第4章 指数函数与对数函数 章末测试（提升）（解析版）

第4章指数函数与对数函数章末测试（提升）

一、单选题（每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分）

1.（2022.全国•高一课时练习）下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（）

【解析】四个图像中，与x轴垂直的直线和图像只有一个交点，所以四个图像都表示函数的图像，

对于A,函数图像和x轴无交点，所以无零点，故错误；

对于B,D,函数图像和x轴有交点，函数均有零点，但它们均是不变号零点，因此都不能用二分法求零点;

对于C,函数图像是连续不断的，且函数图像与无轴有交点，并且其零点为变号零点.

故选：C.

2.（2022・全国•高一课时练习）若Iog23xlog36]〃xlog96=；,则实数机的值为（）

A.4B.6C.9D.12

【答案】A

（解析］：log23Xlog36mxlog96=譬X普9x黑

lg2lg36lg9

lg3Igmlg6Igm1,1

=-^-x——x——=----=—logm=—

lg221g621g341g24922'

log2m=2,m=4.

故选：A.

3.(2022•湖南•长沙一中高一期末)已知函数/(%)=-兀2+依-；(〃-以(a<i),g(%)=lnx.若

/(x)，/(x)>g(x)

力⑴=在(0,+8)上有三个零点，则a的取值范围为(

g(x),f(x)<g(x)

C.(0,1)D.

【答案】A

【解析】①当x=l时，因为g(l)=0,所以1为g(x)一个零点,

又〃1)=4一1一；(“一1)2,因为4<1,所以〃1)<0,

所以MD=g⑴=0,

所以1为万⑺的一个零点.

②当x>l时，g(无)>0,/z(x)>g(x)>0,

所以力⑺在(1,内)上无零点.

③当0<x<l时，g(x)<0,g(“在(0,1)上无零点,

所以/z(x).在(0,1)上的零点个数是〃尤)在(0,1)上的零点个数，

1919

因为〃0)=小T)<0，/(1)=«-1--(«-1)-<0.

函数/■(%)在(0,1)上有两个零点，即函数网力在(0.1)上有两个零点,

所以A=2o-l>0,0<1-<1,又a<l,

即;<a<l时，在(0,1)上有两个零点；

综上，a的取值范围为

故选：A.

4.(2022•全国•高一课时练习)已知函数〃x)=811nx--80的零点位于区间化人+1)内，则整数左=(

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】因为函数y=8Hnx与丫=一1]180在(0,+⑹上均为增函数,

所以函数/(%)在(o,+°°)上为增函数，

因为F(2)=811n2—83<0,/(3)=811n3-81>0,/(2)-/(3)<0,

所以函数的零点位于区间(2,3)内，故左=2.

故选：B.

5.(2022.全国.高一课时练习)设函数〃尤)的定义域为R,满足〃x+l)=2/(x),且当xe(0,l]时,

Q

/(x)=x(x-l).若对任意xe(yo,〃z],都有则机的取值范围是()

B.

D.卜；

【答案】B

【角军析】当一1<X40时，0<%+1<1,则尤)=；/(x+l)=g(尤+1)尤；

当1<%<2时，0<x—lWl,则〃x)=2〃x-l)=2(x—l)(x-2)；

当2<尤43时，0<x-2<l,则〃X)=2/(X—1)=22〃X-2)=22(X-2)(X-3),……由此可得

2(x+l)x,-1<x<0,

x(x-l),0<x<1,由此作出函数/(力的图象，如图所示.

2(x-l)(x-2),l<x<2,

22(X-2)(X-3),2<X<3,

Q7Q

由图可知当2<x«3时，令22(%—2)(%—3)=—1,整理，得(3x—7)(3%—8)=0,解得x或%=|,将这

两个值标注在图中.要使对任意,向都有/(尤)》-§,必有根4鼠即实数小的取值范围是卜哈§

故选：B.

y

6.（2022・全国•高一课时练习）已知七，4,当分别为方程才=log；x,QJ=log2%,dog）的根,

则X1,巧，鼻的大小关系为（）

A.芭<忍<%2B.xY<x2<x3C.工3＜玉〈入2D.兀3＜%2＜玉

【答案】A

【解析】在同一直角坐标系中作出函数y=2，，y＞=1082彳和〉=1081》的大致图像，如图所示.

