过关检测6 解析几何- 2025高考数学二轮复习

专题过关检测六解析几何

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.椭圆］+/=1的长轴长为6,则该椭圆的离心率为()

A粤"B.fC粤口驾

3366

2.(2024弓可南三模)过抛物线/=8x的焦点的直线交抛物线于A,B两点，若AB中点的横坐

标为4,则|AB|=()

A.16B.12C.10D.8

3.已知双曲线谆-，=l(a＞0力＞0)的一条渐近线被圆/+产107=0截得的线段长等于

8,则双曲线C的管心率为()

A.零B.1C.3D.|

343

4.已知A(30),3(3,0),C(0,3),一束光线从点网-1,0)出发经AC反射后，再经3c上点。反

射,落到点E(l,0)上，则点。的坐标为()

1533

A.(Q)

C.(l,2)D.(2,l)

5.已知抛物线y2=8x的焦点为£经过点尸(1,1)的直线/与该曲线交于A,5两点，且点P恰

好为A3的中点则|4川+|3n=()

A.4B.6C.8D.12

6.(2022.全国甲，文11)已知椭圆。:1+4=13＞。＞0)的离心率为加,42分别为C的左、

a4b3

右顶点,3为C的上顶点.若西•瓦石=-1,则C的方程为()

Ag+比=1Bg=1

A，18+16T段^9+8一

C.*=lD.%2=1

7.已知圆Ci:(x+2)2+y2=i,C2：(x-2)2+y2=49,动圆C满足与G外切且与。2内切，若“为Ci

上的动点，且丽•瓦而=0,则I而I的最小值为()

A.V2B.V3C.2D.V5

8.瑞士著名数学家欧拉在17世纪证明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一条直

线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABGABnACna

点3(-1,3),点C(4,-2),且其“欧拉线”与圆M：Oa)2+(y-a+3)2=/相切.则圆M上的点到直线

x-y+3=0的距离的最小值为()

A.2V2B.3V2C.4V2D.6

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知椭圆的左、右焦点分别是FI,F2,左、右顶点分别是A1A,点尸是椭

圆上异于442的任意一点，则下列说法正确的是()

A.|PFI|+|PF2|=5

B.直线PAi与直线PA2的斜率之积为3

C.存在点尸满足NBPR2=90°

D.若AF1PF2的面积为4胡，则点P的横坐标为上逐

10.(2024.广东广州二模)双曲线具有如下性质:双曲线在任意一点处的切线平分该点与两

焦点连线的夹角.设。为坐标原点，双曲线C：3-弓=1(。>0)的左、右焦点分别为人方2,

ZUb

右顶点A到一条渐近线的距离为2,右支上一动点P处的切线记为/,则()

A.双曲线C的渐近线方程为产子》

B.双曲线C的离心率为等

C.当轴时,伊人|=第

D.过点Fi作BK，/,垂足为K,10Kl=2遥

11.(2024.新高考/,11)造型)0可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知

曲线C过坐标原点。，且曲线C上的点满足横坐标大于-2,到点网2,0)的距离与到定直线

x=a(a<0)的距离之积为4,贝女

A.〃=-2

B.点(2VX0)在曲线C上

C.曲线C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1

D.当点(私加)在曲线c上时,ww已

三、填空题:本题共3小题海<1；器5分洪15分

12.(2022.全国甲，文14)设点航在直线2x+y-l=0上，点(3,0)和(0,1)均在OM上，则。〃的方

程为.

13.圆锥曲线有丰富的光学性质，从椭圆焦点发出的光线，经过椭圆反射后,反射光线经过

另一个焦点;从抛物线焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物

线的对称轴.已知椭圆谆+，=1伍>。>0)过点(3,1).由点P(2,l)发出的平行于x轴的光

线经过抛物线Ci:y2=16x左射到椭圆C上后,反射光线经点(-4,0),则椭圆C的方程

为.

14.已知抛物线Z:x2=4y的焦点为R,圆F:x2+(y-l)2=4与抛物线Z在第一象限的交点为

直线/:x=f(O<f<m)与抛物线Z的交点为A,直线/与圆R在第一象限的交点为

3,则m=周长的取值范围为.

