上海某中学闵行分校、宝山分校2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（含解析）

上海师大附中闵行分校、宝山分校2024-2025学年高二（下）期中

数学试卷

一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设直线1的方向向量为】，平面a的法向量为落则31元是1//戊的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

2.若椭圆\+J21（爪>n>0）和双曲线=l（s,t>0）有相同的焦点B和心，而P是这两条曲线的

■个交点，则|P0|•IPF2I的值是（）

A.n+tB.（n+t）C.m2—s2D.y/~m—

3.在等腰直角AABC中，48=2C=6,点P是边AB上异于端点的一点，光线以点P出发经8C、C4边反射

后又回到点P,若光线QR经过AaBC的重心，则APQ8的面积等于（）

.16

A•9

B.4

C.5

D与

4

4.定义区间口0,（a,b）,（a,句，[a,b）的长度为b-a.如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为祖（

其中mE（0,e],e为自然对数的底数），那么称这个函数为“zn函数”.下列四个命题：

①函数f（%）=ex+仇％不是“zn函数"；

②函数g。）=Inx—e”是函数”，且根〃=1；

③函数h（%）=e%仇％是“Tn函数”；

④函数9（久）=等是"zn函数”，且mton=1.

其中正确的命题的个数为（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

二、填空题：本题共12小题，共54分。

5.已知直线/的方程为2%+y+1=0,则直线1的倾斜角为.

6.函数/（%）=的极值点为.

7.已知直线匕：%+ay=1,l2：a%+y=l,若，1〃。，则实数a=.

8.若无论实数a取何值，直线a%-y+1=0与圆式2+y2=r2(r>0)恒有交点，贝b的取值范围为.

9.已知P为椭圆(+《=1上一动点，记原点为。，若加=2而，则点Q的轨迹方程为.

10.若双曲线经过点P(4,3),它的一条渐近线方程为y=gx,则双曲线的标准方程为.

11.若函数/(x)=cosxsinx+acosx在［0,兀］上为严格增函数，则实数a的取值范围为.

12.曲线C为到两定点M(-2,0)、N(2,0)距离乘积为常数16的动点P的轨迹.以下结论正确的编号为.

①曲线C一定经过原点；

②曲线。关于久轴对称，但不关于y轴对称；

③AMPN的面积不大于8；

④曲线C在一个面积为64的矩形范围内.

13.设f(x)是定义在R上的偶函数,1(X)为其导函数,“2025)=0,当x>0时，有以'(无)>/(%)恒成立,

则不等式久〃久)>0的解集为.

14.若直线/：kx—y+3k=0与曲线C；V。—*=y—1有两个不同的交点,则实数k的取值范围是

15.已知实数x、y满足乎+y|y|=l,则|x+2y-引的取值范围是.

16.已知实数a、b、c、d满足仍一等|+|c-d+2|=0,则(a-c/+(6-d)2的最小值为.

三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题14分)

如图是用3个圆构成“卡通鼠”的形象，点Q(0,-3)是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点0；点、L、S均在久轴上,

圆L与圆S的半径都等于2,圆S、圆L均与圆Q外切.

(1)求圆心S与圆心L的坐标；

(2)已知直线/过点。若直线/截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于3求出t的值.

18.(本小题14分)

已知函数f(%)=(a—2)Znx+x2—ax.

(1)当a=3时，求函数y=/(x)的单调区间；

(2)若函数y=f(x)在区间［l,e］上恰有一个零点，求a的取值范围.

19.(本小题14分)

如图，某国家森林公园的一区域。为人工湖，其中射线。4、0B为公园边界.已知。力10B,以点。为坐

标原点，以。B为x轴正方向，建立平面直角坐标系(单位：千米).曲线4B的轨迹方程为：y=--+4(0W

久W2).计划修一条与湖边4B相切于点P的直路«宽度不计)，直路/与公园边界交于点C、D两点，把人工湖

围成一片景区△OCD.

(1)若P点坐标为(1,3),计算直路CD的长度；(精确到0.1千米)

(2)若P为曲线48(不含端点)上的任意■点，求景区AOCD面积的最小值.(精确到0.1平方千米)

20.(本小题18分)

已知相圆C：^+y2=i,点&、尸2分别为椭圆的左、右焦点.

