2025上海中考数学一模汇编：几何证明（学生版+解析版）

专题08几何证明（解答题23题）

1.（2025•上海徐汇•一模）如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,是梯形ABCD对角线，BD?=ADBC.

(1)求证：ADCD=ABBD；

CD2_CE

（2）以8为一边作NCDE=ZADB,DE交边BC于点、E,求证:

BD2-AD

2.（2025・上海虹口•一模）如图，在RtaMC中，NA8C=90。，点。在边AC上，过点。作。E垂直AC交

于点E,连接EC、BD交于点F.

⑴求证：^ABD-^ACE；

(2汝口果3C=8E,求证：^CE2=BFBD.

3.（2025・上海宝山•一模）学完“相似三角形”之后，小明和同学尝试探索相似四边形的判定与性质，以下

是他们的思考

【定义】如果两个四边形的四个角对应相等，四条边对应成比例，那么这两个四边形相似.两个相似四边

形的对应边的比等于相似比.

【思考】类比相似三角形，对相似四边形的判定与性质提出了许多猜测，如：

①四条边对应成比例，且有一组角对应相等的两个四边形相似；

②四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似；

③相似四边形的面积的比等于相似比的平方.

边AD、AB上的点，AE^AB,AF=^-AD,试求四—.的值.

22»四边形CDG6

BC

4.(2025・上海青浦•一模)已知：如图，点。、E分别在VABC的AB、AC边上，AE=EC,AE2=^ADAB,

联结。E.

(1)求证：^ADE^AACB；

(2)取AD的中点/，联结EF、BE,求证：NDEF=NCBE.

5.(2025・上海黄浦・一模)已知在VABC中，CO平分/ACB,E是C。延长线上一点，AE=AD,尸是AB

延长线上的点，连接CP.

⑴证明：KEASACDB；

BDBF

(2)如果b〃AE,求证:

AD-CF

6.（2025・上海松江•一模）如图，在VABC中，AB=AC,AD1BC,BEVAC,垂足分别为点。，点

E.AF〃BC,交砥的延长线于点F.

D

⑴求击第唉

⑵求证：2AB班'BC.

7.（2025・上海金山•一模）已知：如图，点E是平行四边形A3CD的对角线3。上的一点，射线AE与DC交

于点尸，与2c的延长线交于点//.

⑴求证：AE2=EFEH;

（2）连接若DH=AB,AD2^AEAH，求证：四边形ABCD是菱形.

8.（2025•上海闵行•一模）如图：在四边形ABCD中，对角线8。平分/ADC,且BD=AD,点E在线段3D

上且DE=OC,连接AE并延长交2C于点P,连接CE并延长交A3于点G.

⑴求证：AE=BC-

(2)求证：AGEF=FCBG.

9.（2025•上海普陀•一模）已知：如图，梯形ABC。中，AD//BC,为对角线，BD1=ADBC.

⑴求证：ZABD=NC；

（2）E为BC的中点，作N£）EF=NC,EF交边AD于点F,求证：2AB-DE=BD-EF.

10.（2025・上海崇明•一模）如图，在VABC中，AD是边3c上的中线，点E在AD上（不与A、。重合），

连接8E、CE,并延长CE交A3于点£NDCE=ND4C.

BDC

(1)求证：ADBES^DAB；

(2)当/BED=NACF时，求证：一=—.

11.（2025•上海杨浦•一模）已知：如图，VABC中，NA=90。，点。是AB边上一点，过点3作交

CD延长线于点E,ADBC^BECD.

⑴求证：BE2=ED-EC

(2)求证：ABBC=2CE・BE.

12.(2025・上海长宁•一模)如图，在VABC中，点。、E分别在边A3、3c上，连接CD、AE交于点尸,

AF=FC,ZADC=ZACB.

⑴求证：AC2=CDAE；

(2)如果点E是边2c的中点，求证：BC2=2ADAB.

13.(2025・上海静安•一模)己知：如图，在梯形A3CD中，AB//CD,连接AC、BD,VABC是等边三角

形，DE//BC,DE与AC交于点E,ZADB=2ZDBC.

(1)求证：AADESABBC；

(2)求证：点E是线段AC的黄金分割点.

14.(2025・上海奉贤•一模)已知，如图，在VABC中，点。在边AC上，点M、N在边BC上,AB是线段

AO与AC的比例中项，ZBAN=ZCAM,AM,4V分别交3。于点E、F.

(2)若点。为边的中点，连接ON,5.BD2=2BN.BC,求证：ON\\AB.

