2025年广东省广州市白云区中考数学二模试卷

第1页（共1页）2025年广东省广州市白云区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）“杨辉三角”、“洛书”、“赵爽弦图”和“中国七巧板”均是中国古代数学的重要成就，至今仍在数学教育、智力训练和文化传承中发挥影响．观察以下代表四者的标志性图形，其中属于中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）科学家通过观测宇宙背景辐射的温度变化来推测光的传播方式以及宇宙的形状．在宇宙中，宇宙背景辐射分布的非常均匀，但不同区域的宇宙背景辐射仍存在微小的温度差异（）A．0.2×10﹣4 B．2×10﹣3 C．2×10﹣4 D．2×10﹣53．（3分）如图，A是某公园的进口，B，C，D，E，F是不同的出口，随机选择出口离开公园，则恰好从北面出口离开的概率为（）A． B． C． D．4．（3分）下列各式，计算正确的是（）A．a4+a2＝a6 B．a2•a4＝a8 C．a5÷a2＝a3 D．（a4）2＝a65．（3分）的整数部分为a，小数部分为b，则（+a）•b为（）A． B．1 C． D．26．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CD＝BC，连接BD，则∠ABD的度数为（）A．30° B．40° C．45° D．50°7．（3分）如图，梯子AB＝AC＝a，梯子与地面的夹角为α（）A．a•sinα B．a•cosα C．2a•sinα D．2a•cosα8．（3分）如图，四边形ABDF为菱形，BD垂直平分AC，若，则AC的长为（）A．8 B．4 C．2 D．19．（3分）已知a是方程的实数根，则a的取值范围为（）A．a＞2 B．a＝2 C．a＜2 D．不能确定10．（3分）观察图中数字的排列规律．按照此规律继续排列，若数字2025出现在第m列第n行的位置，则m和n的值分别是（）A．1，45 B．45，1 C．44，2 D．2，44二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11．（3分）已知x＝3是一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个解，则a＝．12．（3分）已知a﹣b＝2，ab＝3，则a2b﹣ab2＝．13．（3分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，如图1，孩子出生后的天数＝3×72+1×71+6＝147+7+6＝160（天），请根据图2，计算孩子自出生后的天数是天．14．（3分）在半圆⊙O中，C是直径AB上一点，AC＝3，点C关于弦AD的对称点C′也在⊙O上，那么C′D的值为．15．（3分）在温度不变的条件下，通过对汽缸（图1）活塞重复加压（kPa）与体积V（mL）成反比例函数关系，则气体体积压缩了mL．16．（3分）如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对应点E落在边AB上，EF交AD于点G，连接CG交PQ于点H；②S△CEG＝S四边形CDQH+S△CBE；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ•GD．其中结论正确的序号是．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（4分）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．18．（4分）如图，点E，F在直线AC上，BC＝DF，BC∥DF．求证：AB∥DE．19．（6分）如图，AB为⊙O的直径，CD垂直平分线段OA，交AB于点C，连接AD、BD、OD．（1）求证：△ADO是等边三角形；（2）点E在线段CA的延长线上，且AE＝AD，试判断ED与⊙O的位置关系20．（6分）我校对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进了抽样调查，每位同学仅选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1），解答下列问题：类别频数（人数）频率力学a0.45热学10b光学300.3电学150.15（1）直接写出频数分布表中a、b的值：a＝，b＝；（2）直接写出表示参与“光学”实验的扇形圆心角的度数n＝°；（3）参与“电学”实验的同学在做“灯泡亮了”的实验时，提出如下问题：如图2，电路图上有四个开关A，B，C，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光．若随机闭合其中的两个开关21．（8分）电影《哪吒之魔童闹海》成为首部跻身全球票房榜前五、并登顶全球动画票房榜冠军的亚洲电影，带动了相关周边产品的热销．某书店计划采购哪吒主题的磁性书签和金属书签．已知哪吒磁性书签的单价比金属书签高20元．