(1)若椭圆上点P满足PF21F#2,求IP&I的值；

(2)点力为椭圆的右顶点，定点T(t,O)在久轴上，若点S为椭圆上一动点，当|ST|取得最小值时点S恰与点力重

合，求实数t的取值范围；

(3)已知小为常数，过点6且法向量为(1,-m)的直线1交椭圆于M、N两点，若椭圆C上存在点R满足赤=

祈+〃而(尢〃eR),求4〃的最大值.

21.(本小题18分)

设函数y=/(%)的定义域为。，对于区间/=［a,0(/a。)，若满足以下两个性质之一，则称区间/是y=

/(%)的一个“好区间”.

性质①：对于任意%oG1,都有/(久0)e/;性质②：对于任意久0G1,都有fOo)i

(1)已知函数f(x)=--+2x,久eR,分别判断区间［0,2］,区间［1,3］是否为y=f(x)的“好区间”，并说明

理由；

_1

(2)已知m>0,若区间［0,词是函数/(x)=一/一3%+12,xeR的一个"好区间"，求实数的取

值范围；

(3)已知函数y=f(x)的定义域为R,其图像是一条连续的曲线，且对于任意a<b,都有f(a)-f(6)>6-

a,求证：y=/(©存在“好区间”，且存在与6夫，比为不属于y=/(x)的任意一个“好区间”.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由〃/a,得胃1元，则“〃/a”是“Z1元”的充分条件，

而Z1元不一定有l〃a,也可能Zua,贝U“l〃a”不是“31元”的必要条件.

故一〃a”是“胃1元”的充分不必要条件，“41元”是〜〃a”的必要不充分条件.

故选：B.

利用空间线、面的位置关系以及充分条件与必要条件的定义进行判断即可.

本题考查了充分条件与必要条件的判断，解题的关键是掌握充分条件与必要条件的判断方法，属于基础

题.

2.【答案】A

【解析】解：若椭圆[+[21(爪>n>0)和双曲线F-f=l(s,t>0)有相同的焦点&和F2，

而P是这两条曲线的一个交点，设c为半焦距，

不妨设点P是两曲线在第一象限内的交点，

由椭圆和双曲线的定义，

可得严1|+质|=2可解得产心仁+巴

l|P&|一|PFzl=2代(\PF2\=yF^-Vl

贝/PF1I,|P6I—(y/~rn+y/~s)(y/~rn—y/~s)=m—s=n+c2—(c2—t)=n+t.

故选：力.

利用椭圆与双曲线的定义得出|PFil与|P%I的和与差，变形求得积.

本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：由题意等腰直角AABC中，AB=AC=6,点P是边力B上异于端点的一点，光线以点P出发经

BC、C4边反射后又回到点P,光线QR经过A/IBC的重心，

可建立直角坐标系，

可得B(6,0),C(0,6),故直线BC的方程为x+y=6,

则三角形ABC的重心为(警四，等四)，即(2,2),

设P(a,O),其中0<a<6,则点P关于直线BC的对称点匕(居/),

满足与解得lUY即P](6,6-a),

<x—aI)

易得P关于y轴的对称点P2(—a,。)，由光的反射原理可知Pi，Q,R，P2四点共线，

直线QR的斜率为k=合1=空，故直线QR的方程为y=合(久+a),

Ux.Ju]aO-I-CL

由于直线QR过三角形A8C的重心(2,2),代入得2=淆(2+a),

化简得a=2或a=0(舍去)，故P(2,0),^(6,4),P2(-2,0),直线QR的方程为y=g(x+2),

*_10

%+y=6X~J，即点Q的坐标为Q(¥，§,

联立•1z6，解得

7='(%+2)y=§''

则三角形PQB的面积S=iX(6-2)XyQ=2XI=y.

故选：A.

建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点B的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，

由Pi，Q,R,P2四点共线可得直线的方程，由于过三角形A8C的重心，代入可得关于a的方程，解得P的

坐标，即可求得P8的长和直线方程，进而求得面积.

本题考查了直线的方程，对称问题的求解，是中档题.

4.【答案】B

【解析】解：命题①：/(x)定义域为(。,+8),在定义域上/(*)是单调递增，显然这个区间没有长度，因

此函数/(久)不是“加函数"，故命题①是真命题.

命题②：。(久)的定义域为(0,+8),g'(x)=|-ex=

当g'O)>0时,函数g(x)是增函数,

-1

xex>得->ex,

%>0,1—0X

构造两个函数，v(x)=:和〃(%)=ex,图象如下图所示:

通过图象可知当％G(0,7n),u(x)>u(%)而u(l)=e>u(l)=1,即?71G(0,1)，u(m)=v(m),所以当％e

(0,m),时，函数g(%)是增函数，增区间的长度为zn,

又因为66(0,1),显然有mE(0,e),成立，所以函数g(%)是“TH函数”，

•••u(m)=v(m),/.，=即即me771=1成立，故命题②是真命题.

