河南省2023-2024学年高二年级下册5月质量检测数学试题（解析版）

2023〜2024学年度下学期5月质量检测

~=^--业匕乙

局一数学J-

全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上

的指定位置.

2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答

题区域均无效.

3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作

答；字体工整，笔迹清楚.

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.

5.本卷主要考查内容：北师大版选择性必修第一册第七章，选择性必修第二册.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

lim=

1.已知函数"％)在处的导数为3,则2°2Ax()

32

A.3B.—C.6D.—

23

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件及函数在X=/导数的定义即可求解.

【详解】因为函数/(%)在尤=%)处的导数为3,

所以5)=lim=3,

'73Ax

所以lim—--------———―=­,lim---------———―=—x3=­•

-02Ax2-oAx22

故选：B.

2.记等差数列｛4｝的前几项和为S“，己知65=10,§7=7,则公差d=()

A.-IB.—C.—D.2

33

【答案】A

【解析】

【分析】根据等差数列求和公式得到方程组，求出公差.

【详解】由等差数列求和公式得项=5%+10d=10,S7=7q+21d=7,

解得d=—1.

故选：A

3.函数/(%)=/+皿•-3》的单调递减区间是()

【答案】B

【解析】

【分析】求导，令/'(x)<0,利用导数求7(%)的单调递减区间.

【详解】由题意可知：/(%)的定义域为(0,+“)，a/,(x)=2x+--3=^~1^2%~1\

XX

令尸（力=（1）（21）<0,解得工<X<1,

x2

所以函数“X)的单调递减区间是

故选：B.

4.色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中.已知该产品的色

度y和色差尤之间满足线性相关关系，且y=0.8x+a，现有一对测量数据为(30,机)，若该数据的残差为

0.6,则m=()

色差X21232527

色度y15181920

A.23.4B.23.6C.23.8D.24.0

【答案】A

【解析】

【分析】先由3y的平均值和(24,18)代入方程，求得。=一1.2,从而得到y=0.8x—1.2,再将x=30代

入并加上残差0.6即可得出答案.

-21+23+25+27〜―15+18+19+20

【详解】由题意可知,%=---------------------=24,y=----------------------=18,

44

将（24,18）代入y=0.8%+即18=0.8x24+a，解得a=-1.2,

所以y=0.8x—1.2，

当x=30时，＞=0.8x30—1.2=22.8,

则根=22.8+0.6=23.4.

故选：A.

5.在等比数列｛4｝中，4%,%，2a$成等差数列，则二%=()

。14

11

A.：B.-C.2D.4

24

【答案】c

【解析】

【分析】根据等差中项的知识列方程，求得等比数列｛q｝的公比，从而求得力

【详解】设等比数列｛4｝的公比为q(qwO),

由于4%,%，2a$成等差数列，

所以2%=4%+2〃6，〃7=2%+4应2=2+q,/一4=2,

22

所以〃16-〃15_6应一a1应_qq_/_q_2

44〃141

故选：C

6.设点尸是函数=3—瓜图象上的任意一点，点尸处切线的倾斜角为a,则角a的取值范围是

()

„2兀712兀卜微兀2兀

D.0D--,兀

A0,yB.5c.呜U

2T23

【答案】C

【解析】

【分析】求导，得到了'(九)>-6,从而得到tana〉-6,结合倾斜角的范围，求出a的取值范围.

【详解】/,(x)=ex-V3>-V3,

:点P是曲线上的任意一点，点尸处切线的倾斜角为a,

tana>一6•

•/ae[0,7i),

故选：C.

7.已知正项数列｛4｝的前w项和为S“，满足2SR=a“(%+l),则%)23=()

A.2022B.2O23C.2024D.2025

【答案】B

【解析】

【分析】由递推式得出2s=a"(«>2),两式相减根据〉0,4=1可得｛4｝是首项为1,公

差为1的等差数列，进而利用通项公式求解即可.

【详解】由题意，2S„=al+an,2sl=a；i+a“_](〃之2),

两式相减，得2a八=a：-a」+an-an_x,

22

'an~an-\=%+an-l-

,°-—1.

当〃=1时，2sl=〃；+Q],=1,

「•｛%｝是首项为1,公差为1的等差数列.

,,%023=1+(2023-1)x1=2023.

故选：B

尤2+dX+1冗V0

8.已知a>0,设函数f(x)=工'一，若存在与,使得则。的取值范围是()

eQX,x>0

A.(0,20—2)B.(0,2^-2)|J(l,+oo)

C.(l,+oo)D.(20-2,+8)

【答案】D

【解析】

【分析】当xWO时，/(%)的最小值为/=然后分。是否大于1,讨论了(%)在x>0时的最

小值，由此分别列出不等式即可求解.