用2400元购买磁性书签的数量与用800元购买金属书签的数量相同．（1）求哪吒磁性书签和金属书签的单价．（2）书店老板决定一次性购进磁性书签和金属书签共200个，且总费用不超过3600元．问：最多可以购进磁性书签多少个？22．（8分）某数学小组开展项目式学习，从生活中搬重物爬楼梯的困难入手，跨学科研究三轮爬梯车（如图①），有两个轮子水平放置在地面EF上，图中⊙A，3个轮子的半径均为5cm，点O为支点，且∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°，拉杆OD＝80cm．（1）求BC的长；（2）在使用爬梯车时，拉杆OD倾斜，从条件①或条件②这两个条件中选择一个作为已知条件①：OD与DE的夹角∠ODE＝45°；条件②：点O到DE的距离为56.8cm．（参考数据：sin45°＝cos45°≈0.71，tan45°＝1，．）23．（10分）如图，已知△ABC，∠BAC＝90°．（1）尺规作图：在BC边求作点D，使得∠DAC＝∠B（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AD，若，求△ADC与△ABC的面积比．24．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BA边绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，过点D作DE⊥AC垂足为E，连接BE．（1）如图1，若∠BAC＝30°，BC＝1时；（2）如图2，当∠BAC＜45°时，求证：；（3）如图3，当∠BAC＞45°时，按要求重新作图并回答：DE、BE、AE是否依然存在（2），请说明理由．否则，请说明三者存在什么样的关系？并说明理由．25．（14分）已知一次函数y＝﹣x+5与二次函数y＝﹣x2+bx+c（b、c是常数）相交于A、B两点，点A是x轴上的点，点C为抛物线的顶点．点P在抛物线上，其横坐标为m．（1）求该二次函数解析式及顶点C的坐标；（2）若抛物线在P、B之间的部分（包含P、B两点）最高点与最低点的纵坐标差为4时，求m的取值范围；（3）点M是直线AB上的点，且MP∥y轴，把点M往右平移两个单位，使得S△MNP＝S△CMN？若存在，请求出面积相等时m的值；若不存在

2025年广东省广州市白云区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CC．DCBCDAAB一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）“杨辉三角”、“洛书”、“赵爽弦图”和“中国七巧板”均是中国古代数学的重要成就，至今仍在数学教育、智力训练和文化传承中发挥影响．观察以下代表四者的标志性图形，其中属于中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、图形绕某点旋转180°后不能与本身重合，不符合题意；B、图形绕某点旋转180°后不能与本身重合，不符合题意；C、图形绕某点旋转180°后能与本身重合，符合题意；D、图形绕某点旋转180°后不能与本身重合，不符合题意．故选：C．2．（3分）科学家通过观测宇宙背景辐射的温度变化来推测光的传播方式以及宇宙的形状．在宇宙中，宇宙背景辐射分布的非常均匀，但不同区域的宇宙背景辐射仍存在微小的温度差异（）A．0.2×10﹣4 B．2×10﹣3 C．2×10﹣4 D．2×10﹣5【解答】解：0.0002＝2×10﹣7．故选：C．3．（3分）如图，A是某公园的进口，B，C，D，E，F是不同的出口，随机选择出口离开公园，则恰好从北面出口离开的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：∵A是某公园的进口，共有B，C，D，E，其中北面有B，∴恰好从北面出口离开的概率为，故选：D．4．（3分）下列各式，计算正确的是（）A．a4+a2＝a6 B．a2•a4＝a8 C．a5÷a2＝a3 D．（a4）2＝a6【解答】解：A、a4，a2不是同类项，不能合并，不符合题意；B、a3•a4＝a6，a7≠a8，计算错误，不符合题意；C、a5÷a8＝a3，a3＝a4，计算正确，符合题意；D、（a4）2＝a2，a6≠a8，计算错误，不符合题意．故选：C．5．（3分）的整数部分为a，小数部分为b，则（+a）•b为（）A． B．1 C． D．2【解答】解：∵2＜4，b＝，∴（+a）•b＝（﹣2）＝2﹣4＝1，故选：B．6．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CD＝BC，连接BD，则∠ABD的度数为（）A．30° B．40° C．45° D．50°【解答】解：∵CD＝BC，∠D＝30°，∴∠DBC＝∠D＝30°，由圆周角定理得：∠A＝∠D＝30°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝×（180°﹣30°）＝75°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝75°﹣30°＝45°，故选：C．