命题③：函数九(%)=e"①％定义域为(0,+8),M(x)=exQlnx+|)

显然%>1时，^(%)>0,此时函数九(%)是单调递增函数，增区间为(1,+8),而区间(1,+8)没有长度，

故函数九(%)=exlnx不是“m函数”，故命题③是假命题.

命题④：函数W(久)=惇定义域(0,+8),“(久

当(//(%)>0时，8(%)是增函数，故只需1一%仇%>0成立，0(%)是增函数，

也就是§>Inx成立,9(%)是增函数，构造两个函数，u(x)=iv(%)=Inx如下图所示：

,.-1.

通过图象可知：当％E(0,zn)时，u(x)>uz(x),而n(e)="<w(e)=1,所以zn<e.从而有XE(0,zn)时,

|>Inx?^,函数0(x)是增函数，显然区间(0,m),长度为m,而m<e

所以函数9(比)=野是“小函数"，又比(TH)=w(m),即niWi=1.故命题④是真命题.

综上所述：正确的命题的个数为3个，

故选:B.

利用导数、函数的图象，结合“机函数”的定义，对四个命题逐一判断即可得到结论.

本题考查命题的真假关系，考查了利用函数的导数、函数的图象找函数增区间的数学能力.重点考查了学

生阅读能力、知识的迁移能力、数形结合的数学思想.综合性较强，有一定的难度.

5.【答案】7T—arctan2

【解析】解：根据题意，直线，的方程为2x+y+1=0,其斜率k=—2,

则直线的倾斜角为兀-arctan2.

故答案为：7T—arctan2.

根据题意，求出直线的斜率，结合直线斜率与倾斜角的关系分析可得答案.

本题直线的倾斜角，涉及直线的一般式方程，属于基础题.

6.【答案】比=—1

【解析】解:由题设((久)=(%+l)ex,

当％e(-8,-1)时，fr(x)<0,/(久)递减；

当X6(-1,+8)时，f'(x)>0,/(%)递增;

所以/(%)由极小值点为X=-1,无极大值点.

故答案为：x=-1.

利用导数求f(x)的极值点.

本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的运算能力，属于中档题.

7.【答案】-1

【解析】【分析】

本题考查两直线平行的条件，以及直线的斜率的求法，考查运算能力，属于基础题.

求得两直线的斜率，由两直线平行的条件，计算可得所求值.

【解答】解：直线4：x+ay=l,l2-.ax+y-1,

当时，口2-1=。，解得a=±1.

当a=l时，％与"重合，不满足题意；

当a=-1时，^1//^29此时，1：x—y—1=0,旧％—y+l=。，¥两足，

故答案为：-1.

8.【答案】［1,+8)

【解析】解：ax—y+1=0恒过点(0,1),

无论实数。取何值，直线ax-y+1=。与国/+y2-r2(r>0)恒有交点，

则(0,1)在圆久2+必="内或圆上，则r21.

则r的取值范围为［1,+8).

故答案为：口,+8).

ax-y+1^0恒过点(0,1),判断这个定点与圆的位置关系即可.

本题考查直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，属于基础题.

9.【答案】［+9=1

【解析】解：设点Q(x,y),由标=2的得点P(2x,2y),而点P为椭圆(+*=1上的任意一点，

所以喀+&善=1,整理得［+9=1,

16lz43

所以点Q的轨迹方程是。+<=1.

故答案为：1+4=1.

先设点QQ,y),再由加=2的应用相关点法求轨迹方程即可.

本题考查轨迹方程的求解，相关点法的应用，属中档题.

10.【答案】卷―,=1

【解析】【分析】

本题考查双曲线的标准方程的求法，需要学生熟练掌握已知渐近线方程时，如何设出双曲线的标准方

程.属于基础题.

根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=/x,可设双曲线方程为。-*=4(2K0),又由双曲线过点

P(4,3),将点P的坐标代入可得2的值，进而可得答案.

【解答】

1

X

解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y2-

设双曲线方程为。—y2=“4大。)，

・••双曲线过点P(4,3),

——32=4,即2=—5.

4

所求双曲线方程为9―5=1.