四、解答题:本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知点《10),直线/:x=q,动点P到点R与到直线/的距离相等.

⑴求动点尸的轨迹C的方程；

(2)过轨迹C上一点〃(3,四)作圆(42)2+>2=1的两条切线，分别与轨迹C交于异于“点

的A乃两点，求|4酣

22F5

16.(15分)已知椭圆a+%=1(。>0>0)的左、右焦点分别为人典离心率为卷过点八且

斜率不为0的直线与椭圆交于A,B两点,△BA%的周长为4+2V3.

⑴求椭圆C的方程；

⑵设0为坐标原点，求+9］的取值范围.

2

17.(15分)已知椭圆P：^v-+y2=l的右顶点为A,点M(xo,yo)是椭圆P上异于A的一点,MN,

无轴于点N,B是MN的中点，过动点M(%o,yo)的直线/:%ox+4yoy=4与直线AB交于点C.

⑴当xo1时，求证:直线I与椭圆P只有一个公共点；

(2)求证:点C在定直线上运动.

18.（17分）（2024.九省联考）已知抛物线C:y2=4x的焦点为E过点F的直线/交抛物线C

于A3两点，过点R与直线/垂直的直线交抛物线。于。无两点,其中点反。在x轴上

方,MN分别为AB,DE的中点.

（1）证明:直线MN过定点；

（2）设G为直线AE与直线BD的交点，求△GMN面积的最小值.

222

]=，a>b>0）表示的椭圆G称为椭圆a+£=l（a〉b>0）的相似椭圆.

⑴如图，已知点人（-g,0）尸2（8,0）,M为OO：f+V=4上的动点，延长乃M至点N,使得

乃|尸1N的垂直平分线与mN交于点P,记点尸的轨迹为曲线C,求曲线C的方

程；

⑵在条件⑴下，已知椭圆Q是椭圆C的相似椭圆,是椭圆Q的左、右顶点.点。是

Q上异于四个顶点的任意一点，当be2（e为曲线C的离心率）时,设直线QMi与椭圆C交

于点A,用直线QNi与椭圆C交于点。,只求|A3|+|DE|的值.

专题过关检测六解析几何

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

22

1.B解析因为椭圆£+\=1的长轴长为6,所以椭圆的焦点在y轴上，且机=32=9,所以

椭圆的离心率为=|.

2.B解析设A(xi,yi),3(X2,”),由题意知岩=4,由抛物线的焦半径公式得

\AB|=(xi+2)+(%2+2)=2-^^+4=2x4+4=12.故选B.

3.D解析双曲线器-翥=1伍>0,。>0)的渐近线方程为y=上，即ay+bx=Q.

圆的方程f+V-lOyR可化为f+G-SpuZS,则圆心为(0,5),半径为5,

圆心到渐近线的距离为d=手蒜，由弦长公式可得8=2加5-聋,

va2+&2\az+bz

化简可得"二七序,二c2=a2+b2=至〃2,则e=£=

99a3

4.C解析根据入射光线与反射光线的关系，分别作出RE关于AC,的对称点G,H,连

接GH,交3c于。，则点。即为所求,如图.

由题意知,AC所在直线方程为产x+3风-1,0),设G(x,y),

金=巴+3

则产旷,'解得x=-3,y=2,即G(-3,2).

匕1=3

由3c所在直线方程为y=-x+3,E(1,0),同理可得”(3,2),

所以直线GH的方程为y=2.

联立，-2+'解得x=l,y=2,即£>(1,2).

5.B解析抛物线y2=8x中,=4,其焦点网2,0),准线方程x=-2,过点A,B,P作准线的垂线,

垂足分别为MN,R(图略).

由抛物线定义可知,以川+|3川=|4〃|+|5朗.

而P恰好为A3的中点，故尸R是梯形ABNM的中位线，故|AM|+|BN|=2|PR|,

又故|PH|=l+.3,

所以|AR|+|3N=2x3=6.

