广东省深圳市某中学2024-2025学年高二年级下册期中考试数学试题

广东省深圳市建文外国语学校2024-2025学年高二下学期期

中考试数学试题

学校：姓名：班级：考号：

一、单选题

1.书架第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本

不同的体育书，现从书架第1层，第2层，第3层各取1本书，有多少种不同取法（）

A.9种B.24种C.16种D.6种

2•(1一的展开式第三项为（）

A.60B.-120C•60x2D--120x3

3.“杨辉三角”是数学史上的一个重要成就，本身包含许多有趣的性质，如图：

第

0行

..........................1

第

1行

...........................................11

第

2行

...........................................121

第

3行

.......................................1331

第

4行

第

行14641

5

..............................1.....5101051

则第8行的第7个数是（）

A.8B.21C.28D.56

4.某学校社团举办一年一度的“五四”青年节展演.现从《歌唱祖国》《我的未来不是

梦》《爱拼才会赢》《走进新时代》这4首独唱歌曲和《光荣啊，中国共青团》《我爱你

中国》这2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不

同的安排方法共有（）

A.14种B.48种C.72种D.120种

5.已知变量x,y呈线性相关关系，回归方y程—人为ci且变量x,y的样本数据如下表

所示

X-2-1012

y54m21

试卷第11页，共33页

据此计算出在丫_3时，预测值为-02,则加的值为（）

A.3B,2.8C.2D,1

6.设随机变量。的分布列如图，则当。在（01）内增大时，

g012

F1-J

7

A.。偌）减小B.增大

C.。（自）先减小后增大D.。偌）先增大后减小

7.已知随机变量X服从正态分布阳6,17），若尸（X<4）+5P（X>8）=1，则P（4<X<6）=

()

8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为°，各成员的支付方式相互独立，设x

为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，Z）（X）=2.4,且尸（X=4）<P（X=6）,则

E(X)=()

A.6B.5C.4D.3

二、多选题

9.已知随机变量X的分布列如下表：若尸（XW（））=1,则（）

X-101

Pj_ab

2

试卷第21页，共33页

A.=-B.b=-C.E（X）=--D.D（X）=--

a4444

10.某工厂有3个车间生产同型号的电子元件，第一车间的次品率为2%,第二车间的次品

率为1%,第三车间的次品率为1.5%,三个车间的成品都混合堆放在一个仓库.假设第一、

二、三车间生产的成品比例为3：2：3,现有一客户从该仓库中随机取一件，则下列说法正

确的有（）

A.取出的该件是次品的概率约为0.012

B.取出的该件是次品的概率约为0.016

C.若取出的电子元件是次品，则它是第一车间生产的概率约为0.5

D.若取出的电子元件是次品，则它是第一车间生产的概率约为04

11.若（无2+1）（尤-2）9=旬+4（X-1）+&（尤一以+...+%《-1）”,则下列结论正确的是

（）

A.a。=2B.a2+%------F=-254

C•I。=—7D.4+2a2+3/…+11%i=0

三、填空题

12.两点分布：若X〜8（1,夕），则E（X）=——・

13.某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布（105,5）.若尸（9OWXW12O）=；,则从参

加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩高于120的概率是_____.

14.如图，在中国象棋的模盘上，敌方有一无名小卒，小卒未过河前只能竖行，不能横行,

过河后每次只可横行或竖行一格，需想办法到达敌军的“帅”处，从而坐上“正堂”，赢

得胜利，已知小卒中途不会受到任何阻碍，则小卒坐到“正堂”的最短路线有一条.

试卷第31页，共33页

四、解答题

15.已知3/+的二项展开式有7项.

(1)求〃，并求出所有二项式系数之和;

⑵求展开式中含尤7项的系数;

(3)求展开式中的有理项.

16.某科技公司2025年计划推出量子加密通信设备，该设备可实时保护数据传输，目标用

户为学校、企业和自由开发者.该公司调查了不同用户对该设备的需求情况，得到数据如下

(单位：个)：

学校企业自由开发者

有需求3m1702n

无需求m120n

已知调查了400个学校和150个自由开发者.

