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文档简介
专题08几何证明(解答题23题)
1.(2025•上海徐汇•一模)如图,在梯形ABCD中,AD〃BC,是梯形ABCD对角线,BD?=ADBC.
(1)求证:ADCD=ABBD;
CD2_CE
(2)以8为一边作NCDE=ZADB,DE交边BC于点、E,求证:
BD2-AD
2.(2025・上海虹口•一模)如图,在RtaMC中,NA8C=90。,点。在边AC上,过点。作。E垂直AC交
于点E,连接EC、BD交于点F.
⑴求证:^ABD-^ACE;
(2汝口果3C=8E,求证:^CE2=BFBD.
3.(2025・上海宝山•一模)学完“相似三角形”之后,小明和同学尝试探索相似四边形的判定与性质,以下
是他们的思考
【定义】如果两个四边形的四个角对应相等,四条边对应成比例,那么这两个四边形相似.两个相似四边
形的对应边的比等于相似比.
【思考】类比相似三角形,对相似四边形的判定与性质提出了许多猜测,如:
①四条边对应成比例,且有一组角对应相等的两个四边形相似;
②四个角对应相等,且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似;
③相似四边形的面积的比等于相似比的平方.
边AD、AB上的点,AE^AB,AF=^-AD,试求四—.的值.
22»四边形CDG6
BC
4.(2025・上海青浦•一模)已知:如图,点。、E分别在VABC的AB、AC边上,AE=EC,AE2=^ADAB,
联结。E.
(1)求证:^ADE^AACB;
(2)取AD的中点/,联结EF、BE,求证:NDEF=NCBE.
5.(2025・上海黄浦・一模)已知在VABC中,CO平分/ACB,E是C。延长线上一点,AE=AD,尸是AB
延长线上的点,连接CP.
⑴证明:KEASACDB;
BDBF
(2)如果b〃AE,求证:
AD-CF
6.(2025・上海松江•一模)如图,在VABC中,AB=AC,AD1BC,BEVAC,垂足分别为点。,点
E.AF〃BC,交砥的延长线于点F.
D
⑴求击第唉
⑵求证:2AB班'BC.
7.(2025・上海金山•一模)已知:如图,点E是平行四边形A3CD的对角线3。上的一点,射线AE与DC交
于点尸,与2c的延长线交于点//.
⑴求证:AE2=EFEH;
(2)连接若DH=AB,AD2^AEAH,求证:四边形ABCD是菱形.
8.(2025•上海闵行•一模)如图:在四边形ABCD中,对角线8。平分/ADC,且BD=AD,点E在线段3D
上且DE=OC,连接AE并延长交2C于点P,连接CE并延长交A3于点G.
⑴求证:AE=BC-
(2)求证:AGEF=FCBG.
9.(2025•上海普陀•一模)已知:如图,梯形ABC。中,AD//BC,为对角线,BD1=ADBC.
⑴求证:ZABD=NC;
(2)E为BC的中点,作N£)EF=NC,EF交边AD于点F,求证:2AB-DE=BD-EF.
10.(2025・上海崇明•一模)如图,在VABC中,AD是边3c上的中线,点E在AD上(不与A、。重合),
连接8E、CE,并延长CE交A3于点£NDCE=ND4C.
BDC
(1)求证:ADBES^DAB;
(2)当/BED=NACF时,求证:一=—.
11.(2025•上海杨浦•一模)已知:如图,VABC中,NA=90。,点。是AB边上一点,过点3作交
CD延长线于点E,ADBC^BECD.
⑴求证:BE2=ED-EC
(2)求证:ABBC=2CE・BE.
12.(2025・上海长宁•一模)如图,在VABC中,点。、E分别在边A3、3c上,连接CD、AE交于点尸,
AF=FC,ZADC=ZACB.
⑴求证:AC2=CDAE;
(2)如果点E是边2c的中点,求证:BC2=2ADAB.