6.B解析由题意知山(-凡0)5A2(G0),5(0力)，

则BZ；•瓦号=(-。,-6>3-。)=-层+庐=-1,①

即/=#.②

联立壶，解得4=9,/=8.故选B.

7.B解析易知圆Ci的圆心Ci(-2,0),圆C的半径为n=l.0C2的圆心Q(2,0),半径为

r2=7.|CiC2|=4<|n-r2|,

所以圆。内含于圆C2.

设圆c的半径为民则｛图二2r

故|CCI|+|CC2|=8>|QC2|=4,

故圆心C的轨迹为椭圆，且该椭圆的焦点为C1,C2.

22

设该椭圆的方程为今+2=1（。泌>0）,焦距为2c（c>0）,

则2〃=8,可得。=4;由2c=4,可得c=2;Z?=Va2-c2=2V3,

22

所以点c的轨迹方程为3+3=1.

_________1612_____

由丽•■=（）,得CM±CiM,S-\CJ\4\=l,

由椭圆的几何性质可得|鬲|min=a-C=2,故|而|min=j|前扁/RM?=叵

8.A解析因为在AABC中5AB=AC=4,所以3C边上的高线、垂直平分线和中线合一,

则其“欧拉线”为"BC边3c的垂直平分线AD

因为点3（-1,3）,点C（4,-2）,

所以琥，）

因为直线3c的斜率为姜=-1,所以3c的垂直平分线的斜率为1.

-1-4

所以5c的垂直平分线方程为即x-y-l=O.

因为"欧拉线“与圆”:（》-。）2+（广4+3）2=/相切，

所以圆心（的-3）到“欧拉线”的距离为生嘤=r，可得因为圆心（凡/3）到直线%-

y+3=0的距离为生等生=3四,所以圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为

V乙

3V2-V2=2V2.

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.BD解析由题意得。=5/=2小,0=小产1（-迷,0）/2（遥,0）山（-5,0）42（5,0）,短轴一个顶

点B2（0,2V5）,|PFi|+|PF2|=2a=10,A错误；

设P（xj）,则9+/=1,产=20（1-

小1-kpA?=W**=1=20（1噎）x表=-$B正确；

因为tanZOB2F2=­[=*=工<1,所以0。<NOB2F2<45°,从而/FIB?F2=2N

。32g<90°,而尸是椭圆上任一点，当尸是短轴端点时NBPR2最大，因此不存在点尸满

足NAPR2=90°,C错误；

2

S"F\F2=211ypi=迷|”|=4逐,|”|=4,则黄+^=l,%p=±V5,D正确.

1zz252。

22

10.ACD解析对于A,由双曲线。:匕―卷=1（。>0）可知。=2遥,右顶点4（2遍,0）,其渐近

线方程为y=小治，由右顶点A到一条渐近线的距离为2,不妨取渐近线法-2四=0,则

£了=2,解得6=逐,故双曲线C的渐近线方程为y=±^x=±^x,A正确；

对于B,由。=2而力=圾得c=J（2而产+（a2=5,故双曲线。的离心率为？=*=当B

错误；1"

对于C,由c=5可知g(5,0),当PfNx轴时，将x=5代入、—[=1中，得y2=5x(暮1),所

4UD4U

以产存，即得附2|=今由于P在双曲线右支上，故归川=质|+2。¥+4迷=正

确；一

对于D,如图，连接尸入并延长交EK的延长线于点E,

由题意知,PK为NBPE的角平分线，因为BK,/,所以|PB|=|PE|,K为AE的中点，又。

为F1F2的中点，故|OK|=[R2E|=M|PE|-|PR2|)=M|PB|-|PR2|)=|x2a=2V^,D正确.

故选ACD.一一一一

11.ABD解析了曲线C上的点到点"2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为

4,而点。在曲线C上，点。到点R的距离为2,到定直线x=a(a<0)的距离为-a,.：2.(-a)=4,

・：〃二・2.・：A正确.

设点M(x,y)为曲线。上任意一点，则x>-2.由点M到点/(2,0)的距离与到定直线4-2的

距离之积为4,可得曲线C的方程为(x+2)J(%-2)2+y2=4(x>_2).