15.(2025・上海嘉定•一模)如图，在VABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点E是边AB的中点,连接CE,

作AFLCE,垂足为点尸，连接

(1)求证：△EFBs/\EBC；

DFr-

⑵取BC边的中点。，连接。尸，求证：—=V2.

16.(2025•浦东新区一模)如图，在△ABC中，ZABC=90°,点D是边AB上的一点，联结CD过点

B作BELCD,垂足为点E。

(1)求证：ABDEs^CBE；

(2)如果A3=BC,联结AE并延长，与边8C相交于点?当点厂是BC的中点时，求证：BD2=A£)MB.

专题08几何证明(解答题23题)

1.(2025・上海徐汇•一模)如图，在梯形A3CD中，AD〃3C,是梯形ABCD对角线，BD?=ADBC.

CD2CE

(2)以CD为一边作=交边BC于点E,求证：后=茄.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题

的关键:

(1)证明AADBSRBC,即可得证;

(2)证明ACDESACD3,得到CD?=KC-3C,结合台犷=4).5。，即可得证.

【详解】(1)•.•A£)〃3C,

:.ZADB=ZCBD,

BD2=ADBC,

.ADBD

：.AADBS公DBC,

.ADAB

,茄一而‘

:.ADCD=ABBD；

(2)作NCDE=NADB,DE交边BC于点、E，

由(1)得ZADB=NCBD,

:./CDE=/CBD,

又NC=NC,

:.ACDES^JBD,

ECCD

,•而―沃'

:.CD-=ECBC,

又BD°=AD-BC,

.CD^_EC-BC_EC

,BD7-ADBC-AZ)'

2.(2025•上海虹口•一模)如图，在RtaABC中，NABC=9(T,点。在边AC上，过点。作OE垂直AC交

A3于点E,连接EC、BD交于点、F.

(1)求证：AABDFACE；

(2)如果3c=BE,求证：^CE2=BFBD.

【答案】(1)详见解析

(2)详见解析

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识:

AnAJ7AV)AD

(l)由乙4DE=NA2C=90。,NA=NA,证明AADEs△至c,得把=空，所以把=竺，则；

ABACAEAC

(2)由相似三角形的性质得NASD=/ACE,推导出/3r>C=N8EC,由3。=3后，NCBE=90°,得

ZBCF=ZBEC,CE2=BC2+BE2=2BC2,贝!]Z.BCF=Z.BDC,BC2=gcE?,而NFBC=NCBD,所以

RF1

小FBCs△CBD,则—――,所以BC2=BF-BD,则力CE?=BF-BD

BDBC2

【详解】(1)vZABC=90°,DE±AC

:.ZADE=ZABC=90°

•・・NA=NA

..AADE^^ABC

.ADAE

,AB-AC

.ADAB

:AABD^ACE

(2)•.•△ABD^ACE

.\ZABD=ZACE

:.ZBFC-ZACE=ZBFC-ZABD

ZBDC=ZBFC-ZACE,ZBEC=ZBFC-ZABD

:.ZBDC=ZBEC

・.・BC=BE,/CBE=9U。

/.ZBCF=ZBEC,CE2=BC2+BE1=2BC2

22

ZBCF=ZBDC,BC=1CE

­.­ZFBC=ZCBD

.△FBCs^CBD

BCBF

'BD-BC

BC2=BF-BD

1

:.-CE92=BF-BD

2

3.（2025・上海宝山•一模）学完“相似三角形”之后，小明和同学尝试探索相似四边形的判定与性质，以下

是他们的思考

【定义】如果两个四边形的四个角对应相等，四条边对应成比例，那么这两个四边形相似.两个相似四边

形的对应边的比等于相似比.

【思考】类比相似三角形，对相似四边形的判定与性质提出了许多猜测，如:

①四条边对应成比例，且有一组角对应相等的两个四边形相似；

②四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似；

③相似四边形的面积的比等于相似比的平方.

边AD、上的点，AE=^AB,AF=^-AD,试求曾巡眩的值.

22»四边形CDG5

【答案】探究：证明见解析；运用：;

4

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的

判定与性质，相似多边形的性质是解题的关键.

【探究】连接AC,A'C,证明AABCSAAQCMACDSAAC，。，，得出=k2,

2

AD

□△AC。I=k\则可得出答案；【运用】由矩形的性质得出

^^A'C'D'ArDr

AFAF1

AB//CD,AD//BC,ZA=ZC=90°,AB=CD,AD=BC,证出——=——=-,由结论“四个角对应相等,

CDBC2

且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似”证明四边形AEGFs四边形CDGB,则可得出答案.