13.(2025・上海静安•一模)己知:如图,在梯形A3CD中,AB//CD,连接AC、BD,VABC是等边三角
形,DE//BC,DE与AC交于点E,ZADB=2ZDBC.
(1)求证:AADESABBC;
(2)求证:点E是线段AC的黄金分割点.
14.(2025・上海奉贤•一模)已知,如图,在VABC中,点。在边AC上,点M、N在边BC上,AB是线段
AO与AC的比例中项,ZBAN=ZCAM,AM,4V分别交3。于点E、F.
(2)若点。为边的中点,连接ON,5.BD2=2BN.BC,求证:ON\\AB.
15.(2025・上海嘉定•一模)如图,在VABC中,ZBAC=90°,AB=AC,点E是边AB的中点,连接CE,
作AFLCE,垂足为点尸,连接
(1)求证:△EFBs/\EBC;
DFr-
⑵取BC边的中点。,连接。尸,求证:—=V2.
16.(2025•浦东新区一模)如图,在△ABC中,ZABC=90°,点D是边AB上的一点,联结CD过点
B作BELCD,垂足为点E。
(1)求证:ABDEs^CBE;
(2)如果A3=BC,联结AE并延长,与边8C相交于点?当点厂是BC的中点时,求证:BD2=A£)MB.
专题08几何证明(解答题23题)
1.(2025・上海徐汇•一模)如图,在梯形A3CD中,AD〃3C,是梯形ABCD对角线,BD?=ADBC.
CD2CE
(2)以CD为一边作=交边BC于点E,求证:后=茄.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质,熟练掌握相似三角形的判定方法,证明三角形相似,是解题
的关键:
(1)证明AADBSRBC,即可得证;
(2)证明ACDESACD3,得到CD?=KC-3C,结合台犷=4).5。,即可得证.
【详解】(1)•.•A£)〃3C,
:.ZADB=ZCBD,
BD2=ADBC,
.ADBD
:.AADBS公DBC,
.ADAB
,茄一而‘
:.ADCD=ABBD;
(2)作NCDE=NADB,DE交边BC于点、E,
由(1)得ZADB=NCBD,
:./CDE=/CBD,
又NC=NC,
:.ACDES^JBD,
ECCD
,•而―沃'
:.CD-=ECBC,
又BD°=AD-BC,
.CD^_EC-BC_EC
,BD7-ADBC-AZ)'
2.(2025•上海虹口•一模)如图,在RtaABC中,NABC=9(T,点。在边AC上,过点。作OE垂直AC交
A3于点E,连接EC、BD交于点、F.
(1)求证:AABDFACE;
(2)如果3c=BE,求证:^CE2=BFBD.
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识:
AnAJ7AV)AD
(l)由乙4DE=NA2C=90。,NA=NA,证明AADEs△至c,得把=空,所以把=竺,则;
ABACAEAC
(2)由相似三角形的性质得NASD=/ACE,推导出/3r>C=N8EC,由3。=3后,NCBE=90°,得
ZBCF=ZBEC,CE2=BC2+BE2=2BC2,贝!]Z.BCF=Z.BDC,BC2=gcE?,而NFBC=NCBD,所以
RF1
小FBCs△CBD,则—――,所以BC2=BF-BD,则力CE?=BF-BD
BDBC2
【详解】(1)vZABC=90°,DE±AC
:.ZADE=ZABC=90°
•・・NA=NA
..AADE^^ABC
.ADAE
,AB-AC
.ADAB
:AABD^ACE
(2)•.•△ABD^ACE
.\ZABD=ZACE
:.ZBFC-ZACE=ZBFC-ZABD
ZBDC=ZBFC-ZACE,ZBEC=ZBFC-ZABD
:.ZBDC=ZBEC
・.・BC=BE,/CBE=9U。
/.ZBCF=ZBEC,CE2=BC2+BE1=2BC2
22
ZBCF=ZBDC,BC=1CE
.ZFBC=ZCBD
.△FBCs^CBD
BCBF
'BD-BC
BC2=BF-BD
1
:.-CE92=BF-BD
2
3.(2025・上海宝山•一模)学完“相似三角形”之后,小明和同学尝试探索相似四边形的判定与性质,以下
是他们的思考
【定义】如果两个四边形的四个角对应相等,四条边对应成比例,那么这两个四边形相似.两个相似四边
形的对应边的比等于相似比.
