山东省临沂市2024-2025学年高二年级上册期末学科素养水平监测数学试题（含解析）

数学黄卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知直线t+2丫+°=°与（a-2）x+6y+l=0平行，则“二（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】

【分析】根据直线一般式中平行满足的系数关系即可求解.

【详解】由于直线与平行

[a2|x+6v+1=0

故[6=2（。-2],解得

1#

故选：D.

2.若「工-1构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）

।a,o.（।

AL.

2bicbh-cQa-¥h2ab

C.——,—•—，D.——，，

a+ha—ha+bu+b+c

【答案】C

【解析】

【分析】利用基底的意义，逐项判断即得.

【详解】对于A,-----,向量--,-,——共面，A不是;

2b+c=3b-(b-c)2/>+cbb-c

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对于B,2u—b—3u—(</+/))»向量°，a+b，J共面，B不是;

对于C,假定向量o+B,a—b，共面，则〃+E=-右)+“，而a.B.r不共面,

于是j=1.7;I.尸。，无解，因此向量1小,不共面，C是.

对于D,a+B+c=(a+E)+c,向量0+E,0.3+「，共面，D不是.

3.已知数列“,二为等比数列，若=3,,则a.=()

A.9B.12C.15D.18

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，求出等比数列公比，进而求出小.

【详解】设等比数列4：公比为9,乐=a、q”,而，「；，.「"，则”=8,解得^=2,

所以①,=%/=12.

故选：B

4.已知双曲线:1-卜=1(a>0,>0)离心率为石，则该双曲线的渐近线方程为(

A.V2x±y=0B.x±41y=0c.ri2v=0D.2x±y=0

【答案】A

【解析】

h

【分析】由离心率求出一，进而求出渐近线方程.

a

【详解】由双曲线/躲=1的离心率为6

得吁S解得3s

22L

而曲线J5=1的渐近线方程为V=±-X,即I，=±V2.V,

a'b'a

所以该双曲线的渐近线方程为&x±F=O.

故选：A.

5.已知空间向量工=(6,0,1),b=(-,0,—),贝卜在，上的投影向量为()

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A.（g,0,：）B.g,o\）C.D.（-.0.--）

22222244

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解.

【详解】空间向量Z=（6,（M）,^=（1,0,—））则15=6,法|=1,

所以。在力上的投影向量为亍^人=力（不0,〒）=（丁,0,7）.

|op2222

故选：A

6.在等差数列：。“；中，若/+%+。=27,则3%+即,=（）

A.24B.28C.32D.36

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用等差数列的通项公式列式化简求解.

【详解】设等差数列：q；的公差为，/,由%+4+/=27,得/+/+5d+%+7d=27,

则a,+4d=9,所以3a4+a16=3（Oj+d）+as+\3d=4（a,+4d）=36.

故选：D.

7.已知圆./+./+2'+4y-4=0与圆/+），2+24—4），-20=0交于八，8两点，当弦18最长时，实

数。的值为（）

A.-2B.-IC,1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】求出圆/+./+2*+4,1，-4=0的圆心及半径，再求出公共弦所在的直线方程，进而求出弦长最

长时。的值.

【详解】圆.T+『+2K+4.I，-4=0的圆心一,半径r=3,

显然原点（。,Q）在圆/+./+2x+4y—4=0内，又在圆x*+/+2ar-4>-20=0内，

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因此两圆必相交，直线.48方程为(a-l)x-4〉-8:0,而弦.48最大值为6,

即为圆./+./+2卜+4.1，-4=0的直径，此时直线,48过点卜1「幻，

则-(a-I)-4(2)-8=(I,所以a=l.

故选：C.

8.己知空间直角坐标系中，川3,0,0|、0.2.0),40,0,1),点M(x,乂z)是空间中任意一点，若A,

B,C,"四点共面，则()

A.2x+3y+4:=6B.:t+2r+3:=6

C.3［一；+?:=3D.>-:「-：二；

【答案】A

【解析】

【分析】设而=加万,"灰(加，"€Rl,根据空间向量的坐标运算可得出关于X、「、Z、，〃、”的等

式组，消去〃；、〃可得结果.

【详解】在空间直角坐标系中，.43.。，。1、^10,2,01,C(0.0.1

1/

一(31——

则.48=(-3,2,0),/1C=-3,0,-,AM=|x-3,y,r),

\)

因为A、8、C,”四点共面，设而二加四+〃元,

1—3,0,［卜［-3〃］-3〃,2叭］〃j

即(x-3,j,二)=m|-3,2.01-n

-3"1-3〃=x—3

可得27n=y,消去加、〃可得.t-3=-；--2二，即2工+3丫+4：=6,

—〃=z

7

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

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X』V

9.椭圆。：9-+1=1的左、右焦点分别为E,6,点p为C上的任意一点，则（）

A.椭圆（’的长轴长为3B.椭圆。的离心率为：

C./匐的最大值为5D.存在点P,使得PF^PF，

【答案】BC

【解析】

【分析】根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长、半焦距，再逐项判断得解.

2j

【详解】椭圆。：丁+二二1的长半轴长。=3,短半轴长/>=用，半焦距「GT-，；

95

对于A,椭圆C的长轴长为6,A错误；

对于B,椭圆（、的离心率为二;，B正确；

对于C,MLx=a+c=5,c正确；

对于D,c<h,以线段FF为直径的圆在椭圆C内，因此不存在点P,使得巧，户”，D错误.

故选：BC.

10.已知圆c：x'+『+4x=0,P是直线：-T=Q上的一动点，过点P作直线P.4,/出分别

与C相切于点A,8,则（）

A.存在圆心在上的圆与C相内切B.四边形尸C8面积的最小值为

C.|.叫的最小值是24D.点（2,3）关于的对称点在。内

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用两圆内切的条件判断A；借助切线长定理求出面积最小值判断B；求出。尸1/时对应弦长判

断C；求出点（京3）关于直线的对称点到圆心距离判断D.