【详解】【探究】证明:连接AC,AC,如图所示:

•・•四边形ABCD与四边形A'B'CD相似,

.ABBCCDAD

,/D=/D',ZB=NB',

：.AABC^AB,C^ACD^^A!C,D,,

2

qABAD

,・.2AABCI=k2,且也I=k\

凡49(7A:B'ArDf

.S四边形ABC。

ABC=k2・

S四边形A/'。'。^^A'B'C'+^^A'C'D'

【运用】解：•・,四边形A5CD是矩形,

AAB//CD,AD//BC,ZA=ZC=90°,AB=CD,AD=BC,

：.ZAFG=ZGDC,ZAEG=ZCBG,

AE=-AB,AF=-AD

22f

・・・AE=-CD,AF=-BC,

22

.AEAF_1

*CD-BC-2

■:/FGE=/BGD,

・・・四边形AEGFs四边形CDGB,

.S四边形AEGFAE

S四边形C/JG5CD14

4.（2025・上海青浦•一模）已知：如图，点0、E分别在VABC的AB、AC边上，AE=EC,AE2=^ADAB,

联结O£.

A

(2)取AD的中点P,联结EF、BE,求证：ZDEF=ZCBE.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

ArAri

⑴先证明macW转化为比例式为法二就，再由加=/皿可得结论;

(2)由点尸是线段AO的中点，可得A£>=2。尸，再由AADESAACB可得%==即

CBAC

DF2DFDF

3=束=正,可证明AOSSACBE,最后由相似三角形的性质可得答案.

【详解】(1)证明：•.,AE=EC,

AC=2AE,

1

AE29=-ADAB,

2

2AE?=ADAB，

AEAC=ADABf

AEAD

NDAE=NCAB,

..^ADE^^ACB；

(2)证明：如图,

点方是线段A£>的中点,

BC

:.AD=2DF,

小ADES^ACB,

—=-ZFDE=ZECB,

CBAC9

DEIDFDF

~CB~2EC~~EC

.△DEFs卫BE,

.\ZDEF=ZCBE

5.（2025・上海黄浦•一模）已知在VABC中，CD平分工4CB,E是CD延长线上一点，AE=AD,尸是AB

延长线上的点，连接CF.

⑴证明：ACEASACDB；

（2）如果C尸〃AE,求证：箕=空.

ADCF

【答案】（1）见解析；

（2）见解析.

【分析】（1）由A£=AD，可得NE=N4DE,推出/E=NCD3,根据角平分线的定义可得ZACE=ZBCD,

即可证明；

（2）由平行线的性质可得N石=NOCF,推出NBB=NC4r）,可证明，得至|」胃=多，结

CFAC

合ACEASACDB,AE=AD,即可证明.

【详解】（1）证明：・•,AE=AD,

ZE=ZADE.

•・,ZADE=ZCDB,

.•・/E=/CDB.

•・・CD平分/AC®,

ZACE=NBCD,

「•ACE4^ACDB.

(2)vCF//AE,

ZE=ZDCF.

'：ZDCF=ZDCB+ZBCF,ZE=Z.CDF=ZACE+ZCAD,

・•.ZBCF=ZCAD.

又,:ZF=ZF,

△CFBS^AFC，

BFBC

~CF~~AC

•・•八CEA^ACDB,

.BCBD

,AC-AE,

又・,AE=AD,

.BCBD

••一，

ACAD

,BD_BF

一而一而，

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，解

题的关键是掌握相关知识.

6.(2025・上海松江•一模)如图，在VABC中，AB=AC,AD1BC,BELAC,垂足分别为点。，点

E.AF〃BC,交8E的延长线于点尸.

AECD

⑴求证:

AF-AC

⑵求证：2ABAD=BFBC.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解

题的关键.

(1)根据题意证明即可求解;

⑵设也与好交于点G,可证△,SAGS,得到翁票再证得到看=黑,

则有=由代入计算即可求解.