将点(2VX0)的坐标代入上述方程式左边，有(2/+2)](2遮-2)2+02=4=右边,.：点

(2四,0)在曲线C上，.:B正确.

由(x+2)J(%-2)2+y2=4(x>-2),得曲线C的方程为丁2=(W)2_。_2)2(%>一2).设段)=(2)2-

(x-2)2(x>0),则Q(x)=久::；©a〉。).令8⑴二必+以之-骁。>。),则g'(x)=3f+8x..：在区间

(0,+co)内,gQ)恒大于0..：函数g(x)在区间(0,+oo)内单调递增.

又g⑴=-11<0,g(2)=8>0,.汨xi£(1,2),使得g(xi)=0..：当0<x<xi时,g(x)<0/(x)>0»单

调递增，当x>xi时,g(x)>03(x)<(V(x)单调递减..：兀0在X=X1处取得最大值，即当%=%1时

>2取得最大值，且丁2的最大值为於1).又於I)次2)=1,.：丁2的最大值大于1,即〉max>L.：曲

线C在第一象限的点的纵坐标的最大值大于1,故C错误.

当点(xo,yo)在曲线C上时，有五=('"；)2-(xo-2)2W(—^；)2,.：yoW—^；(xo>-2),.：D正确.

故选ABD.

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.(x-l)2+(y+l)2=5解析(方法1)设A(3,0),3(0,1),则线段A3的垂直平分线方程为广

1=3卜-|),即y=3x-4.

由名二:善。解喊U

即圆心M的坐标为(1,-1).

设OM的半径为r,

则?=(3-1)2+12=5.

故所求。”的方程为(x-l)2+(y+l)2=5.

(方法2)设圆心M(a,l-2a),G)M的半径为厂,则r2=(tz-3)2+(1-2a)2=(a-0)2+(1-la-1)2,

整理可得-10a+10=0,即a=l.

则圆心故所求OM的方程为(x-l)2+(y+l)2=5.

22

13三+一=1解析由题设知,抛物线G：V=16X的焦点为(4,0),

182

由点尸(2,1)发出的平行于x轴的光线经过抛物线Ci反射后必过点(4,0),再经过椭圆C反

射经过(-4,0),

可知(4,0),(-4,0)为椭圆C的两个焦点，

故c=4,而(3,1)在椭圆C上，

Pi可得之户椭圆c的方程邦+齐

由

.a2-b2=16,

14.2(4,6)解析如图所示.

X2-4y,

4,=2.

x2+(y-I)?=解得=:'故机

{x>0,y>0,

X=t,y=?,所以从武).

由2解得

X=4%

X=t,

由俨+(y-I)之二4,解得联二；+在隹所以

(久>0,y>0,

由抛物线的定义，知AR=AC,

△FAB!^^=FA+FB+AB=AC+AB+BF=BC+2=V^+4.

因为(0,2),所以A/年+4©(4,6).

四'解答题:本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.解(1)设点尸(x,y),根据题意得、1-丁+*=k+3

化简得动点P的轨迹C的方程为y2--2x.

，3

⑵7M(3,a),(x-2)2+y2=i,.：x=3即圆的一条切线5A(3,-a).

设过”的另一条切线斜率为匕灯0,则切线方程为广四=网/3),又设3(xi,yi).

y-V2=Zc(x-3),

得，■+等2=0,

由方程组2

y2=一匕

3，

.:鱼+―2

:•直线为y-企二女(九-3),其与圆相切，

,|2/c-0-3k+V2|.1_V2

"VWI=1，••仁丁

力14•:3满足户0.：§&¥)•

.:版=仁甯,.:河=丽=竽

(2a+2c=4+2V3,

16.解⑴由题意得{cV3

_匕一

解得故庐=4-3=L

lc=V3,

所以椭圆c的方程为卜产1.

