2022年全国统考数学三押题卷（含答案详解）

2022年全国统考数学三押题卷（含答案详解）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题卡相应位置。）1.设函数$f(x)$在点$x_0$处可导，且$\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=1$，$\lim_{h\to0}\frac{h}{f(x_0)-f(x_0+h)}=2$，则$f'(x_0)$等于（）A.1B.-1C.$\frac{1}{2}$D.-22.设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且满足$f(0)=0$，$f(1)=1$，则对任意$\lambda\in(0,1)$，存在唯一的$\xi\in(0,1)$，使得$f(\xi)=\lambda$，该结论成立的充分条件是（）A.$f'(x)\geq0$在$(0,1)$内成立B.$f'(x)>0$在$(0,1)$内成立C.$f'(x)\leq0$在$(0,1)$内成立D.$f'(x)<0$在$(0,1)$内成立3.设函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内连续，且满足$f(x+y)=f(x)+f(y)$对任意$x,y\in(-\infty,+\infty)$成立，若$f(1)=2$，则$\int_0^1f(x^2)dx$等于（）A.2B.1C.$\frac{1}{2}$D.04.设函数$f(x)$具有二阶连续导数，且$f''(x)>0$，若$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=1$，则当$x\to0$时，$f(x)$是$x^2$的（）A.高阶无穷小B.同阶但不等价无穷小C.等价无穷小D.低阶无穷小5.设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$f(0)=f(1)$，则对任意$\alpha\in(0,1)$，存在$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=\alpha$，该结论成立的充分条件是（）A.$f(x)$在$(0,1)$内可导B.$f(x)$在$(0,1)$内连续C.$f(x)$在$[0,1]$上可导D.$f(x)$在$[0,1]$上连续6.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)=0$，则对任意$\lambda\in(0,1)$，存在唯一的$c\in(a,b)$，使得$\frac{f'(c)}{f(c)}=\frac{1}{\lambda(b-c)}$，该结论成立的充分条件是（）A.$f(x)\neq0$在$(a,b)$内成立B.$f'(x)\neq0$在$(a,b)$内成立C.$f(x)$在$(a,b)$内单调D.$f(x)$在$[a,b]$上连续7.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f'(x)\geq0$，则对任意$x_1,x_2\in[a,b]$，若$x_1<x_2$，则（）A.$f(x_1)\geqf(x_2)$B.$f(x_1)\leqf(x_2)$C.$f(x_1)-f(x_2)\geq(x_1-x_2)f'(x_0)$，其中$x_0\in(x_1,x_2)$D.$f(x_1)-f(x_2)\leq(x_1-x_2)f'(x_0)$，其中$x_0\in(x_1,x_2)$8.设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=0$，$f(1)=1$，则对任意$\lambda\in(0,1)$，存在唯一的$\xi\in(0,1)$，使得$f(\xi)=\lambda$，该结论成立的充分条件是（）A.$f'(x)\geq0$在$(0,1)$内成立B.$f'(x)>0$在$(0,1)$内成立C.$f'(x)\leq0$在$(0,1)$内成立D.$f'(x)<0$在$(0,1)$内成立9.设函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内连续，且满足$f(x+y)=f(x)+f(y)$对任意$x,y\in(-\infty,+\infty)$成立，若$f(1)=2$，则$\int_0^1f(x^2)dx$等于（）A.2B.1C.$\frac{1}{2}$D.010.设函数$f(x)$具有二阶连续导数，且$f''(x)>0$，若$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=1$，则当$x\to0$时，$f(x)$是$x^2$的（）A.高阶无穷小B.同阶但不等价无穷小C.等价无穷小D.低阶无穷小二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。请将答案填在答题卡相应位置。）1.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)=0$，则对任意$\lambda\in(0,1)$，存在唯一的$c\in(a,b)$，使得$\frac{f'(c)}{f(c)}=\frac{1}{\lambda(b-c)}$，则$c$满足的方程为________。2.设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$f(0)=0$，$f(1)=1$，则对任意$\lambda\in(0,1)$，存在唯一的$\xi\in(0,1)$，使得$f(\xi)=\lambda$，该结论成立的充分条件是$f(x)$在$(0,1)$内________。3.设函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内连续，且满足$f(x+y)=f(x)+f(y)$对任意$x,y\in(-\infty,+\infty)$成立，若$f(1)=2$，则$f(0)$的值为________。4.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f'(x)\geq0$，则对任意$x_1,x_2\in[a,b]$，若$x_1<x_2$，则$f(x_1)-f(x_2)$的符号为________。5.设函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内连续，且满足$f(x+y)=f(x)+f(y)$对任意$x,y\in(-\infty,+\infty)$成立，若$f(1)=2$，则$f(n)$（$n$为正整数）的表达式为________。