】对于A,X的可能取值为3,4,5,而二项分布的随机变量取值是从0开始的连续自然数，

因此X不服从二项分布，A错误；

对于B,X=3表示比赛结束时，赛了3局，要么是甲胜3局，要么是乙胜3局，

73-131

因此P(X=3)=(|)+(1)B正确；

对于C,比赛结束时，甲、乙的积分之比为3:1,则甲乙共赛4局，第4局甲胜，前3局甲输1局，

概率为髭(|)2'江|=捺，C正确；

对于D,P(X=3)=iP(X=4)=C|(|)2xix|+Ci(1)2x|xi=^

P(X=5)=C1(|)2X(|)2=^,E(X)=3X《+4X甥+5X^=^,D正确.

故选：BCD.

11.(6分)已知函数/(%)=a%3_6Q%2+1(Qw0)有且仅有三个不同的零点分别为％则()

A.a的范围是(一8,*)B.a的范围是(±,+8)

C.=一1D.+%2+%3=6

【解题思路】求出((%),分a<0、a>0讨论，利用导数求出极值可判断AB；利用/(%)=a(x-x1)(x-x2)

32

(%—x3)=ccx-6ax+1可判断CD.

【解答过程】/'(久)=3ax2-12ax=3ax(x-4)(aW0),

令尸(久)=。,解得%=°或％=4,

当a<0时，

当xE(4,+8)时,广(%)<0,/(%)单调递减，

当％6(-8,0)时,广(%)<0,/(%)单调递减，

当xe(0,4)时，f(x)>0,f(x)单调递增，

所以f(0)极小值=1>0，f(4)极大值=64a—96a+1=1-32a>0,

此时函数/(x)只有一个零点，不符合题意；

当a>0时，

当％6(4,+8)时，f(%)>0,/(x)单调递增，

当X6(-8,0)时，f'(x)>0,f(x)单调递增,

当％6(0,4)时，［(x)<0,f(x)单调递减，f(0)极大值=1>。，

要使/CO有三个不同的零点，则

1

/(4)极小值=64。-96。+1=1—32。<0,解得a>豆，故A错误，B正确；

因为函数/(%)=ax3-6ax2+l(aH0)有且仅有三个不同的零点分别为％1加,%3，

则/(%)=1)(%-%2)(%-%3)

3

=ax—a(x1+%2+%3)久2+a(%i%3++%2%3)%—

=ax3—6ax2+1

艮|3有一a%l%2%3=1，+%2+%3=6,%i%3+%1%2+X2X3=。，

故C错误，D正确.

故选：BD.

第n卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

320

12.(5分)已知a=1+C%2+嗡22+^02+…+C^2,则a被10除所得的余数为1.

【解题思路】首先利用二项式定理化简a,再将a写成。=32。=91。=(10-1)1。，再利用二项式定理的展开

式，即可求解.

2202020

【解答过程】a=C%2°+%2+C|02+%23+...+C^2=(1+2)=3,

10101098

a=320=9=(10-1)=10-Ci0xIO+C？ox10-...-C?0x10+1,

987

=10(10-Ci0x10+岛x10-...-C?0)+1

所以a被10除所得的余数为1.

故答案为：1.

13.(5分)为了组建一支志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的

队长，设事件力为“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B为“抽取的3人中至少有一名女志愿者”，则

P(*B)=—五一

【解题思路】利用条件概率公式即可求解.

【解答过程】P(B)=l-f=||,P(AB)=譬詈=,=*

所以PQ4|8)=瑞：4馈

35

故答案为：1^.

14.(5分)设函数〃>)在R上存在导数广(久)，对于VxeR,有/(一久)+/(%)=尤2,且在(0,+8)上，恒有「(久)

—比<0.若有/(2—M)—/(et)>2—2eJ则实数t的取值范围为［0,+8).

【解题思路】令g(x)=/(x)-#,判断g(x)的奇偶性、单调性，再由/(et)N2—2/得g(2—et)2g

(e)利用g(x)的奇偶性、单调性求解即可.

