北京市某中学分校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷（解析版）

2024—2025学年度北京市第十三中学分校第一学期期中八年级数学

试卷

考生须知：

1.本试卷分为第I卷和第II卷，第I卷共2页，第I［卷共4页.

2.本试卷满分100分，考试时间100分钟.

3.在试卷（包括第I卷和第n卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号.

4.考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师.

第I卷

一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）

1.2024年巴黎奥运会和残奥会体育图标一共70个.与近年来各大体育类赛事图标都注重运动员运动状

态刻画不同，巴黎奥运会则是注重项目本身的展现.此次巴黎奥运会项目图标在视觉设计上主要融入三个

方面的元素一对称轴设计、项目场地的抽象表达以及项目的代表性元素.如图，下列哪个图标属于轴对

称图形（忽略图标上的文字标注）（）

A.射箭项目图标

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的

图形就叫做轴对称图形，进行判断即可求解.

【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够

互相重合，故选项B、C、D中的图标不是轴对称图形.

选项A能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以选项A中的图标

是轴对称图形.

故选：A.

2.课堂上，老师组织大家用小棒摆三角形.已知三条线段的长分别是4,5,a,若它们能构成三角形，

则整数切不可能是（）

A.10B.8C.7D.4

【答案】A

【解析】

【分析】考查了三角形的三边关系.根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可.

【详解】解：根据三角形的三边关系，得5-4<“<5+4,即1<加<9,

・•.整数m不可能为10,

故选：A.

3.下列计算正确的是（）

A.c.=-^3D,3^*+a3=3a4

【答案】B

【解析】

【分析】根据募的运算法则即可求解.

【详解】A.a3+o3=2a3,故错误；

B。'=a7,正确；

C.（2a））=8",故错误；

D.3/+/=3/,故错误；

故选B.

【点睛】此题主要考查幕的运算，解题的关键熟知其运算法则.

4.如图，已知犯=3,那么添加下列一个条件后，仍然不能判定乙4比-A4DC的是（）

A.CB=CDB.ZB=ZD=90°

c.ABAC=ADACD.^BCA=ADCA

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查三角形全等的判定方法，要判定A4BC-^ADC,己知幺5=功，幺°是公共边，具

备了两组边对应相等，结合判定全等的方法添加条件即可.解题的关键是掌握：判定两个三角形全等的一

般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA,+SA不能判定两个三角形全等，判定两

个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

【详解】解：A.添加C3=CO,根据SSE,能判定ZUBCg&lDC,故此选项不符合题意；

B.添加根据HL,能判定&4BC-AADC,故此选项不符合题意；

C.添加一瓦4C=NMC,根据EAS,能判定△ABC9A1DC,故此选项不符合题意；

D.添加NBCA=NQCA,不能判定乙45（7金乙11）（7,故此选项符合题意.

故选：D.

5.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）

A.3x+3y-5=3(x+y)-5B.(x+i)(.T-l)=r-i

131、

2

C?+2A+1=（.T+1）口X+X='E+?

【答案】c

【解析】

【分析】根据因式分解的定义，将多项式写成几个整式相乘的形式，逐项判断选出正确答案.

【详解】A.3,T+3r-5=3（A-l-.r）-5,结果不是整式相乘的形式，不是因式分解；

B.0+1）汽-1，=1-1,结果不是整式相乘的形式，不是因式分解；

c.V+2.1+1=+结果是整式相乘的形式，是因式分解;

X+X-X（X+-）

D.X,结果不是整式相乘的形式，有分式，不是因式分解;

故选：C.

【点睛】本题考查判断是否是因式分解，掌握因式分解的定义是解题关键.

6.数学活动课上，小敏、小颖分别画了乙30和WER,尺寸如图，如果把小敏画的三角形面积记作

p，小颖画的三角形面积记作q,那么你认为（）

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积.过点A作月G_LBC交于点G,过点。

作Z）H_L歹E的延长线，交于点H,根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等可证明

根据全等三角形的对应边相等得出幺G=DH,结合题意可得这两个三角形是等底等

高的三角形，故面积相等，即可求解.

【详解】解：如图：过点A作aG_L3c交于点G,过点D作的延长线，交于点

贝jM=180°-130°=50°,

在A45G和△££//中，

ZAGB=4DHE=90。

4ABG=^DEH=50。

AB=DE=5

.一BG知。以小AAS）

・・\/，

,-.AG=DH,

•.•3C=即=4,

故3-短。=$_£SF,

即p=q.

故选：B.

