第4章 指数与对数 章末小结（解析版）

第4章指数与对数章末小结

一、典型题型...................................................................................1

题型1指数的运算.........................................................1

题型2对数的运算.........................................................3

题型3利用对数的运算性质进行求值.......................................5

题型4解简单的指数和对数方程...........................................6

相

数

数又寸娄攵

典型例题

题型1指数的运算

反思领悟：指数的运算是本章的重点内容，是学好本章的前提和基础，为后续对数的学习作铺

垫.指数的运算常与根式交汇考查，也常与方程等知识联系，主要考查数学运算的核心素养.

例1若实数X,y满足2"+4"=2-2%则尤+2y的最小值为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】由条件结合基本不等式求尤+2y的最小值.

【详解】因为2*+4>=2*+2刀22《2网，又2,+4y=2x+2y

所以2工+2了22哼+'

所以x+2”2,当且仅当x=l,y时取等号，

所以无+2y的最小值为2,

故选：C.

例2(多选题)下列运算正确的是()

74

A.=m-(m>0,M>0)B.!^(-3)="^3^=-^3

C-+J=(X+y"(尤>0,y>0)D.-^/3

【答案】BD

【分析】根据根式的定义与分数指数幕的定义、运算法则判断.

【详解】3)7=?—(m>0,n>0),故A错；

n

攻一3)4=啊=石,故B正确；

府+y3与(x+yj=[(X+y)3不同,故C错；

晒=(如?=亨=5，故D正确•

故选：BD.

例3化简求值:

(1)(-5)°+2^x64^-

1_1

⑵已知X+%T=3,求官+X2

X2+/

【答案】⑴/

(2)卓

【分析】⑴根据指数幕的计算方法计算即可；

⑵先利用完全平方公式求出£+和尤2+尤-2的值，从而求出结果.

⑴

131

原式=1+7乂4_2=/.

⑵

,/%+%T=3,/.x>0,

1_1

厂.户+工5>0，

又,/（/+x万>=x+—+2--x2=3+2=5*

二.?+”=如'

v（x+x-1）2=x2+x~2+2x-x~l=9,

.*./十%2=7，

.x，+x，_6，

,・f+%-27

题型2对数的运算

反思领悟：对数的运算是本章的重要内容之一，在学习指数运算的基础上学习对数运算，指数

运算与对数运算是互逆的.对数运算常与指数、方程等知识交汇考查，主要考查学生的数学运

算和逻辑推理能力.对数的运算应遵循以下原则：

对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质

并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.

例1设〃=log53,^=log85,c=log138,则（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【分析】用作商法比较。涉的大小，通过比较。与0.8/与0.8的大小比较勿c的大小，从而得。,必。的大小.

【详解】解：•.4=警|=地53」幅8〈丝吟空包=（驾竺）2<1,

blogs342

：.a<b\

54

:5<8,**-5<4/。&8，log58>1.25,/.Z?=log85<0.8；

45

V13<8,.,.4<5/6>g138,.*.c=log138>0.8,：.c>b,

综上，c>b>a.

故选：A.

例2（多选题）已知log23=m,log37=〃，则log4256的值不可能是（）

mn+3m+n+3mn+3mn+3

A.--------B.------------C.-------------D.-------------

mn+12m+«+lmn+m+1mn-m+1

【答案】ABD

【分析】利用对数运算的公式计算即可.

【详解】由换底公式得：Iog27=log23-log37=，”“，log2=—,log,56=log,（7x8）=log7+log8,

7mn444242

1111mn

其中l°g427=

log7421+log761+log72+log731111mn+m+1，

mnn

333mn3mn+3

42

log428=31og422=log42log6+log7l+m+rrm'故^°^%-------1-------=-------

222mn+m+ll+m+mnmn+m+l

故选：ABD.

例3化简与求值：

⑴（若-1）0+府行+艰

103

(2)4^+log18-1g-I+lg25-1gf-InT?.

216k2；

【答案】（1）町

畤

【分析】（1）根据指数的运算法则及性质运算求解；

（2）根据对数的运算法则及性质求解.

（1）

原式=1+兀-3+（23户

=71.

（2）

5-

原式=2210823-log,8-lg—+lg25-lg8-lne2

16

=9-3+lg（25x^x-^）-|-

582

3

=6+lgl0--

题型3利用对数的运算性质进行求值

反思领悟：对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题是本节的重点内容之一，常与对数的

运算性质相结合，如果附加条件比较复杂，则需先对其进行变形、化简，并充分利用其最简结

果解决问题.具体解决方法：（1）注意指数式与对数式的互化，有些需要将对数式化为指数式，

而有些需要将指数式化为对数式；（2）注意换底公式与对数的运算性质的应用，解题时应全方

位、多角度地思考，注意已知条件和所求式子的前后照应.

