高考数学一轮总复习专题-函数奇偶性及周期性练习及答案解析

...wd......wd...PAGE学习好帮手...wd...专题2.3函数奇偶性和周期性真题回放1.【2017高考新课标2文14】函数是定义在R上的奇函数，当x时，,则【答案】12【解析】【考点解读】此题为函数求值问题，可运用奇函数的性质即；来解决，为根基题。2.【2017高考北京文5】函数，则为〔〕〔A〕是偶函数，且在R上是增函数〔B〕是奇函数，且在R上是增函数〔C〕是偶函数，且在R上是减函数〔D〕是奇函数，且在R上是增函数【答案】A【考点解读】此题为考察函数的奇偶性和单调性，由函数，可借助函数奇偶性的定义及指数函数的性质来分析处理。3.【2017高考天津文6】奇函数在上是增函数.假设，则的大小关系为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】【解析】由题意：，且：，据此：，结合函数的单调性有：，即.此题选择C选项.【考点解读】此题为函数奇偶性与单调性结合问题，可由为奇函数及单调递增性质，化为比照自变量，再运用指数和对数函数的性质，来比照大小。对知识综合运用要求较高。4.【2017高考江苏文14】设f(x)是定义在R且周期为1的函数，在区间上，其中集合D=，则方程f(x)-lgx=0的解的个数是.【答案】8【解析】解法一；由于只需考虑1≤x<10的情况，在此范围内，解法二；∵在区间[0，1〕上，，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f〔x〕是定义在R上且周期为1的函数，∴在区间[1，2〕上，，此时f〔x〕的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间[2，3〕上，f〔x〕的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3，4〕上，f〔x〕的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4，5〕上，f〔x〕的图象与y=lgx有且只有一个交点；……区间[8，9〕上，f〔x〕的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9，+∞〕上，f〔x〕的图象与y=lgx无交点；故f〔x〕的图象与y=lgx有8个交点；即方程f〔x〕﹣lgx=0的解的个数是8，【考点解读】此题综合考察了函数的周期性及零点问题，函数的图象和性质及转化思想。对知识综合运用能力要求较高，有相当难度。〔需注意对题中条件集合D的解读〕考点分析考点了解A掌握B灵活运用C奇偶性B周期性A高考对函数奇偶性与周期性的考察要求为掌握，以小题的形式进展考察。有一定的综合性，常与函数的求值，零点、图像、解不等式等问题结合。纵观近几年的高考试题，主要考察以下两个方面：一是考察函数的奇偶性、周期性的理解和运用；如函数奇偶性的判断，函数求值等。二是以性质为载体解决函数零点问题，解不等式。解决问题中要注意数形结合思想的运用。融会贯穿题型一函数奇偶性的判断典例1.〔1〕〔2015年山东高考〕以下判断正确的选项是()A.函数是奇函数B.函数是偶函数C.函数是偶函数D.函数既是奇函数又是偶函数【答案】C〔2〕〔2017浙江省嘉兴市模拟〕函数，，则的图象为〔〕【答案】C【解析】由为偶函数，排除，当时，，排除B．解题技巧与方法总结判断函数奇偶性的两个方法1．定义法；2．图象法；【变式训练】1．(2015福建高考)以下函数为奇函数的是()A．y＝eq\r(x) B．y＝|sinx|C．y＝cosx D．y＝ex－e－x【答案】D2.〔2017云南省昆明模拟〕设函数f(x)的定义域为R，且|f(x)|是偶函数，则下则结论中正确的选项是〔〕A.f(x)是偶函数B.f(x)是奇函数C.|f(x-1)|的图像关于直线x=1对称D.|f(x)+1|的图像关于〔0，1〕对称【答案】C【解析】由题意得，例如f(x)=x，则|f(x)|是偶函数，此时f(x)是奇函数，所以A不正确；例如f(x)=x2，则|f(x)|是偶函数，此时f(x)是偶函数，所以B不正确；例如f(x)=x，则|f(x)+1|=|x+1|是偶函数，图象关于y轴对称，所以D不正确；由函数的图象变换可知，函数y=f(x)向右平移1个单位，可得函数y=f(x-1)的图象，又函数|f(x)|是偶函数，图象关于x=0对称，所以函数|f(x-1)|的图象关于3．判断以下函数的奇偶性．(1)f(x)＝eq\r(1－x2)＋eq\r(x2－1)；(2)f(x)＝eq\f(\r(4－x2),|x＋3|－3)；(3)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋x，x>0，,x2＋x，x<0.))【答案】见解析知识链接：知识点1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称必会结论：函数奇偶性常用的结论①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(x)有意义，那么一定有f(0)＝0；②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)；③在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇；④奇函数在两个对称区间上具有一样的单调性．偶函数在两个对称区间上具有相反的单调性．题型二函数周期性及应用典例2.〔1〕〔2017山东省威海模拟〕周期为4的奇函数在上的解析式为；，则〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】A【解析】因为函数是周期为4的奇函数，所以，则(2)〔2017兰州模拟〕f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－eq\f(1,fx)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝________.【答案】2.5(3)(2016兰州模拟)函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1.①求证：f(x)是周期函数；②当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；③计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2017)的值．