【解答过程】令9(尤)=f(x)-52,XER,则g(x)+g(-x)=f(x)+=0,所以g(x)为奇函数，

又因为xe(0,+8)时，g'(x)=/,(x)-x<0,所以g(x)在(0,+8)上单调递减，

故g(x)在R上单调递减，

/(2_et)_/(et)=g(2-ety)+1(2—ec)2(e^_|(et)2-g(2—et)_g(et)+2-2ef>2-2et,

所以g(2—et)Ng(e>故2-eYel解得tNO,

即实数t的取值范围为［0,+oo),

故答案为：［0,+8).

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)若(1—2%)7=劭++•••+求：

(1)。］+0.2+…+07；

(2)|劭|+同+•••+\a7\.

【解题思路】(1)利用赋值法求出结果；

(2)去绝对值，再令第=-1即可.

727

【解答过程】(1)(1-2%)=劭+a1x+a2x+...+a7x,

令第=0,解得劭=1；

令汽=1,整理得。0++…+@7=-1，

故Q1+做+。3+…+。7=-2;

(2)令X=-1.可—+。2—。3+。4—。5+。6—。7=3，=2187,

(l-2x)7的展开式通项为几+1=Q.(-2x)k=Q-(-2)kxfe,则耿=G-(-2)k,

其中0WkW7且keN,

当k为偶数时，ak>0；当k为奇数时，ak<0.

所以|的|+|a1l+,,,+\a7\=a0-a[+a2-a?+04—05+a^-a-j=2187.

16.(15分)某芯片制造企业采用流水线的方式生产芯片.原有生产线生产某型号的芯片需要经过三道工

序，这三道工序互不影响.已知三道工序产生不合格产品的概率分别为春、士、士，三道工序均合格的产品

成为正品，否则成为次品.

(1)求该企业原有生产线的次品率；

(2)为了提高产量，该企业又引进一条新生产线加工同一型号的芯片，两条生产线生产出的芯片随机混放在

一起.已知新生产线的次品率为强，且新生产线的产量是原生产线产量的两倍.从混放的芯片中任取一个,

计算它是次品的概率.

【解题思路】(1)根据题意，利用独立事件的概率乘法，求得企业原有生产线的正品率Pi=冬，进而求得

该企业原有生产线的次品率；

(2)记“任取一个芯片来自原生产线”为事件4“任取一个芯片来自新生产线”为事件况记“任取一个芯片

是次品”为事件B,分别求得P(4),P(X),P(B\A),结合P(B)=P(a)P(BM)+P(Z)P(B|4),即可

求解.

【解答过程】⑴解：该企业原有生产线的正品率为Pi=(l-5)x(1—+)x(1—表)=系

所以该企业原有生产线的次品率为

p=1-P1=1-(1-4)X(1-表)X(1一』=1/X号X葛=言

(2)解：记“任取一个芯片来自原生产线”为事件4“任取一个芯片来自新生产线”为事件

记“任取一个芯片是次品”为事件B,

则P⑷P3)号,且P(BM)=。，P(B⑷=击，

__1oo17

所以P(B)=P(4)P(BM)+P(Z)P(B|&)=iX-+-x-=—.

即从混放的芯片中任取一个，它是次品的概率为2.

17.(15分)如图，从左到右有5个空格.

(1)若向这5个格子填入0,1,2,3,4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0,则一共有多

少不同的填法？(用数字作答)

(2)若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂

法？(用数字作答)

(3)若把这5个格子看成5个企业，现安排3名校长与5个企业洽谈，若每名校长与2家企业领导洽谈，每

家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有多少种(用数字作答).

【解题思路】(1)先将0排好，再排其他数字即可；

(2)先涂第一个格子，再涂第二个格子，依次进行，求出每步的方法种数，即可得解；

(3)法一：从5家企业中选一家，再从3位校长中选2位，再从剩下4家企业中选2家安排另外一位校长，

进而可得出答案.

法二：先将五家企业分为3份，再将这3份分给3位校长即可.

