第五章 分式与分式方程 单元考点训练-2024-2025学年北师大版八年级数学下册

第五章分式与分式方程单元考点训练

刷中考

考点1分式及其性质

[2023四川凉山州中考]分式二的值为0,则x的值是()

X~1

A.OB.-1

C.lD.0或1

2[2023甘肃兰州中考]计算：—=()

a—5

A.a-5B.a+5

C.5D.a

[2024湖南长沙中考]要使分式占有意义，贝人需满足的条件是_______.

考点2分式的运算(

[2024广州中考偌a加，则下列运算正确的是()

X.-+-=-B.a3-a2=a5

235

—236cR7A

C.—'———D.CLCL=1

aaa

5[2024山东威海中考]计算：a+；=_______

x—22—x

6[2024黑龙江绥化中考]化简：?+-出产)=_.

7[2024四川眉山中考]已知的=%+1(%。0且久。一1),口2=…，。九=——厕22024的值

1一的±-0-21~an-i

为.

8[2024山东滨州中考]欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡

献，也在初等数学中留下了不凡的足迹.设为两两不同的数，称

a,b,c6={,a-b二){a—c)、+—{b—c^){b―—a)+{,c—a:){:c八—b)、(n=

0,1,2,3)为欧拉分式.

(1)写出Po对应的表达式；

(2)化简Pi对应的表达式.

考点3分式的化简求值

9[2024四川雅安中考]已知|+：=l(a+b力0).则鬻=()

1

A.-B.lC.2D.3

2

10[2024四川乐山中考]先化简，再求值：含其中x=3.小乐同学的计算过程如下：

X—4X~Z

ATI2x12x1«

X—4X—2(%+2)(%—2)X—2

2xx+2„

=--------------------------••Z

(x+2)(%—2)(x—2)(%+2)

2%—%+2仁

=-------------3

(x+2)(x-2)

——④

(x+2)(x-2)J

当x=3时，原式=1.

⑴小乐同学的解答过程中，第步开始出现了错误;

⑵请帮助小乐同学写出正确的解答过程.

11（2024黑龙江牡丹江中考］先化简,再求值：个+（%-胃）,并从-1,0,1,2,3中选一个合适的数代入求值.

考点4分式方程

12［2024四川遂宁中考］分式方程二7=1-占的解为正数，则m的取值范围（）

A.m>-3B.m>-3且m#-2

C.m<3D.m<3且m齐2

13［2024黑龙江龙东地区中考］已知关于x的分式方程胃-2=*无解，则k的值为()

x-33-x

A.k=2或k=-lB.k=-2

C.k=2或k=lD.k=-l

14［2024湖北武汉中考］分式方程2=二的解是.

X—oX—L

15新考向开放性试题［2024四川广元中考］若点Q(x,y)满足(+?=泉则称点Q为“美好点"写出一个“美好

点”的坐标一

2X+1z

16［2024重庆中考B卷］若关于x的一元一次不等式组｛--3)的解集为x<4,且关于y的分式方程

4%—2<3%+a

震-W=1的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是

1712。24陕西中考］解方程：看+三=1.

考点5分式方程的实际应用

18［2024甘肃临夏州中考］端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售细心的小夏发

现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元?设每袋粽子的原价是x元，所得方

程正确的是)

.240240y八

A.------=10--=10

xx+2xx-2

c240240«八

C.---=10D.------=10

x-2xx+2X

19［2024重庆中考A卷］为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线

的设备进行更新换代.

⑴为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策根据相关政策，更新1条甲类生产线的设

备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴.这样更新完这30条生产线的设备，该企

业可获得70万元的补贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条?

（2）经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购

买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补

贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？

刷章测

一、选择题（共32分）

[2024河南郑州期末]下列分式中，是最简分式的是（）

43B.—D.导

*+1x-13xyxz-l

2[2023山东威海文登区期中]下列从左到右变形正确的是（）

A.-=-B.-=—

bbebb-c

a3_aac2_a

r=bDn'bc^=b

3[2023湖南郴州质检]对于下列说法，错误的个数为（）

①止2是分式;②当x#l时，二2^=%+1成立；③Q+bx，=a+l=a;④当x=-3时，分式三卷的值是0.

