第17章 勾股定理（单元测试·基础卷）-2023-2024学年人教版八年级数学下册专项突破

第17章勾股定理（单元测试-基础卷）

【要点回顾】

【要点一】勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形两直角边a、Z?的平方和等于斜边c的平方.（即：«2+ZJ2=C2）

2.勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：

（1）已知直角三角形的两边，求第三边；

（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；

（3）求作长度为赤的线段.

【要点二】勾股定理的逆定理

1.原命题与逆命题

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其

中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.

2.勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a、b、C,满足4+〃=02,那么这个三角形是直角三角形.

应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：

（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为C；

（2）验证与/+〃是否具有相等关系，若/+廿=02,则4ABC是以/C为直角的直角三角形，反

之，则不是直角三角形.

3.勾股数

满足不定方程V+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以X、y、Z

为三边长的三角形一定是直角三角形.

常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.

如果（。、b、c）是勾股数，当t为正整数时，以ahbt、cf为三角形的三边长，此三角形必为直角三

角形.

观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：

1.较小的直角边为连续奇数；

2.较长的直角边与对应斜边相差1.

3.假设三个数分别为a、b、c,且a<b<c,那么存在片=b+c成立.

【要点三】勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.下列

各组数中，是"勾股数”的是（）

A.2,3,4B.4,5,6C.7,8,9D.6,8,10

2.消防云梯的长度是13米，在一次执行任务时，它只能停在离大楼5米远的地方（云梯底端离地面

高度忽略不计），则云梯可以达到建筑物的高度是（）

A.12米B.13米C.14米D.15米

3.公园有一块长方形草坪，芳芳同学发现有极少数人为了走捷径，践踏草坪走出了一条路A3,为了

倡导人们爱护花草，建议公园管理人员在A处立一个标牌：“小草青青，脚下留情”.经过测量得知：AC两

处的距离为4m,8,C两处的距离为3m,则践踏草坪少走的距离是（）

A.3mB.4mC.5mD.2m

4.如图：4x1网格中每个正方形边长为1,表示遥长的线段是（）

O

A.OAB.OBC.OCD.OD

5.如图，已知点4（6,0）,3（0,8）,点P在〉轴负半轴上，若将沿直线AP折叠，使点8的对应点

恰好落在无轴正半轴上的点B处，则点尸的坐标是（）

A.（0,-10）B.（0,-12）C.（0,-14）D.（0,-16）

6.已知成比例的四条线段的长度分别为6cm,12cm,xcm,8cm，且AABC的三边长分别为xcm,3cm,

5cm,则44BC是（）

A.等边三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.无法判定

7.如图，点P在/AO3内部，点片与点尸关于OA对称，点鸟与点尸关于对称.甲、乙两位同学

各给出了自己的说法：甲：若4408=30。，则△耳。鸟是等边三角形；乙：若6£=夜8,则幺理=135。.对

于两位同学的说法，下列判定正确的是（）

A.甲正确B.乙正确C.甲、乙都正确D.甲、乙都错误

254

8.如图，在AACD中，AC=3,CD=4,。£，4）于点后，以A。为直径的半圆的面积为丁，那

8

么CE的长是（）

C.5D.2兀

9.四个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，形成两个正方形，大正方形的面积为60cm，空

白区域所示的小正方形面积为48cm2.将图1中的直角三角形分别沿着斜边往里翻折，形成如图2所示的更

小正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为名优。＞加，则代数式（。-6）的值为（）

C.12D.18

10.如图，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为6cm,底面半圆直径AC为4cm,点A处有一只蚂蚁沿

如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心8处的食物，则爬行的最短路程是多少（兀取3）（）

A.6y/2B.8C.2病D.10

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11.若6,8,10之间满足的等量关系是6?+82=102,则边长为6,8,10的三角形是.

12.小亮家有一个高3m、宽2m的大门框（如图），为了防止其变形，他在对角线（图中虚线）的两

端点间加固两根木条，则其中一根木条的长度为m.

