河北省秦皇岛市某中学2024-2025学年高一年级下册期中考试数学试卷（含答案）

秦皇岛市第三中学2024-2025学年度第二学期期中考试

高一数学试卷A卷

考试说明：考试时间：120分钟总分：150分

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。只有一个选项是正确的。请

把正确的选项填在答题卡的相应位置

1.若2+值+1)2€4为实数，色-2)+用色€艮)是纯虚数，则复数a+bi为()

A.2-iB.2+ic.l+2iD.-l+2i

―>—>—>—>

2.已知a=(3,2),b=(-6,x),若a与b共线，则*=()

A.-4B.4c.9D.-9

3.已知在△ABC中，角A,B的对边分别为a,b,若而="，smB=£贝曲的值

为()

A.2#B.立C.1D.2

—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>

4.已知空间向量a,b且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线

的三点是()

A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D

5.已知向量a=(x,3),b=(2,-4),^(a+b)±a,贝ljx=()

A.1B.3cl或-3D.1或3

DQ

6.在正方体ABCD-AIBICR中，由g,B,D四个点为1

顶点的正四面体B-Ag]D的表面积为a?,则该正方体的表面J：

积为I222/XM

A.用B."C.2a2D.刷.....C，

|AC,点E在BD上,若AE=XBA+；BC,则*=

7.在△ABC中,

A.3B.5C.

1/18

8.已知两个单位向量e1，e2的夹角为仇则下列结论中正确的有（）

―>—>—>―>—>—>

_12_2

①e］在e?上的投影向量为cosB；②e/ez-l；③e「e?；④

（e1+e2）1（e1'e2）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得得部分分，选对但不全的得部分

分，有选错的得0分

_l+5i

9.已知i为虚数单位，复数z满足z=则（）

A.z的实部为3

B.z的虚部为2i

QZ-Z=13

D.z在复平面内对应的点在第四象限

10.（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台°1°2,

在轴截面ABCD中，

AB=AD=BC=4cm,CD=2AB,则下列说法正确的（）、

有（）

A.该圆台的高为由cm/_:\

B.该圆台轴截面面积为24cm2…4…

C.该圆台轴截面面积为12押cn?

D.一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为10cm

—>—>

11.若向量a=（2,1）,b=（l,-l）,则下列说法正确的是（）

A,Rb|=|7-2^|

—>—>—>

B.a-b与b平行

2/18

—>一一7

C.a+2b在a上的投影向量为5a

Dsin〈a,b)=¥

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分

12.△ABC的内角A、B、C所对边长分别为a、b、c,且a?ac+c?=b?,则

B=

13.向量a,N在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则卜-"=.

14.若(a-2i)(2+i)=b-i(a,beR,i为虚数单位),^llja2+b2=.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤

15.(13分)计算

(l)5i-[(3+4i)-(-l+3i)]

(l-i)(l+2i)

(2)f

(3)(2-T

―>—>

16.(15分)已知向量a=(1,2),b=(-2,3).

—>—>

⑴求2a+3b.

-、ja+b)•(a-b)

3/18

（3）求cos〈a,b）.

17.（15分）我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于

底面的四棱锥称为“阳马”.如图所示，在长方体ABCD-AIBQID］中，已知

⑴求证：四棱锥D-ABCD是一个“阳马”，并求该“阳马”的体积；

⑵求该“阳马”D「ABCD的外接球的表面积.

18.（17分）如图，为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从

点A测得点M的仰角NMAN=45°,点C的仰角ZCAB=60°,以

及ZMAC=75°.从点C测得ZMCA=45°,已知山高BC=300m.

（1）求两点AC间的长度；

⑵求山MN的高度.

19.（17分）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

a=3acosB+3bcosA

⑴求ac的值;

4/18

⑵若B=W,△ABC的面积为丁，求AC边上的高.