2

由函数＞=2工与＞=10§1x图像的交点的横坐标为xr

2

函数y=[g]与y=log2X图像的交点的横坐标为X],

函数y=[[与y=l°g；X图像的交点的横坐标为工，知当＜三＜x2.

故选：A.

7.（2022.全国•高一专题练习）已知函数〃彳）="二，g（x）=log2尤+。，若存在占＜3,4],对任意%e[4,8],

X

使得/（西）2g（龙2），则实数°的取值范围是（）

A-口B.［不+刃C.^0,-JD.（1,4）

【答案】A

【解析】由题意知：/（x）在［3,4］上的最大值大于或等于g（x）在［4,8］上的最大值即可.

当xe［3,4］时，/（X）=^+x,

由对勾函数的性质得：AM在［3,4］上单调递增，故y（x）1nslt=〃4）=卷+4=苧.

当xe［4,8］时，g（x）=log2X+a单调递增，贝ljg（x）a=8⑻Tog?8+。=3+。，

所以f23+a,可得

44

故选：A

8.（2022・全国•高一课时练习）函数〃同=1。82（3'+1）的反函数,=尸（力的定义域为（）

A.(1,+(»)B.[0,+(»)

C.（0,+s）D.［1,+co）

【答案】C

【解析】1呜（3"+1）>。，

函数=log2（3,+1）的值域为（0,+动，

VV=广⑴的定义域即函数"X）=log2（3*+1）的值域，

...」=尸（对的定义域为（0,+8）.

故选：c

二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）

/、a+ax,x>0/、

9.（2022・山东•临沂二十四中高一阶段练习）若函数〃x）=°/八八（。>0且awl）在R上为单调递

3+（〃-iIx,xU

增函数，则。的值可以是（）

2

A.3B.—C.yf2D.2

【答案】AD

a>l

【解析】/（%）在R上单调递增，，1〉。，解得：.二。的取值可以为选项中的3或2.

3<a+l

故选：AD.

10.（2022.湖南师大附中高一开学考试）已知％1，%2为函数・腕2]|=1的两个零点，且玉＜马，则

A.玉e（O,l）B.々£（"2）

西光2€。，2）

C.D.%1+x2e（2,3）

【答案】ABD

【解析】令/（*）=U-|logx|-l=0,3

2贝1J|log2%|=

33巧

所以.log2再=,log2x2=

3

作出函数丁=11。82刈和＞=的图象,易知％£（。,1）,故A正确;

OL1「＜（一]|）＜0,,故马€（虚,2）,故B正确;

又g（2）=l-->0,g（拘=-3

lo2

作直线yTog2%2与y=-log2X交于点（％，为），则有％2%3=1，％3＞再，故玉马＜1,故C错误;

又因为g||）=bg2|-匕『=1唯1后<1吗!一<°,故

所以再+%2e（2,3）,故D正确，

综上，正确答案为ABD.

故选：ABD

2

11.（2022.全国•高一课时练习）已知函数/■（尤）=log3（尤2—1）,g（x）=x-2x+a,初42,+»）,Vx2e1,3

有〃片）vg（%）,则实数。的可能取值是（）

A.gB.1C.-D.3

22

【答案】CD

【解析】期Vx2eI，3有/⑺海㈤等价于当％e[2,+oo）,x2e1,3时，f<g（x2.

当尤e[2,+e）时，令/=二-1,则y=log3f,因为/=£-1在[2,+oo）上为增函数，y=logst在定义域内为增

函数，

所以函数〃x）=log3任一1）在⑵+◎上单调递增，所以/⑴1rfli="2）=1.