【思考】类比相似三角形,对相似四边形的判定与性质提出了许多猜测,如:
①四条边对应成比例,且有一组角对应相等的两个四边形相似;
②四个角对应相等,且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似;
③相似四边形的面积的比等于相似比的平方.
边AD、上的点,AE=^AB,AF=^-AD,试求曾巡眩的值.
22»四边形CDG5
【答案】探究:证明见解析;运用:;
4
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质,相似多边形的性质,矩形的性质,熟练掌握相似三角形的
判定与性质,相似多边形的性质是解题的关键.
【探究】连接AC,A'C,证明AABCSAAQCMACDSAAC,。,,得出=k2,
2
AD
□△AC。I=k\则可得出答案;【运用】由矩形的性质得出
^^A'C'D'ArDr
AFAF1
AB//CD,AD//BC,ZA=ZC=90°,AB=CD,AD=BC,证出——=——=-,由结论“四个角对应相等,
CDBC2
且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似”证明四边形AEGFs四边形CDGB,则可得出答案.
【详解】【探究】证明:连接AC,AC,如图所示:
•・•四边形ABCD与四边形A'B'CD相似,
.ABBCCDAD
,/D=/D',ZB=NB',
:.AABC^AB,C^ACD^^A!C,D,,
2
qABAD
,・.2AABCI=k2,且也I=k\
凡49(7A:B'ArDf
.S四边形ABC。
ABC=k2・
S四边形A/'。'。^^A'B'C'+^^A'C'D'
【运用】解:•・,四边形A5CD是矩形,
AAB//CD,AD//BC,ZA=ZC=90°,AB=CD,AD=BC,
:.ZAFG=ZGDC,ZAEG=ZCBG,
AE=-AB,AF=-AD
22f
・・・AE=-CD,AF=-BC,
22
.AEAF_1
*CD-BC-2
■:/FGE=/BGD,
・・・四边形AEGFs四边形CDGB,
.S四边形AEGFAE
S四边形C/JG5CD14
4.(2025・上海青浦•一模)已知:如图,点0、E分别在VABC的AB、AC边上,AE=EC,AE2=^ADAB,
联结O£.
A
(2)取AD的中点P,联结EF、BE,求证:ZDEF=ZCBE.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.
ArAri
⑴先证明macW转化为比例式为法二就,再由加=/皿可得结论;
(2)由点尸是线段AO的中点,可得A£>=2。尸,再由AADESAACB可得%==即
CBAC
DF2DFDF
3=束=正,可证明AOSSACBE,最后由相似三角形的性质可得答案.
【详解】(1)证明:•.,AE=EC,
AC=2AE,
1
AE29=-ADAB,
2
2AE?=ADAB,
AEAC=ADABf
AEAD
NDAE=NCAB,
..^ADE^^ACB;
(2)证明:如图,
点方是线段A£>的中点,
BC
:.AD=2DF,
小ADES^ACB,
—=-ZFDE=ZECB,
CBAC9
DEIDFDF
~CB~2EC~~EC
.△DEFs卫BE,
.\ZDEF=ZCBE
5.(2025・上海黄浦•一模)已知在VABC中,CD平分工4CB,E是CD延长线上一点,AE=AD,尸是AB
延长线上的点,连接CF.
⑴证明:ACEASACDB;
(2)如果C尸〃AE,求证:箕=空.
ADCF
【答案】(1)见解析;
(2)见解析.