7．（3分）如图，梯子AB＝AC＝a，梯子与地面的夹角为α（）A．a•sinα B．a•cosα C．2a•sinα D．2a•cosα【解答】解：作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝a，∴CD＝BC，∵∠ACB＝α，cos∠ACD＝，∴cosα＝，∴BC＝2acosα，故选：D．8．（3分）如图，四边形ABDF为菱形，BD垂直平分AC，若，则AC的长为（）A．8 B．4 C．2 D．1【解答】解：由菱形性质可知AB＝BD＝AF＝5，设BE＝x，则DE＝BD﹣BE＝5﹣x，∵BD垂直平分AC，∴∠AEB＝∠AED＝90°，，在Rt△ADE中，，Rt△ABE中，AE2＝25﹣x2，∴20﹣（6﹣x）2＝25﹣x2，∴x＝7，∴，∴AC＝2AE＝8，故选：A．9．（3分）已知a是方程的实数根，则a的取值范围为（）A．a＞2 B．a＝2 C．a＜2 D．不能确定【解答】解：函数y＝x2﹣2x和的大致位置如图：根据图形可得函数y＝x2﹣2x和交点的横坐标x＞2，∴的解x＞2，∴a＞8，故选：A．10．（3分）观察图中数字的排列规律．按照此规律继续排列，若数字2025出现在第m列第n行的位置，则m和n的值分别是（）A．1，45 B．45，1 C．44，2 D．2，44【解答】解：由表格得，第一行的第1、3、7、25，然后向下每一行递减1至与列数相同的行止，第一列的第2、7、6行的数分别为4、36，然后向右每一列递减3至与行数相同的列止，∵452＝2025，∴数字2025出现在第1行第45列的位置，∴m＝45，n＝3，故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11．（3分）已知x＝3是一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个解，则a＝﹣3．【解答】解：将x＝3代入x2﹣7x+a＝0，得：9﹣2+a＝0．解得a＝﹣3．故答案为：﹣5．12．（3分）已知a﹣b＝2，ab＝3，则a2b﹣ab2＝6．【解答】解：a2b﹣ab2＝ab（a﹣b），代入a﹣b＝2，ab＝3，则原式＝3×7＝6，故答案为：6．13．（3分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，如图1，孩子出生后的天数＝3×72+1×71+6＝147+7+6＝160（天），请根据图2，计算孩子自出生后的天数是123天．【解答】解：计算孩子自出生后的天数为：2×78+3×78+4＝98+21+4＝119+7＝123．故答案为：123．14．（3分）在半圆⊙O中，C是直径AB上一点，AC＝3，点C关于弦AD的对称点C′也在⊙O上，那么C′D的值为．【解答】解：连接CC′交AD于E，由轴对称的性质可得∠C′AD＝∠BAD，CE＝C′E，AC′＝AC＝3，∴，∴C′D＝BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∵∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD，∴，∴，∴AE＝2DE，设C′E＝CE＝3m，C′D＝BD＝4m，∴，∴，∵AC′2＝AE3+C′E2，∴，解得或（舍去），∴C′D＝4m＝4×＝，故答案为：．15．（3分）在温度不变的条件下，通过对汽缸（图1）活塞重复加压（kPa）与体积V（mL）成反比例函数关系，则气体体积压缩了90mL．【解答】解：汽缸内气体压强P（kPa）与体积V（mL）成反比例函数关系，设反比例函数解析式为，75）代入得：75＝，解得：k＝6000，∴反比例解析式为，∴当压强为40kPa时，v＝，当压强为100kPa时，v＝，∴压强由40kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了：150﹣60＝90（ml），故答案为：90．16．（3分）如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对应点E落在边AB上，EF交AD于点G，连接CG交PQ于点H；②S△CEG＝S四边形CDQH+S△CBE；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ•GD．其中结论正确的序号是①③④．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°．由折叠可知：∠GEP＝∠BCD＝90°，∠F＝∠D＝90°，∵∠A＝90°，∴∠AEG+∠AGE＝90°，∴∠BEP＝∠AGE，∵∠FGQ＝∠AGE，∴∠BEP＝∠FGQ，∵∠B＝∠F＝90°，∴△PBE∽△QFG．