【解答过程】(1)分2步：①第三个格子不能填0,则0有4种选法；

②将其余的4个数字全排列安排在其他四个格子中有A》种情况，

则一共有4A才=96种不同的填法；

(2)根据题意，第一个格子有3种颜色可选，即有3种情况，

第二个格子与第一个格子的颜色不能相同，有2种颜色可选，即有2种情况，

同理可得：第三、四、五个格子都有2种情况，

则五个格子共有3x2x2x2x2=48种不同的涂法；

(3)法一：根据题意，有一家企业与2位校长谈，其余4家企业只与1位校长谈，

第1步：从5家企业中选一家玛，

第2步：从3位校长中选2位第，

第3步：从剩下4家企业中选2家安排另外一位校长鬣，

第4步：在第2步选中的两位校长，每位还要安排一家企业A*

因此有最鬣鬣A刍=180种.

法二：五家企业记为4,B,C,D,E,把这五家企业分为3份，

如(4B),(CD),(£•),

含有E的这一份要从B,C,。取一家组成2家，如取/得(旧4),

前面分三份会出现(4E),因此有登Cxg,

然后再分给3位校长Ag,

「212-i

因此总排法有甯-C|x|xAi=180#.

18.(17分)某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额(单位：百元)进行了调查，如

图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图.若将日销售额在[16,18)的加盟店评定为“四星

级”加盟店，日销售额在[18,20]的加盟店评定为“五星级”加盟店.

(1)根据上述调查结果，估计这50个加盟店日销售额的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间的中点

值为代表，结果精确到0.1);

(2)若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额X〜N(〃,6.25),其中〃近似为(1)中的样本平均数，根

据X的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数(结果精确到整数)；(参考数据：若X〜N

贝[jP®—awXW〃+<7)=0.6827,P(/2—2cr<X</J.+2a)~0.9545,3<r<X<^+3<r)

«0.9973.)

(3)该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取3

个，设y为抽取的“五星级”加盟店的个数，求丫的概率分布列与数学期望.

【解题思路】(1)由平均数和中位数的计算公式计算即可得出答案；

(2)由(1)知〃=13,(T=2.5,由正态分布的性质求出P(X>18)的概率，即可求出这600个加盟店中“五

星级”加盟店的个数；

(3)求出y的所有可能取值和每个变量对应的概率，即可求出Y的分布列，再由期望公式求出Y的数学

期望.

【解答过程】(1)由频率分布直方图得样本中日销售额为[6,8],(8,10],(10,12],(12,14].(14,16],

(16,18],(18,20]

的频率分别为0.08,0.10,0.20,0.24,0.20,0.12,0.06,

.•・估计这50个加盟店日销售额的平均数为：

7X0.08+9X0.10+11X0.20+13X0.24+15X0.20+17X0.12+19x0.06=12.96«13.0(百元).

■,-0.08+0.10+0.20<0.5,0.08+0.10+0.20+0.24>0.5,

.••中位数在(12,14]内，设中位数为x百元，

则0.08+0.10+0.20+0.12(久一12)=0.5,解得x=13.

.•・估计中位数为13百元.

(2)由(1)知〃=13,

,.”2=6.25,cr=2.5,

1—09545

；.P(X>18)=P(X>〃+2a)«；«0.023,

.•・估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数为600X0.023«14.

(3)由(1)得样本中“四星级”加盟店有50x0.12=6(个)，“五星级”加盟店有50x0.06=3(个)，

的所有可能取值为0,1,2,3,

Q一总20_5P/V八一姻4515

p(y=°)=磊=豆=五，p(y=D=&=丽=28,

r、C6C3183八C11

pD(ryv=2)=7f=^=五，「(丫=3)=磊=丽

.•.y的概率分布列为

Y0123

51531

P

21281484

S1431

・••E")=OX五+1X西+2X五+3X正=1.

19.(17分)已知函数/(%)+(q-i)%-]n%,aER.

⑴讨论/(%)的单调性;

(2)当a>0时，证明：/(%)>2-£；

_2

(3)若函数/0)=a*2f一/(幻有两个极值点X],比2(%1<X2<3))求FQ1)-5(尤2)的取值范围.

【解题思路】(1)求出函数f(x)的导数，再按aW0,a>0分类讨论导函数值大于0、小于0的解集.

(2)由(1)的信息，求出/(X)的最小值，再证明〃X)minN2弓，构造函数并利用导数证明不等式.

(3)求出函数尸(X)的导数，由极值点的意义求得％1+X2