2025中考数学冲刺：圆的证明与计算解答题练习（解析版）

2025中考数学冲刺：圆的证明与计算解答题练习

1.如图，A8为。。的直径，C、尸为。。上两点，且点C为弧8月的中点，过点C作AF的垂线，交AF

的延长线于点E,交A3的延长线于点D

(1)求证：DE是。。的切线；

3

(2)如果半径的长为3,,求AE的长.

解：(1)连接OC,如图・・・•点。为弧5月的中点，，弧5。二弧CT,・・・N5AC=N刚C・・・。4=0。，

：.ZOCA=ZOAC,：.ZOCA=ZFAC,：.OC//AE.\'AE±DE,；・OC工DE,二。七是。。的切线；

QQ3_________

(2)在R3OCZ)中，VtanZ)=—=OC=3,ACD=4,AOZ)=7OC2+CD2=5,：.AD=OD+AO=S.在

RtAAOE中，VsinD=—=—=-,：.AE=—.

ODAD55

点睛：本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂

直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”;有切线时，

常常“遇到切点连圆心得半径”.

2.如图，A?C中，AB=AC,。为AC上一点，以8为直径的。与A8相切于点E,交3c于点厂,

FG1AB,垂足为G.

⑴求证：FG是的切线；

(2)若3G=1,BF=3,求CP的长.

【答案】(1)见解析(2)逑

3

【详解】(1)如图，连接。尸,。尸，

OF=OD,

贝UNODF=NOFD,

设ZODF=/OFD=B,NOFC=a,

OF=OC,

:./OFC=NOCF=c(,

DC为的直径，

:./DFC=90°,

ADFO+OFC=NDFC=90°,

即a+£=90。，

AB=AC,

/B=/LACB=oc9

FGVAB,

2

ZGFB=90°-ZB=90°-a=/3,

ZDFB=ZDFC=90°,

ZDFG=90°-ZGFB=90。-/=a,

ZGFO=GFD+DFO=c+/=90°,

OF为。的半径，

.：FG是，。的切线；

(2)如图，连接。E,

是.。的切线，则OELAB,又OF，FG,FGLAB,

四边形GEOR是矩形，

OE=OF,

四边形GEO尸是正方形，

:.GF=OF=-DC,

2

在RtaGEB中，BG=1,BF=3,

FG=y)BF2-GB2=2V2，

DC=A6,

由(1)可得NBFG=NFDC=Q,

FG1AB,DF±FC,

・•・sin/=臾=生

BFDC

慧,解得。殍

3

3.如图，。是ASC的外接圆，AD是。的直径,E是AD延长线上一点，连接CD,CE且N£>C£=NC4T>.

⑴求证：CE是。。的切线;

3

（2）若COS8=M，AD=10,求ED的长.

【答案】（1）证明见解析

呜

【分析】（1）根据切线的判定，连接OC,证明出0C,尸C即可，利用直径所得的圆周角为直角可得答案；

33CD

（2）由cos5=:根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得COSNAOC=Z=E，继而证明△ECD△E4C,

55AD

再根据相似三角形的性质可求出答案.

【详解】（1）证明：连接0C,

/.^ACD=90°,

・・・ZC4£>+ZA£)C=90°,

・.・NDCE=ZCAD,ZADC=ZOCD,

：.ZDCE+ZOCD=90°,

：.ZOCE=90°,

・・・OC1EC,

；.CE是。的切线；

(2)解：・・・/B与ZADC所对的弧都是AC，

4

：.ZB=ZADC,

3

cosB=—,

3CD

：.cosZADC=-=——,

5AD

VAD=10,

：.CD=6f

；•由勾股定理得AC=7102-62=8，

•・•ZE=ZE,

AECDAE4C,

.ECEDCD3

••商一法一就一"

设EC-4x,ED-3x,

在RtOCE1中，。石=3x+5,OC=5,后C=4x,

根据勾股定理可得：。。2+石。2=。石2,

即：52+（4x）2=（3x+5）2,

解得：X=y,

•_o_o3090

・・DnEF—3x—3x———.

77

【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质,

掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提.