7.如图，A&C中，AB<AC<BC,如果要用尺规作图的方法在3c上确定一点P,使

P4+4=BC,那么符合要求的作图痕迹是（）

【解析】

【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，线段垂直平分线的基本作图.根据题意得出以=&,即

点P在AC的垂直平分线上，结合垂直平分线的作法即可求解.

【详解】解：：尸月+尸8=3C,PC+PB=BC,

:.PA=PC,

.•.点尸在/「的垂直平分线上，

即点尸为RC的垂直平分线与的交点.

故选：D.

8.在学完《三角形》一章后，某班组织了一次数学活动课，老师让同学们自己谈谈对三角形相关知识的理

解.

小峰说：“存在这样的三角形，它的三条高的比为1:2:3.”

小慧说：“存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其它两边和的一半."

下面对于小峰和小慧的说法，判断正确的是（）

A.小峰和小慧均正确B.小峰和小慧均错误

C,小峰正确，小慧错误D.小峰错误，小慧正确

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，根据三角形面积和倍长中线说明即可.

【详解】解：如果三角形三条高的比是1：±3,根据等积法得到此三角形三边比为23，这

与

三角形三边关系相矛盾，故小峰说法错误；

倍长中线后利用三角形全等，可得到三角形中线的2倍小于其它两边和，即其一边上的中线小于其他两边

和的一半，故小慧说法错误，.

故两人都不正确.

故选：B.

第II卷

二、填空题（本大题共8小题，每题2分，共16分）

9.计算：（"-D=.

【答案】1

【解析】

【分析】根据零指数幕的意义即可求出答案.

【详解】：*一1。0,故答案为1.

【点睛】本题考查零指数塞的意义，解题的关键是熟练运用零指数幕的意义，本题属于基础题型.

10.如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在/出的垂线B尸上取两点0、D,使

BC=CD,再作出89的垂线。E,使A、C、E三点在一条直线上，这时测得的长就等于48

的长.判定和△RDC是全等三角形的依据是.

【答案】①.DE②.ASA

【解析】

【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，由对顶角相等，两个直角相等及30=。。，可以判断两个

三角形全等，所以判定全等的依据是A1A.

【详解】解：根据题意可知：

Z5=ZCD£=90°,BC=CD,ZACB=&CD,

在6力3。和△EDO中，

Z5=4CDE

，BC=CD

&CB=/ECD

.助。（）

••\ASA/，

:.AB=DE,

判定一.45C和△及）（7是全等三角形的依据是ASA,

故答案为：DE,ASA.

11.学校附近的胡同里，增设了几处有立体效果的图标，起到减速带的作用.该图形是由一个等腰三角形

和两个全等的平行四边形构成的五边形，则五边形相CD&的内角和.

【答案】540。

【解析】

【分析】本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和=（"-2）x180°,将加=5代入计算即

可.

【详解】解：五边形的内角和=（"2）x180°=540°,

故答案为:540°.

12.小明在做作业时，不慎把墨水滴在纸上，将一个三项式前后两项污染得看不清楚了，中间项是120'，

请帮他把前后两项补充完整，使它成为完全平方式（写出一种即可）原式为：

■+1知+■=

【答案】（6x+j）（答案不唯一）

【解析】

【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式的结构特征，即可求解.

【详解】解：.••UQ'=2X6XXJ,

故前后两项可以分别为36/和广，

即36/+12寸+）户=（6.r+.y）J

故答案为：（6、+丁）（答案不唯一）.

13.如图，在❷45。中，ZC=90\AD平分/CAB,BC=9cm,BD=6cm,那么点。到直线月B的距

离是___cm.

承索自

【答案】3

【解析】

【详解】CD=BC-BD=3cm,根据角平分线上的点到角两边的距离相等

14.如图，在平面直角坐标系'Or中，点8口:|,若点尸在平面直角坐标系中，且以0,A,P

为顶点的三角形与△Q43全等，则满足条件的尸点的坐标是.

【答案】(4一2)或(-2T)或(T2)

【解析】

【分析】根据题意，这两个三角形中Q4为公共边，故分△。期七°AB,

△。4鸟且»°8乙496/4。4£三种情况讨论，根据题意作出图形，进而求得点尸的坐标

【详解】解：如图，

①作3关于x的对称的点匕连接。

OB=OPVAB=APX

-：0A=0A

A。明知。AS

..5（4,2）

•/，

..邢4,-2）

②作々关于直线x=l对称的点片，连接。鸟，明，

则尚=。3。耳=明

又Q4=0A

：

.^OAP^AOP2

.A04叫“OB

则点々（T-2）

③作已关于％轴的对称的点"，连接/典，

则-^3=-^2,。月=。月

又：Q4=0A

“。平"。鸟

■..^AOP^OAB

则点片（一2二）

故答案为：（4一2）或（T一2）或（一：？）.