13.若R/0ABe两直角边上的中线分别是AE和80,则人序+及M与人所的比值是.

14.如图，A3为一段斜坡，已知斜坡的高AC=3m,水平长度BC=2jT5m,现要在斜坡A3上铺上

红地毯，则至少需要红地毯的长度（即A3的长度）为m.

15.如图，在原点为。的数轴上，作一个两直角边长分别是1和2,斜边为。3的直角三角形，点A在

点。左边的数轴上，且Q4=O3,则点A表示的实数是

16.荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动.小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里

一架秋千的绳索AB的长度.如图.他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度3c=1m,将踏板往前

推送，使秋千绳索到达。的位置，测得推送的水平距离为6m,即DE=6m.此时秋千踏板离地面的垂直高

度£>b=3m.那么，绳索的长度为m.

17.如图，在小正方形边长为1的方格中，以线段A8、BC、为边的三角形的面积为

（2）若03=8,AB=10,点A在点。的北偏西50°方向，则点B在点O北偏东度的方向上.

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

19.（8分）政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区.已知NC=90。，AB=200m,

AD=150m,BC=70m,CD=240m.政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元.通

过计算说明政府投入的费用是否够用.

20.（8分）如图，点B在。C上，ZAOB=90°,OA=OB=^OC,AC=2A/10,求AB的长为多少？

21.（10分）如图，某校有一块三角形空地A3C,ZACB=90°,为了更好的落实"双减"政策，丰

富孩子们的课业生活，学校计划将该三角形空地改造成多功能区域，现要求将三角形ACD区域设计成手工

制作区，其余部分设计成健身区，经测量：CD=3O米，AD=40米，BC=120米，AB=13O米.

（1）求NADC的度数；

（2）求图中健身区（阴影部分）的面积.

C

AB

22.（10分）如图，在AABC中，ZC=90°,BC^a,AC=b,AB^c.延长CB到点。，使瓦）=6；

过点。作8的垂线并在垂线上截取=连结BE和AE.求证:

（1）AB=BE,AB±BE.

（2）利用此图的面积表示式证明

23.（10分）如图，将等边ADEF放在含有30。角的直角三角板ABC上（ZA=9O°,ZC=30°）,

使E尸落在线段AC上，DE与。尸分别交边8c于点从G,其中FG=2.

（1）证明：GF=FC；

（2）求CG的长.

24.（12分）已知等边AABC,点。、点B位于直线AC异侧，ZADC=30°.

（1）如图1,当点。在8C的延长线上时，①根据题意补全图形；②下列用等式表示线段AD,BD,

。之间的数量关系：I.AD+CD=BD；II.AD2+CD2^BD2,其中正确的是（填"I"或"II"）；

（2）如图2,当点。不在BC的延长线上时，连接3。，判断（1）②中线段A£）,BD,CD之间的正

确的数量关系是否仍然成立.若成立，请加以证明；若不成立，说明理由.

C

图2

参考答案:

1.D

【分析】根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解.

解：A、22+32^42,不是"勾股数"，故本选项不符合题意；

B、42+52^62,不是"勾股数"，故本选项不符合题意；

C、72+82^92,不是"勾股数"，故本选项不符合题意；

D、62+82=102,是“勾股数"，故本选项符合题意；

故选：D

【点拨】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若满足片+62=02的三个正整数,

称为勾股数.

2.A

【分析】根据题意画出图形，再利用勾股定理求解即可.

解：如图，

回梯子的底端离建筑物5米，梯子长为13米，

0AC=7132-52=12（米）・

答：云梯可以达到建筑物的高度是12米.

故选：A.

【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解

决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.领会数形结合

的思想的应用.

3.D

【分析】本题考查了勾股定理.熟练掌握勾股定理是解题的关键.

由勾股定理得，AB=y/AC2+BC2=5-根据AC+3C-AB,计算求解即可.