5/18

秦皇岛市第三中学2024-2025学年度第二学期期中考试

高一数学试卷A卷

答案

一、单选题

1.若2+S+l）i（"eR）为实数，0-2）+6i0eR）是纯虚数，则复数〃+所为（）

A.2—iB.2+iC.l+2iD.—l+2i

【答案】D

【分析】根据复数的概念得出的值即可.

【详解】2+S+l）i（aeR）为实数，则“=-1,

0-2）+Gi0eR）是纯虚数,则6=2,

贝|Ja+历=—1+2i

故选：D

2.已知&=（3,2）,'=（-6,无），若1与B共线，贝］户=（）

A.-4B.4C.9D.-9

【答案】A

【分析】根据平面向量共线的坐标表示即可求解.

【详解】因为Z=（3,2）［=（-6,x）,Z与B共线，

所以3x=2x（-6）,解得x=-4.

故选：A.

.„,―--=V2,sinB=

3.已知在A/BC中，角48的对边分别为。力，若sin/2,则6的值为

（）

A.20B.V2C.1D.2

【答案】C

6/18

【分析】根据正弦定理即可求解.

ab7。sin5r-V2

________r\--------____tI

【详解】由正弦定理可得sin4-sinB,故一sin/一2一.

故选：C

4.已知空间向量近且在=3+2坂豌=-5«+6石,丽=7”2瓦则一定共线的三点是

（）

A.A,B,DB.A,B,cc.B,c,DD.A,c,D

【答案】A

【分析】利用向量加法求出衣，而，利用共线向量定理逐一判断即可.

【详解】解：对于A选项，BD=BC+CD=-5a+6b+la-2b=2a+4b=2AB,所以

4瓦。三点共线，A正确；

__尸〃=1

对于B选项，设益=〃数，则"26="95»+66）,即164=2无解，B错误;

[1m=-5

对于C选项，设灰=同,则一51+66=加（7@-26）,即j_2加=6,无解，c错误;

对于D选项，AC=AB+BC=a+2b-5a+6b=-4a+Sb,^AC=nCD,

=-4

即-4&+8彼="（7/-21）,即1-2〃=8,无解，口错误.

故选：A

5.已知向量1=（羽3）,台=（2,-4）,若@+3），万，则x=（）

A.1B.3C.1或-3D.1或3

【答案】C

【分析】先应用向量加法，再应用垂直得出平面向量的数量积为0计算求参.

【详解】因为7=（x，3）,°=（2，-4）,

所以。+B=(X+2,-1)

又向+3)_1_/所以g+=x(x+2)+3x(-l)=x?+2x-3=0

7/18

解得尤=1或-3.

故选：C.

6.8.在正方体用GA中，由4,G,B,。四个点为顶点的正四面体

8-4CQ的表面积为力，则该正方体的表面积为（）

【答案】B

【分析】设正方体的棱长为无（无＞°）,则正四面体8-4CQ的棱长为小，由正四面

体的表面积求出炉，从而求出正方体的表面积.

【详解】设正方体的棱长为＞°）,则正四面体8-4CQ的棱长为=缶，

22

S",rn=4x—60°=2^x=a

所以1C，2,

22

2_aV3a

所以x-2V3"—,

所以SABCD-AB&A=6x~=y[3a~

故选：B

AD=-ACAE=xBA+-BC

7.在ZX/BC中，3，点£在班上，若3,则x=()

2456

A.3B.5c.6D.7

【答案】C

【分析】利用向量的线性运算将运用通与力表示出来，再利用向量共线定理的

推理即可得解.

8/18

__x+-=1尤=_'

因为民及。三点共线，所以2I3J,解得6.

故选：C

8.已知两个单位向量瓦，耳的夹角为明则下列结论中正确的有（）

①耳在耳上的投影向量为cose；②格迅=i；③前=居；④（耳+日UR「当）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据投影公式判断①，应用平面向量数量积公式定义判断②，根据向量

数量积平方计算判断③，应用向量的垂直判断④.