⑴求加和〃的值;

(2)估计目标用户对该设备有需求的概率;

(3)是否有99%的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异？

2

附：%1n(ad-be)

(a+b)(c+d)(a+c)(6+d)

试卷第41页，共33页

P(X2>k]0.10.010.001

k2.7066.63510.828

17.猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每

首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲/.BQ歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如

下表所示.

歌曲ABC

猜对的概率0.60.50.3

获得的公益基金额/元100020003000

(1)该嘉宾从4民c三首歌曲中随机选择一首，求该嘉宾猜对歌名的概率.

(2)若猜歌名的规则如下：按照4B,C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一

首，求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.

18.某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道

题，按照题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题便可通过面试•已知6道备选题

中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是三7，

3

且两位应聘者每题正确完成与否互不影响.

(1)求甲正确完成面试题数占的分布列及其期望；

(2)求乙正确完成面试题数〃的分布列及其方差；

(3)试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由.

19.华为尸"970的发布是中国芯片行业的重大突破，华为的高端手机越来越受到消费者的

试卷第51页，共33页

青睐.某手机店今年2~6月份PuralO手机的销量如下表所示:

23456

月份X

m

425366109

手机销量了（部）

用最小二乘法得到手机销量了（单位：部）关于月份x的回归直线方程为9=16.卜+5.6,

且销量V的方差¥=542•

⑴求加；

（2）求相关系数『（精确到0.01）,并据此判断手机销量了与月份x的相关性强弱（若

r>0.9,则可判断了与x线性相关较强）；

22

⑶求x=4时的残差自；已知（乂-宜）2+U-y4)+U-^5)=101.9)求决定系

数尺2（精确到0.01）.

5

Z（x,-可（％-刃£(x,-可(％-刃

附：回归系数5=口-----------，相关系数，=1“T1“，决定系数

£（占-可2

/=1

£（x-x）2同=16.46

R2=1—且-------,

su-n2

i=l

试卷第61页，共33页

《广东省深圳市建文外国语学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BCCDCDCAABCBC

题号11

答案BCD

1.B

【分析】根据分步乘法计数原理直接求解即可.

【详解】由分步计数原理可知：共有4x3x2=24种不同走法.

故选：B.

2.C

【分析】直接利用二项展开式的通项公式，求出（J2x）6的展开式第三项.

【详解】（＞2x）6的通项为&j=C；（-2xy

（1-2x）6的展开式第三项7；=图=Cl（-2x）2=60x2，

故选：c-

【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题.

3.C

【分析】根据“杨辉三角”的特征，直接求出结果.

【详解】依题意，第8行的第7个数是c；=c；=28.

故选：C

4.D

【分析】按照合唱歌曲的个数来分类：可能选出两首，可能是一首，合唱歌曲有要求，则

需要先排，然后进行排列.

【详解】（1）若只选取一首合唱歌曲，有c；种方法，那么独唱歌曲要选3首，有C：种方

法，然后先排合唱歌曲在最后，其余的全排列A；，共C；C：A；=48种；

答案第11页，共22页

(2)若选取两首合唱歌曲，有c；种方法，那么独唱歌曲要选2首，有c；种方法，然后先

排选一首合唱歌曲在最后有C；种方法，其余的全排列A；，共C；C：C；A；=72种.

因此一共48+72=120种，

故选：D

5.C

【分析】由题意求出.=2.8，即得回归直线方程，表示出样本中心点坐标，代入回归方程,

即可求得答案.

【详解】由题意知回归方程为？=_》+联过点(3,-0.2)，则3=2.8，

即j)=-x+2.8;

_111

Xx=-x(-2-l+0+l+2)=0,y=-(5+4+w+2+l)=-(12+^),

由于回归方程为夕=—+.必过样本中心点丘5)，

故;(12+m)=一0+2.8,...加=2,

故选：C

6.D

【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性・

【详解】QE(^)=0x^+lx1+2x^-=^+1,

oc)=^y^(o-p-；)2+；(i-p-：)2+§(2-p-；y=-p2+p+；,

(0,1),.•."《)先增后减，因此选D.

答案第21页，共22页

【点睛】£«)=注也,口化)=£(士-E(J))?p.=炉C).