4.如图，在ABC中，AB=BC,AB为。的直径，4?与（。相交于点D,过点。作DEL3c于点E,

CB延长线交O于点?

⑴求证：DE为］。的切线；

（2）若3E=1,BF=2,求AD的长.

【答案】（1）见解析；

(2)2技

【分析】(1)根据已知条件证得OD6c即可得到结论；

(2)如图，过点。作于点则NODE=NDEH=NOHE=90°,构建矩形。DEH,根据矩形

的性质和勾股定理即可得到结论.

【详解】(1)证明：OA=OD,

:.ZBAC=NODA,

AB=BC,

:"BAC=ZACB,

ZODA=ZACB,

:.ODBC.

DEIBC,

:.DE1OD,

0。是.。的半径，

:.DE是O的切线；

(2)解：如图，过点。作于点则NODE=NDEH=NOHE=90°,

OHLBF,BF=2,

:.BH=FH=-BF=\,

2

:.OD=EH=BH+BE=2,

.•・^B=2OD=4，OH=yJOB2-BH2=73-

DE=OH=y/3,

，BD=dDE2+BE?=2,

6

AD=A/AB2-BD2=A/42-22=2后■

【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，矩形的判定与性质，垂径定理，等腰三角形的性质.解题的

关键：（1）熟练掌握切线的判定；（2）利用勾股定理和垂径定理求长度.

5.如图，已知是二。的直径.点P在54的延长线上，点。是。上一点.连接尸。，过点8作班垂

交.BE于点、E,S.AB=BE

【答案】（1）见详解

(2)3

【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出OD〃3E,再根据垂线、平行线的性质得出

0D1CD,由切线的判定方法即可得出结论;

（2）在直角三角形8尸中由锐角三角函数的定义以及勾股定理列方程求解即可.

【详解】（1）证明：如图，连接0。,

AB=BE,

:.ZBAE=ZBEA,

.\ZODA=ZBEA,

：.OD//BE,

BCLCD,

:.OD^CD,

OD是。的半径，

二笈>是的切线;

（2）解：由（1）可知，OD//BE,

:"B=/POD,

4PD4

在RtPOD中，tan/POD=tanB=—,即---=—,

3OD3

设PD=4x,则OD=3x,

OP=yJPD2+OD2=5x>

PA=2=5x—3x,

解得x=l,

OD=3x=3,

即半径为3.

【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理以及解直角三角形，勾股定理，掌握直角三角形的边角关系,

圆周角定理以及切线的判定方法是正确解答的关键.

6.如图，为:。的直径，C为54延长线上一点，C3是」。的切线，。为切点，。尸,也于点石，交CD

于点F.

【答案】（1）证明见解析

(2)3

【分析】（1）连接0。，得到/ODC=90。，结合NAD3=90。求得NADC=NOD3,然后利用0D=0B得

至*/0DB=/0BD,从而得到NA£）C=NO3£>,再利用O尸_LAD得到O/〃3D,从而Z4O尸=NOBD,最后

得证结果；

（2）根据三角形的中位线定理得到0E=12,根据相似三角形的性质得到砂的长度.

8

【详解】(1)证明：如图，连接OO,则QD=OB,

CO是。的切线，A5是日。的直径,

ZODC=ZADB=90°,

:.ZADC=ZODBf

.\ZADC=ZOBDf

又，OF1AD,

.\ZOEA=ZADB=90°f

：.OF//BD,

/.ZAOF=ZOBDf

:.ZADC=ZAOF；

(2)解：OF//BD,OA=OB,

.AEAO1

,・----=-----=1,

DEOB

：.AE=DE,

.•.QE是的中位线，

:.OE=-BD=-x24=n,

22

CD4

cos/DCB=——=-,

OC5

设CD=4x,OC=5x,

/.OD;y/oC2-CD2=3x，

:.OB=3x,

:.CB=OC+OB=^x,

■:OF//BD,

:公COFsMBD,

.OCOF

一正一法’

•*OF

-8x-^4'

:.OF=15,

EF=OF-OE=15-12=3.

【点睛】本题考查了圆的切线的性质、平行线的判定和性质、解直角三角形，三角形的中位线定理、相似

三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键.