【详解】当x<0时，易知"％)的最小值为/=1—

当尤>0时，/'(x)=e'—a,令/''(x)=0,解得x=lna,

若0<aWl,则在(0,+。)上单调递增，且x90时，

2

所以只需/1-丁<。,解得a>2^2-2或a<-20-2>

又0<aWl,所以20—2<a«l，

若a>l,则在(0,Ina)上单调递减，在(Ina,y)上单调递增，

/(lna)=a—alna<a成立，所以a>l符合题意，

综上，”的取值范围是(2^/^-2,+oo).

故选：D.

【点睛】关键点点睛：涉及到含参分段函数的最值时，一般讨论时尽量做到有序讨论，这样可以不充不漏，

从而即可顺利得解.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.对于经验回归方程y=3-2x，以下判断正确的是。

A.变量x与变量y正相关

B.该方程一定过点(京亍)

c.根据经验回归方程可以预测，当x=2时，变量y=-1

D.当变量x减少一个单位时，y平均增加2个单位

【答案】BCD

【解析】

【分析】由经验回归方程斜率可得A；由经验回归方程必过样本中心点可得B；由经验回归方程性质计算可

得C、D.

【详解】对于A选项，由-2<0,故变量尤与变量y负相关，所以A项错误；

对于B选项，经验回归方程§=队+济必过点「,亍)，所以B项正确；

对于c选项，根据经验回归方程，可预测变量X=2时，变量y=-l,所以c项正确;

对于D选项，在回归方程y=3—2］中，当变量X减少一个单位时，

y平均增加2个单位，所以D项正确.

故选：BCD.

10.设数列｛4｝的前几项和为S“，已知。,+1=a%—2a,则下列结论正确的为()

A.若a=l,则｛a.｝为等差数列B.若。=-1,则§2024=2024

是公差为-2等差数列D.若a=-1,则6为024的最大值为1

【答案】ABD

【解析】

【分析】由递推数列、等差数列的性质即可逐一判断各个选项，从而得解.

【详解】当a=l时，a“+i=a“-2,所以｛4｝为等差数列，A选项正确；

｝=幺爱=—〃+1+4,所以是公差为-1的等差数列，C选项错误;

当。=—1时，an+1+an=2,所以邑024=2*1012=2024,B选项正确;

由%+1+4=2可知，％024=。2=2-。1，所以01a2024=%(2一%)Wl，D选项正确・

故选：ABD.

11.已知定义在R上的可导函数/'(X)满足X(X—2)/(x)>0,/(l)=e,下列说法正确的是

()

11什3

A-〃-3)>斯B.f(-2)<—C./(2)>—D./(3)>y

【答案】BCD

【解析】

【分析】构造函数柄(x)=""«),结合单调性即可判断.

【详解】因为2）/（力＞0,所以‘对'（％）+厂"⑴]—X"⑴〉0.

故构造函数个）==里，xeR.则尸⑴=[2v⑴+⑴]-斗⑴〉°,

所以人力在R上单调递增.由〃l）=e,得/1）="2=1，

e

由厂（%）的单调性可得当龙〉1时，/X）＞1.当X＜1时，F（X）＜1.

A选项：分（—3）=（-③）＜（-3）＜*]）=],解得〃-3）〈白，A错误；

e

22

B选项：F（-2）=（-）A-）＜F（1）=b解得〃—2）＜*,B正确；

C选项:"2）=^4^〉/1）=1，解得了（2）〉且，C正确；

e4

D选项:F（3）=3＞F（1）=1，解得了（3）〉J,D正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.为了比较E、F、G、”四组数据的线性相关性强弱，某同学分别计算了E、F、G、H四组数据的线性

相关系数，求得数值依次为0.92,-0.32,0.36,-0.95,则这四组数据中线性相关性最强的是

组数据.

【答案】H

【解析】

【分析】借助相关系数的性质计算即可得.

【详解】因为线性相关系数的绝对值越大，线性相关性越强，

且|-0.95]＞|0.92|＞|0.36|＞|-0.32|,

所以H组数据线性相关性最强.

故答案为：H.

13.己知函数—sinx+母，%e[0,7i],则"％）的最小值为.

jr]

【答案】一##—兀

66

【解析】

【分析】先求函数的导数r(x)=；-COSX,再判断给定区间函数的单调性，从而求得函数的最小值.

【详解】因为/(X)=gx-sinx+/，则/=；—cosx,%e[0,7i],

令/'(x)＜0,解得0＜x＜色，令/4耳＞0,解得巴〈尤＜兀,

33

则函数/(X)在用)上单调递减，在三，兀上单调递增，

7171.兀J3兀

所以---sin—H----二——

6326

1T

故答案为：—.

6

14.己知数列｛叫满足q=』，*—3=(a“一2)仇+1)(〃wN*),数列F的前几项和为S“，则S2023

a

2[n,

的整数部分是.