故①正确；②过点C作CM⊥EG于M，由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠GEC，在△BEC和△MEC中，，∴△BEC≌△MEC（AAS），∴CB＝CM，S△BEC＝S△MEC，∵CG＝CG，∴Rt△CMG≌Rt△CDG（HL），∴S△CMG＝S△CDG，∴S△CEG＝S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四边形CDQH，∴②不正确；③由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠GEC，即EC平分∠BEG．∴③正确；④连接DH，MH，如图，∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG，∴∠BCE＝∠MCE，∠MCG＝∠DCG，∴，∵EC⊥HP，∴∠CHP＝45°，∴∠GHQ＝∠CHP＝45°，由折叠可得：∠EHP＝∠CHP＝45°，∴EH⊥CG，∴EG2﹣EH2＝GH2由折叠可知：EH＝CH．∴EG5﹣CH2＝GH2．∵CM⊥EG，EH⊥CG，∴∠EMC＝∠EHC＝90°，∴E，M，H，C四点共圆，∴∠HMC＝∠HEC＝45°．在△CMH和△CDH中，，∴△CMH≌△CDH（SAS）．∴∠CDH＝∠CMH＝45°，∵∠CDA＝90°，∴∠GDH＝45°，∵∠GHQ＝∠CHP＝45°，∴GHQ＝∠GDH＝45°，∵∠HGQ＝∠DGH，∴△GHQ∽△GDH，∴，∴GH6＝GQ•GDGE2﹣CH2＝GQ•GD，∴④正确；综上可得，正确的结论有：①③④．故答案为：①③④．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（4分）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．【解答】解：（x+1）（x﹣5）＝4，则x+1＝0或x﹣6＝0，∴x＝﹣1或x＝6．18．（4分）如图，点E，F在直线AC上，BC＝DF，BC∥DF．求证：AB∥DE．【解答】证明：点E，F在直线AC上，BC＝DF．∴∠DFE＝∠BCA，∵AF＝EC，∴AC＝EF，∵BC＝DF，∴△BCA≌△DFE（SAS），∴∠A＝∠E，∴AB∥DE．19．（6分）如图，AB为⊙O的直径，CD垂直平分线段OA，交AB于点C，连接AD、BD、OD．（1）求证：△ADO是等边三角形；（2）点E在线段CA的延长线上，且AE＝AD，试判断ED与⊙O的位置关系【解答】解：（1）由题意可得：AD＝OD又∵OA＝OD∴OA＝OD＝AD∴△ADO是等边三角形；（2）由题意可得：∠DAO＝∠DOA＝60°∵AE＝AD，∴，∴∠EDO＝180°﹣∠E﹣∠DOA＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴ED与⊙O相切．20．（6分）我校对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进了抽样调查，每位同学仅选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1），解答下列问题：类别频数（人数）频率力学a0.45热学10b光学300.3电学150.15（1）直接写出频数分布表中a、b的值：a＝45，b＝0.1；（2）直接写出表示参与“光学”实验的扇形圆心角的度数n＝108°；（3）参与“电学”实验的同学在做“灯泡亮了”的实验时，提出如下问题：如图2，电路图上有四个开关A，B，C，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光．若随机闭合其中的两个开关【解答】解：（1）由题意得，调查的人数为30÷0.3＝100（人），∴a＝100×5.45＝45，b＝10÷100＝0.1．故答案为：45；8.1．（2）参与“光学”实验的扇形圆心角的度数n＝360°×0.2＝108°．故答案为：108．（3）列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有：（A，（B，（C，（D，（D，（D，共6种，∴小灯泡发光的概率为．21．（8分）电影《哪吒之魔童闹海》成为首部跻身全球票房榜前五、并登顶全球动画票房榜冠军的亚洲电影，带动了相关周边产品的热销．某书店计划采购哪吒主题的磁性书签和金属书签．已知哪吒磁性书签的单价比金属书签高20元．用2400元购买磁性书签的数量与用800元购买金属书签的数量相同．（1）求哪吒磁性书签和金属书签的单价．（2）书店老板决定一次性购进磁性书签和金属书签共200个，且总费用不超过3600元．问：最多可以购进磁性书签多少个？【解答】解：（1）设哪吒磁性书签的单价为x元，则金属书签的单价为（x﹣20）元，根据题意得：＝，解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的解，∴x﹣20＝10，答：哪吒磁性书签的单价为30元，金属书签的单价为10元；（2）设可以购进磁性书签m个，则购进金属书签（200﹣m）个，根据题意得：30m+10（200﹣m）≤3600，解得：m≤80，答：最多可以购进磁性书签80个．22．