J冗x-1b\x\-3

A.4个B.3个

C.2个D.1个

4若x,y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）

4二B.上

y+1x+1

…D.工

x+y3x-y

5[2024辽宁葫芦岛兴城期末]美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即点卷一通过

查看答案，得知结果为名则被污染的代数式为（）

3x—2y

A.—B.—

x+lX

2-xx+l

Cr.----nU.-----

x2x-l

6如果偌）J（斤=3,那么4b，等于（）

A.6B.9C.12D.81

7甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加入此项工作，且甲、乙

两人工作效率相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（）

A.8B.7C.6D.5

2023四川成都调研］一次函数y=（a-7）x+a的图象不经过第三象限且关于x的分式方程£=3-言有整数解,

则满足条件的整数a的和为（）

A.18B.17C.12D.11

二、填空题（共16分）

9当m=________方程三+三=谷会产生增根.

xx-1x（x-l）

10新考向传统文化［2024辽宁沈阳质检］《九章算术》中记录的一道题目译为白话文是把一份文件用慢马送到9

00里外的城市，所需的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天.已知快马的速度是

慢马速度的2倍，求规定时间.设规定时间为x天，则可列出的分式方程为.

11［2023江苏苏州模拟］若正数a,b,c满足abc=1,a+*=3,6+十=17,则c+~=

12［2024河南开封调研］一个容器装有1升水，按照如下方法把水倒出：第I次倒出得升水，第2次倒出水量是

打的1第3次倒出水量是汨的；，第4次倒出水量是：升的去…,第n次倒出水量是外的；•按照这种倒

水的方法，n次倒出的水量共为________升.

三、解答题（共52分）

13［2023山东烟台期末冼化简（告三-9）+空，然后在2,-2,-1中选一个你认为合适的a值，代入求

az—4a+4a—2a£—2a

值

14解方程：

⑴*=芸一3;⑵三一9=1.

15[2024安徽亳州期末]如果两个分式P与Q的和为正整数m,则称P与Q互为“完美分式"，正整数m称

为“完美值"如分式P=*，Q=±，P+Q=詈=1，则P与Q互为“完美分式”，“完美值"m=l.

⑴已知分式a==W，判断A与B是否互为“完美分式”?若不是，请说明理由；若是，请求出“完美值”

m.

⑵已知分式c=甘,。=&，若c与D互为“完美分式”，且“完美值"m=3,其中x为正整数，分式D的值

X-2%2-4

为正整数.

①求E所代表的代数式；

②求x的值.

16[2023黑龙江鸡西模拟]为迎接春节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的T恤衫共100件.已知乙品牌每件的

进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用6000元购买甲品牌的件数恰好是用6000元购买乙品牌件数的2倍.

(1)甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？

(2)商场决定购进甲、乙两种品牌T恤衫的资金不少于3600元，且购进甲品牌T恤衫至少78件，求该商场有

哪几种进货方案.

⑶在⑵的条件下，商场决定甲品牌T恤衫以每件50元出售，乙品牌T恤衫以每件100元出售，若该商场推出

促销活动：顾客购买一件T恤衫持购物票据可抽奖一次，每人限购一件，一等奖共有1个，所购T恤衫按标价返款

100%；二等奖共有3个，所购T恤衫按标价返款50%.该商场将这100件T恤衫全部售出后共获利2220元，求出

抽到的二等奖中，购买的乙品牌T恤衫有多少件.

刷中考

1【解析】：分式三的值为0,•••・・・x2-x=OSx-1加，解得x=0,故选A.

2.D【解析】号=安=a.故选D.

—a—5a—5

3.x，19【解析】由题可知，当x-19^0时，分式有意义，解得*19.故答案为xR19.

4.B

41%24x24-x2

5.-x-2【解析】-------—---------=-X-2.故答案为-x-2.

x-22-xx-2x-2x-2

X1

6.—【解析】原式=4+上空”x-y=工.故答案为

x-yXXx,(x-y)2x-yx-y

1111x

7.--【解析】ai=x+1,a2=,a3===

x1—Qi~x^T^)^

11_1

CLA.=--------%+L.・.a5=-^,a6=2,……每3个为一个循环.丁？024:3=674二

131--——X+12,

一。x+i

a2024=一§.故答案为一点

+++

8.【解】⑴由题意可得,Po=(a-bXa-c)+(b-c)(b-a)(c-a)(c-6)=(a-b)(a-c)(b-C)(b-a)(c-a)(c-“

⑵中题章可得尸=△।I]।”=a_______b____________,______c______

'J''1(a-1b)(a-c)(Z?-c)(Z)-a)(c-a)(c-b)(a-Z?)(a-c)(Z7-c)(a-Z))(a-c)(b-c)

a(d-c)-d(a-c)+c(a-d)_ab-ac-ab+bc+ac-bc---------------=o.