7.如图，在ABC中，AB^AC,以A8为直径的「。交边AC于点。，连接80,过点C作CE〃AB.

（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作。的切线，交CE于点尸；（不写作法，保留作图痕迹，标明

字母）

（2）在（1）的条件下，求证：BD=BF；

⑶在（1）的条件下，CF=2,BF=6,求。。的半径.

【答案】（1）画图见解析

⑵证明见解析

（3）00的半径为5.

【分析】（1）根据尺规作图，过点3作4B的垂线，交CE于点F,即可求解；

（2）根据题意切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，证明=/班C,根据平行线的性质以及等

腰三角形的性质得出58=/3CF,进而证明“爪2必,反7（心），即可得证.

（3）由（2）得：BD=BF=6,CD=CF=2,设AB=AC=2r,再利用勾股定理可得（2-2?+6?=（2rf,

再解方程即可.

【详解】（1）解：方法不唯一，如图所示.

(2)VAB=AC,

：.NABC=ZACB.

10

又・・・CE〃AB,

:.ZABC=/BCF,

：.ZBCF=ZACB.

•・,点。在以AB为直径的圆上，

：.ZADB=9Q°f

・•・NBDC=90。.

又•；BF为。的切线，

：.ZABF=90°.

•:CE〃AB,

：.ZBFC+ZABF=180°f

：.ZBFC=9Q°f

：.ZBDC=ZBFC.

•・•在ABCD和△BCF中，

ZBCD=NBCF,

<ZBDC=ZBFC,

BC=BC,

：.BCD竺BCF（AAS）.

：.BD=BF.

（3）由（2）得：BD=BF=6,

VRtBDC^RtBFC,

；.CD=CF=2,

设AB=AC=2r,

・•・AD=2r-2,

ZADB=90°,

.,.（2r-2）2+62=（2r）2,

解得：r=5,

・・・。0的半径为5.

【点睛】本题考查了作圆的切线，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，勾

股定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键.

8.如图，AB为。的直径，C为。上一点，AD与过点。的切线互相垂直，垂足为点。，AO交O于

点、E,连接CE,CB.

D

C

（1）求证：CE=CB；

(2)若AC=6,CE=2,求CD的长.

【答案】（1）见解析

⑵拽

3

【分析】（1）连接0C、0E,根据切线的性质得到OCLCD,根据平行线的性质、等腰三角形的性质得

到NZMC=NQ4C,根据圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理证明结论；

（2）根据勾股定理求出A5,证明根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答

案.

【详解】（1）解：证明：

连接OC、OE,

CZ)是。的切线,

OCLCD,

AD1CD,

:.0C//AD,

:.ZDAC=ZOCA,

OA=OC,

.\ZOAC=ZOCA,

\?DAC?(MC,

12

由圆周角定理得，ZBOC=2ZOAC,ZEOC=2ZDAC,

:.NBOC=NEOC,

AB是：。的直径,

ZACB=90°,

AB=7AC2+BC2=J(府+2。3,

QZDAC=ZBAC,ZADC=ZACB=90°,

\NDAC^NCAB,

EM即与4

解得，DC=*

【点睛】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切

点的半径是解题的关键.

9.如图，在ABC中，AC=BC,以BC为直径作《O,交AC于点R过C点作COJLAC交A8延长线

于点。，E为CZ＞上一点，且EB=ED.

(2)若A尸=2,tanA=2,求BE的长.

【答案】（1）证明见解析

⑵？

【分析】(1)利用等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余和圆的切线的判定定理解答即可；

(2)设。。与。交于点G,连接的，BG,利用圆周角定理，矩形的判定与性质和直角三角形的边角

关系定理求得所，设AC=BC=x,则CF=x-2,利用勾股定理列出方程求得1值，再利用相似三角形

的判定与性质解答即可得出结论.

【详解】⑴证明：AC=BC,

:.NCAB=ZABC,

EB=ED,

,\ZEBD=ZD.

CD.LAC,

/.ZA+ZD=90°,

:.NABC+NEBD=90。,

,NCB£=180。-(ZABC+NEB0=9O。.

:.OB1BE,

QOB是。的半径，

，BE为。的切线；

(2)解：设S与二。交于点G,连接3产，BG,如图，

NCFB=NCGB=90。,

NACO=90。，

「•四边形CfBG为矩形.