（8分）某数学小组开展项目式学习，从生活中搬重物爬楼梯的困难入手，跨学科研究三轮爬梯车（如图①），有两个轮子水平放置在地面EF上，图中⊙A，3个轮子的半径均为5cm，点O为支点，且∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°，拉杆OD＝80cm．（1）求BC的长；（2）在使用爬梯车时，拉杆OD倾斜，从条件①或条件②这两个条件中选择一个作为已知条件①：OD与DE的夹角∠ODE＝45°；条件②：点O到DE的距离为56.8cm．（参考数据：sin45°＝cos45°≈0.71，tan45°＝1，．）【解答】解：（1）过O作ON⊥EF于N，连接BC交ON于M，∵⊙B和⊙C轮子的半径均为5cm，∴点B和点C到地面EF距离都是5cm，∴BC平行地面EF，∴MN＝4，ON⊥BC，∵OB＝OC＝10cm，∠BOC＝120°，∴BC＝2BM，，∠OBC＝30°，∴，∵，∴；（2）过O作OG⊥DE于G，则四边形OGEN是矩形，∴GE＝ON＝OM+MN＝5+5＝10，选择条件①：OD与DE的夹角∠ODE＝45°，∴，∵拉杆OD＝80cm，∴GD≈0.71OD＝56.8cm，∴把手D到地面的距离DE＝DG+EG＝56.7+10＝66.8cm，选择条件②：点O到DE的距离为56.8cm，即OG＝56.5cm，∵OD＝80cm，∴，∴把手D到地面的距离DE＝DG+EG＝56.3+10＝66.3cm．23．（10分）如图，已知△ABC，∠BAC＝90°．（1）尺规作图：在BC边求作点D，使得∠DAC＝∠B（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AD，若，求△ADC与△ABC的面积比．【解答】解：（1）使得∠DAC＝∠B的点D，如图即为所求；（2）∵∠BAC＝90°，∴，在直角三角形ABC中，设AC＝8x，由勾股定理得：BC2＝AC2+AB4＝（2x）2+（2x）2＝13x2，∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴．24．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BA边绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，过点D作DE⊥AC垂足为E，连接BE．（1）如图1，若∠BAC＝30°，BC＝1时；（2）如图2，当∠BAC＜45°时，求证：；（3）如图3，当∠BAC＞45°时，按要求重新作图并回答：DE、BE、AE是否依然存在（2），请说明理由．否则，请说明三者存在什么样的关系？并说明理由．【解答】（1）解：∵BA边绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，∴∠ABD＝90°，AB＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝45°，∵DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∴∠ABD＝∠AED＝90°，∴如图1，A、D、B、E四点共圆，∴∠BED＝∠BAD＝45°，∴∠BEC＝180°﹣∠AED﹣∠BED＝45°，∵∠ACB＝90°，BC＝1，∴∠CBE＝180°﹣∠BCE﹣∠BEC＝45°，∴CE＝BC＝6，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴，∴AB＝3，在直角三角形ABC中，由勾股定理得：，∴，∵∠ABD＝90°，AB＝BD，在直角三角形ABD中，由勾股定理得：，在Rt△DEA中，由勾股定理得：，∴，；（2）证明：∵BA边绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，∴∠ABD＝90°，AB＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝45°，∵DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∴∠ABD＝∠AED＝90°，∴如图2，A、D、B、E四点共圆，∴∠BED＝∠BAD＝45°，∵BF⊥BE，∴∠EBF＝90°，∴∠BFE＝180°﹣∠FBE﹣∠BEF＝45°＝∠BEF，∴BE＝BF，在直角三角形BEF中，由勾股定理得：，∵∠ABD＝∠EBF＝90°，∴∠ABD﹣∠ABF＝∠EBF﹣∠ABF，∴∠FBD＝∠EBA，在△ABE和△DBF中，，∴△ABE≌△DBF（SAS），∴AE＝DF，∴；（3）解：不存在（2）中的等量关系，存在；理由如下：根据题意进行作图，将BA边绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，过点D作DE⊥AC垂足为E，如图所示，如图6，∵BA边绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，∴∠ABD＝90°，BA＝BD，∵