解：由题意知，AC=4m,BC=3m,

由勾股定理得，AB=yjAC2+BC2=5m>

回AC+BC—AB=2m,

团则践踏草坪少走的距离为2m,

故选：D.

4.B

【分析】利用勾股定理求出每条线段的长，再进行判断即可.

解：由勾股定理得，。4="乔=应

OB=df+联=6，

OC=Vl2+32=A/10-

0£>=在+42=岳,

•••表示正应为线段08.

故选：B.

【点拨】本题考查在网格中表示无理数的长，掌握勾股定理求线段的长是解题关键.

5.B

【分析】根据勾股定理求得,设尸(0/),/<0,根据折叠的性质得出AB，=AB=10,P?==8T,

在Rt△尸OB'中，勾股定理即可求解.

解：团点4(6,0),3(0,8),

回OA=6,OB=8,

0AB=VO*A2+OB2=10>

回将AFAB沿直线AP折叠，使点6的对应点恰好落在尤轴正半轴上的点处,

SAB'=AB=W

SOB'=OA+AB'=10+6=16,

设P(0j),r<0,

0PB'=PB=8—t

在Rt△尸O?中，OP=-t,

0(-r)2+162=(8-f)2

解得：t=-12,

回尸的坐标为(O,T2)

故选B.

【点拨】本题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

6.C

【分析】本题考查了成比例线段和勾股定理的逆定理，掌握成比例线段定理是解答此题的关键.根据

题意求出尤的值；然后再根据勾股定理的逆定理，确定三角形的形状即可.

解：•••四条线段成比例，

「•6:12=x:8

解得：x=4；

AABC的三边长分别为xcm,3cm,5cm,32+42=52,

「•AABC是直角三角形，

故选：C.

7.C

【分析】连接。尸，根据对称的性质以及垂直平分线的判定和性质可得。尸=04,OP=OP2,

ZPlOA=ZPOA,ZP2OB=ZPOB,推得。尸=O/]=O£,ZP.OP,=2ZAOB,根据等腰三角形的性质和三角

形内角和定理可求得N"鸟=180。-乙4。氏若ZAOB=30。，求得/片。2=60。，根据等边三角形的判定即

可证明甲同学的说法正确；若6吕=在8,根据勾股定理的逆定理可推得90。，即可证明乙同学

的说法正确.

解：连接。尸，如图：

回点A与点尸关于Q4对称，点八与点尸关于08对称，

即OA是小的垂直平分线，是尸鸟的垂直平分线，

回O尸=。《，OP=OP2,ZP,OA=ZPOA,ZP2OB=ZPOB,

^\OP=OP[=OP2,

又团ZAOB=NPQ4+ZPOB,

回

APXOP2=APXOA+ZAOB+AP2OB=2ZAOB,

在等腰三角形4。尸中，4PoJ80°一;尸邛=90。_；NPO[,

在等腰三角形尸中，组

60PO='Cl。7°、=90o_lzpOp2,

则/垃PR=NRPO+ZP2PO=180°--NROg=180°-ZAOB；

若ZAOB=30°,则N[。鸟=2ZAOB=60°,

又回。6=。巳，

回为等边三角形，故甲同学的说法正确；

若他=0OP,

团OP=OPi=OP2,

即他=描当=技线，

则初,。月，。心满足4鸟2=。尸+。牙,

回△《06为直角三角形，

回=90°,

则/RP鸟=180°-1NROB=180。-45。=135。，故乙同学的说法正确；

故选：C.

【点拨】本题考查了对称的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，

等边三角形的判定，勾股定理的逆定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键.

8.A

257r

【分析】根据以AZ）为直径的半圆的面积为P，可求得AP=5,再由勾股定理的逆定理确定△ACD为

O

直角三角形，然后借助AACD的面积求解即可.

25万

解：根据题意，以切为直径的半圆的面积为丁，

O

e,[,.17257r.