【答案】见解析【解析】①证明：函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．②当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，又f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．③∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，又f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2017)＝f(2016)＋f(2017)＝f(0)＋f(1)＝1.解题技巧与方法总结函数周期性的判定与应用1．判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T.2．应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：假设T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．【变式训练】1.〔2017成都市第七中三诊〕．设是定义在上周期为2的奇函数，当时，，则〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意可知：.选C.2．〔2017河北省巨鹿月考〕对于任意的，都有，且，则〔〕A.B.C.D.【答案】C3．〔2017银川模拟〕设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2017)．【答案】见解析【解析】(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．f(2015)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2017)＝f(2016)＋f(2017)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1.知识链接：知识点2函数的周期性1．周期函数；T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：(1)T≠0；(2)f(x＋T)＝f(x)对定义域内的任意x都成立．2．最小正周期；如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期．3．周期不唯一；假设T是函数y＝f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，且n≠0)也是f(x)的周期，即f(x＋nT)＝f(x)．函数周期性常用结论；对f(x)定义域内任一自变量的值x：①假设f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)；②假设f(x＋a)＝eq\f(1,f(x))，则T＝2a(a>0)；③假设f(x＋a)＝－eq\f(1,f(x))，则T＝2a(a>0)．对称性的三个常用结论①假设函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；②假设对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝③假设函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．题型三函数奇偶性的应用命题点1函数的奇偶性求函数的值典例3.〔1〕〔2017重庆市巴蜀中学三模〕定义在上的奇函数满足，且当时，，则〔〕A.-2B.2C.D.【答案】D【解析】由得函数是周期为的周期函数，且为奇函数，故.〔2〕(2016杭州模拟)奇函数f(x)的定义域为R，假设f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝()A．－2B．－1C．0 D．1【答案】D【解析】因为f(x＋2)为偶函数，f(x)是奇函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)＝－f(x－2)，由f(x＋2)＝－f(x－2)，得f(x＋4)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，所以f(8)＝f(0)，f(9)＝f(1)＝1，所以f(8)＋f(9)＝0＋1＝1.命题点2与函数奇、偶性相关的不等式问题(3)〔2017哈尔滨模拟〕偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的x的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))【答案】A【解析】因为f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，f(2x－1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))，所以|2x－1|<eq\f(1,3)，所以eq\f(1,3)<x<eq\f(2,3).〔4〕〔2017兰州高台县联考〕是上的偶函数，且在是减函数，假设，则不等式的解集是〔〕A.B.C.D.【答案】C所以解得x<−3或0<x<3，即不等式的解集为(−∞,−3)∪(0,3).命题点3函数的奇偶性求参数〔5〕(2015全国卷Ⅰ)假设函数f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))为偶函数，则a＝________.【答案】1【解析】∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，∴－xln(－x＋eq\r(a＋x2))－xln(x＋eq\r(a＋x2))＝0恒成立，∴xlna＝0恒成立，∴lna＝0，即a＝1.〔6〕〔2017山东省鄄城县月考〕是奇函数，则的值为〔〕A.B.C.D.不能确定【答案】A【变式训练】〔1〕(2017河北省衡水中学三模)是上的奇函数，则的值为〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】因为是上的奇函数，所以，得,..