【分析】(1)由A£=AD,可得NE=N4DE,推出/E=NCD3,根据角平分线的定义可得ZACE=ZBCD,
即可证明;
(2)由平行线的性质可得N石=NOCF,推出NBB=NC4r),可证明,得至|」胃=多,结
CFAC
合ACEASACDB,AE=AD,即可证明.
【详解】(1)证明:・•,AE=AD,
ZE=ZADE.
•・,ZADE=ZCDB,
.•・/E=/CDB.
•・・CD平分/AC®,
ZACE=NBCD,
「•ACE4^ACDB.
(2)vCF//AE,
ZE=ZDCF.
':ZDCF=ZDCB+ZBCF,ZE=Z.CDF=ZACE+ZCAD,
・•.ZBCF=ZCAD.
又,:ZF=ZF,
△CFBS^AFC,
BFBC
~CF~~AC
•・•八CEA^ACDB,
.BCBD
,AC-AE,
又・,AE=AD,
.BCBD
••一,
ACAD
,BD_BF
一而一而,
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,平行线的性质,等腰三角形的性质,角平分线的性质,解
题的关键是掌握相关知识.
6.(2025・上海松江•一模)如图,在VABC中,AB=AC,AD1BC,BELAC,垂足分别为点。,点
E.AF〃BC,交8E的延长线于点尸.
AECD
⑴求证:
AF-AC
⑵求证:2ABAD=BFBC.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质,掌握相似三角形的判定和性质是解
题的关键.
(1)根据题意证明即可求解;
⑵设也与好交于点G,可证△,SAGS,得到翁票再证得到看=黑,
则有=由代入计算即可求解.
【详解】(1)证明:如图所示,
•.AD1BC,BELAC,
ZAEF=NADC=90°,
-,-AF//BC,
.-.zi=zc,
.,.△AEF^ACTM,
.AE_AF
•而一法’
.AE_CD
**AF-AC;
(2)证明:设AD与正交于点G,
AF〃BC,
ZFAD=ZADB=9(T,21+/2=N1+/尸=90°,
/.Z2=ZF,
\AB=AC,ADLBC,
・・・/2=/3,BC=2BD,
:.N3=NF,
又NABb二NGBA,
:AAEFSAGBA,
.ABAG
一而一肃’
vZ3=ZF,ZFAD=ZADB,
..AAFG^^DAB,
AG_BD
,AF-AD)
ABBD
—=—即Hn=B尸m,
BFAD
■,BD=-BC,
2
:.2ABAD=BFBC.
7.(2025・上海金山•一模)已知:如图,点E是平行四边形A3CD的对角线3。上的一点,射线AE与DC交
⑴求证:AE1=EFEH-,
⑵连接D9,若DH=AB,AD2=AEAH,求证:四边形ABCD是菱形.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】(D可得△AEDS^HEB,AAEBSJED,贝I售=空,与=段,即可证明;
EHEBAEEB
(2)先证明AWE“△470,再证明再根据相似三角形的性质以及平行四边形的性质求
证.
【详解】(1)证明:・••平行四边形ABCD
:.AD//BC,AB//DC,
•*.AAED^AHEB,AAEBS^FED,
,AEDEEF_DE
"EH~EB'AE~EB
AE_EF
"EH~AE
:.AE2=EF.EH;
(2)证明:如图,连接O",
~■-=,又XJDAE=XDAH,
AEAD
「.△ADEs^AHD,
,\ZADE=ZAHD,
/AD\\BC9AB//DC,
\?ADE?DBC,ZABC=ZDCH,
:.ZAHD=ZDBC,
•・,平行四边形A5CD,
/.AB=DC,
・.•DH=AB,
:.DC=DH,
:.ZDHC=ZDCH,
.\ZDHC=ZABC,
.\ZABE=ZAHBf又・.ZBAE=NBAH,
..△ABES/\AHB,
ABAE日口2
..-77=――即AB2=AE-AH,
AHAB
.\AB=AD,
•••平行四边形ABC。,
「•四边形ABC。是菱形.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质,相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,菱形的判定,熟
练掌握知识点是解题的关键.