故答案为:14=1.

n.【答案】（一8,-1]

【解析】解：因为/（%）=cosxsinx+acosx=^sin2x+acos汽在上为严格增函数,

所以/'（%）=cos2x—asinx>0在[0,初上恒成立，

当％=0或%="时，。为任意实数，

1—2sin2%

当0<x<7T时，a<cos2x2s讥x恒成立,

sinx

令t=sinx,贝!|0<t<1,

因为y=1-2t在（o,i）上单调递减,

所以y>—1，

故a<-1.

故答案为：（―8,—1].

先对函数求导，结合导数与单调性关系分离参数，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解.

本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应

用，属于中档题.

12.【答案】③④

【解析】解：设p（X,y）,则J（久+2）2+y2.7（x-2）2+y2=16,

对于①，原点（0,0）代入方程，得2X2416,所以曲线C一定不经过

原点，故①错误；

对于②，以-y代替y,可得，（x+2）2+（_y）2+

JQ-2尸+（-y）2=7（%+2）2+y2-J（ix-2）2+y2=16成立，

以-X代替X,可得'（-X+2）2+y2.J（—X_2）2+y2=

J（X+2尸+y2.1（x—2尸+y2=16成立，

即曲线C关于久、y轴对称，故②错误;

对于③，显然P、M、N三点不共线，

设1PMi=a,|PN|=6,4MPN=。,贝！lab=16,

由余弦定理得cos。=贮鱼r9=《但竺>2al6=1；

2ab32-322

当且仅当a=b=4时等号成立，贝岭为锐角，所以s出8=，1—cos?®W苧,

则小MPN的面积为以…=1absind三义16x苧=4<3<8,故③正确；

对于④，16=J(久+2尸+=.J(1-2)2+=>J(%+2尸.J(%一2尸=|一一4|,

可得一16W久2—4316,得久2320,解得

由③知SAMPN=^|MN|•|yp|=：x4x|yp|W4门，得<2门，即一2，1WyW2门，

曲线C在一个面积为4，^*4煦=16，记<64的矩形内，故④)正确.

故答案为：③④.

求出动点轨迹方程，由方程确定轨迹的性质，判断各结论.

本题考查轨迹方程，考查曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

13.【答案】(-2025,0)0(2025,+00)

【解析】解：设g(x)=§,X40,则7(x)=♦(?",

,・,当%>0时,有%,〉)>/(%)恒成立，

・•・当%>0时，g'(%)>0,g(%)在(0,+8)上单调递增，

・・•/(%)是定义在R上的偶函数，

•••g(f)=七2=詈=_g0)，

即g(x)是定义在(一8,0)u(0,+8)上的奇函数，

g(x)在(一8,0)上单调递增，又f(2025)=0,

5(2025)=^^=0,

・•・5(-2025)=0,

・•.不等式%/(%)>。的解等价于9。)>0的解，

・•・—2025<x<0或无>2025,

・•.不等式的解集为(一2025,0)U(2025,+8).

故答案为：(-2025,0)U(2025,+8).

设9。)=竽,乂力。，对其求导，结合导数与单调性关系求出9(©的单调性，然后判断奇偶函数，结合单

调性及奇偶性即可求解不等式.

本题主要考查了函数单调性与奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题.

14.【答案】白》

L4

【解析】解：曲线C：V1-X2=y-l(y>1).

可化为/+(y-l)2=l(y>1),

即以(0,1)为圆心，半径为1的圆的上半部分，直线Z：kx-y+

3k=0,化为y=k(x+3),可知直线系过定点D(—3,0),

画出直线和半圆的图象如图所示，

1_r)1

设4(一1,1),贝妹的最小值为用w=—1—D)=7Z.

当直线/与半圆相切于8点时，圆心(0,1)到直线&kx-y+3k=0的距离:

|-l+3fc|

解得々=［或k=。(舍去),

故答案为：白》

根据直线和圆的位置关系，结合图象来求得正确答案.

本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题.

15.【答案】［4一2/1,4)

【解析】【分析】

本题考查直线与椭圆相切，双曲线的渐近线，考查数形结合思想，属于较难题.

把岑+y|y1=1等式变形，画出图形，根据|x+2y—4］的范围可表示为曲线上点到直线x+2y-4=0距

离的倍求出|x+2y-4|的范围.

【解答】

fx>0,y>09>0,yV0任<0,y>0

解:由二—1"y\y\=1，得％2［或/2q或2》2.