(a-fo)(D-c)(a-c)(a-d)(&-c)(a-c)(a-&)(&-c)(a-c)

9.C【解析】：2+工=l(a+b#0),"=1,a+26=ab,■.况=a+a—==2.故选C.

ababa+ba+ba+b

10.[ft?]⑴第③步开始出现了错误，分子应该是2X-X-2,故答案为③.

⑵三____二=_2______二=

'JX2-4X-2(%+2)(%-2)x-2

2xx+22x—x—2

(x+2)(x-2)(%-2)(化+2)-(x+2)(x-2)一

x-2_1

(x+2)(x-2)-x+21

当％=3时,原式=

]][解]2%-6.(%6x-9\_2x-6.,x26%-9)_2x-6.x2-6x+9_2(x-3)x_2

'x\x/xxxJxxx(x-3)2x-3"

,**x^0且x?3,.,.x取-1或1或2均正确.当x=-l时原式=-^―=-?答案不唯一).

—1—DZ

12.B【解析】去分母得：2=%-1-相，解得x=m+3.由方程的解为正数，得到m+3>0,,且m+3#l,则m的

取值范围为m>-3且n#-2.故选B.

13.13.工【解析】R-2=白，化为整式方程为(k-2)x=-9.•.•关于x的分式方程R-2=2无解,二①x-3=

0,解得x=3,则3(k-2)=-9,解得k=-l;②k-2=0,解得k=2.综上,k=-l或k=2.故选A.

14.x=-3【解析】去分母得x(x-l)=(x-3)(x+l).去括号得x2-x-x2-2x-3,解得x=-3检验:当x=-3时,(x-l)

(x-3)#),故原方程的解为x=-3.故答案为x=-3.

15.(2,-1)(答案不唯一)【解析】等号两边都乘xy得x+y=l.令x=2,则美好点”的坐标为(2,-1),故答案为(2,

-1)(答案不唯一).

16.12【解析】｛等-Slant3'①②解不等式①，得xW4,解不等式②彳导x<a+2,由题意得a+2>4,解得a>2.解方

4x—2<3x+a,

程震一W=L得y=32，且型2y为负整数，则有以下几种情况:当a=8时.y=望=-1；当a=6时y=

等=-2(不合题意，舍去)，•当a=4时，y=等=-3.综上，符合条件的a的值有8,4,8+4=12，，所有满足条

件的整数a的值之和是12.

17.【解】去分母得2+x(x+1)=x2-1,去括号得2+x2+x=x2-1,移项、合并同类项得x=-3.

检睑把x=-3代入(x+l)(x-l)得,(-3+1)(31)=8用,，x=-3是原方程的解.

18.C【解析】由题意可得,言-竽=10,故选C.

19.【解】⑴设该企业有x条甲类生产线，y条乙类生产线.

根据题意得+C-70解得C-20

十Ly—/u,y—乙U.

答：该企业有10条甲类生产线，20条乙类生产线.

(2)设购买更新1条乙类生产线的设备需投入m万元，则购买更新1条甲类生产线的设备需投入(m+5)万元.根据

题意得罢=竺2解得m=45.经检验，m=45是所列方程的解且符合题意»：・10(m+5)+20m-70=10x(45

m+5m

+5)+20x45-70=1330.

答：还需投入1330万元资金更新生产线的设备.

刷章测

1.A【解析】”是最简分式，A选项符合题意—=-1,不是最简分式，B选项不符合题意；？=三不

x2+lx-13xy3x

是最简分式，c选项不符合题意=—=2,不是最简分式，D选项不符合题意.故选A.

x2-l(x+l)(x-l)%+1

2.D【解析】：I=肾中缺少存0的条件，.•.A选项错误厂..分式的分子与分母同时乘或除以一个不等于0

的数或整式，分式的值不变,AB,C选项均错误；:c力0,，卷的分子与分母同时除以c2,分式的值不变，，D

be*

选项正确.