8.(2025・上海闵行•一模)如图:在四边形ABCD中,对角线5。平分/AOC,且=,点E在线段50
上且。£=OC,连接AE并延长交5C于点/,连接CE并延长交A3于点G.
A
⑴求证:AE=BC-
(2)求证:AGEF=FCBG.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定,相似三角形的性质与判定,掌握全等三角形与相似三角形
的性质与判定是解题的关键.
(1)证明AADE当ABDC(S2,即可得到AE=BC;
(2)证明AAGESACEE,即可得出结论.
【详解】(1)证明:。平分NADC,
ZADE=ZBDC,
在AME和ABDC中,
AD=BD
<ZADE=ZBDC,
DE=CD
AADE之△BOC(SAS),
AE=BC;
(2)证明:,:AD=BD,DE=CD,AADB=/CDB,
:.ZBAD=ZABD=ZDCE=ZDEC,
■:/DEC=/BEG,
:.BG=GE,ZBGE=ZADE=ZBDC,
又「AADE'BDC,
:.ZAED=NBCD,
,:ZAED=ZBEF,
・•・ZBEF=ZBCD,
:NCBD+NBEF+NBFE=NCBD+/BCD+ZBDC=182。,
:・/BFE=/BDC,
:.ZBFE=/BGE,
ZEFC=ZAGE9
:•公AGEs^CFE,
AGGE
*FC-EF?
AGBG
,FC-EF?
AGEF=FCBG.
9.(2025・上海普陀•一模)已知:如图,梯形A3CD中,AD//BC,5。为对角线,BD2=ADBC.
AD
⑴求证:ZABD=NC;
(2)E为BC的中点,作NDEF=NC,EF交边AD于点F,求证:2AB-DE=BD-EF.
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质,熟练掌握相似三角形的判定方法,证明三角形相似,是解题
的关键:
(1)证明&4Z归即可得证;
(2)先证明可得空=空,再由△ABDSADCB可得丝=处,结合3c=2EC,得
ECDEDCBC
【详解】⑴证明:・・・瓦)2=4)・5。,
.ADBD
**BC*
・・・AD//BC,
:.ZADB=ZDBC.
:.^ABD^ADCB.
:.ZABD=ZC.
(2)如图,
:AD//BC,
•・/FDE=/DEC,
又NDEF=NC,
AFEDsADCE.
,DEEF
*EC-DCJ
.DCEF
'~EC~~DE'
:AABD^ADCB,
.ABDC
*B5-BC*
・,BC=2EC,
.ABDC2A5DC
*~BD~2EC~BD~~EC
.2AB_EF
9^D~^E
•・2ABDE=BDEF
10.(2025・上海崇明•一模)如图,在VABC中,AD是边5c上的中线,点E在AD上(不与4。重合),
连接跖、CE,并延长CE交AB于点END。石=NDAC.
ABAC
⑵当石D=NACF时,求证:
ACAE
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定,等角对等边:
(1)先证明△DCEs/^c得到=再由三角形中线的定义得到CD=&),据此可证明结论;
DECD
AnAT
(2)先由相似三角形的性质得到再证明△ACFs44Bc,得至ij=,导角证明
ACAF
AnAT
ZAFE=ZAEF,得至!)AE=AF,则可证明:77二77;.
ACAE
【详解】(1)证明:•;NDCE=NDAC,NCDE=ZADC,
:.ADCE^ADAC,
.CDAD
'~DE~~CD"
又・・・AZ)是边3C上中线,
:.CD=BD,
.BDAD
,,瓦—茄’
X\ZBDE=ZADB,
.^DBE^DAB;
(2)证明:・;ADBESADAB,
:.ZBED=ZABD,
•;/BED=ZACF,
:.ZABD=ZACF
又・.・NCAF=ZBAC,
.•.△ACFs△钻c,
.ABAC
*AC-AF?
