浙江省绍兴市上虞区2025届高三下学期５月高考及选考适应性考试数学试卷【含答案解析】

2025年5月上虞区高考及选考适应性考试数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出，再由交集和并集的定义求解即可.【详解】因为，所以，解得：，所以，对于A、B，，故A错误，B正确；对于C、D，，故CD错误；故选：B.2.已知复数纯虚数虚数单位，则实数A1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】，再根据复数为纯虚数得和，解之即得解.【详解】为纯虚数，，，，故选B．【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】抓住关于直线对称的点为即可求解.【详解】因为关于直线对称的点为，则的对称点为，又在函数的图象上，故，解得，故选：.4.某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、心理6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法总数是（）A.192 B.144 C.124 D.216【答案】A【解析】【分析】先排数学课，再排体育课，最后排剩下的语文、政治、英语、心理4堂课，由分步乘法计数原理即可得出答案.【详解】数学课排在上午有种，体育课排在下午有种，剩下的语文、政治、英语、心理4堂课有种，所以种.故选：A.5.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?（）（注：，）A.30 B.31 C.32 D.33【答案】C【解析】【分析】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是和，根据条件算出的值，然后可得答案.【详解】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是和，由题意：，.于是，所以.故选：C.6.如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则求的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正四棱锥的体积公式，列出方程，求得，再利用球的表面积公式，即可求解.【详解】由题意，设外接球的半径为，则，

则正四棱锥的体积为，解得，所以球的表面积为．【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及锥体的体积、球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，结合锥体的体积公式和球的表面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力。7.已知点，分别为双曲线的左右焦点，过双曲线C上一点作的平分线交x轴于点B，记的面积分别为，内切圆半径分别为，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出，再由角平分线定理可求出，进而求出的各边长，即可求出，再由等面积法求出，，即可求出.【详解】由双曲线可知：，所以，，令，则，解得：，不妨设，所以，因为为的角平分线，所以由角平分线定理可得：，所以，又因为，所以，，所以，所以，因为，所以的高为，所以，又因为，解得：，同理，所以.故选：D.8.已知函数，当且仅当有，则（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】由题意知，由此求出，即可求出，再由可得，再对进行求导，得到在的单调性和的函数值即可得出答案.【详解】由题意可知，，解得，当时，则，又，所以，所以，验证：，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又，，所以当且仅当时，，所以成立.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分．9.下列结论正确的是（）A.若随机变量X的方差，则B若随机变量Y服从两点分布，且，则C.若随机变量ξ服从正态分布，，则D.若随机变量η服从二项分布，则【答案】BC【解析】【分析】由判断；由两点分布的定义判断；由正态曲线的对称性判断；由二项分布的定义判断【详解】若，则，故错误；若随机变量Y服从两点分布，则，故,，故正确；若随机变量ξ服从正态分布，，则，，故正确；若随机变量η服从二项分布，则故错误.故选：.10.曲线，A，B是曲线C上任意两点，则（）A.曲线C的图象关于原点对称 B.的最大值C.直线AB与曲线C没有其它交点 D.曲线C所围成的面积为【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，作出曲线的图象，再数形结合依次讨论各选项求解即可．【详解】对于曲线C，当，时，曲线C表示，即，表示以为圆心，半径为的圆在第一象限的部分；当，时，曲线C表示，即，表示以为圆心，半径为的圆在第四象限的部分；当，时，曲线C表示，即，表示以为圆心，半径为的圆在第二象限的部分；当，时，曲线C表示，即，表示以为圆心，半径为的圆在第三象限的部分；当时，曲线表示坐标原点；即其图象如图所示，