4(T+y2=i匕一丫-b2-T=1

如图,

曲线上点(x,y)到直线X+2y-4=0的距离为空铲,

所以|久+2y-4|的范围可表示为曲线上点到直线久+2y-4=0距离的，亏倍,

设与直线X+2y-4=0平行直线为％+2y-4-z=0,得y=--%+-z+2,

由图可知，当直线y=++2与第一象限的椭圆相切时，

(y=-51%+J/+」O2

联立得〈2，SP2%2-(2z+8)x+z2+8z+12=0,

—+y2=]

14z

•・•相切，・••/=(2z+8)2—4x2x屹2+8z+12)=0,

・••Z2+8Z+8=0,z=-4±2<2，

•••椭圆的图象只在第一象限，.・.z=-4+2彘，此时切线方程为久+2y—4+4—2，^=0,

直线x+2y-4=0与切线距离为匕婆，那么I久+2y—4|最小值为4-272,

V5

1

%

根据双曲线的方程知，两条双曲线的渐近线方程都是y=2-

直线x+2y-4=0与y=-距离为裾，所以|x+2y-4|最大值小于4

•1•\x+2y-4］的取值范围是［4-2，2,4),

故答案为：［4一2，^,4).

16.【答案】£

【解析】解：由|6—詈|+七一4+2|=0得6=詈，c-d+2=0

设/'(无)=--y=x+2,

则P(a,b)是/(%)上的一点，/(64)是丫=x+2上一点,

2

贝lj(a—c)2+(b—d)2=\PA\f

由((%)>0得0V%<e,

由尸(%)<0得久>e,

作出函数/(%)和y=x+2的图象，

设与y=%+2平行的直线方程为％-y+t=0,

当久-y+t=0与f(%)相切时，

设切点为则等=几，

则/'(zn)=J'7=1,则当m=1时方程成立，此时71==0,

即切点为(1,0)，此时切线方程为X—y—1=。,

则直线x-y-1=0,x—y+2=0的距离d=［密=1

V1+1Vt

则P4|2的最小值为d2=(怠2=?

即(a-c)2+(6—d)2的最小值为|.

故答案为：

由绝对值的性质得b=等，c—d+2=0,构造函数/(久)=学，y=x+2,利用两点间的距离公式进行

转化求解即可.

本题主要考查函数最值的求解，根据绝对值的性质得到两个等量关系，构造函数，利用两点间的距离公式

进行转化求解是解决本题的关键，是中档题.

17.【答案】S(4,0)>L(-4,0)；

12

【解析】解：(1)由题意点Q(0,-3)是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点0；点、L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径

都等于2,圆S、圆L均与圆Q外切，

可得圆Q的半径为|QO|=3,设圆心S(m,0),其中机＞0,

由于圆S和圆Q外切，且圆S的半径为2,则|QS|=4瓶2+32=3+2=5,解得m=4,

即点S(4,0),同理可得点L(-4,0).

(2)若直线/的斜率不存在，则直线I与y轴重合，此时，直线/与圆L、圆S都相离，不合乎题意，

,_3

圆心Q到直线I的距离为%则直线I截圆Q的弦长为1=261kl

飞k+1

由题意可得4增雪，解得1=4

(1)设圆心S(?n,0),其中m>0,根据圆与圆的位置关系可得出|QS|=5,可求出n?的值，即可得出点S的坐

标，同理可得出点L的坐标;

(2)分析可知，直线Z的斜率存在，设直线1的方程为y=kx,利用几何法求出直线I截三个圆所得的弦长,

可得出关于k的方程，解出/的值，即可求出t的值.

本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题.

18.【答案】解：(1)当a=3时，/(%)=Inx+x2—3x,x>0,

(2x—l)(x—1)

1⑺=-+2x-3=

7vyXXX

令f'(x)=0得x=2或1,

所以在(0,5上/(x)>0,f(x)单调递增，

在©,1)上尸(久)<0,/(%)单调递减，

在(1,+8)上［0)>0,/(%)单调递增，

所以〃支)的单调递增区间为(0,今，(1,+8),单调递减区间为©,1).

(2)f(%)=一/7_2+2…=21)(%-詈n_2),

当~^一<1,即a<4时，xE［l,e］,/'(x)>0,函数/'(%)在［l,e］上单调递增，

由函数y=/(x)在区间［l,e］上恰有一个零点，得乃？=丁:口解得iwawQ］,

(/(e)=ez—2—a(e—1)>0e—l

,,浮―2

因此1£a<——,

e—1

当手>1,即a>4时，当1<久<噌时，/'(%)<0,即函数f(x)在［1,彳］上递减，

Z44

又/(1)=1一。<0,

要函数y=/(%)在区间［Le］上恰有一个零点，

当且仅当/(e)20,则aW片与a>4矛盾，

所以。的取值范围是｛a|1Wa<：_；｝.