Z=11=1Z=1

7.C

【分析】根据正态分布的对称性可得：P(X<4)=尸(X>8),p(4<X<6)=；-尸(X<4),

结合题意可求尸(X<4)=L进而可求尸(4<X<6).

6

【详解】X~N(6,b)，则尸(X<4)=尸(X>8)，

.P(X<4)+5尸(X>8)=6尸(X<4)=1则尸(X<4)=L

6

/.P(4<X<6)=；一P(X<4)=1,

故选：C.

8.A

【分析】由二项分布的方差公式可求出〃=0.4或p=0.6,又因为尸(丫=4)<2(万=6)可得

p>0.5,所以可求出p=0.6,再由二项分布的期望即可求出答案.

【详解】解：由二项分布的方差公式有D(X)=:"(1-0=2.4，

角军得：2=0.4或P=0.6.

而P(X=4)<P(X=6)即c：。/(1_06<c»60_py,

解得:>0.5

所以夕=0.6,从而E(X)=np=6.

故选:A

答案第31页，共22页

9.ABC

【分析】结合概率之和为1以及尸（XWO）='求得由此求得E（X），O（X）,从而判断

出正确答案.

1L1

---F6Z+Z?—1

【详解】依题意;§6=AB选项正确.

一+。=一

[24

E（X）=（-l）x；+Ox；+lx；=-；,C选项正确.

0（.）=卜1+[彳+[0+[4+1+力；；=*口选项错误.

故选：ABC

10.BC

【分析】利用赋值法，直接求解即可

【详解】取第一车间产品300件，第二车间产品200件，第三车间产品300件，所以共有

次品300x0.02+200x0.01+300x0.015=12.5件次品'

所以三个仓库中按成品比例为3：2：3混合时，任取一件为次品的概率为

12.5

P=«0.016；B正确

300+200+300

若取出的为次品则为第一车间生产的概率为「=—=0.48。0.5,C正确

12.5

故选：BC

11.BCD

【分析】根据二项式的特征，利用赋值法逐项计算即可求解.

答案第41页，共22页

【详解】令x=l可得，-2=«0-故选项A错误；

1

vx—0口J何，(_2)9—UQ_tZj+a?-CI3+%-%+••,+

令x=2可得，0=CLQ+%+出+。3+。4+〃5+…+%0+%1

②+①可得一512=2(4+4+&+V-----+4。)，

则为+%+。4+…+%o=—2569

因为/=-2，所以的+。4+…+%0=-254，故选项B正确；

展开式中婢的系数为C；二%C「则知=1，

婢的系数为C；(-2)i=6c。+(-1)1即-18=阳-11知，

因为％1=1，所以％。=-7，故选项C正确；

于(x)=(x?+l)(x_2)=ao+%(x-l)+a,(x-1)++-1),

等式两边同时对x求导可得，

110928

%+2a2(x-1)H-----Fllou(x-1)=2x(x-2)+9(x+l)(x-2)'

令x=2可得，a1+2a2+3a3---+lla11=0>故选项D正确；

故选：BCD.

12.p

【分析】略

【详解】略

13.—

64

【分析】根据正态分布的对称性求出学生的成绩高于120的概率，再根据独立重复试验的

答案第51页，共22页

概率公式可求出结果.

【详解】因为X〜(105,52)，所以4=105,

所以P(X2105)=；,因为尸(90WX4120)=；,所以

尸(90<X<105)=尸(105<X<120)=；,

-...P^X>120)=P(X>105)-P(105<X<120)111

所c以=-----=—

244

则所求概率为

故答案为：以

64

14.70

【分析】根据题意，小卒需要横着需走4步，竖着需走4步，然后即可得到结果.

【详解】小卒过河前只能往前走，故过河前路线唯一，过河后需走八步，其中，横着需走

4步，竖着需走4步，故只需选出横着走的四步即可，即c；C：=70.

故答案为：70

15.(1)〃64

(2)1215

⑶7；=729/，乙=1215尤7，4=135x2，口=/

【分析】(1)由二项展开式有7项，可得〃=6,所有二项式系数之和为26=64；

65kRhJr=?