【详解】（1）证明：如图所示,

•.­AD1BC,BELAC,

ZAEF=NADC=90°,

-,-AF//BC,

.-.zi=zc,

.,.△AEF^ACTM,

.AE_AF

•而一法’

.AE_CD

**AF-AC；

(2)证明：设AD与正交于点G,

AF〃BC,

ZFAD=ZADB=9(T,21+/2=N1+/尸=90°,

/.Z2=ZF,

\AB=AC,ADLBC,

・・・/2=/3,BC=2BD,

:.N3=NF,

又NABb二NGBA,

:AAEFSAGBA,

.ABAG

一而一肃’

vZ3=ZF,ZFAD=ZADB,

..AAFG^^DAB,

AG_BD

,AF-AD)

ABBD

—=—即Hn=B尸m，

BFAD

■,BD=-BC,

2

:.2ABAD=BFBC.

7.（2025・上海金山•一模）已知：如图，点E是平行四边形A3CD的对角线3。上的一点，射线AE与DC交

⑴求证：AE1=EFEH-,

⑵连接D9,若DH=AB,AD2=AEAH，求证：四边形ABCD是菱形.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（D可得△AEDS^HEB,AAEBSJED,贝I售=空，与=段，即可证明；

EHEBAEEB

（2）先证明AWE“△470,再证明再根据相似三角形的性质以及平行四边形的性质求

证.

【详解】（1）证明：・••平行四边形ABCD

:.AD//BC,AB//DC,

•*.AAED^AHEB,AAEBS^FED,

,AEDEEF_DE

"EH~EB'AE~EB

AE_EF

"EH~AE

:.AE2=EF.EH;

(2)证明：如图，连接O",

~■-=,又XJDAE=XDAH,

AEAD

「.△ADEs^AHD,

,\ZADE=ZAHD,

­/AD\\BC9AB//DC,

\?ADE?DBC,ZABC=ZDCH,

:.ZAHD=ZDBC,

•・,平行四边形A5CD,

/.AB=DC,

・.•DH=AB,

:.DC=DH,

:.ZDHC=ZDCH,

.\ZDHC=ZABC,

.\ZABE=ZAHBf又・.ZBAE=NBAH,

..△ABES/\AHB,

ABAE日口2

..-77=――即AB2=AE-AH，

AHAB

.\AB=AD，

•••平行四边形ABC。，

「•四边形ABC。是菱形.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的判定，熟

练掌握知识点是解题的关键.

8.（2025・上海闵行•一模）如图：在四边形ABCD中，对角线5。平分/AOC,且=,点E在线段50

上且。£=OC,连接AE并延长交5C于点/，连接CE并延长交A3于点G.

A

⑴求证：AE=BC-

(2)求证：AGEF=FCBG.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握全等三角形与相似三角形

的性质与判定是解题的关键.

(1)证明AADE当ABDC(S2,即可得到AE=BC;

(2)证明AAGESACEE,即可得出结论.

【详解】(1)证明：。平分NADC,

ZADE=ZBDC,

在AME和ABDC中，

AD=BD

<ZADE=ZBDC,

DE=CD

AADE之△BOC(SAS),

AE=BC；

(2)证明：,:AD=BD,DE=CD,AADB=/CDB,

：.ZBAD=ZABD=ZDCE=ZDEC,

■:/DEC=/BEG,

：.BG=GE,ZBGE=ZADE=ZBDC,

又「AADE'BDC,

：.ZAED=NBCD,

,:ZAED=ZBEF,

・•・ZBEF=ZBCD,

:NCBD+NBEF+NBFE=NCBD+/BCD+ZBDC=182。,

:・/BFE=/BDC,

：.ZBFE=/BGE,

ZEFC=ZAGE9

:•公AGEs^CFE,

AGGE

*FC-EF?

AGBG

,FC-EF?

AGEF=FCBG.

9.(2025・上海普陀•一模)已知：如图，梯形A3CD中，AD//BC,5。为对角线，BD2=ADBC.

AD

⑴求证：ZABD=NC；

(2)E为BC的中点，作NDEF=NC,EF交边AD于点F,求证：2AB-DE=BD-EF.

【答案】(1)详见解析

(2)详见解析

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题

的关键：

(1)证明&4Z归即可得证；

(2)先证明可得空=空，再由△ABDSADCB可得丝=处，结合3c=2EC,得

ECDEDCBC

【详解】⑴证明：・・・瓦)2=4)・5。,

.ADBD

**BC*

・・・AD//BC,

:.ZADB=ZDBC.

：.^ABD^ADCB.

：.ZABD=ZC.

（2）如图,

:AD//BC,

•・/FDE=/DEC,

又NDEF=NC,

AFEDsADCE.