【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的

关键.

15.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角

的平分线.如图：一把直尺压住射线0B,另一把直尺压住射线0A并且与第一把直尺交于点P,小明

说：“射线0P就是NBOA的角平分线.”小明的做法，其理论依据是—

【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上

【解析】

【分析】根据角平分线的性质即可证明.

【详解】因为直尺的宽度一样，故点P到AO与BO的距离相等，故可知PO为角平行线.

【点睛】此题主要考查角平行线的性质，解题的关键是熟知角平分线的性质.

16.如图，平面直角坐标系中，点8、点°分别为I轴正半轴、轴正半轴上的动点，且在第二象限内存

在点A,使得A&C为等腰直角三角形，ZC4B=90°,AB=AC,若03）,'倍⑼（其中,

）（用含6,c的代数式表示）.

【答案】-,2

【解析】

【分析】过点A作RDJ_x轴交于点0,过点A作.轴交于点E,即可得出四边形4D0E是矩

形，根据直角三角形中两锐角互余、对顶角相等和等角的余角相等得出=根据两角及其

一角的对边对应相等的两个三角形全等可证明AHCE^ABD,根据全等三角形的对应边相等得出

AE=AD,CE=BD,根据一组邻边相等的矩形是正方形得出四边形功08是正方形，根据正方形的

0£=—

四条边都相等得出血=.=。月=00,结合题意可求得-,根据点A在第二象限，即可求

出点A的坐标.

【详解】解：如图：过点A作幺。_1_1轴交于点Z）,过点A作花轴交于点

vZC/5=90°,£COB=90°,

.­.ZACE+ZAEC=90°,NABD+NBEC=90。,

­：ZAEC~Z.BEO,

.\ZACE=ZABD,

在△>!（卫和一中,

rAAEC=ZADB=9Q0

<ZACE=ZABD

AC=AB

.^ACE^ABD(AAS)

:.AE=AD,CE=BD,

故四边形血)OE是正方形，

故AD-AE-OE=OD,

..C(0,c)B(bO)

：.OC=c,OB=b,且c>b,

故CE=OC-OE=c-OE,BD=OB+OE=b+OE,

所以2,

•.•点A在第二象限，

c-b_b-cc-b

故点A的横坐标为22,点A的纵坐标为2,

fb-cc-6)

故A点坐标为〔2,2J.

b—cc-b

故答案为：—,

【点睛】本题考查了矩形的判定，直角三角形的性质，对顶角相等，等角的余角相等，全等三角形的判断

和性质，正方形的判定和性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.

三、解答题：(本大题共10小题，共68分.其中17、19、21题，每题8分，18、20、22-

24每小题6分，25、26每小题7分)

17.计算：

⑴(A--1)(.T+3)-2.V3

⑵(I)'+x(x-3)

【答案】(1)-『+[,-3

⑵2.X3-7.V+4

【解析】

【分析】本题考查了整式混合运算，重点是多项式乘多项式法则以及完全平方公式的运用；

(1)先算乘法，再合并同类项；

(2)先用完全平方公式(0±"[=/±2^+*去括号，再算加减；

【小问1详解】

原式=.<+3.V-T-3-

=-.x2+2x-3；

【小问2详解】

原式=X2-4X+4+T2-3X

=2A？-7x+4.

18.先化简，再求值：(4x+l)(4“-1)一(才+6.33父，其中1=_].

【答案】12x:+2x-l,9

【解析】

【分析】此题主要考查了整式化简求值，先利用整式的乘法和除法运算法则运算，再合并同类项，再把已

知数据代入得出答案.

【详解】解：原式=16『-l-4「+2x

=12X2+2X-1

将1=-1代入，原式=Ux(-1)2+n-1)-1=9.

19.分解因式：

(1)3az-6ab+3b2.

33

(2)x(m-2)+y(2-w)

【答案】(1)3(°一切

⑵(*2)(x+M(xr)

【解析】

【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用.

(1)先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可；

(2)先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可

【详解】(1)解：3a2-6ab+3b2

=3[a2-2ab+b2)

=3(a-6)3.

⑵/(加-2)+J(2-加)

=(w-2)(x3-y3)

=(w-2)(x+y)(x-y)

20.如图，点在一条直线上，且月E若Nl=/2,EC=FB.求证：/E=NF.

E

H

ABCD

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】由N1=N2,根据补角的性质可求出N03尸=N2CE,根据AB=CD可得EC=D3,根据

94s推出MCEwAD即，根据全等三角形的性质即可得出答案.