【答案】1

【解析】

【分析】根据己知关系式可得a,+i-a”=(a〃-炉＞0,知数列｛4｝为递增数列；采用裂项相消法可求得

11

5“=2----------------知S2023=2-------------------------由数列单调性可求得4024〉2,由此可推导得到1<§2023<2,

%+111“2024—1

从而求得结果.

【详解】a“+i—3=(%—2)(4+1)=a；—%—2,%=片-2%+1=(4-,

3

又q=3，1〉0,4+i-a”〉。，.•.数列｛4｝为递增数歹ij；

1i_

2/、1_1

a〃Tan

111

则一=

a

n-1%+1—1

a2/-[4一]a?一[〃3一]生一]一1

111111cl

...—|------------------------------------1------------------------------------^3-------------—---------------2-------------------

a1a-1a-1-1a-1

n-l-n4Tn+l%T«„+1„+l)

.s=2-一L

…02023-乙_]；

。2024—1

327237

•：%=5<2,%=%-4+1=W<2,Q3=%-4+1=>2'

•'•。2024〉。2023〉..,〉。4>。3〉2,..°<~<1,..1<2~<2,

“2024—102024一1

则S2023的整数部分为1.

故答案为：1.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用数列递推关系式研究数列的性质及裂项相消法求和的问题；解题关键是

111

能够将数列递推关系式进行变形，得到4+1-4〉0、—=—7-------------二，从而确定邑023的表达式.

a

n—1。"+1—1

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.人们曾经相信，艺术家将是最后被AI所取代的职业，但技术的进步已经将这一信念敲出了裂痕，这

可能是A/第一次引起人类的恐慌，由wvaZAI,ZMLL—E2等软件创作出来的给画作品风格各异，乍看

之下，已与人类绘画作品无异，AI会取代人类画师吗？某机构随机对60人进行了一次调查，统计发现认

为会取代的有42人，30岁以下认为不会取代的有12人，占30岁以下调查人数的g.

(1)根据以上数据完成如下2x2列联表:

理解情况

年龄总计

会取代不会取代

30岁以下12

30岁及以上

总计4260

(2)依据小概率值£=0.010的独立性检验，能否认为年龄与理解情况有关？并说明原因.

a0.100.050.0100.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

其中n=a+b+c+d.

参考公式:广…黑

【答案】(1)列联表见解析

(2)年龄与理解情况无关，此推断犯错误的概率不大于0.010；理由见解析.

【解析】

【分析】(1)根据题设中的数据即可求解；

(2)代入卡方公式求出值与表对比即可求解.

【小问1详解】

完成2x2列联表如下：

理解情况

年龄总计

会取代不会取代

30岁以下181230

30岁及以上241630

总计421860

【小问2详解】设“。为：年龄与理解情况相互独立，即年龄与理解情况无关,

60x(24x12-18x6)2

由题意,~2.857<6.635=%1

-42x18x30x300010

所以根据小概率a=0.010的独立性检验，我们推断Ho成立.

即认为年龄与理解情况无关，此推断犯错误的概率不大于0.010.

16.已知数列｛%｝满足q=2,4什1=3%,+2.

(1)证明：数列｛4+1｝为等比数列；

3k

(2)在%与%+i之间插入左个数，使得这左+2个数组成公差为二的等差数列，求左.

20

【答案】(1)证明见解析

(2)39

【解析】

【分析】(1)分析可得%+i+1=3(4+1),结合等比数列的定义分析证明;

(2)由(1)可得4=3"-1,结合等差数列的性质列式求解.

【小问1详解】

因为—3%+2,则%+1+1=3为+3=3(为+1),

+1C

且q+l=3wO,可得=3,

4+1

所以｛。,,+1｝是以3为首项，3为公比的等比数列；

【小问2详解】

由(1)可得：4+1=3",则%=3"-1,

k+xk

由题意可得：ak+i-ak=3-3=(k+\)^,keN*，

即3?上="上,解得上=39,所以上的值为39.

20

17.已知函数/(%)=(尤2+3)e"”(aeR).

(1)若/(%)在x=l处取得极值，求了(%)的单调区间；

(2)若〃龙)在区间(—2,1)上单调递增，求a的取值范围.

【答案】⑴"%)的单调递减区间为(1,3),〃龙)的单调递增区间为(—8,1)和(3,内).

(2)「—百,+w].

L3J

【解析】

【分析】⑴求出/'(尤)，由题意可知.•./'(l)=(a+2+3a)e"=0,即可解得。的值，然后利用费或>0

和尸。)<0,求出的单调区间.

(2)由条件可得/'(尤)之0在区间(—2,1)上恒成立，得℃2+2》+3a20在区间(―2,1)上恒成立，结合二

次函数，可得答案.