XZAFE=ZABD+ZDCE,ZAEF=ZACF+ZDAC,ZDCE=ZDAC,
ZAFE=ZAEF,
:.AE=AF,
.ABAC
"AC-AE'
11.(2025•上海杨浦・一模)已知:如图,VABC中,NA=90。,点。是AB边上一点,过点6作交
8延长线于点E,ADBC=BECD.
E
A
⑴求证:BE2=ED-EC;
(2)求证:ABBC^ICEBE.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质,三角形内角和定理,等腰三角形的判定与性质,掌握以上
知识点是解答本题的关键.
(1)先证明得到NACD=NBCE,ZADC=ZEBC,又因为NADC=/ED3,所以
FDBF
NEDB=NEBC,然后证明,得到——=——,即可得证;
BEEC
(2)延长C4、BE交于点、H,由已知条件得BC=CH,又ZACD=/BCE,所以NEDB=NEBC,证明
△EB4AECB,得券=黑,即可得证.
【详解】(1)证明:・.・AZ>5C=5E-CD,
ADCD
一茄一二’
一—qADCD
在RUADC与Rt△/石。中,ZE=ZA=90°,—=—,
BEBC
:.^ADC^^BEC,
.,.NACD=NBCE,ZADC=ZEBC,
又ZADC=/EDB,
:.ZEDB=ZEBC,
在△班。与△£(%中,/EDB=NEBC,2£是公共角,
:AEBD^AECB,
.EDBE
一正一访‘
即BE2=EDEC;
(2)解:延长C4、BE交于点H,如图:
H
E/\AvZACD=ZBCE,/BEC=90。,由三角形内角和可得NEBC=NH,
B匕--------
:.BC=CH,
又ZACD=NBCE,
:.BH=2BE=2EH,
在RtZXABH与RS3EC中,ZBEC=ZBAH=90°,/EBC=/H,
RtAABH^RtABEC,
.ABBH
'~CE~~BC'
即ABBC=2BECE.
12.(2025•上海长宁•一模)如图,在VABC中,点£)、E分别在边A3、BC±,连接CD、AE交于点尸,
AF=FC,ZADC=ZACB.
⑴求证:AC2=CDAE;
(2)如果点E是边2C的中点,求证:BC2=2ADAB.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点,掌握相似三角形的判定
与性质是解题的关键.
Arm
(1)先证明ADCASAG鱼可得/=三即可证明结论;
AEAC
(2)先证明△£)&4s△CBA可得AC'AB.AD,结合ADC4sAe4£■可得△C4£S/\CB4,即
贝13c-CE=AZ>AB,最后结合点E是2C中点即可证明结论.
【详解】(1)证明::AF=bC,
ZFAC=ZFCA,
':ZADC=ZACB
ziOC4s△G4E,
.ACCD
••=,
AEAC
AC2=AECD.
(2)解:VZADC=ZACB,ZDAC=ZCAB,
ADC4s△CR4,
.ACAD
"ABAC)
/.AC2=ABAD,
':^DCA^ACAE,ADCA^ACBA,
:.△C4£W\CB4
.CEAC
"'~AC~1BC
:.AC2=BCCE
:.BCCE=ADAB
:点E是BC中点,
/.CE=-BC,
2
BC2^2ADAB.
13.(2025・上海静安•一模)已知:如图,在梯形A3CD中,AB//CD,连接AC、BD,VABC是等边三角
形,DE//BC,DE与AC交于点E,ZADB=2NDBC.
(2)求证:点E是线段AC的黄金分割点.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质,黄金分割点的计算,掌握相似三角形的判定和性质是解
题的关键.
(1)根据VA3c为等边三角形,AB//CD,得到/08=/1+/3=120。,由。石〃3(7,得到
ZEDC=1W-ZDCB=1801-120=60,ZAE£>=Z£DC+Z3=120°DE//BC,得到/5=N6,结合
ZADB=2Z5,得到/5=/4,由相似三角形的判定方法即可求解;
(2)根据题意可得ACDE为等边三角形,即C£=OE=CD,由VABC为等边三角形,得到AC=3C,根
AFDFAFFC
据△ADEsADBC,得至1」黑=笠,即差=黑,由此即可求解.