8⑺=%2"无+a的图象开口向上且对称轴为x=l,

二当xe；,3时一,且⑴而小且⑴5-1,

l<a-l,解得aN2.

故选：CD.

12.(2022.全国•高一课时练习)(多选)定义在［-M］上的函数/(尤)=-29+4守，则下列结论中正确的是

()

A.〃尤)的单调递减区间是［0』B.""的单调递增区间是

C.〃尤)的最大值是〃0)=2D.〃尤)的最小值是〃1)=-6

【答案】ACD

【解析】设f=3l贝卜=3,是增函数，且小1,3,

又函数>=-2/+4/=-2”-1)2+2在1,1上单调递增，在［1,3］上单调递减，

因此f(x)在上单调递增，在［0』上单调递减，故A正确，B错误；

〃x)a=〃°)=2,故C正确；

/(-l)=y,/(1)=-6,因此的最小值是一6,故D正确•

故选:ACD.

三、填空题(每题5分，4题共20分)

2尤+2x<\

13.(2022•全国•高一课时练习)若函数"x)=_,।在(…⑷上的最大值为4,则0的取值范围

为.

【答案】［1,17］

,、2x+2,x<l,

【解析】因为“x=।

log2(x-l),x>l

当时，易知/'("=2工+2在上单调递增，

当xe(L-)时，/(彳)=1082(彳-1)在(1,+00)上单调递增.

作出〃x)的大致图象，如图所示.

由图可知，/(1)=4,/(17)=log2(17-l)=4,

因为“力在(-80上的最大值为4,所以。的取值范围为[1,17].

故答案为：[U7]

14.(2022•全国•高一课时练习)函数〃司=22，-2句+2的定义域为跖值域为N=[l,2],则

【答案】(-*1](答案不唯一)

x+1

r92X_2<o

【解析】因为函数的值域为N=[l,2],所以1422-2向+242,所以%2一？向+；>0，

即《…八，故0<2，W2,所以则函数的定义域为.

(2l-I)2>0、」

实际上，只要xe[O,l]即可满足条件，即M可以为[0,1]并上任意一个(-j0)的子集均可.

故答案为：(-*1](答案不唯一)

尤2+x)的最大值为M,最小值为N,贝UM+N

15.(2022・全国•高一课时练习)设函数

，(卜Y+

1

的值为________.

【答案】2

【解析】由已知得〃x)=l+型廿*”，

因为In+1+%)+]n[J(—JV)+1+(—x)=In1=0,

所以x)+1+(—x)]=—In[，/+]+工)，

易知函数y=ln(Jf+1+X)的定义域为R,因此函数y=ln(Jj+l+x)是奇函数.

令g⑴=2x+ln(^7T+x),则g(_x)=-2x-ln(y77T+x)=⑴,g⑺为奇函数，

则g⑺的最大值M和最小值M满足弧+乂=0.

因为M=M+1,N=M+1,所以M+N=2.

故答案为：2.

16.(2022•全国•高一课时练习)已知、=，lg2+坨5-41g21g5•(1g27+1g64-/3),&=1741(则

0.31gl.21g2.59

3/。2。-/必+1的值为.

【答案】2022

2

71-41g2(l-lg2)-(31g3+61g2-3)=71-41g2+41g2.10(lg3+21g2-1)1Q4左

【解析】3i?5—io--A!_____g)

砂而叼(Ig3+21g2-l)lg--l-21g2

W(l-21g2)

=10.

l-21g2

lg9lg7-21g3

llg7;;

Z?=log7-log=

3499-lg3Ig49-lg3-21g7

所以1gG2020-Z?2021+l=lgIO2020-(-1)2°21+1=2020-(-1)+1=2022

故答案为：2022

四、解答题(17题10分，其余每题12分，6题共70分)

2

17.(2022.云南丽江.高一期末)已知函数y=/(x)(xeR)是偶函数.当x»0时，f(x)=x-4x.