,DEEF

*EC-DCJ

.DCEF

'~EC~~DE'

：AABD^ADCB,

.ABDC

*B5-BC*

・,BC=2EC,

.ABDC2A5DC

*~BD~2EC~BD~~EC

.2AB_EF

9^D~^E

•・2ABDE=BDEF

10.（2025・上海崇明•一模）如图，在VABC中，AD是边5c上的中线，点E在AD上（不与4。重合），

连接跖、CE,并延长CE交AB于点END。石=NDAC.

ABAC

⑵当石D=NACF时，求证:

ACAE

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等角对等边:

(1)先证明△DCEs/^c得到=再由三角形中线的定义得到CD=&),据此可证明结论;

DECD

AnAT

(2)先由相似三角形的性质得到再证明△ACFs44Bc,得至ij=,导角证明

ACAF

AnAT

ZAFE=ZAEF,得至!)AE=AF,则可证明:77二77；.

ACAE

【详解】(1)证明：•；NDCE=NDAC,NCDE=ZADC,

:.ADCE^ADAC,

.CDAD

'~DE~~CD"

又・・・AZ)是边3C上中线，

:.CD=BD,

.BDAD

,,瓦—茄’

X\ZBDE=ZADB,

.^DBE^DAB；

(2)证明：・；ADBESADAB,

:.ZBED=ZABD,

•;/BED=ZACF,

:.ZABD=ZACF

又・.・NCAF=ZBAC,

.•.△ACFs△钻c,

.ABAC

*AC-AF?

XZAFE=ZABD+ZDCE,ZAEF=ZACF+ZDAC,ZDCE=ZDAC,

ZAFE=ZAEF,

:.AE=AF,

.ABAC

"AC-AE'

11.（2025•上海杨浦・一模）已知：如图，VABC中，NA=90。，点。是AB边上一点，过点6作交

8延长线于点E,ADBC=BECD.

E

A

⑴求证：BE2=ED-EC;

(2)求证：ABBC^ICEBE.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，掌握以上

知识点是解答本题的关键.

(1)先证明得到NACD=NBCE,ZADC=ZEBC,又因为NADC=/ED3,所以

FDBF

NEDB=NEBC,然后证明,得到——=——，即可得证；

BEEC

(2)延长C4、BE交于点、H,由已知条件得BC=CH,又ZACD=/BCE,所以NEDB=NEBC,证明

△EB4AECB,得券=黑，即可得证.

【详解】(1)证明：・.・AZ>5C=5E-CD,

ADCD

一茄一二’

一—qADCD

在RUADC与Rt△/石。中，ZE=ZA=90°,—=—,

BEBC

:.^ADC^^BEC,

.,.NACD=NBCE,ZADC=ZEBC,

又ZADC=/EDB,

:.ZEDB=ZEBC,

在△班。与△£(%中，/EDB=NEBC,2£是公共角，

:AEBD^AECB,

.EDBE

一正一访‘

即BE2=EDEC;

(2)解：延长C4、BE交于点H,如图：

H

E/\AvZACD=ZBCE,/BEC=90。,由三角形内角和可得NEBC=NH,

B匕--------

:.BC=CH,

又ZACD=NBCE,

:.BH=2BE=2EH,

在RtZXABH与RS3EC中，ZBEC=ZBAH=90°,/EBC=/H,

RtAABH^RtABEC,

.ABBH

'~CE~~BC'

即ABBC=2BECE.

12.(2025•上海长宁•一模)如图，在VABC中，点£)、E分别在边A3、BC±,连接CD、AE交于点尸,

AF=FC,ZADC=ZACB.

⑴求证：AC2=CDAE；

(2)如果点E是边2C的中点，求证：BC2=2ADAB.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定

与性质是解题的关键.

Arm

(1)先证明ADCASAG鱼可得/=三即可证明结论；

AEAC

(2)先证明△£)&4s△CBA可得AC'AB.AD,结合ADC4sAe4£■可得△C4£S/\CB4,即

贝13c-CE=AZ>AB,最后结合点E是2C中点即可证明结论.

【详解】(1)证明：：AF=bC,

ZFAC=ZFCA,

'：ZADC=ZACB

ziOC4s△G4E,

.ACCD

••=,

AEAC

AC2=AECD.

(2)解：VZADC=ZACB,ZDAC=ZCAB,

ADC4s△CR4,

.ACAD

"ABAC)

/.AC2=ABAD,

'：^DCA^ACAE,ADCA^ACBA,

：.△C4£W\CB4

.CEAC

"'~AC~1BC

：.AC2=BCCE

：.BCCE=ADAB

:点E是BC中点，

/.CE=-BC,

2

BC2^2ADAB.