(2)因为在2(B,0),所以设直线A5的方程为x=my+V3,A(xi,yi),B(X2,y2),

仁+2—1

由,4''消去％得(加2+4)产+2典用y-1=0,

、x=my+V3,

,2V3m

yl月二而‘

一{叫「蔽彳_

又。力+。8=(%1+%2,丁1+丁2)=(加yi+用》2+28工+丁2),所以|。力+OB\

(myi++2V3)2+(%+y)2

my22

2

2y13m\

m2+4/

3

令/=；e(0,"所以当与=当学瞥=苧=36祥+37.

m2+4\4」(m2+4『(m2+4)2.2_

t2

因为二次函数y=36产+3/在日(0周上单调递增，所以y=36户+3P(0,3],

因此面=2]管黑G(0,2百](当机=0时取得最大值)，

7(mz+4)

所以|瓦5+加|G(0,2%].

17.证明⑴不妨设yo>O,当xo=t时，由牛+羽=1得yo=*

所以直线/的方程吟+4x*4,即-|x+|.

故直线/与椭圆尸

所以直线/与椭圆P只有一个公共点.

yp

因为泗＞0,所以x(#2,所以直线AB的方程为尸f(x-2),即y=-^-(x-2),

%Q-ZZ^XQ-Z)

(xox+4yoy=4,

联立|v_yp，x2)得(W+2%-2XO)X=4XO-8+4%.

(7—2(久o-2)「

又因为等+正=1,所以正=1-乎，

44

因此k1+2(1-资)-2%0卜=4xo-8+4(l-与)，即|(x0-2)2%=_(期-2)2,

所以％=-2,所以点C在定直线%二-2上运动.

18.⑴证明由抛物线C:y2=4x,得网1,0),因为直线A3与直线DE垂直，所以两条直线斜率

都存在且不为0,

设直线ABQE分别为x=m\y+1,x=miy+1,Wmim2=-l,

设4(%1》),5(%2,>2),£。3*3),。(工4,3),联立方程可得[；~^y+]

消去x可得y2-4mly-4=0/=16??1a+16>0,故yi+y2=4mi,yiy2=-4,

则xi+%2=miyi+l+miy2+l=mi(jyi+y2)+2=4m叁+2,

故山=2间+1,如也=2如，

22

即M2时+1,2加1),同理可得N(2闻+1,2加2),

2rri^+l-2m1m2-2m^

m2+m1

xl-2m17n2

m+m

2im2+m1

由如加2=-l,得y=------Hl—=---(*3),故x=3时，有―-—(3-3)=0,此时A/N过

加2+7nlm2+mlm2+ml^2+ml

定点，且该定点为(3,0),

当2m：+1=2用+1时，即时=用时，又如加2=-1,即mi=+l时，有/MN：X=2+1=3,亦过定点

(3,0),故直线MN过定点，且该定点为(3,0).

(2)解由A(xi,yi),B(x2,yi),E(X3,y3),D(x4,y4),

则婕：丁=汾0%。+-,由无=44,辞=4孙得丁=等(+?)+刀=7^7—=

^3~xi473ys+71丫3+yi

VT

4久十一，3

ys+yiys+yi

®=上+3，

同理可得而:产上+上江,联立两直线，即I々曹有上+迎=

y4+y2y4+y2y="久+y2y4y3+yiy3+yi

Vy4+y274+72'

+篙^即4My4+y2)+yiy3(y4+y2)=4x(j3+yi)+y2y4G3+yi),有尸乃必常;二慧：：+'”

由yiy2=-4,面理y3y4=-4,

故(二及一4(、3+丫1)i1乃(、4+分2)y2y3y4+y1y2y4-y1y3y4-%y2y3为"2西=_1,故XG=-1

'4(74+72-y3-71)4(74+^2-73-71)4(74+72-73-71)

过点G作直线6。〃％轴，交直线MN于点。，则S^GMN=^\yM-yN\x\xQ-XG\,

由点〃(2??1女+1,2加1)川(2)?1:+1,2侬),得|"/-冲|=2加1-2加2=2加1+三三22m1X」-二4,当且

啊7m1

仅当m\-+\时，等号成立，下证|XQ-XG|24:由抛物线的对称性，不妨设加i>0,则加2<0,

当mi>l时，有加2=-工©(-1,0),则点G在x轴上方，点。亦在x轴上方，有一^=

7nlm2+m