3.B【解析】"不是分式，是整式，故①错误;当时，〒=(=)广)=x+1,故②正确；a+bx5=a

71x—1x—1b

X：x：=专故③错误；当x=-3时，分式书的分母为0，没有意义,故④错误.综上，错误的个数为3个.故选B.

bbbz\x\-3

4.D【解析】A选项，自4岛,不符合题意；B选项，黑力翳,不符合题意；C选项，合中号,不

符合题意；D选项，科=三，符合题意.故选D.

3x-y9x-3y

5.C【解析】由题意得孩蚩+合=需等•号=号，被污染的代数式为号，故选C.

6.B【解析】•.佶)+偿)=3,x=3,a4b2=3,a8b4=(a4b2)2=9.

74【解析】设甲志愿者计划完成此项工作的天数为x，故甲的工作效率为:，由于甲、乙两人工作效率相同，

则乙的工作效率为右甲前两个工作日完成了X2,剩余的工作量甲完成了i(x-2-3),乙从第三个工作日起加入

此项工作后完成了久久-2-3),则:+逗尹=1,解得x=8,经检验,x=8是原方程的解，且符合题意.故选A.

8.D【解析】•••一次函数的图象不经过第三象限,•••产；第,二0Wa<7.分式方程可化为2=3(2-x)+ax.

・•,分式方程有解，二%=士，且3-a*：分式方程有整数解,，3-a=-2或3-a=l或3-a=-l或3-a=-4或3-a=4或3-a=2,解

得a=5或a=2或a=4或a=7或a=-l或a=l.Va=7和a=-l和a=l不合题意,舍去,，a=5或a=2或a=4,二.整数a的和为

11.故选D.

9.-3或5【解析】方程两边同时乘x(x-l)得3(x-l)+6x=x+m,解得%=笑•.,方程有增根,“=。或x=l把x=0

O

代入X=喑魂牟得m=-3才巴x=l代入x=喑，解得m=5.故答案为-3或5.

OO

1°・翳X2=告【解析】•.,用慢马送,所需的时间比规定时间多一天，用快马送，所需的时间比规定时间少

3天，目规定时间为x天，，用慢马送需要(x+1)天，用快马送需要(x-3)天.根据题意得哼x2=能.

11.【解析】解法:,**(a+/)("+十)卜+.)=(。匕+，+1+D(，+5)=+a+c+[+b+}+

工+4伍+；)+优+9+(c+9+(abc+3),・・・3xl7x(c+工)=3+17+(c+[)+2,解得c+」=..

aabc\b/\cJ\aJ\abc/\a/\a/a25

解法二：abc=l,a,b,c者B为正数，ab=-.a+7=3,ab+1=3b.①,•・b+工=17,.*.b+ab=17.②由①②

-CDC

1,11,,11.1,111...1_

12.^-【解析】由题意得"+?X-+-X-H--------1--X——=1--------1-----------++

n+12233445nn+1223+1-那-5n

—=1--=言故答案为言

n+1n+1

13.【解】(■a2-4a+1(a+2)(a—2)aa+1(a+2)(a—2)a(a—2)aa(a-2)

\<.a2-4a+4a2-2a(a-2/n—2.a(a-2)(a-2)2n+1ci—2.a+1

a(a+2)a2_2a

a+1a+1a+1

。-2H0,aW0,且a+1H0,

•••aH2,aH。，且aH—1,

当=-2时,原式=2X(-2)=4.

a-2+1

14.【解】⑴去分母、去括号彳导1=x-1-3x+6,移项、合并同类项，得2%=4,

解得x=2.

经检验，x=2是增根，因此原分式方程无解.

(2)去分母、去括号，得/一3久+3=--久,移项、合并同类项，得2久=3,解得%=1.经检验，%=|是原

分式方程的解.

15.【解】(1)A与B互为“完美分式••・4+B=W+W=迎秘=2..-.A与B互为“完美分式”，且“完美值”

x-4x-4x-4

m=2.

⑵①与D互为“完美分式”，且“完美值”m=3,C+。=曰+3=3,二(3f(X+2)H—；——3,3

X-ZX—4X2-4X2-4'

x2+2x-8+E=3x2-12,.-.E=-2x-4.(2).:E=-2x-4,：.D=亨^=---.v久为正整数，分式D的值为