13.(2025・上海静安•一模)已知：如图，在梯形A3CD中，AB//CD,连接AC、BD,VABC是等边三角

形，DE//BC,DE与AC交于点E,ZADB=2NDBC.

(2)求证：点E是线段AC的黄金分割点.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，黄金分割点的计算，掌握相似三角形的判定和性质是解

题的关键.

(1)根据VA3c为等边三角形，AB//CD,得到/08=/1+/3=120。,由。石〃3(7,得到

ZEDC=1W-ZDCB=1801-120=60,ZAE£>=Z£DC+Z3=120°DE//BC,得到/5=N6,结合

ZADB=2Z5,得到/5=/4,由相似三角形的判定方法即可求解；

(2)根据题意可得ACDE为等边三角形，即C£=OE=CD,由VABC为等边三角形，得到AC=3C,根

AFDFAFFC

据△ADEsADBC,得至1」黑=笠，即差=黑，由此即可求解.

CDBCCEAC

【详解】(1)证明：如图所示,

•・,VA5C为等边三角形，

・・.N1=N2=6O。，

•:AB//CD,

・・.N3=N2=60。，

ZDCB=N1+N3=120°,

DE//BC,

Z£DC=180=180-120=60,

・•・ZAED=NEDC+N3=120°,

JZAED=ZDCB,

•/DE//BC,

AZ5=Z6,

VZADB=2Z5f且NADB=N4+N6,

JN5=N4,

AADE^ADBC.

(2)解：VZ3=ZEDC=60°,

二•△CD£为等边三角形，即CE=DE=CD,

・・・VA5C为等边三角形，

:.AC=BC,

*：/\ADE^ADBC,

.AEDE

••五一五'

**.——=—-;，即EC2=AE-AC,

CEAC

.••点E是线段AC的黄金分割点.

14.(2025・上海奉贤•一模)已知，如图，在VABC中，点。在边AC上，点M、N在边BC上，AB是线段

AD与AC的比例中项，/8AN=NC4M,AM、⑷V分别交3。于点E、F.

(2)若点。为边的中点，连接ON,且BD?=2BN.BC,求证：ON\\AB.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

4RRDAU

【分析】(1)根据一,/区4。=/。钻证明4瓶。6448,得到——=——，ZABD=ZACB,

ADABCBAC

APAg

结合NA4N=NG4Af可以证明△AB尸S2XACM,继而得到——=——,NAEB=NAMC证明NAFE=NAMN,

AMAC

结合NE4E=NA1AN证明17/6“@加，等量代换即可证明些=匹.

AEAN

(2)在NC上截取NQ=BN,连接。。，证明ON||DQ,再三角形相似，平行线的判定证明,解

答即可.

【详解】⑴证明：・・,A3是线段AD与AC的比例中项,

.ABAC

•茄一瓦’

:ZBAD=ZCABf

•・Z\ABD^^\ACB,

BDAB

ZABD=ZACB,

AC

：ZBAN=ACAM,

•・AABF^AACM,

AFAB

・-ZAFB=ZAMC

*AMACf

*.1800-ZAFB=1800-ZAMCf

ZAFE=ZAMN,

ZFAE=ZMAN

小AFEs小AMN,

.AF_AE

.BD_AE

，9~CB~AN"

.BDBC

**AE-A7V*

(2)证明：在NC上截取NQ=BN,连接OQ,

・・,点。为3。边的中点，

：.ON\\DQ,

•.・NQ=BN,

：.BQ=2BN,

,:BD2=2BN・BC,

,BDBQ

・・拓―访’

・.・ZQBD=ZDBC

:.AQBDS^DBC,

：.ZBDQ=/BCD,

,:△AB4/\ACB,

：.ZABD=ZACB,

：.ZABD=ZBDQ

：.DQ//AB,

：.ON\\AB,

【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的判定和性质，比例中项的意

义，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键.

15.（2025•上海嘉定•一模）如图，在VABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点E是边AB的中点，连接CE,

作AF_LCE,垂足为点尸，连接防.

c

F

(1)求证：AEFBsAEBC；

r)F「

(2)取BC边的中点D,连接。尸，求证：—=V2.

EF

【答案】(1)见详解

(2)见详解

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，等腰直角三角形的判定以及性质，三角形中位线的

判定以及性质，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键.

FFFA

(1)先证明由相似三角形的性质得出==芸，由线段中点的定义得出E4=£B,等量

EAEC

EFEB

代换可得出——=——，结合NFEB=NBEC