(2)先求出二项展开式的通项为M=C>36F才，再令12苫=7,解得，代入

答案第61页，共22页

通项计算即可;

(3)分析得出要得到有理项，必须让12-要为整数，从而得到*=°'2'4,6,再代入通项

2

计算即可.

【详解】(1)因为卜2+2］的二项展开式有7项，所以"=6,

所以所有二项式系数之和为26=64；

(2)由(1)知”=6,所以(3工2+9］的二项展开式的通项为

5M=C(3X2)J=C：-36-<X2，

412-—=7,解得左=2,

2

所以展开式中含/项的系数为c>34=1215；

(3)因为3一++］的二项展开式的通项为兀尸战上"2舍，

因为f6,且0N,所以能使12一把为整数的124,6.

2

所以展开式中的有理项分别为

7］=C®-36-x12=729/，4=C>3"-x7=1215x7，

22233

7；=C^-3-x=135x，T7=Cl-30-x~=x~-

16.(1)OT=100,M=50

鸣

答案第71页，共22页

（3）有99%的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异•

【分析】（1）根据题意列出关于加，〃的等量关系式即可求解；

（2）由题设数据结合古典概型直接计算即可得解；

（3）列出列联表，计算出卡方值即可判断得解.

【详解】（1）由题得户"加=40°m=100

\2n+n=150〃=50

300+170+10019

（2）由题可得估计目标用户对该设备有需求的概率为尸=

400+290+150-28

（3）列出2x2列联表:

学校用户非学校用户总计

有需求300270570

无需求100170270

总计400440840

零假设4：学校用户与非学校用户对该设备的需求情况无差异.

840(300x170-100x270)2

由表格得”211200……

/V=--------«17.863>6.635

400x440x570x270627

根据小概率值a=0.01的独立性检验，推断久不成立,

所以有99%的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异•

7

17.(1)—

15

（2）分布列见解析，E（X）=1470

【分析】（1）根据全概率公式计算可得；

（2）依题意x的可能取值为0、io。。、3000、60001利用相互独立事件的概率公式求出

所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.

答案第81页，共22页

【详解】⑴分别用A、B、0表示猜对歌曲A、B、C歌名的事件，则A、B、C相互

独立，

用。表示事件“该嘉宾从A、8、0随机选择一首歌曲，且猜对歌名”，

用及表示事件“该嘉宾选择A歌曲”，用£表示事件“该嘉宾选择B歌曲”，

用与表示事件“该嘉宾选择C歌曲”，

则/用）=尸区）=尸（用）=卜尸（图片）=06,P（3心）=06,尸（。心）=0・3,

所以尸（0=尸（4）尸（4闺）+尸（&）尸（8|与）+尸（⑷尸（C4）

1117

=-x0.6+-x0.5+-x0.3=—.

33315

（2）依题意x的可能取值为0、io。。、3000、6000，

所以尸（X=0）=l_0.6=0.4，

尸（X=1000）=0.6x（l-0.5）=0.3，

P（X=3000）=0.6x0.5x（l-0.3）=0.21，

尸（X=6000）=0.6x0.5x0.3=0.09'

所以X的分布列如下：

0136

F0000

所以E(X)=0x0.4+1000x0.3+3000x0.21+6000x0.09=1470・

18.⑴分布列见解析；%)=2

答案第91页，共22页

7

（2）分布列见解析；

（3）甲通过面试的可能性更大；理由见解析

【分析】（1）确定占的可能取值，利用超几何分布求概率公式求出概率，列出分布列，求

出期望即可；

（2）确定〃的可能取值，利用二项分布求概率公式求出概率，列出分布列，求出期望方差

即可；

（3）确定甲、乙通过面试的概率，比较即可的结论.

【详解】（1）甲正确完成试题数《的可能取值为1，2,3，

g）=皆3PgC：C；

3

C6

所以甲正确完成面试题数g的分布列为:

123

P£3£

555

13

£'^)=1X-+2X-+3xg=2

（2）乙正确完成面试题数〃的可能取值为：0,1，2，3

尸（〃=。）=阡1）$r（〃=i）=cg"]=|

所以乙正确完成面试题数〃的分布列为：

0