:.BG=FC.

在RtAFB中,

「BF

AF=2,tanAA=2=----,

AF

:.BF=4.

设AC=3C=x,贝iJCF=%—2.

QCF2+BF2=BC\

/.(x-2)2+42=x2,

14

解得：x=5,

,FC=3,BC=5.

.BG=3.

NCBE=90°,BG1CE,

JJBG^_BGE.

BGGE

CG-BG，

3EG

4~^~f

:.EG=-

【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆周角定理，矩形的

判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，连接直径所对的圆周角

是解决此类问题常添加的辅助线.

10.如图，。是ABC的外接圆，连接Q4交5c于点。.

⑴求证：NQ4C与互余；

(2)若A£>=6,BD=10,8=8,求。的半径.

【答案】(1)证明见解析

29

⑵彳

【分析】(1)延长A。交。于点E,连接CE,如图所示，由直径所对的圆周角是直角，利用互余及圆周

角定理代换即可得证；

40

(2)由题中条件得到一ADBsDCE,利用相似比，代值求解得到DE=/即可确定答案.

【详解】(1)证明：延长AO交(。于点E,连接CE,如图所示:

TAE是O的直径，

・•・NACE=90。，

：.ZE+ZOAC=9Q°f

•；ZB=/E,

：.ZOAC+ZB=90°；

(2)解：•:ZB=ZE,ZADB=NEDC,

；・ADBsDCE,

.DBDA

••一,

DEDC

BD-10,CD=8,AD-6,

【点睛】本题考查圆综合，涉及圆周角定理、互余、相似三角形的判定与性质、圆的性质等知识，熟练掌

握圆的性质及三角形相似的判定与性质是解决问题的关键.

11.如图，点尸是一。外一点，卓与＜。相切于A点，B,C是上的另外两点，连接AC,BC,

ZAPB+2ZAC5=180°,

AP

(1)求证：PB是。的切线;

(2)若BC〃24,。的半径为5,BC=6,求R4的长.

【答案】(1)见解析

(2)15

16

【分析】（1）连接。4,OB,由圆周角定理和已知条件N4PB+N4C®=180。，得出NQ4P+NO8P=180。，求

出NOBP=90。，即可得出结论；

（2）延长A0并延长交BC于。，连接0C,过P作尸。，8。于。，由垂径定理得出CD=3。=3,由勾

股定理得出8,AD=9,在RtAPBQ中，设丛=x,由勾股定理得出方程，解方程即可

【详解】（1）解：连接OAOB,如图1所示：

图1

,/ZAPB+2ZACB=180°,ZAOB=2ZACB,

：.ZAPB+ZAOB=180P,

：./GAP+NOBP=180。，

切。于点A,

PA±OA,

：.ZOAP=90°,

：.NOBP=90°,

是半径，

PB是；。的切线；

(2)延长AO并延长交5c于D,连接OC,过P作尸。,8c于。，如图2所示:

图2

VPA1OA,BC//PA,

：.ADA.BC,

:.CD=BD="=3,四边形AOQ尸是矩形,

2

:.OD=doc?-CD1=752-32=4，

T1D=Q4+OD=5+4=9,

PAPB是。的切线，

，PA=PB,

在RtzXPBQ中，设尸8=R4=x,贝|BQ=x_3,

由勾股定理得：（x-3『+92=/,

解得：x=15,

即以的长为15.

【点睛】本题考查了切线的性质和判定、垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识；熟练掌握切线的判定

与性质和垂径定理，作出辅助线是解题的关键.

12.如图，以BC为直径的半圆。上有一动点凡点E为弧B的中点，连接BE、FC相交于点延长

C尸到A点，使得连接A3、CE.

（1）求证：A8是。。的切线；

（2）若tan/AC8=BM=10.求EC的长.

【答案】（1）见解析

(2)12

【分析】（1）根据可得再由同弧或等弧所对的圆周角相等可得

NEBC=NECM,然后由BC为直径，可得NEMC+N£CM=90。，从而得到NABM+/班C=90。，即可求证；

5CEEM§V

（2）根据tanZACB="—,可设AB=5x,则5。=12羽AM=5x,再由△CEMs/\BEC,可得-------=----=

1210+EMEC12x

即可求解.