则有彳%（zF­）=k，解hT得AD=5,

22o

又回AC=3,CD=4,

回AC?+CD?=32+42=25=AD2,

回△ACD为直角三角形，

团CE_LAZ）,

SISAACD=^AC-CD=^AL>-CE,

gp|x3x4=1x5xCE,解得CE=2.4.

故选：A.

【点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理、半圆的面积等知识，利用勾股定理的逆定理证明AACD为

直角三角形是解题关键.

9.B

【分析】本题考查勾股定理以及完全平方公式，注意观察图形：发现各个图形的面积和a,b的关系是

解决本题的关键.根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：图1中：大正方形的面

积为（。+勾2=60,小正方形的面积为6+〃=48,则四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正

方形的面积为2必=12.在图2中，最中间的正方形面积为（a-Bp,也可以用图1中的小正方形面积减去

四个直角三角形的面积，即48-2仍=36,即可求解.

解：根据题意，得4x^aZ?=60-48,

2

回2ab=12,

0（a-Z?）2=48-2。6=36,

Sa-b=6.

故选：B.

10.D

【分析】此题考查平面展开-最短路径问题.要求蚂蚁爬行的最短距离，需将半圆柱的侧面展开，进而

根据"两点之间线段最短"通过勾股定理得出结果.

解：将圆柱的侧面展开为矩形，

其中AC为半圆的弧长［乃•d=6cm,CD为半径的长2cm,BD=6cm,

2

根据勾股定理可得AB=V62+82=10（cm）,

故爬行的最短路程为10cm.

故选：D

11.直角三角形

【分析】根据勾股定理逆定理判断即可.

解：因为6+8?=102,

所以边长为6,8,10的三角形是直角三角形.

故答案为：直角三角形.

【点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理，理解勾股定理逆定理是解题的关键.

12.V13

【解析】略

13.5：4

【分析】由勾股定理可得AE2=AC2+CE2①，BD2=BC2+CD2@,AC2+BC2=AB2,再将等式变形为：

AE2+BD2=AB2+CD2+CE2,结合三角形中线的性质可得进而可求解.

解：如图，I3C=9O°,

A

由勾股定理可得：A£2=AC2+CE2①，BD2=BC2+CD2②,AC2+BC2=AB2,

①+②得AE2+8r)2=Ac2+CE2+2C2+Cr)2=AB2+cz)2+cE2,

0AE,8。是0A8C的中线，

SCD=^AC,CE=《BC,

回82+加=(44C)2+(^BC)2」A¥,

224

SAE2+BD2=AB2+-AB2=-AB2,

44

即AEr+BD2与4#的比值是5：4.

故答案为：5：4.

【点拨】本题主要考查勾股定理，三角形的中线，灵活运用勾股定理解题是求解的关键.

14.7

【分析】根据勾股定理直接求解即可.

解：ElAC=3m,BC=25m,

团在直角三角形ABC中，

AB=y/BC2+AC2=42回j+3?=7m,

故答案为：7.

【点拨】本题考查了勾股定理的应用，比较简单，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

15.-75

【分析】根据勾股定理求出直角三角形斜边的长度，也就求出了Q4的长，结合图中点A的位置确

定点A表示的数.

解：由题知，在直角三角形中，根据勾股定理得，

直角三角形的斜边03=彳导=6,

贝ijOA=OB=5

回如图，点A是以原点。为圆心遥为半径作弧与数轴的交点，

回点A表示的数为-君.

故答案为：-亚.

【点拨】本题考查了实数与数轴，根据勾股定理确定斜边的长度，即确定。4的长度是解答本题的关键.

16.10

【分析】先根据题意得出EC=DR=3ni,AB=AD,在设AE=.xm,得至!]AB=(x+2)m,最后根据勾

股定理求解即可.

解：由题意可知：BC=Im,DE=6m,EC=DF=3m,AB=AD,

AE=xm,贝！jAB=AD=AE+£B=AE+(EC_BC)=(x+2)m,

在RtA4£D中，AE2AD2-DE2>

0x2=(X+2)2-62,

解得x=8,

0AB=8+2=10(m),

故答案为：10.