例1已知0.3010<lg2<0.3011,则log42022属于（）

A.（5.3,5.4）B.（5.4,5.5）C.（5.5,5.6）D.（5.6,5.7）

【答案】B

【分析】根据3+lg2<lg2022<lllg2结合换底公式，代入计算即可.

【详解】E2000<2022<2048,

01g2000<1g2022<lg2048,

03+lg2<lg2O22<lllg2,

3+lg21202211

021g2<lg4<T，

u*lg2022uu

05.4<--------<5.5

lg4

故选:B.

Q

例2（多选题）若。=log23-l,2〃=],则下列结论正确的是（）

A.a+b=2B.a—b<0

111-

C.-<a<]D.—+->2

2ab

【答案】ABCD

aR

【分析】根据对数的运算与指对数的关系可得a=log2：，^=log2j,再结合对数的运算与基本不等式逐个

选项判断即可.

3R

【详解】由题意可得。=log23-1=log?*=log2j.

38（38、

对于A,a+^=log2-+log2-=log2l-xjl=log24=2,所以A正确；

对于B,o-/?=（log23-l）-（log28-log23）=21og23-4<21og24-4=0,所以B正确；

对于C,因为应<；<2,所以log?log?log?2,所以;所以;<a<l,所以C正确；

对于D,因为Q>0,b>0,a+b=2,所以工+〈=:（工+4]（〃+8）=:（2+2+1]之:（2+2^^]=2,

ab2\ab）2（ab）21\ab

当且仅当a=b时取等号，而〃b,所以取不到等号，所以1+1>2,所以D正确.

ab

故选：ABCD.

例3已知33=0.4771,估计95。的大小.

【答案】1047-71

【分析】令x=95。，然后两边取常用对数求解即可

【详解】令x=95°,则两边取常用对数得

lgx=lg950=501g9=501g32=1001g3,

因为lg3a0.4771,

所以Igxn100x0.4771=47.71,

所以XBlO,型，

所以爱的大小约为I。’?》

题型4解简单的指数和对数方程

反思领悟：简单的指数方程和对数方程是指数运算和对数运算的延伸，主要与方程结合交汇考

查，培养学生的逻辑推理和数学运算能力，是对指数、对数运算的巩固和提升.具体解决方法

如下：

⑴化同底：将指数方程变形为十=〃台机=几

fM>0,

形如log.M=log°N(a>0,的对数方程，等价转化为舷=N,且彳心。求解.

⑵定义法:解形如6=logoM(a>0,aWl)的方程时，常借助对数的定义等价转化为〃=/求解.

⑶换元法：设/=〃(x=log"),将方程转化为关于/的一元二次方程求出/,再解出X.

例1根据下列条件，分别求实数x的值：

(1)log2(2—X)=log2(X-1)+1；

(2)3次+i—6*=22X+2.

4

[解]⑴原方程可化为log2(2—x)=log2[2(x—1)],得2—X=2(x—1),解得％=弓.经检验知，原

4

方程的解为％=].⑵原方程可化为3X3^-2xX3x-4X22X=0,

<3Y4

因式分解得(3*3%—4*2%)(3%+2，)=0,则3X3%—4X2%=0,即[夕=§，

4

解得冗=log|

例2解下列关于％的方程：

(1)lg^/x—1=lg(x—1)；(2)log4(3—X)+log0,25(3+x)=log4(l—x)+log0.25(2x+1).

［解A］（1）原方程等A价I于V—1=X-1,

［x-1>0,

解之得x=2.经检验了=2是原方程的解，所以原方程的解为x=2.

（2）原方程可化为log4（3—%）—log4（3+x）=log4（1—X）—log4（2x+1）.

3—x1—x3—X1—Y

即I0g4i==i°g4讦T•整理得市=占不？解之得x=7或x=0-

当x=7时，3—x<0,不满足真数大于0的条件，故舍去.x=0满足，

所以原方程的解为x=0.

活学活用培优训练

一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题意要求的.）

1.^xlog23=l,则3*+3-，=（）

,53103

A.-B.—C.—D.一

2632

【答案】A

【分析】求出x=log32,代入3，+3T化简即得解.