【详解】（1）证明：・・・A3=AM,

ZABM=ZAMB=ZEMC,

•・•点E为弧b的中点，

:./EBC=/ECM,

・13C为直径，

・•・ZBEC=90°,

ZEMC+ZECM=90°,

JZABM+ZECM=90°,

18

ZABM+ZEBC=90°,

：.ZABC=90°,

・・・A3是。。的切线；

5AR

⑵解：VtanZACB=—=——,

12BC

可设A3=5x,则3c=12x,AM=5x,

：.AC=13x,

：.CM=AC-AM=Sxf

•：/EBC=/ECM,ZBEC=ZCEM=90°,

•••△CEMSABEC,

,CEEMCM

,：BM=10.

.EC_EM_8x

**10+EM-EC~12x'

・EM_2EC_2

**EC~3f10+EM~3f

：.EM=~EC,

3

:.EC=n.

【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了等腰三角形的性质、解直角三角形、三角形相似的知识，综合性较

强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来.

13.如图，是。。的直径，N是。。上一点，M是AN的中点，连接AN,BM,交于点D连接MW,

OM,延长至点C,并使/CAN=2/N.AN与OC交于点、E.

(1)求证：AC是。。的切线；

3,

(2)若。M=10,tanN=—,求。。的半径.

【答案】(1)证明见解析

吟

【分析】(1)连接AM,先根据圆周角定理可得NN=/MAN,从而可得NN=NC4M,再根据圆周角定

理可得NN=N&NAM6=90。，从而可得NB4C=90。，然后根据圆的切线的判定即可得证；

40

(2)连接AM,先在RtZXADM中，解直角三角形可得AM=可，再在RtABM中，解直角三角形可得

BM=等，然后利用勾股定理可得A3的长，由此即可得.

【详解】(1)证明：如图，连接

M是AN的中点，

:.AM=MN，

：.ZN=ZMAN,

2CAN=2ZN,Z.CAN=ZMAN+Z.CAM,

：.ZN=ZCAM,

由圆周角定理得：ZN=ZB,ZAMB=90°,

ZB=ZCAM,ZB+ZBAM=90°

:.ZCAM+ZBAM^9Q°,即/R4c=90°,

:.AC1AB,

又\AB是。的直径，

；.AC是t。的切线.

(2)解：如图，连接AM,

20

c

3

由（1）已得：^AMB=90°,ZN=AMAN,tan,

4

3

/.tanZMAN=-

4

在RtAADM中，tan/MAN=,

AMAM

40

解得

又由（1）已得：/N=/B,

3

「.tan3=tanN=一,

40

在RtABM中,nAM3,

tanB=-----

BM4

解得BM=与，

AB=y]AM2+BM2=—,

9

则O的半径为TAB=gx[2=竿

【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定、解直角三角形等知识点，熟练掌握圆周角定理和圆的

切线的判定是解题关键.

14.如图，是O的直径，弦AC=3C,E是08的中点，连接CE并延长到点F,使EF=CE,连接

4/交(。于点。，连接BD,BF.

(1)求证：直线2尸是。的切线;

⑵若A尸长为50,求的长.

【答案】(1)见解析;

(2)BD=272

【分析】(1)连接。C、OF,证明四边形。EBC是平行四边形，则2尸〃。C,根据AC=8C,得至0CLA2,

ZABF=ZBOC=9Q°,可证明8尸是。。的切线；

(2)由是。。的直径得/ADB=NACB=90。，则/CAB=/C8A=45。，可证明EB=OB=OA=；AB,根据

勾股定理求出A3、的长，再根据三角形的面积公式即可求出30的长.