应选A.〔2〕〔2017四川三诊〕函数，不等式〔其中〕的解集是〔〕A.B.C.D.【答案】A〔3〕〔2017四川宜宾二诊〕定义在上的奇函数满足，当时，，则有〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意得，因为，则，所以函数表示以为周期的周期函数，又因为为奇函数，所以，所以，，，所以。知识链接：1.单调区间是定义域的子区间，求单调区间定义域优先．2.对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)>0⇔f(x)在D上是增函数，eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)<0⇔f(x)在D上是减函数．3.函数的单调区间要分开写，两个(或两个以上)同一类单调区间之间用“，〞隔开，不能用“∪〞连结．4.在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．5.函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)单调性的关系是“同增异减〞．6.对勾函数y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的增区间为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\r(a)))和eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a)，＋∞))，减区间为[－eq\r(a)，0)和eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\r(a))).课本典例解析与变式例1.【必修1复习参考题P83B组第3题】对于函数，是否存在实数，使函数为奇函数【答案】存在，【解题反思】此题为存在性问题，可先假设存在。然后运用奇函数的定义和性质，建设方程求出的值。变式1.(2016浙江金华模拟)假设函数为奇函数,则实数的值为()A. B.C. D．1【解析】方法一：因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．因为f(x)＝eq\f(x,〔2x＋1〕〔x－a〕)＝eq\f(x,2x2＋〔1－2a〕x－a)，所以eq\f(－x,2x2－〔1－2a〕x－a)＝eq\f(－x,2x2＋〔1－2a〕x－a).所以－(1－2a)＝1－2a，所以1－2a＝0，所以a＝eq\f(1,2).方法二：根据奇函数取特殊值求解；由f(x)为奇函数，得f(－1)＝－f(1)，即eq\f(－1,〔－2＋1〕〔－1－a〕)＝eq\f(－1,〔2＋1〕〔1－a〕)，所以a＋1＝3(1－a)，解得a＝eq\f(1,2).方法三：由解析式构造分析；因为分子为奇函数，则要使为奇函数，则它的分母必是偶函数，所以所以1－2a＝0，所以a＝eq\f(1,2).变式2.(2017兰州模拟)定义域为的函数是奇函数，的值为．【答案】【解析】，,，．变式3.(2017北京模拟)假设函数是奇函数，则使成立的的取值范围为〔〕〔A〕〔〕〔B〕〔〕〔C〕〔D〕【答案】C变式4.〔2017上海市徐汇区二模〕函数是偶函数.〔1〕求实数的值；〔2〕假设关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】〔1〕〔2〕【解析】试题分析：〔1〕因为函数是偶函数，所以有，即求出的值；〔2〕别离参数，因为，所以不等式等价于，使得不等式恒成立，只要即可求出的范围。【课本回眸反思】1.在复习解题训练中因注重对数学根本概念和性质的理解；2．解题中应该注重一题多解，一题多变，到达加深理解，灵活运用的目的，并提高复习效率。练习检测1．(2017广州模拟)以下函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y＝x＋sin2xB．y＝x2－cosxC．y＝2x＋eq\f(1,2x)D．y＝x2＋sinx【答案】D【解析】令f(x)＝x2＋sinx，则f(1)＝1＋sin1，f(－1)＝1－sin1即f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以y＝x2＋sinx，既不是奇函数，也不是偶函数，而A、B、C依次为奇函数，偶函数，偶函数，应选D.考点；根本初等函数函数性质的判断2．〔2017北京市西城区一模〕函数定义在上,则曲线“过原点〞是“为奇函数〞的〔〕A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】函数定义在上，假设为奇函数，则“曲线过原点〞，反之不成立，例如,所以“曲线过原点〞是“为奇函数〞的必要而不充分条件，应选B.考点；奇函数的定义及充要条件的判断3.(2017银川模拟)假设函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有()A．B．C．D．【答案】D考点；函数奇偶性与单调性及方程思想4.(2016湖北襄阳模拟)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，例；[-1.2]=-2，[0.9]=0，[1.8]=1则函数f(x)＝x－[x]在R上为()A．奇函数 B．偶函数C．增函数 D．周期函数【答案】D【解析】作出函数f(x)的图象，由图象可知选D.考点；函数奇偶性定义及数形结合思想。5．〔2017河北省巨鹿中学月考〕定义在上的奇函数满足且，则方程在在区间内整数根有〔〕A.个B.个C.个D.个【答案】D【解析】由题可知函数的周期为4，由函数时R上奇函数故，所以，又故,又函数为奇函数所以，故方程在在区间内整数根有1,3,4,5,7,8,9七个根。考点；函数奇偶性与周期性及函数的零点。6.〔2017兰州模拟〕定义在R上的函数满足条件；①对任意的，都有；②对任意的；③函数的图象关于y轴对称.则以下结论正确的选项是()A.B.C.D.【答案】D考点；函数的奇偶性与周期性及单调性的综合运用7．〔2017银川模拟〕假设函数f(x)＝eq\f(k－2x,1＋k·2x)在定义域上为奇函数，则实数k＝________.【答案】【解析】易错分析：解题中无视函数f(x)的定义域，直接通过计算f(0)＝0得k＝1.正解：∵，∴，由可得，∴．考点；函数的奇偶性的性质8．〔201