【详解】6在C2上的投影向量是一个向量，故①不正确;

,£=同同cos后,0=cose,故②不正确；

—»2I->|2->2I—»[2

q=同=1,%=1可=1,故③正确；

胆四史重而=三亚=3作平行四边形"C。，则’58为菱形.则

AC=+e2,DB=e1-e2

'''AC1DB,；.G+)LG一92)故④正确.

9/18

故选：B.

二、多选题

l+5i

z二----------

9.已知i为虚数单位，复数z满足1+i,则（）

A.z的实部为3

B.z的虚部为2i

C.=13

D.彳在复平面内对应的点在第四象限

【答案】ACD

【分析】先根据复数除法法则化简z,即可判断A,B：再计算复数的模以及共轨复

数定义，结合复数几何意义判断C,D.

l+5i（l+5i）（l-i）l+5i-i-5i2、

z=---=分——E----------=3+21

【详解】由于"iO+i）（Ji）2,

则z的实部为3/的虚部为2,不是2i,所以A正确，B错误；

由于®一"厂"下一屈/z*-I"-?》在复平面内对应的点（3,-2）在第四

象限，所以CD都正确，

故选：ACD.

io.（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台QQ,

在轴截面/2CO中，4B=AD=BC=4cm,CD=2AB,则下列说法正确的有（）

10/18

A.该圆台的高为内尔

B.该圆台轴截面面积为24cm,

C.该圆台轴截面面积为123cm2

D.一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到工。的中点，所经过的最短路程为

10cm

【答案】CD

【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可

判断BC选项；由圆台侧面展开图结合勾股定理即可判断D选项.

CE=STB=2(cm)

【详解】如图①，作出交C。于瓦贝|J2

则BE=Og="-2,=2百(cm),则圆台的高为2点:m,故A错误;

),故B错误，C正确;

将圆台的一半侧面展开，如图②，设P为4。的中点，由圆台补成圆锥，圆台对应

的圆锥的一半侧面展开为扇形C。。，

可得大圆锥的母线长为8cm,底面半径为4cm,圆锥侧面展开图的圆心角为

八27ix4

6------二71

8,

连接CP,可得NCOP=90。，0c=8cm,。尸=4+2=6(cm),则CP=《62+8?=10(cm).

所以沿着该圆台表面从点C至中点的最短距离为l°cm,故D正确.

11/18

故选：CD.

11.若向量&=（2，1），'=O，T）,则下列说法正确的是（）

5+bS2b

A.\\=\-\B.力与行平行

一-asin（a,b）=3^-

C.@+26在往上的投影向量为5D.'/10

【答案】ACD

【分析】对于A,根据平面向量的模的坐标公式计算即可判断；对于B,根据平面

向量的坐标判断即可；对于C,根据投影向量的定义计算即可；对于D,先根据平

面向量夹角余弦的坐标公式计算，再利用平方关系求正弦值即可.

【详解】A选项：£+1（3，。），则同*3,«-2fe=（O,3）?则卜-2+3,所以

\a+b\=\a-2b\^故人正确；

B选项：05=（1，2）,又B=0，T）,因为1X（T）-2X1=-3WO,所以L与石不平行，

故B错误；

C选项:。+2石=（4,-1）,又，=（2,1）,所以W+2}4x2+（T）xl=7

|（1|=V22+12=M

所以万+2行在&上的投影向量为HH5,故c正确;

a-b2x1+1x（-1）V10

又卜&e[0,兀]

sm（a,b

所以'/1。，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

12.△ABC的内角A、B、。所对边长分别为a、b、C,且/-缶c+c2=〃，则

B=.

12/18

7T

【答案】7

【分析】应用余弦定理求出角即可.

2厂22C0S8==叵£=乌2€（0,兀）

【详解】因为。一行"+。=",所以2aclac2v7

B=71

所以4

71

故答案为：4.

13.向量万，Bl在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则卜一°卜.

【答案】版

【分析】建立适当的平面直角坐标系，由向量的线性运算以及向量模的坐标公式即

可求解.