由图可知，对于A，因为，所以，即点与点均符合曲线C的方程，所以曲线C关于原点对称，A正确；对于B，曲线上两点之间最大距离，如图中，故B正确；对于C，直线AB取除了有，与曲线C有其它交点，故C错误；曲线围成的图形的面积为4个半圆与1个正方形的面积之和，其面积为，故D正确；故选：ABD．11.已知数列中，数列中，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则数列为等比数列C.若，则数列为常数列 D.若，则【答案】AD【解析】【分析】根据组合数的性质判断A，由，结合，即可判断B，求出、、，即可判断C，根据组合数的性质判断D.【详解】对于A：当，则，又，所以，故A正确；对于B：当，则，又，所以，则，不为常数，所以数列不是等比数列，故B错误；对于C：当，则，则，，，所以数列不是常数列，故C错误；对于D：首先证明，考虑多项式中的系数，一方面：代数式中，的系数为；另一方面：代数式中，的系数为；因为，所以；所以.当时，，故D正确.故选：AD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知椭圆的左顶点为，则该椭圆的离心率为________．【答案】【解析】【分析】依题意可得，即可求出，从而求出离心率.【详解】因为椭圆的左顶点为，所以，则，所以该椭圆的离心率.故答案为：13.已知定义在R上的函数满足且，则________．【答案】【解析】【分析】令，可得，由累加法求出，即可求出.【详解】令，所以，所以，即，，……，所以，以上式子相加可得：，所以，所以.故答案为：.14.已知平行四边形ABCD满足，则________．【答案】【解析】【分析】根据四边形为平行四边形结合余弦定理计算，再应用同角三角函数关系求解.【详解】因为平行四边形ABCD满足，又因为，所以，所以，所以，则．故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知正三棱柱的所有棱长均为2，D为AB中点，E为棱上的动点．（1）求证：面面；（2）若直线CE与面所成角的余弦值为，试求AE的长．【答案】（1）见解析（2）AE的长为.【解析】【分析】（1）先证得，，由线面垂直的判定定理可得面，，再由面面垂直的判定定理可得平面面.（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设设，分别求出直线CE的方向向量与面的法向量，再由线面角的向量公式即可得出答案.【小问1详解】因为三棱柱为正三棱柱，所以，因为D为AB中点，所以，又因为平面，平面，所以，，平面面，所以面，面，所以平面面【小问2详解】过点作，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，，设面的法向量为，，则，所以，令，则，所以，因为直线CE与面所成角的余弦值为，所以直线CE与面所成角的正弦值为，设为，即，即，解得：或（舍去），所以，AE的长为.16.已知函数，．（1）若在处的切线方程为，求实数m的值；（2）讨论的单调性.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意和切线方程列方程求解实数的值．（2）首先求出，分类讨论利用导数的符号求出函数的单调区间；【小问1详解】由，．依题意，，解得.【小问2详解】的定义域为，，当时，恒有，故的单调递减区间为，②当时，令，得，由，得；由，得，故的单调递减区间为，单调递增区间为.综上所述，当时，的单调递减区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.17.在三角形ABC中，内角A，B，C对应边分别为a，b，c，的面积为S且．（1）求角B的大小；（2）设点M是三角形内一点，且，，过点M作直线l分别交BA，BC（或延长线）于点P，Q，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，分别在与中结合正弦定理表示出，然后代入计算，结合正弦函数的值域，即可得到结果.【小问1详解】由余弦定理可得，则，又，由可得，即，且，所以.【小问2详解】设，则，则，在中，由正弦定理可得，则，则，由可得，且，，在中，由正弦定理可得，则，所以，则，且，所以当时，即，取得最大值.18.已知抛物线的焦点到准线的距离是．（1）求抛物线方程；（2）设点是该抛物线上一定点，过点A作互相垂直的直线分别交抛物线C于点B，C，连接BC．（ⅰ）求证：直线BC恒过一定点；（ⅱ）过点A，B，C分别作切线，三条切线两两相交于P，Q，R，若的面积为，求直线BC的方程．【答案】（1）（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）【解析】【分析】（1）由已知焦点到准线的距离是，可得，即可求解；（2）由已知可得，（ⅰ）设直线BC的方程为，，，联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理结合已知，即可求解；（ⅱ）对两边求导，根据导数的几何意义分别求得三条切线方程，联立方程可得P，Q，R三点的坐标，然后根据面积公式即可求解.【小问1详解】抛物线的焦点为，准线为，因为焦点到准线的距离是，所以，所以抛物线方程为；【小问2详解】因为点在抛物线上，所以，所以，（ⅰ）设直线BC的方程为，，，联立得，则，，，，因为，所以，所以，又，，所以，所以，因为，，所以，所以，所以，即，所以，所以直线BC恒过定点；（ⅱ）对两边求导的，所以，在点处的切线的斜率，所以切线方程为，即，在点处的切线的斜率，所以切线方程为，所以，又，所以，在点处的切线方程为，设，联立，得，则，联立，得，则，联立，得，则，所以，点到直线的距离为，所以，又，解得，所以直线BC的方程的方程为.19.已知数列满足：①，②，则称数列有性质Ω，数列称为“Ω数列”，记．（1）若，写出的所有可能值（直接给出答案即可）；（2）当，时，设；数列为等差数列．请判断p是q的什么条件？并说明理由；（3）若Ω数列符合且，记集合．在中任取两个不同元素x，y，求：x且的概率最大值．【答案】（1）（2）充分不必要条件（3）【解析】【分析】（1）根据数列的定义，相邻项差值不超过1，通过递推确定的可能取值；（2）分析等差数列的公差与条件的关系，判断条件的充分性与必要性；（3）第（2）问：构造满足条件的数列，分析集合的结构，利用组合数计算概率的最大值.【小问1详解】因为数列满足：①，②，故由，得的可能取值为，若，则可为；若，则可为；若，则可为；综合所述，的可能取值为.【小问2详解】p是q的充分不必要条件，即条件p能够推出条件q，但条件q推不出条件p，下面证明：先证明条件q推不出条件p，因为为等差数列，且为数列，因为