1,c

【详解】解：由题得尤=1-7=log2,

log,33

所以3*+3-1=3陶2+3‘°8万=2+-=-.

22

故选：A.

2.若0<4<1*>0,且都-/=-2,则4+1的值为（）

A.2四B.±272C.-2A/2D.瓜

【答案】A

【分析】将已知等式条件两边平方可得a以=6,再将目标式平方结合指数幕的性质即可求值.

【详解】由题设，（ab-aby=a2b-2+a2b=4,^a2b+a2b=6,

又（ab+a-b）2=a2b+2+a2b=8,且非+鹏>o,

所以。〃+/=2亚.

故选：A.

3.中国的5G技术处于领先地位，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=WlogJl+^.它表

示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W,信道内信号的平均功率S,信道内部

q

的高斯噪声功率N的大小，其中三叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按

N

照香农公式，若不改变带宽W,而将信噪比三从1000提升到4000,则。大约增加了（）（怆2。0.301）

N

A.10%B.20%C.30%D.50%

【答案】B

q

【分析】根据题中的香农公式分别计算?等于1000和4000时对应的C,进而比较可得出结果.

【详解】信噪比提升到4000时对应的C值记为C',根据题意，

焉=1000时，C=Wlog2^l+-^^=Wlog21001»3Wlog210

鼻=4000时，C'=Wlog?[1+[]=Wlog24001（2+31og210）

。'_呼（2+31暇10）

..--------------------------k

C晦?102

；.c大约增加了20%,选项B正确.

故选：B.

4.设=5〃=加且工一,=2,则〃z=（）

⑶ab

1i—/i-o

A.—B.10C.VioD.A—

10710

【答案】D

【分析】先由（11=5〃=〃7,用对数表示出6,再根据工-：=2即可求出机.

{2）ab

【详解】

am

=l°gj,,b=log5m,

2

1111

Q—2,.-.log,--log5=2,BPlog-=2,

ab2m10

故选：D.

【点睛】本题考查指数式和对数式的互化，考查对数的运算和换底公式的应用.

5.化简联可得

3

A.Iog34B.—

C.3D.4

【答案】C

【分析】利用对数的运算性质即可得出.

33

【详解】,0!=log28=log22=3.故选C.

logs2

【点睛】本题考查了对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力.

6.若210g2（2x-y）=log2X+log2y,则log?x-log?y=（）

A.2B.2或0C.0D.-2或0

【答案】C

【分析】根据对数运算法则可知（2x-y『=孙，且2x-y>0,尤>0,y>0,

化简得》=儿再化简log?x-log2y求值.

【详解】依题意，（2x—»=盯，二4尤2-5xy+y2=0,;.（4x-y）（x-y）=o,，％=>或》=；、，>。，

|]JQx

x>0,y>0,;.x>—y,:.x=—y（舍去），—=1,logx-logj=log—=0.

2-4'y2--2-2y

故选c

【点睛】本题考查对数的运算法则，以及化简计算.

7.若非零实数。、6满足2。=3〃，则下列式子一定正确的是（）

A.t>aB.b<a

C.网<问D.网>同

【答案】C

【解析】令2。=3〃=公贝卜>0,将指数式化成对数式得“、b后，然后取绝对值作差比较可得.

【详解】令2"=3"=r,贝卜>0,twl,，。=厩2，=昙，兽，

1g21g3

.•」。|一21=鲁_鲁」叫曙]g2）>0,因此，\a\>\b\.

1g2lg3Ig2-lg3

故选：C.

【点睛】本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中

等题.

二、多选题

8.若10"=4,1(/=25,则()

A.a+b=2B.b-a=l

C.ab>8\g22D.b-a>lg6

【答案】ACD

【分析】利用指对数的运算性质及其关系求出。+6、b-a,ab,结合对数函数的单调性判断各选项的正误.

【详解】由题设，10"”=100,即。+6=2,A正确；

10j=3,即6-。=坨9>坨(=36,B错误，D正确；

444

由a=21g2/=21g5,则必=41g21g5>41g21g4=81g?2,C正确；

故选：ACD

9.已知3"=8"=24,则b满足的关系是()

A.a+b=abB.a+b>4

C.(di-1)2+(Z?-1)2<2D.a2+b2>6

【答案】ABD

【分析】根据指数与对数互化的关系求出。/，取倒数相加即可判断A选项是否正确；将〃力代入B、C、D

选项式子的左端化简，并利用基本不等式即可判断是否正确.