【小问1详解】

1.,/'(x)=+3)6口+2xem=(加+2x+3a^eax,

⑴=(a+2+3a)e"=0,解得a=_g,则=(1+3)/丁，

；,，。)=卜#+2》_|4*

令/々x)>0,解得％<1或x>3,令/'(x)<0,解得l<x<3,

所以"%)的单调递减区间为(1,3),"%)的单调递增区间为(—8,1)和(3,T8).

【小问2详解】

/'(%)=(尔+2%+3a)em,

因为/(%)在区间(—2,1)上单调递增，所以''(左)之0在区间(―2,1)上恒成立，

因为e°x恒大于0，所以依2+2%+3a20在区间(—2,1)上恒成立,

设g(x)=加+2x+3a,

当。=0时，得2x20在区间(—2,1)上不恒成立，所以。=0不满足题意，

当。>0时，由于函数g(x)=G?+2x+3a的对称轴工=—工<0,所以要or?+2%+3420在区间

a

(-2,1)上恒成立，

6Z>0

只需2不等式组无解,

a

g(-2)=76z-4>0

a>0

-2<a<0解得巫,

或<

A=4-12tz2<03

当〃<0时，函数g(x)=or?+2X+3〃的对称轴%=-->0,

要改2+2x+3a20在区间(-2,1)上恒成立,

^(-2)=7«-4>0

则只需[△=4-12/>。无解,

综上，实数。的求值范围是「——6,+.co1

3

18.己知正项等比数列｛叫的前〃项和为S,,且满足%=1,。2。3。4=64,数列也｝满足

4=1，4+3与+弓&+,一+—,=〃+1—1（九6河）.

23n,，

（1）求数列｛%｝,也｝的通项公式；

（2）设q=4+（—1）"（22+1）,求数列｛%｝的前2〃项和&.

【答案】（1）4=2"[b,,=n；

2n

（2）T2n=2+2n-l.

【解析】

【分析】（1）根据等比数列定义和数列的作差求通项，以及累乘法即可求解;

（2）根据等比数列的求和和分组求和即可求解.

【小问1详解】

设数列｛%｝的公比为4，由己知得q>0,

因为“2。3。4=64,所以a；=64,得%=4,

又q=1.所以4=2,

所以a'=qq"T=2〃T,

对于数列也｝,因为4++：&+…+工优=优+「1①

23n

当〃=1时，bx=b2-l,则仇=2,

当"22时，1\+<62+<&+…+^~72-1=bnT②,

23n—1

1bn+]〃+1

由①一②得一2=2+1-2,即丁二----，

nbnn

历c瓦中〃+l/-*\

又皆=2,也适合上式，故于此=——(〃£N7),

b]b〃n')

7bb,nn-121

当〃22时•产铝二丁1=〃，又4=l,

bn-lbn-2n-1n-2

所以d=〃；

【小问2详解】

n

由（l）可得：an=2-\bn=n,

则%=%+(-D"(22+1)=2"T++1),

则数列｛g｝的前2九项和为：

22,!12n

7；n=2°+(-1)-(2+1)+21+(-1)-(2x2+1)+.•.+2-+(-l)-(2-2n+l),

所以：

T2n=(2°+21+22+---+22,"1)+[(-1)-(2+1)+(-1)2-(2X2+1)+---+(-1)2,,-(2-2H+1)]

^-+[-(2+1)+(2X2+1)]+---+[-(2-(2H-1)+1)+(2-2H+1)]

1—2

=22”—i+2〃=22"+2〃一1.

尤2

19已知函数/(x)=1皿+5-奴.

(1)当a=l时，求曲线y=/(x)在点(1,7(1))处的切线方程；

(2)已知/(%)有两个极值点.

(i)求。的取值范围；

(ii)若/(%)的极小值小于ln2—3,求了(%)的极大值的取值范围.

【答案】(1)2x-2y-3=0

(2)(i)(2,+8)；(ii)co,—ln2—I]

【解析】

【分析】(1)求导，结合导数的几何意义求切线方程；

(2)(i)分析可知原题意等价于工+x=a有两个不同的正实数根，结合基本不等式分析求解；(ii)设

X

-+x=a有两个不同的正实数根0<玉<1<x,,根据单调性可知f(x)的极值点%，结合零点代换

X

22

可得/(%)=1口%0-寸一1,构建(§(%)=111%-5-1,九£(0/)11(1,+00),结合单调性分析可得％2>2,

则0<Xi<,，即可得取值范围.

2

【小问1详解】

~1

当a=l时，则/(%)=ln%+-----%,/'(%)=一+九一1,

2x

可得/(1)=一3,/")=1，

即切点坐标为［1,-;1,切线斜率％=1,

所以曲线y=/(x)在处的切线方程为=即2x_2y_3=0.

【小问2详解】

(i)由题意可知：〃力的定义域为(0,+。)，f(x\=