【详解】(1)证明：如图，连接。C、OF,

•：EF=CE,0E=BE,

四边形OEBC是平行四边形，

J.BF//OC,

"：AC=BC,OA=OB,

：.OCLAB,

ZABF=ZBOC=9Q°,

；08是。。的半径，且

直线8尸是OO的切线；

(2)如图，是。。的直径，

ZADB=ZACB=9Q°,

：.ZCAB=ZCBA=45°,

22

"：OC=OB,

：.ZOCB=ZOBC=45°,

：.ZBFO=ZOCB^45°,

'COF//BC,

：./BOF=/OBC=45。,

：.ZBFO=ZBOF,

：.FB=OB=OA=^AB,

'：FB2+AB2=AF2,且AF=5后,

：.(-j-AB)2+AB2=(572)2,

.\AB=2y/lQ,

：.FB=^AB=丽,

；.。。的半径为所,

SAABF=[AB・BF=]AF-BD,

；.2质x亚=5x81),

:.BD=2血.

【点睛】此题考查圆的切线的判定、圆的弦与弧及圆心角的关系、圆周角定理、平行四边形的判定与性质、

勾股定理等知识，根据题意正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

15.如图，四边形A8CD内接于。O,A8为。。的直径，对角线AC,33交于点E,。。的切线AF交8。

(2)若AF=3,BF=5,求BE的长.

【答案】（1）证明过程见详解

⑵:

【分析】(1)先证△AED名△AbO,得至！JND4斤ND4凡DE=DF,根据圆周角定理可得

ZDBC=ZDAC=ZDAF,再根据切线的性质证明NEU)=NA8D,即可得证；

AFBF

(2)证明48胆s/\AfD,即有——二——，即可求出。尸，结合。石二。/即可求出BE.

DFAF

【详解】(1);AB是。。的直径，

ZADB=90°,

：.ZADF=ZADB=90°,

：.ZF+ZFAD=90°,

*：AE=AF,

：.NAEF=NAFE,

：.AAED^AAFD,

：・NDAE=/DAF,DE=DF,

：.ZDBC=ZDAC=ZDAF,

TA尸是。。的切线，

ZMB=90°,

・•・ZF+ZABD=90°,

VZF+ZM£>=90°,

ZFAD=ZABDf

•：/DBC=/FAD,

：./DBC=/ABD,

・・・5。平分NABC；

(2)VZFAD=ZABD,ZF=ZF,

：.ABFA^AAFD,

.AFBF

**DF-AF?

・；BF=5,AF=3,

即DF=^-=?,

BF5

在(1)中已证得。斤。F,

97

BE=BF-DE-DF=5--x2二一.

55

【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、角平分线的判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形

的判定与性质等知识，灵活利用圆周角定理是解答本题的关键.

16.如图，A5是。的直径，点。是。上一点(不与点A,3重合)，连接AC,BC.

24

图I图2

(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出/ACB的平分线，交于点。(保留作图痕迹，不写作法)

(2)如图2,在(1)的条件下，过点。作。的切线，分别交C4、C8的延长线于点E、F,连接DA、DB,

若AC=6,BC=8,请求出EF的长.

【答案】(1)见解析

【分析】(1)根据角平分线的画法求解即可；

(2)连接OD,过点C作CMLEb于M,CM交AB于N,证出四边形OMWD是矩形，得出OD=A»V,

求出CN的长，证明ACBS.ECF,由相似三角形的性质得出笑=生，则可得出答案.

图1

(2)解：连接OD,过点C作CM,历于M,CM交,AB于N,

EF为。切线,

J.ODLEF,

CMLEF,

:.OD//MN

又♦.AB//EF,

二四边形OMWD是矩形,

:.OD=MN.

AB是。的直径，AC=6,BC=8,

:.ZACB=90°f

:.AB=4AC1+BC1=10

:.OD=MN=5.

sARC=LACBC=LABCN,

»c22

•ACBC6x824

AB105

24.49

:.CM=CN+MN=—+5=—.

AB//EF,

:"CAB=/CEF,/CBA=/F,

/.ACBsECF,

CN和CM分别为△ACS,△ECF的高,

,ABCN

"EF~CM'

24

"EF49'

EF=—

故答案为:

【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、圆周角定理、三角形的面积

等知识，熟记掌握相似三角形的判定与性质、切线的性质是解题的关键.

17.如图，48为(O直径，C为,O上的一点，过点C的切线与的延长线相交于点。，CA=CD.

(1)连接3C,求证：BC=OB；

(2)E是AB中点，连接CE,BE,若BE=4,求CE的长.