【详解】建立如图所示的平面直角坐标系：

蜂C

b

----!—>!--1---

OA；%

小网格的边长为1,从而°（0，。），/（2,0），3（0,2）1（1,3）,

所以1厉=（2,0）为=数=（1,1）,从而”1（7,1）,

所以8*J（T）2+I2=夜.

13/18

故答案为：血.

14.若("2i)(2+i)=6-i(a/eR,i为虚数单位)，则/+/=

【答案】73

【分析】根据复数乘法运算及复数相等求出得解即可.

【详解】因为(a-2i)(2+i)=6-io2a+2+(a-4)i=b-i,

j2a+2=6

所以4=-1,解得Q=3/=8,

贝”+/=9+64=73.

故答案为：73

四、解答题

15,已知向量a=(L2),1(-2,3).

⑴求“+3B.

⑵求G+D")；

(3)求8s〈咽.

【答案】(1)(—4，13)

⑵-8

4病

(3)方

【分析】(1)根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得.

(2)V/V7根据向量模的计算公式计算可得.

(3)利用向量夹角余弦公式可求出答案.

【详解】(1)因为&=(L2),彼=(-2,3),

所以2万+3石=2(1,2)+3(-2,3)=(-4,13)

14/18

⑵因为。=(L2),，=(-2,3),

a2=\a^=5,b2=|/=13

所以

匚匚…(a+b\(a-b}=-62=5-13=-8

所以'八7

cos伍0=I*：):X3=妪

(3)'\a\-\b\V5xV1365

16.计算

(1)5i-[(3+4i)-(-l+3i)]

(>i)(l+2i)

⑵百

⑶"I

【答案】(l)-4+4i

⑵2T

(3尸-不

【分析】(1)根据复数的加减法法则求解;

(2)根据复数的乘除法法则求解；

(3)根据复数的乘法法则求解.

【详解】(1)5i-[(3+4i)-(-l+3i)]

=5i-(3+4i)+(-l+3i)

=5i-3-4i-l+3i

=-4+4i.

2

(l-i)(l+2i)=(l-i)(l+2i)

(2)"i"(l+i)(j)

-2i(l+2i)

一2~

=-i(l+2i)

=2-i

15/18

(3)(2-i)2=4-4i+i2=3-4i

17.我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四

棱锥称为“阳马”.如图所示，在长方体42cB中，已知/8=2C=2,

⑴求证：四棱锥2一四8是一个，阳马”，并求该“阳马”的体积；

⑵求该“阳马”口一/28的外接球的表面积.

【答案】（1）证明见解析，4

⑵17万

【分析】（1）根据DO—平面488,且45C。是矩形，可证明四棱锥是“阳马”,

根据锥体的体积公式可求其体积；

（2）根据长方体的外接球即为四棱锥的外接球，长方体的对角线就是外接球的直

径，结合球体的表面积公式求解.

【详解】（1）因为长方体"8一48©2中，加口平面/geo,且⑺是矩形，

所以四棱锥〃一中，底面"CD是矩形，且侧棱加1底面"CD,

所以四棱锥〃一"BCD是一个，，阳马，，，

V=—SxDD.=—x2x2x3=4

体积3ABRCDn13；

（2）长方体的外接球即为四棱锥的外接球，

因为/B=BC=2,44=3.

二长方体的对角线长为也,+2?+3?=g,

3

则长方体的外接球的半径2,

16/18

S=4乃R2=4%X=17万

二该“阳马”外接球的表面积为

18.如图，为测量山高选择/和另一座山的山顶。为测量观测点，从点4

测得点M的仰角4MN=45。，点。的仰角NC48=60。，以及NM4c=75。.从点。测

得乙心=45。，已知山高3c=300加.

⑴求两点4C间的长度；

⑵求山的高度.

【答案】⑴200G

(2)200

【分析】(1)解直角三角形即可求得答案；

(2)应用正弦定理求出再结合直角三角形即可求MV；

【详解】(1)在MBC中，因为NCAB=60。，ZABC=90°,8c=300,

=200百

所以sin60°

(2)在aAM