a

【详解】Q3=8^=24,：.a=\og324,b=logs24,

11Ic111c

10

•>--=------=§243,工=----=log248,

alog324blog824

,_1111

对于A选项：—+—=log3+log8=log24=l,.-.—+—=1,:,a+b=ab,故A选项正确；

ab2424a2b4

对于B选项：•.・a+b=log324+log824=(log33+log38)+(log88+log83),

/.=2+log38+log83>2+2^/log381og83=4,故B选项正确；

222

对于C选项：Qa=log324,Z?=log824,+(^-i)=(log33+log38-l)+(log88+log83-l),

2222

/.(4Z-1)+(Z?-1)=(log83)+(log38)>2(log83)(log38)=2,故C选项错误；

对于D选项：Qa=log324,b=log824,

ab=log324xlog824=(log33+log38)(log88+log83)=2+log83+log38>2+2=4,

：.ab>4,a2+b2>2ab>S,故D选项正确；

故选：ABD

10.下列各式或说法中正确的有()

A.lg(1g10)=0B.lg(lne)=0

C.若10=lgx,则x=100D.若log25X=；,贝l]x=±5

【答案】AB

【分析】根据对数运算依次分析各选项即可得答案.

【详解】对于A,因为lgl0=l,lgl=0,所以lg(lgl0)=lgl=0,故A正确；

对于B,因为lne=l,lgl=0,所以lg(lne)=lgl=0,故B正确；

对于C,因为10=lgx,所以x=K)i。，故C错误；

对于D,因为log25X=5，,所以尤=255=5，故D错误.

故选:AB.

三、填空题

b

11.已知logb=~,贝!]3。+6=.

fla

【答案】6.

【分析】根据对数性质判断。力>0,由已知利用对数运算可求得a,4即得答案.

【详解】由题意可知。>0*>0,

bb

由=6,log”。=一可用log0a=-=3,..b=3。，

aa

贝a3=3a,a=A/3,贝6=3#),

故3a+6=6A/3,

故答案为：6G

12.已知二次函数的最小值为3,则实数a=,(log.5丫+log〃2Jog“50的值为

【答案】101

【分析】对于题空①，根据开口向上的二次函数，自变量取对称轴对应的值达到最小值，解得。的值；

对于题空②，把。的值代入表达式，根据对数的运算，化简求值即可.

【详解】因为y=(lga)f+2x+41ga的最小值为3,所以lga>0,

,1J1)“，,，1c

=lga--------r+2----+41gfl=41ga---二3

(Iga)Ilg«J也。

即4(lga)~-31ga-l=O,

所以(41ga+l)(lga—1)=0,

解得lga=l或lga=_：(舍去)，所以a=10,

故(1(嗔5)2+Ioga2.1og“50=(lg5)2+lg2/g50=(lg5)2+lg2(lg5+l)=lg5(lg5+lg2)+lg2=lg5+lg2=l.

故答案为：①10;01.

13.解指数方程23=349：.

【答案】为=-3或》=3+1幅2

【分析】直接对方程两边取以3为底的对数，讨论x+3=0和x+3/O,解出方程即可.

【详解】由2"3=s'—得logs2**3=log?3"一°,HP(x+3)log32=(x—3)(x+3),当x+3=0即x=—3时，0=0显

然成立；

当尤+3*0时，log32=x—3,解得x=log32+3；故方程的解为:x=—3+log32.

故答案为：x=—3或x=3+log32.

33

14.若log“c=w，log"C=w,则log/=.

【答案】3

【分析】可根据已知条件，将对数化成指数关系，然后对等，找到a、b之间等量关系，带入到。、氏c三

者关系中，找到Ac的关系，即可完成求解.

3333

【详解】因为log°c="log>=g,所以/=c，(。加=「

333333

此时鹏=(aby=，化简得=庐，

33

所以。=/，(〃万户=(加>=匕3=小

所以log/,C=3.

故答案为：3.

四、解答题

15.(1)已知了=。.3+/2,化简取2—2。心+d•

(2)设振+凉=4'x=a+3a3b^'y=b+3a^tPJ求(x+,户+(x—,户的值.

1

【答案】(1)W；(2)8

【分析】(1)由已知得了-0一二斤?，结合指数运算法则化简；

(2)令j=A，J=8，结合因式分解可得了+y=(A+8)3,x-y=(A-8)3,则食+丫户+(尤_y)3=2(4+B2)，

结合已知即可求值.

【详解】(1)由了=/3+6-2,得了一/3=6一2,

团yjx2-2a3x+a^=^(x-a-3)2=^(b2)2=—,

'1^1

(2)令