26

【答案】（1）见解析

(2)2+2相

【分析】（1）根据等腰三角形的判定，得到△O5C是等边三角形，进而得出结论;

（2）利用圆周角定理可得出AE=3石，根据特殊锐角的直角三角形可求出CE.

【详解】（1）解：如图，连接0C,

是Q的直径，

ZACB=90。，

・•・ZACO+ZOCB=90°

8是一。的切线，

ZOCB+ZZ)CB=90°,

,\ZACO=ZDCB

又CA=CD,OA=OC

AZCAB=ZCDB=ZACO=ZDCBf

/DCB=/CDB,BC=BD

ZACB=90°,ZCAB+ZCBA=90°,

ZCBA=2ZCDB=2ZCAB,

ZCBA=90°x-=60°,

3

OC=OB,

・•・△06。是正三角形，

BC=OB；

（2）解：连接AE,过点A作AMLCE,垂足为M,

BD

E是A8中点，

AE=BE=4,ZACE=NBCE=-ZACB=L90°=45°,

22

在RtAAEM中，AE=4,ZAEM=NCBA=60°,

EM=^-AE=2,AM=—4£=273,

22

在RtACM中，AM=2#,NACM=45。，

CM=AM=2上,

CE=EM+CM=2+243,

答：CE的长为2+2后.

【点睛】此题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理以及特殊锐角三角函数的相关知识，掌握和理解

圆周角定理、勾股定理以及切线性质，利用数形结合的思想是解题关键.

18.如图，以平行四边形A8CD的一边A3为直径的圆交边BC于点E,交对角线AC于点RG是边8上

的一点，连接AG,且BE=DG.

（1）请在以下三个条件中任选一个：,证明：直线AG是圆M的切线.

①NAGO=/ACB：②尸是弧AE的中点：③E是BC的中点.

⑵在第（1）问的条件下，若直径为4,连接8尸并延长交AG于点MAN=3,求四边形ABCD的面积.

【答案】（1）②，证明见解析

28

【分析】此题考查了切线的判定、圆周角定理、菱形的判定和性质等知识，证明四边形ABCD是菱形是解

题的关键.

(1)选择②尸是弧AE的中点，连接AE,所，证明ABFACBF(ASA),得到AB=3C,再证明

ACE均ACG(SAS),得至/AGC=NAEC=90。，AB为直径，即可得到结论；

⑵由勾股定理得到BN=>JAB2+AN2=5，由等积法求出AF=空乎=9，则防=」AB°-AF。=学,

BN55

241192

得到AC=2Ab=g,求出5钻。=54。・3/=石，即可得到答案.

【详解】(1)解：选择②，

：.ZABF=ZCBF9

*/A5为直径，

/.ZAFB=ZAEB=ZBFC=ZAEC=90°,

•:BF=BF,

・•・方&CB厂(ASA)

：.AB=BC,

,/四边形A3CD是平行四边形，

・・・四边形A3CD是菱形，ABCD

：.BC=CD,ZBAF=ZACG,

•:BE=DG.

：.CE=CG,

：.ZBAF+ZABF=ZCBF+ZACE=90°,

ZBAF=ZACE,

：.ZACG=ZACE,

XVAC=AC

・・・ACE之二AOG(SAS),

・•・ZAGC=ZAEC=90°

■:ABCD

：.ABAG=180°-ZAGC=90°

：.ABLAG

,/AB为直径,

・•・直线AG是圆”的切线.

（2）如图,

由勾股定理得到BN=dAB?+AN?=5，

・=-AFBN=-ABAN

uABN22

ABAN12

AF=

BN5

：,BF=JAB。-AF。=y

•；AB=BC,

24

・•.AC=2AF=—

5

."Hx竺1-

■c225525

192c384

・•・四边形ABC。的面积为2s=----x2=-----

2525

19.如图，以口ABCD的边BC为直径的。O交对角线AC于点E,交CD于点F.连结BF.过点E作EG±CD

于点G,EG是。。的切线.

（1）求证：oABCD是菱形;

(2)已知EG=2,DG=1.求CF的长.

【答案】（1）见解析；（2