【详解】•.•/l+NDBF=180°,Z2+ZACE=180°.

又—二

.-.ZDBF=ZACE,

vAB=CD,

.-.AB+BC=CD+BC,

即AC=DB,

'EC=FB

'4ACE=4DBF

在AACE和ADBF中，［AC=DB

AAACE=ADBF(SAS)；

4=ZF.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，能证明2UCE三尸是解此题的关键.

21.将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫

做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值，求

-4a+3的最小值.

解.a2-4a+S=a2-4a+23-23+3=(a—2)3-1

:不论。取何值，(°-»总是非负数，即①一〜-0,

,,(。-2)々NT；即当a=2时，J-4a+3有最小值-1,

根据上述材料，解答下列问题：

(1)求4a-6的最小值；

⑵若"=%、3a,NuBa'+S,比较M、N■的大小(写出比较过程)；

(3)若三角形中某两边a、3满足a'+/-6a-143+58=0,求a+6.

【答案】⑴-io

⑵M〈N

⑶a+b=10

【解析】

【分析】本题考查了完全平方公式，配方法的应用，整式的加减运算.

(1)利用完全平方式的非负性求解即可；

(2)先化简M-N,再结合完全平方式的非负性得出即可求解；

(3)先利用完全平方式的非负性，得出。=3,b=7,再代入求代数式的值即可.

【小问1详解】

貂a2-4a-6=(a2-4a+4)-10=(a-2)i-10

用牛：•

..(a-2)3>0

・\7，

.(a-2)3-10^-10

•・\'，

.•.当a=?时，一4a-6有最小值-10.

【小问2详解】

解：•.•M=2a、3a,"=3a、5,

M-N=2a，+3a-(3a'+5)=—a3+3a—5=—(a————

(3丫1111

-a————S——

I"44,

即<0,

<N.

【小问3详解】

解：：a"+b"-6a—14》+58=0,

-6a+9+/-14b+49=0,

.(<7—3)3+(6—7)3=0

••，

:.a=3,b=1,

\*a+b=3+7=10.

22.如图，在一月3C中，NR4C=90°,AB=AC,。是幺C边上一点，连接BD,ECLAC,且

AE=BD,AE与BC交于点F.

A

D

BF\Z

F

（1）求证：CE=AD；

（2）当/。尸8=/刃。3时，求证：平分/四。.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】此题考查全等三角形问题，关键是根据HL证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答.

（1）根据HL证明出二口4后与Rt75Z）全等，进而解答即可；

（2）先根据全等三角形的性质得到/反40=乙450,ZE=ZADB,即可证明乙4G。=90°,再证明

/CFE=NE=ZADB=ZAFB,最后根据乙430+乙42加=90°,ADBC+AAFB=90°,得到

UBD=-DBC,即可说明角平分线.

【小问1详解】

证明：ABAC=90°,

乙4CE=N44C=90。，

在Rt—C4E与RtZ^45。中，

'CA=AB

'AE=BD

.RtAC4£^RtA^Z）（HL：i

..CE=AD.

【小问2详解】

由（1）得RtAC4ESRt△也。，

..AEAC=ZABD,ZE=ZADB,

-.-AABD+AADB=90°,

...N瓦4C+乙4Zm=90。，

...ZXGD=90°,

.-.ZAGD=AAGB=ABGF=90°,

.,ADBC+AAFB=90°,

•；NCFE=NADB,匕CFE=UFB,

./CFE=NE=ZADB=ZAFB,

ZABD=^DBC,

3D平分/ABC.

23.当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如：由下图可得等式:

(a+»)(a+b)=

abb

bba

(i)已知等式：(a+3+c)=/+'+c'+2ab+2ac+»c,请仿照下图构造相应的图形(画在答题

纸指定位置)；

(2)利用(1)中等式，解决下面的问题：

①已知a+Z?+c=ll,ab+bc+ac=38,求的值；

②已知S-cr=4<a-5i(c-aj,用等式表示。、6、C之间的关系，并证明.

【答案】(1)图见解析

(2)①45；②2a=6+c,证明见解析

【解析】

【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，多项式乘多项式的运算，完全平方公式的计算.

(1)根据等式，画一个边长为m+6+c'的正方形，即可求解；

(2)①根据(1)中等式，代入计算即可求解；

②将己知等式根据整式的乘法法则整理得出4炉+3+--4ac+2bc-4ab=0,设。=x,b=寸，

c=一二，则x-T-：=a+b+c,结合(i)中等式将等式转换为

3323

(2x)+v+5+2(2x)r+23c+2(2x)-,v=(2.T+.v+s)=0)得出(％-6-c尸=0,即可求解.