【解析】(1)把a=3代入函数解析式，对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解；

(2)结合导数与单调性关系对a的范围进行分类讨论，然后结合函数零点存在条件即可求解.

本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了函数零点存在条件的应用，体现了分类讨论思想的应

用，属于中档题.

19.【答案】解：(1)因为y=-K2+4(0WXW2),所以y'=-2x,所以=-2,

所以由点斜式可得y—3=—2(%—1),即丫=—2%+5,

令x=0,解得y=5,令y=0,解得x=

所以C(0,5),D(|,0),

所以|CD|=J25+1=竽笈5.6/OTI；

(2)设2«,一严+4),0<t<2,

则由(1)可知y%=t=-2t,

所以CD的直线方程为y+/—4=—2t(x—t),

整理得y=-2tx+产+4,

y-2IA

令久=0,解得y=t2+4,令y=0,解得％=

所以SAOCD=gx(r+4)x与m=7(t3+8t+y)»

设/(t)=(t3+8t+与),0VtV2,

八t)=；(3t2+8-拼=

令f'(t)>0,即3t2-4>0,解得岁<t<2,

令[(t)<0,即3t2—4<0,解得0<t(等，

所以函数f(t)在(0,等)单调递减，(容,2)单调递增，

y

二匚ci1T2.C2A/-316i32A/­32

所以f(Omtn=f(-5-)=4[(-§-)3+8X~6R2Nkm,

所以景区小OCD面积的最小值为6.2Mn2.

【解析】(1)根据导数与切线的关系求解即可；

(2)利用切线方程与导数的关系求出点P处的切线方程，从而表示出AOCD的面积，再利用导数与单调性和

最值的关系即可求解.

本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题.

20.【答案】解:(1)因为PF?，鼻尸2,所以设点P(Lt)，

1

贝d+

u2-所以罔=苧，即仍尸2|=年,

所以|P&|=2a—|PF2|=272-苫=号;

2____

(2)设S(zn,n),则彳+n2=l,mE[-V-2,V-2]，

22

贝!J|ST『=(m-t)2+n2=m2-2tm+t2+l—=——2tm+t2+1,

所以|ST『=j(m-2t)2-t2+l,mG[-V_2,AA2],

要m时|ST『取最小值，则必有2力>V2,

所以t之苧；

2

(3)设过点尸且法向量为(1,一租)的直线1的方程为％—l—my=0,M(%i，yi),yv(x2,y2),

x—1—my=0

联立x2,消去/得(nt?+2)y2+2my—1=0,4=8m2+8>0,

匕+y7=1

则为+%=赤,y,2=彩调，

_24

12

则久+久=m(yt+%)+2=+2=

7—m2,—2m2,y—2m2+2

=根2y/2+m(yi+'2)+1=赤+.+1=

又=AOM+[iON=+/ix2,^yr+4y2)，

2

2

又点R在椭圆C上，则(””2)+(2yi+My2)=1,

所以万资++所以+2(於赤+2A/iy1y2+所无)=2,

即;12(好+2光)+2加(%i%2+2yly2)+公(媛+2比)=2,

所以2乃+2加+,^2)+2〃2=2,

r'mz+2mz+2yr

227

所以1=下一2加(城+2)+/之244-2加(£+2)=24〃•?+2,

所以4〃W与，当且仅当4=4时等号成立，

即加的最大值为吟.

【解析】(1)设点P(l"),然后代入椭圆方程，即可求出|PFzl，再根据椭圆定义求IP&I；

(2)设S(m,n),求出|ST『，根据二次函数在给定区间上的最值要求列不等式求解；

(3)设直线/的方程为x-l-zny=0,与椭圆联立，写出韦达定理，再根据浜=>0访+〃而求出R的坐

标，代入椭圆方程，利用韦达定理计算，利用基本不等式求最值.

本题考查了椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系的应用，属于中档题.

21.【答案】解：(l)f(x)=-%2+2%=-(%一I)2+1,

当x£［0,2］时,f(x)G［0,2］,满足性质①,

所以［0,2］是y=/(x)的“好区间”；

当xe［1,3］时，/(X)e［-3,2］,

既不满足性质①，也不