CDBCCEAC
【详解】(1)证明:如图所示,
•・,VA5C为等边三角形,
・・.N1=N2=6O。,
•:AB//CD,
・・.N3=N2=60。,
ZDCB=N1+N3=120°,
DE//BC,
Z£DC=180=180-120=60,
・•・ZAED=NEDC+N3=120°,
JZAED=ZDCB,
•/DE//BC,
AZ5=Z6,
VZADB=2Z5f且NADB=N4+N6,
JN5=N4,
AADE^ADBC.
(2)解:VZ3=ZEDC=60°,
二•△CD£为等边三角形,即CE=DE=CD,
・・・VA5C为等边三角形,
:.AC=BC,
*:/\ADE^ADBC,
.AEDE
••五一五'
**.——=—-;,即EC2=AE-AC,
CEAC
.••点E是线段AC的黄金分割点.
14.(2025・上海奉贤•一模)已知,如图,在VABC中,点。在边AC上,点M、N在边BC上,AB是线段
AD与AC的比例中项,/8AN=NC4M,AM、⑷V分别交3。于点E、F.
(2)若点。为边的中点,连接ON,且BD?=2BN.BC,求证:ON\\AB.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
4RRDAU
【分析】(1)根据一,/区4。=/。钻证明4瓶。6448,得到——=——,ZABD=ZACB,
ADABCBAC
APAg
结合NA4N=NG4Af可以证明△AB尸S2XACM,继而得到——=——,NAEB=NAMC证明NAFE=NAMN,
AMAC
结合NE4E=NA1AN证明17/6“@加,等量代换即可证明些=匹.
AEAN
(2)在NC上截取NQ=BN,连接。。,证明ON||DQ,再三角形相似,平行线的判定证明,解
答即可.
【详解】⑴证明:・・,A3是线段AD与AC的比例中项,
.ABAC
•茄一瓦’
:ZBAD=ZCABf
•・Z\ABD^^\ACB,
BDAB
ZABD=ZACB,
AC
:ZBAN=ACAM,
•・AABF^AACM,
AFAB
・-ZAFB=ZAMC
*AMACf
*.1800-ZAFB=1800-ZAMCf
ZAFE=ZAMN,
ZFAE=ZMAN
小AFEs小AMN,
.AF_AE
.BD_AE
,9~CB~AN"
.BDBC
**AE-A7V*
(2)证明:在NC上截取NQ=BN,连接OQ,
・・,点。为3。边的中点,
:.ON\\DQ,
•.・NQ=BN,
:.BQ=2BN,
,:BD2=2BN・BC,
,BDBQ
・・拓―访’
・.・ZQBD=ZDBC
:.AQBDS^DBC,
:.ZBDQ=/BCD,
,:△AB4/\ACB,
:.ZABD=ZACB,
:.ZABD=ZBDQ
:.DQ//AB,
:.ON\\AB,
【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质,三角形中位线定理,平行线的判定和性质,比例中项的意
义,熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键.
15.(2025•上海嘉定•一模)如图,在VABC中,ZBAC=90°,AB=AC,点E是边AB的中点,连接CE,
作AF_LCE,垂足为点尸,连接防.
c
F
(1)求证:AEFBsAEBC;
r)F「
(2)取BC边的中点D,连接。尸,求证:—=V2.
EF
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质,等腰直角三角形的判定以及性质,三角形中位线的
判定以及性质,掌握这些判定定理以及性质是解题的关键.
FFFA
(1)先证明由相似三角形的性质得出==芸,由线段中点的定义得出E4=£B,等量
EAEC
EFEB
代换可得出——=——,结合NFEB=NBEC
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