数学归纳推理的基本模式

PAGEPAGE4数学归纳推理的基本思维模式内江师范学院数学与信息科学学院谢志强归纳推理是现行普通高中数学教材中一项重要的学习内容．随着新课改的不断深入，归纳推理不但成为了数学教学中的热点与亮点，而且也成为了高考数学中的一个具有独特价值的考点．在最近几年的全国高考中涌现出了许多有关归纳推理的试题（以下简称为归纳试题），引起了数学教学研究者的极大兴趣．然而，已有的研究大都集中在归纳问题的解答策略方面，而对数学归纳推理的基本思维模式的研究并不多见．本文将从数学模式论的视角，结合归纳试题的分析，对归纳推理的基本思维模式进行初步的探讨．1数学归纳推理的基本含义要进行数学归纳推理必须首先明确所要思考的对象，否则就会迷失推理的方向而陷入无休止的“尝试-错误”之中．关于归纳推理的定义比较多，其中最具数学特色的应该是美国著名数学教育家波利亚给出的：“归纳是通过观察和组合特殊的例子来发现普遍规律的过程”[1]．此定义中将归纳推理的思考对象明确为“特殊的例子”与“普遍规律”，但是“特殊的例子”的属性是多方面的，我们要观察和组合它的哪种属性？数学中“普遍规律”的形式又是什么样子呢？这些似乎都不甚明确．根据数学模式论的观点，“数学是通过模式建构，以模式为直接对象来从事客观实体量性规律性研究的科学”[2]，显然，是将“量性模式”作为数学的直接研究对象，自然地，数学归纳推理也应该以“量性模式”作为自己的思考对象．从这样的角度，我们可以将数学归纳推理界定为：数学归纳推理是通过观察和组合特殊事例的量性属性来发现一类事物的量性模式的过程．其中，量性属性是指事物的量性结构、关系、特征等；量性模式是指“按照某种理想化的要求（或实际可应用的标准）来反映（或概括地表现）一类或一种事物关系结构的数学形式”[2]．从上述分析可以看出，数学归纳推理的目的在于寻找和发现蕴含在特殊事例中的量性模式，而任何数学模式都是抽象思维的产物，是“内在的思维运动模式的直接表现”[2]，因此，在归纳推理中所采用的思维模式决定着归纳推理的成效．下面将通过归纳试题的分析解答来讨论归纳推理的基本思维模式．2数学归纳推理的基本思维模式2.1要素归纳模式要素归纳模式指通过探讨所考虑特殊事例的构成要素及其构成方式而发现一般性的量性模式的归纳思维方式，其目的是归纳出一致性的数量结构模式．如“哥德巴赫猜想”是把素数看作生成所有自然数的基本要素，而归纳出结论：任何一个不小于4的偶数均可以由两个基本要素（素数）构成（相加）．例1（2010年高考数学福建卷文科）观察下列等式：①；②；③；④；⑤．可以推测，．解答本题需要归纳出以下三组数的结构模式：（1）2，8，32，128，m；（2）2，－8，18，－32，p；（3）8，－48，160，n．对于数列（1）只要观察出“2”这个要素便可以将各个数加工成如下结构：．由此可以推测出通项公式为，从而，．对于数列（2），由于受到（1）中要素“2”的启发，在从各数中分离“2”的过程中可以发现如下数量结构：．由此可以推测出通项公式为，从而，．对于数列（3），受推测值时出现2的幂及推测值时出现平方数的启发，可把2的幂与平方数作为归纳的要素来展开归纳的过程，这样便可以发现如下数量结构：；；．由上述规律可以推测出的值：．最后结果为：．上述结论均可予以演绎证明，请读者参见文献[3]．我们可以借用化学中的“原子”与“分子”来说明要素归纳模式的思维特点．其中，要素相当于“原子”，是构成量性模式的基本单位，可简称为“模式原子”；模式相当于“分子式”，是由“模式原子”组成的具有一定意义的数量结构．由此，要素归纳模式的思维过程可概括为：（1）确定模式原子；（2）构建各特殊事例的量性分子式；（3）观察、概括、想象各分子式的共同结构特征，推测出分子式的“通式”，即一般性的量性模式；（4）验证确认所推测的结论．2.2函数归纳模式函数归纳模式是指将所考察的特殊事例的数量顺次排列组成一个数列，把这些数量看作是某个关于正整数的函数的函数值，然后通过分离常量与自变量或联想所熟知的函数而找到函数关系式的思维方式．例2（2012年全国卷理-新课标）数列满足，则的前项和为．解：由题设可得：（1）有上述等式易得：（II）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．从所给的五个式子可以看出，它们与余弦定理“”的左边具有相类似的结构，只是余弦定理的左边涉及了三角形边与角的运算，而所给的五个式子只涉及角的运算，因此，需要对余弦定理加以改造．由正弦定理可知，，代入余弦定理可得：………………（*）按照上式的结构形式，注意到，可对所给的五个式子进行如下变形：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．很显然，（1）~（3）具有完全相同的结构形式，（4）~（5）具体完全相同的结构形式，由此可推测出如下的三角恒等式：（Ⅰ）；（Ⅱ）．通过简单的变换，（Ⅰ）与（Ⅱ）可统一为如下结构形式：．此恒等式的证明完全可以类比（*）式进行，只是需要按的取值进行分类讨论，这里略去．类比归纳模式所要考虑的是量性模式之间的相似关系或同构关系，其核心是为所考查的对象（目标模式）寻找一个具有相似结构的源模式．如“余弦定理”就是例4中用以类比的源模式．结合Gentner(1988)的结构映射理论[4]，类比归纳模式的一般思维过程可概括为：（1）建构源模式和目标模式的一种表征或图式，把源模式改造或解释成便于类比的结构模式；（2）对目标模式中的特殊事例进行加工改造，建立起源模式与目标模式间相似性匹配关系；（3）概括出一致性的结构模式，推测一般性的结论；（4）验证或确认推测的结论．参考文献：[1][美]G·波利亚．怎样解题——数学教学法的新面貌．涂泓，冯承天译．上海：上海科技教育出版社，2002．[2]徐利治．徐利治论数学方法学．济南：山东教育出版社，2000．[3]王新民，吕晓亚．2010