【小问1详解】

解：如图：

b

可得(a+b+c1=a3+b2+c3+2ab+2ac+2bc

【小问2详解】

解：①：a+b+c=11,ab+bc+ac=38,

.a~+3"+c-=ia+6+c)—2(ab+ac+bc)

=121-76

=45；

②2a=b+c,

证明如下：•.,S-c)=63-2hc+c3

4(a-b)(c-a)=4(ac-a，-6c+ab)=Aac-4a3-Abe+4ab

故/-2bc+c2=4ac-4a2-4bc+Aab,

即4a2+V+c2-Aac+2bc-4ab=0,

设。=Y，b=-y,c=-z,则》一了一二=a+6+c,

将4aW+c'-4ac+2c-4而=0整理为

(2x)2+y3+c3-4x(-c)+2(-y),(-：)-4小(-y)=0

即(2.T)3+V+J+2(2.r)r+2;-:+2(2.r)V=0,

根据(0+'+c)'=/+/+T+1”"-ac+2bc,可得

(2x)3+j>3+二W(2办二+2产+2.(2x>y=(21+”二)’=0

gp(2a-b-c)3=0,

故:!a=6+c.

24.如图，在KHBC和24DE中，-AB=AC,AD=AE,Z.BAC+/.DAE=180°,F为BE的中

点，连接心，求证：CD=2AF.

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】延长游到G,使FG=AF,连接BG,证明ABFG=^EFA,可得

GB=AE,dGB=£FAE,从而得到HE〃月G,进而得到乙MG+/助E=180。，再由

ABAC+Z.EAD=180°,可得到乙45G=NCAD,然后根据4?=AE,可得4D=GB,可证得

AABG=^CAD,即可求证.

【详解】证明：延长”到G,使尸G=HF,连接EG,

,-.AG=2AF

•.F为BE的中点，

：.FE=FB,

在ABFG和弘中，

'FE=FB

'Z.GFB=ZAFE

FG=AF

A5RGWAB24(SAS)

•••''，

...GB=AE.&GB=ZFAE,

:,AEBG,

.•.ZASG+NBAS=180°,

又：/班。+/反4。=180。，

"BAE+ACAD=360°-180°=l80°,

...ZABG=ACAD,

又；AD=AE,

：.AD=GB,

在口月BG和ACAD中

rAB=AC

</ABG=NCAD

BG=AD9

^ABG=^CAD(SAS)

：.AG=CD,

.-.CD=2AF.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和

性质是解题的关键.

25.定义：如图1,A,B为直线2同侧的两点，过点A作直线/的对称点连接交直线；于点

P,连接力P,则称点P为点A,B关于直线2的“等角点”.

=AE,ZBAC~ZDAE,连接OE、BD.

图2

(1)猜想3。与的数量关系是；并证明你的结论.

(2)延长CE交邮的延长线于点N■，延长3。至点使DM=EN,连接4M.

①先补全图形.

②求证：点A为点C,M关于直线的"等角点”.

【答案】(1)BD=CE,证明见解析

(2)①图见解析；②证明见解析

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等角的补角相等，正确理解“等角点”的

概念是解题的关键.

(1)根据题意=N朋。，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出

-CAE^-BAD,根据全等三角形的对应边相等即可证明；

(2)①根据题意，作图即可求解；

②根据全等三角形的对应角相等得出乙卫乃=乙四0,根据等角的补角相等得出乙如“=乙超"，根

据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出」全等三角形的对应角相等得出

/-DAM=AEAN,推得乙区4N=ZDAS,即AMAN=ABAC,过点M作关于3N■的对称点M',

连接‘4M',根据对称的性质可得出乙帆4N=NM4M=NR4C,推得C、A、M'三点共线，在结合

“等角点”的定义即可证明.

【小问1详解】

解：BD=CE,

证明如下：

vZZ)Aff=ZA4C,

.-.ZDAE+ACAD=ABAC+ZCAD,

即/。45=乙5肛

在LCAE和ABAD中，

'AC=AB

<ACAE=ABAD

•.・LAE=AD，

.AC4£^A54D(SAS)

.\BD=CE,

故答案为：BD=CE.

【小问2详解】

①解：如图：

,-.ZADB=ZAEC,

•••ZADAf+ZADB=180，°ZAEN+ZAEC=^0°，

即ZADM=ZAEV,

在L\ADM和LXAEN中，

'AD=AE

«ZADM=ZAEN

DM=EN，

.△月初