山东省菏泽市2024-2025学年高一下学期4月期中数学（B）试卷（含解析）

山东省菏泽市2024-2025学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下面命题中，正确的是（

）A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则2．复数的虚部是（

）A． B．1 C． D．3．已知向量在上的投影向量为，且，则（

）A． B． C． D．4．设，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5．在中，，．若，则的值为（

）A． B． C． D．6．已知复数，则（

）A． B． C． D．17．在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则下列结论中正确的是（

）A．越小越费力，越大越省力 B．的范围为C．当时， D．当时，8．在中，内角的对边分别为，为BC边上一点，且，则的面积为（）A． B． C． D．二、多选题9．若是复数，其在复平面内对应的点为，下列说法正确的是（

）A．为纯虚数B．若，则C．若，则的轨迹是以为圆心，半径为1的圆D．若，则10．已知向量，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为D．的最大值为311．在中，角所对的边分别为，，，O为外接圆圆心，则下列结论正确的有（

）A． B．外接圆面积为C． D．的最大值为三、填空题12．请写出一个满足的复数．（写出一个即可）13．如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为．14．深圳实验学校高中园高一年级设计了一个“水滴状”园徽的平面图（如图），徽章由等腰三角形及以弦和劣弧所围成的弓形所组成，其中，劣弧所在的圆为三角形的外接圆，圆心为．已知，外接圆的半径是2，则该图形的面积为．四、解答题15．在复平面内，复数，．(1)若复数对应的点在虚轴上，求实数的取值范围；(2)若复数对应的点在第二象限或第四象限，求实数的取值范围．16．已知向量.(1)若向量与共线，求实数的值；(2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.17．如图，在中，.设.(1)用表示；(2)若为内部一点，且.求证：三点共线.18．已知复数，，．(1)若，求角；(2)复数，对应的向量分别是，，（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）存在使等式成立，求实数的取值范围．19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求角A；(2)若，设点P为的费马点，求；(3)设点P为的费马点，，求实数t的最小值.

山东省菏泽市2024-2025学年高一下学期期中数学试题参考答案题号12345678910答案CBABCACDBCDACD题号11答案ACD1．C【详解】对于，若，但两向量方向不确定，则不成立，故选项错误；对于，向量无法比较大小，故选项错误；对于，若，则两向量反向，因此，故选项正确；对于，若，则，故选项错误.故选：C2．B【详解】因为，虚部为.故选：B.3．A【详解】依题意，向量在上的投影向量为，则，由，得，于是，又，所以.故选：A4．B【详解】由于，故，所以在复平面内对应的点为，在第二象限.故选：B.5．C【详解】因为，所以，又，所以，所以，又，、不共线，所以，所以.故选：C6．A【详解】因为，所以.故选：A7．C【详解】如图所示，根据题意依次分析选项：对于A，由于，且，则有，即.又为定值，故越小越省力，越大越费力，A错误；对于B，当时，，行李包不会处于平衡状态，即，B错误；对于C，当时，有，则，C正确；对于D，当时，有，则，D错误.故选：C8．D【详解】因为在中，，又为边上一点，且，所以，又，所以，所以，解得，所以.故选:D.9．BCD【详解】对于A，若，不是纯虚数，故A错误对于B，因为，所以，故B正确对于C，设即，表示圆心在，半径为1的圆，故C正确对于D，，设，则，故D正确故选：BCD.10．ACD【详解】对于A，由，得，因此，故A正确；对于B，若，则，所以，所以，故B错误；对于C，因，，由在上的投影向量为，解得，又，，故C正确；对于D，因，故，当，即时，也即时，取得最大值9，即的最大值为3，故D正确.故选：ACD.11．ACD【详解】在中，由正弦定理及得：，而，则有，即，又，，则，所以，即，A正确；由正弦定理得外接圆半径，该圆面积，B错误；如图，，C正确；由余弦定理得：，当且仅当时取等号，因此，D正确.故选：ACD12．（答案不唯一）【详解】令，则，故答案为：（答案不唯一）13．【详解】解：在正方形中，建立如图所示坐标系，由正方形边长为3且，可得，设，，则，则，故，故当时，取得最小值为．故答案为：．14．【详解】如图将圆O补充完整，连接OB，OC，取BC中点为D，连接AD.因，为对应的圆周角，为对应的圆心角，则，为正三角形，又外接圆半径为2，则弓形面积为.因，则三角形为等腰三角形，AD平分角.则，又，则.又，则，则.则图形面积为：.故答案为：.15．(1)或(2)或．【详解】（1）由题意得，解得或；（2）复数在复平面内对应的点为，依题意可得，则或解得或，即实数的取值范围为或．16．(1)(2)【详解】（1）由题意可得，，若向量与共线，可得，解得.（2）若向量与的夹角为锐角可得且与不共线，即可得，解得且，即实数的取值范围为且17．(1)，(2)证明见解析【详解】（1），；（2），又，故，故三点共线.18．(1)(2)（ⅰ），（ⅱ）【详解】（1），，且，，，即，，又，故.（2）（ⅰ）由复数的坐标表示可得，，，，又，则.当时，取最大值为，当时，取最小值为，的取值范围为；（ⅱ），，，又，则，化简得，，，由小问（ⅰ）的结论可知，，解得或，综上所述，的取值范围为：.19．(1)(2)(3)【详解】（1）由，得，故.由正弦定理可得，故直