【点拨】本题考查了勾股定理的应用，读懂题意并熟练运用勾股定理是解题的关键.

17.y/lQ

【分析】结合图形根据勾股定理求得线段A&BC、CD的长度，从而得出8C2+3C2=AB2,推出以线

段A3、BC、C。为边的三角形是以线段为斜边的直角三角形，进而根据直角三角形的面积公式求解即

可.

解：在RtHABZ)中，AB=[Ab2+BEP=及+3。=岳，

同理，BC=M+22=5DC"”=26,

回(指)2+(20)2=(可)2,

即BC2+DC2=AB2,

回以线段AB、BC、为边的三角形是以线段A8为斜边的直角三角形，

回该直角三角形的面积为：!BCx£)C=1x^x2A/2=Vw.

z2

故答案为：Vio.

【点拨】本题考查三角形的面积，解题的关键是由三角形三边满足/2+%2=四2得出该三角形是

个直角三角形，从而利用直角三角形的面积公式求解.

18.6A/340

【分析】(1)根据勾股定理直接求解即可得到答案；

(2)根据勾股定理的逆定理得到NAO3=90。，再由方向角定义，互余定义列式求解即可得到答案.

解：(1)在AAQB中，/AOB=90。，AB=12,OA=6,则由勾股定理可得

OB=VAB2-OA2=A/122-62=6百，

故答案为：6百；

(2)如图所示：

在AAOB中，OA=6,OB=8,AB=10,贝UOA。+05?=AB?,

ZAOB=9G°,

:点A在点。的北偏西50°方向，

ZAOC=50°,

..ZBOC=90°-50°=40°,

.,.点8在点。北偏东40度的方向上，

故答案为：40.

【点拨】本题考查勾股定理求线段长、勾股定理的逆定理及方向角，熟记勾股定理、勾股定理的逆定

理及方向角定义是解决问题的关键.

19,够用，理由见分析

【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用定理及其逆定理是解题的关键.

根据勾股定理的逆定理得到NA=90。，根据三角形的面积公式即可得到结论.

D

C

A、B

解：连接30.

ZC=90°,BC=70m,CD=240m,

BD=y/BC2+CD2=A/702+2402=250m-

0AD2+AB2=22500+40000=62500=BD2,

.•.△ABD是直角三角形，且ZA=90。.

回四边形ABCD的面积为：

-x200xl50+-x240x70=23400(m2).

22v7

所以所需费用为：23400x100=234(万元).

234<240,

回投入的费用够用.

20.AB=2叵

【分析】根据勾股定理计算即可.

解：SZAOB=90°,AC=2A/10,OA=^OC,

EOA2+OC2=AC2,

即。42+(3。4『=40,

得1001=40,

即OA=2,

^OA=OB,

^AB=y/o^+OB2=V22+22=272.

【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键.

21.(1)ZADC=90°；(2)2400平方米

【分析】本题考查勾股定理定理和逆定理，三角形的面积，掌握勾股定理和逆定理是解题的关键.

(1)先利用勾股定理求出AC的长，然后再利用狗狗股定理的逆定理得到△ADC是直角三角形即可;

(2)利用三角形的面积解题即可.

解：（1）因为NAC3=90。，3c=120米，AB=130米,

所以AC=JAB?-BC。=J130?一吃。？=50（米），

因为CD=30米，AT>=40米，

所以AD?+CD2=AC2=2500-

所以△ADC是直角三角形，ZADC=90°.

（2）图中阴影部分的面积=1ACX3C—LAOXO）=UX50X120-LX40X30=2400（平方米）.

2222

22.（1）见分析；（2）见分析

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理.

（1）证明V3Z宏式VACB即可；

（2）梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，即可得证.

解：（1）证明：^\DEYBD,

EZr）=ZC=90°,

回DE=BC=a,AC=BD=b,

国VBDEAACB,

团A3=BE,/A