⑴求函数/(%)在上的解析式；

(2)若函数/(x)在区间［〃,〃+3］上单调，求实数〃的取值范围；

(3)已知加x)="")|-相，试讨论力食)的零点个数，并求对应的根的取值范围.

X2+4x,x<0

【答案】(1)/(%)=

x2-4x,x>0

(2)aK-5或a22

⑶答案见解析

［解析】(1)设x则_%>o

/(-%)=Y+4%

/⑴为偶函数

•，-f(x)=f(-x)=x2+4x

尤2+4x,x<0

综上,有f(x)=

元2-4.x,尤20

由图可得。+34-2或“22,解得。4一5或。22；

故实数。的取值范围是aW-5或a22.

（3）

由⑴作出If（幻1的图像如图:

由图像可知：

当加＞4时，〃（龙）有两个零点;

当机=4时，M尤）有四个零点；

当0<〃?<4时，M尤）有六个零点；

当〃?=0时，〃（%）有三个零点；

当机<0时，，7（x）没有零点.

18.（2022・河南信阳•高一期末）已知函数〃x）=log.（2+x）-log.（2-x）（a>0且awl）.

⑴求函数/（x）的定义域，并判断外力的奇偶性；

（2）是否存在实数加，使得不等式/（log?m）</（1。84（2+m））成立？若存在，求出机的取值范围，若不存在，

请说明理由.

【答案】⑴定义域为3-2。<2},奇函数

（2）存在，当a>l时，—<m<2,当0<。<1时，2<〃z<4

4

J2+x>0,

【解析】⑴由12r>0,得—2<X<2,所以〃x）的定义域为{+2<X<2},

因为函数的定义域关于原点对称，且/■（-x）=log.（2-x）-log“（2+x）=-〃x）,

所以/'（x）为奇函数.

（2）①当。>1时，在（-2,2）上为增函数，假设存在实数处使得不等式/（现2机）<〃陛4（2+机））成

log2m<log4（2+m）

<-2<log2m<2]

立，则：2<k>g4（2+M<2,解得

②当0<a<l时，〃x）在（一2,2）上为减函数，假设存在实数相，使得不等式〃log2m）</。叫（2+机））成立，

log2m<log4（2+m）

则<-2<log2机<2,解得2〈机<4.

-2<log4（2+m）<2

综上，①当。>1时，存在;<机<2,使得不等式/（k）g2M）</0Og4（2+根））成立；②当。<“<1时，存在

2Vm<4,使得不等式/（log?祖）<f（log4（2+嘲成立.

19.（2022•全国•高一单元测试）已知函数〃x）=log.（l+狗（a>0且awl）,/（1）=1,/（3）=2.

⑴求函数〃尤）的解析式；

(2)请从①y=〃尤)-"r),®y=fi-x)-f(x),@y=f(x)+f(-x)这三个条件中选择一个作为函数g⑺

的解析式，指出函数g(x)的奇偶性，并证明.

注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(l)/(^)=log2(l+x)；

(2)答案见解析.

Jlog“(l+b)=l[a=l+bfa=2

【解析】⑴依题意，h°g"(l+")=2,]/=1+36,而”＞0且解得'=1,

所以函数〃X)=lOg2(l+X).

Jl+x＞0

⑵选择①，g(x)=log2(l+x)-log2(l—X),贝|J有11-无＞0,解得即g(x)的定义域为(Tl),

又g(-X)=log2(1-x)-log2(1+X)=-[log2(1+X)-log2(1-x)]=-g(x),

所以函数g(“是定义在(Tl)上的奇函数.

选择②，

g(x)=log2(l-%)-log2(l+x),则有卜_尤＞0，解得即g(元)的定义域为(-1,1),

又g(—X)=log,(l+x)-log2(l-x)=41og2(1-X)-log2(1+x)]=-^(x),

所以函数g(x)是定义在(T，l)上的奇函数.