6.设函数$f(x)$具有二阶连续导数，且$f''(x)>0$，若$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=1$，则当$x\to0$时，$f(x)$是$x^2$的________无穷小。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）【标准答案及解析】一、单项选择题1.D解析：由$\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=1$得$f'(x_0)=1$；由$\lim_{h\to0}\frac{h}{f(x_0)-f(x_0+h)}=2$得$\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=-\frac{1}{2}$，矛盾，故选D。2.B解析：由罗尔定理，若$f'(x)>0$在$(0,1)$内成立，则$f(x)$单调递增，满足条件。3.C解析：令$x=1$，$y=1$，得$f(2)=2f(1)=4$；令$y=-x$，得$f(0)=0$；则$\int_0^1f(x^2)dx=\frac{1}{2}\int_0^1f(t)dt=\frac{1}{2}f(1)=1$。4.C解析：由$f''(x)>0$，$f(x)$为凹函数；$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=1$，则$f(x)=x^2+o(x^2)$，与$x^2$等价。5.A解析：由$f(0)=f(1)$，$f(x)$在$(0,1)$内可导，则$f'(x)$在$(0,1)$内取到介于$f'(0)$与$f'(1)$之间的值，由介值定理，存在$\xi\in(0,1)$，使$f'(\xi)=\alpha$。6.A解析：若$f(x)\neq0$在$(a,b)$内成立，则$\frac{f'(x)}{f(x)}$在$(a,b)$内连续，由积分中值定理，存在$c\in(a,b)$，使$\frac{f'(c)}{f(c)}=\frac{\int_a^bf'(x)dx}{\int_a^bf(x)dx}=\frac{f(b)-f(a)}{\int_a^bf(x)dx}=\frac{1}{\lambda(b-c)}$。7.D解析：由$f'(x)\geq0$，$f(x)$单调递增，则$f(x_1)\leqf(x_2)$；由拉格朗日中值定理，存在$x_0\in(x_1,x_2)$，使$f(x_1)-f(x_2)=(x_1-x_2)f'(x_0)\leq0$。8.B解析：由$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增，对任意$\lambda\in(0,1)$，$f(x)$在$(0,1)$内取到介于$f(0)$与$f(1)$之间的值，由单调性，取值唯一。9.C解析：令$x=y=1$，得$f(2)=2f(1)=4$；令$x=n$，$y=1$，得$f(n+1)=f(n)+f(1)=2n+2$；则$f(n)=2n$。10.C解析：由$f''(x)>0$，$f(x)$为凹函数；$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=1$，则$f(x)=x^2+o(x^2)$，与$x^2$等价。二、填空题1.$\lambdac^2+(1-\lambda)bc-x=0$解析：由$\frac{f'(c)}{f(c)}=\frac{1}{\lambda(b-c)}$，得$f'(c)=\frac{f(c)}{\lambda(b-c)}$；由$f(x+y)=f(x)+f(y)$，令$y=1$，得$f(x+1)=f(x)+f(1)=f(x)+2$；则$f'(x+1)=f'(x)$，$f'(x)$为常数$k$；则$f(x)=kx+C$，由$f(a)=0$，得$f(x)=k(x-a)$；代入$f'(c)=\frac{f(c)}{\lambda(b-c)}$，得$c=\frac{a}{\lambda}$；则$c$满足的方程为$\lambdac^2+(1-\lambda)bc-x=0$。2.单调递增解析：由$f(0)=0$，$f(1)=1$，若$f(x)$在$(0,1)$内不单调递增，则存在$x_1,x_2\in(0,1)$，$x_1<x_2$，$f(x_1)>f(x_2)$，由介值定理，$f(x)$在$(0,1)$内取到介于0与1之间的值，但$f(x)$在$(0,1)$内连续，矛盾。3.0解析：令$x=y=0$，得$f(0)=f(0)+f(0)$，则$f(0)=0$。4.$\leq0$解析：由$f'(x)\geq0$，$f(x)$单调递增，则$f(x_1)\leqf(x_2)$，故$f(x_1)-f(x_2)\leq0$。5.$2n$解析：由$f(x+y)=f(x)+f(y)$，令$x=n$，$y=1$，得$f(n+1)=f(n)+f(1)=2n+2$；则$f(n)=2n$。6.等价解析：由$f''(x)>0$，$f(x)$为凹函数；$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=1$，则$f(x)=x^2+o(x^2)$，与$x^2$等价。三、解答题1.证明：令$F(x)=\frac{f(x)}{x}$，则$F(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$F(a)=\frac{f(a)}{a}=0$，$F(b)=\frac{f(b)}{b}=0$；由罗尔定理，存在$c\in(a,b)$，使$F'(c)=0$；则$\frac{f'(c)}{c}-\frac{f(c)}{c^2}=0$，即$\frac{f'(c)}{f(c)}=\frac{1}{c}$；又由$\lambda\in(0,1)$，得$\frac{1}{c}=\frac{1}{\lambda(b-c)}$，即$c=\frac{\lambda}{1+\lambda}$，故$c$满足的方程为$\lambdac^2+(1-\lambda)bc-x=0$。2.证明：令$F(x)=f(x)-\lambda$，则$F(x)$在$[0,1]$上连续，且$F(0)=f(0)-\lambda=-\lambda<0$，$F(1)=f(1)-\lambda=1-\lambda>0$；由零点定理，存在$\xi\in(0,1)$，使$F(\xi)=0$，即$f(\xi)=\lambda$。3.证明：令$F(x)=f(x)-2x$，则$F(x)$在$(-\infty,+\infty)$内连续，且满足$F(x+y)=