选择③，

g(x)=log2(l+x)+log2(l-x),则有严”＞：，解得即g(x)的定义域为(T，l),

又g(-X)=log2(1-x)+Iog2(l+X)=g(x),

所以函数g(“是定义在(Tl)上的偶函数.

20.(2022・全国•高一课时练习)已知〃x)是对数函数，并且它的图像过点上")

g(x)=[f(x)]2-2b./(x)+3,其中6wR.

⑴当，=2时，求y=g(x)在[忘,16]上的最大值与最小值；

⑵求y=g（x）在［3,16］上的最小值.

【答案】（1）最大值为3,最小值为-1.

13-J

--b,b<—

42

91

⑵Vmin3—<Z?<4

2

19-8Z?,/?>4

【解析】(1)解：设/(.Toga%(。>0,且awl),

•••〃司的图像过点［20,£|,

A/(2V2)-1,即log.2啦=|,

•,^2_2^/2=2立，即。=2,工/(x)—log2%•

72<x<16，­'­log2V2<log2x<log216,即gW/(%)W4.

设，=/(%),贝1Jy=力⑺=/—期+3=(.-2)2-1,t£2,4,

・•・Vmin="2)=—1,

乂彳£|=1一2］-1=］/Z(4)=(4-2)2-1=3,

•**Vmax=/z(4)=3.

.♦.当6=2时，y=g(x)在［夜,16］上的最大值为3,最小值为-I.

(2)解:设'=/(1,则'="/=产-枷+3=(—4+3-〃,

由(1)知fe1,4,对称轴为直线f=6.

①当bvg时，相⑺在g,4上是增函数.

②当g<b<4时，机⑺在；力上单调递减，在也4］上单调递减，加伍）=3—

③当人24时，相⑺在p4上单调递减，=加（4）=19-8〃.

13771

---b,b<—

42

91

综上所述，为in="3-Z?2,-<Z?<4.

2

19-8Z?,/?>4

21.（2022・辽宁.东北育才学校高一阶段练习）已知函数〃力=以2-x+2a-l（a>0）.

⑴若〃x）在区间［L2］为单调增函数，求。的取值范围;

（2）设函数”X）在区间［L2］上的最小值为g⑷，求g⑷的表达式;

lgJ_,若对任意小Ze［l,2］,不等式“xJzMw）恒成立，求实数。的取值范围.

（3）设函数/7（x）=+O2

2X+1

【答案】⑴

（2）答案见解析;

(3)4+8).

【解析】（1）因为“x）=加7+2。-1（。>0）的图象开口向上，对称轴方程为'一2〃,

所以/（力在区间［1，2］为单调增函数需满足（工1,〃>0,

ma>~.

0<—<1a>5时,在区间。）为单调增函数,

(2)①当2a,即

止匕时g(a)=fCl)=32.

②当1V1-V2,即工时,在区间1,5上是减函数，在区间：，2上为增函数，此时

2a42

g(a)=/(；)=2a-；-l.

2a4Q

③当（>2即0<Q<；时，"％）在区间［，2］上为减函数,

此时g(a)=/(2)=6a-3,

6〃一3,Q£

CI1」L

综上所述，g（"）=<2a-----1,a£I—,一J

4a42

3ci—2,a£(一,+8)

2

(3)

对任意X],%e[1,2],不等式恒成立,

即以xUn2〃(无量"，由(2)知，/(X)1nhi=g(。)，

因为/z(尤)=(g)x+log2

+log1(x+l),

2

所以〃(无)在[L2]上为单调递减函数,

所以〃(X)max=九⑴=；+lOgl2=-g,

①当。时，由g(a)2"幻皿得6。一32一彳解得aNR(舍去)

4212

②当彳时，由g(a)2"(x)ma*得2。-----1>—,BP8a2—2a-1>0