【详解】圆C：（x+2『+jJ=4的圆心CLLQ）,半径厂;2

对于A,在直线上取点PU，I）,PC|=Vio>2,点P在圆c外，

以点尸为圆心，JHJ+2为半径的圆与圆C相内切，A正确；

2:

对于B,四边形PACB面积S=2S^tc=\AC\-\PA\=2^PC\-\AC\=2j|PC1-4,

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1-2x4-71r-

点c到直线的距离＜/=；、,=3,贝/PC12d=3,Sam=2J?,

V4*+3*

当且仅当。尸工/时取等号，B正确;

对于C,当（71/时，IPC1=3,由.48一CP,得S=g|4B|“CP|=2jT,

解得|/8|=咪<26,C错误;

一|4x2+3x3-7|、一

对于D,点（23到直线的距离为----产==—=2,点03）与点C的距离为5,

W+3,

34

点（23与圆心C（-2.Q）确定的直线斜率为二，而直线的斜率为-二，

即点（2.3）与C确定的直线垂直于，因此点（2,3］关于的对称点到点C的距离为52xl=l<r,

则点（2,3）关于的对称点在C内，D正确.

故选：ABD

11.如图，该几何体是四分之一圆柱体（点8,A分别是上、下底面圆的圆心），四边形.48CD是正方形,

点G是圆弧C£的中点，点〃是圆弧。「上的动点（含端点），则（）

A.存在点〃，使得CH一HE

B.存在点〃，使得直线〃E〃平面BOG

C.存在点〃，使得平面80G1平面CEH

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D.存在点〃，使得直线CH与平面80。的所成角的余弦值为正

3

【答案】BCD

【解析】

【分析】建系标点，对于A：利用空间向量说明线线垂直；对于B：利用空间向量说明线面平行；对于C：

利用空间向量说明线面垂直；对于D：利用空间向量求线面夹角.

【详解】如图，以A为坐标原点，ID,",,48分别为2,二轴，建立空间直角坐标系,

不妨设,4D=2,则。|2,0,0|,F(0,2,0),C(2,0,2),8(0,0,2|,E10,2,2,1，G(JF,JL2),

设〃(2cos0.25inO,O),0w0,—

对于选项A：因为(力=(2cos0-2,2sin0,-2(,£//=(2cos0,2sinO-2,-2),

令，'〃-EH=2cosfl(2cost)-21-2sin0|2sin0-2|+4=8-4\ZTsin0+']=0,

I4

IXr—

可得sin|O+,=V2,显然该方程无解,

\4,

所以不存在点〃，使得c”-HE,故A错误；

对于选项B：因为访=(2,0,-2),前=,

m-BD=2x.-2z.=0

设平面BDG的法向量拓=(x*y,Z])则//-

m-BG=>/2xi+y/2y]=0

令$=1,则=可得而=

若直线HE平面8OG,

则wrEH=2cos0-2sin0+2-2=2cos。-2sin0=0，可得tan8=l,

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且060,J,则8=(,即〃(V2,V2,0),

所以存在点〃，使得直线〃E〃平面8OG,故B正确;

对于选项C：因为CE=(-2,2,0),E/f=(2cos0,2sinO-2,-2),

it'BE=-2xy+2y2=0

设平面CEH的法向量方=（xay[z2）则——，八1

mEH=2COS0X2+(2sin0-2]y2-2z2=0

令=1,则4=1.二2=sin0+cos6-l,可得万二(LLsin©+cos。-1),

若平面8。G1平面CEH,

则/〃•〃=1一1+sin。-cos0+1=sin6-cosO+1=0,

显然。=0时，上式成立,

所以存在点〃，使得平面80Gl平面CEH,故C正确;

对于选项D：设直线CH与平面BDG的所成角为a€o.：,

若cosa=，则sina-yj\-cos'a-，

33

m-CH12cos。-2sin0-4

可得：（而,c〃x=一也

阿・|可一指xj2cos0-2)'4sin20+43，

整理可得3、in2612、in62cosfl-6=0,

构建/(°)=3sin29-12sin°-2cos°+6,9€0,—,

(l)=

因为〃Hi在。•:内连续不断,且〃0i=4>0J-6<0,

可知/I。I在（0段）内有零点,

即Jsin2812sin6-2cos®+6=0在内有根,

所以存在点〃，使得直线C4与平面的所成角的余弦值为在，故D正确；

3

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：对于方程3sin2612sinfl2cos8+6=0根问题，应构建函数，结合零点存在

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性定理分析判断，不能强解.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.抛物线I'='i的焦点坐标是.

【答案】

【解析】

【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.

【详解】因为抛物线方程丁焦点坐标为;0.?],且〃=!，

2\2J4

所以焦点坐标为（0，；）,

故答案为：（。，q）.

13.若数列：满足为+E=4+d（其中〃，Md为常数，，/H。），则称｛4｝是以，”为周期，

以d为周期公差的“类周期性等差数列”.若“类周期性等差数列叫q：的前4项为1,1,2,2,周期为4,周

期公差为2,则的前16项和为.

【答案】72

【解析】

【分析】根据给定的定义，求出以数列：4：首项开始的每4项为一组的和，再求出前4组和的和即可.

【详解】依题意，q+/+/+%=1+1+2+2=6,

+/+%+q=q+2+%+2+/+2+4+2=6+8=14,

%+《0++%2=%+2+/+2+叫+2+%+2=14+8=22,

十%“+《s+。]6=%+"io+。12+8=22+8=30,

所以：?：的前16项和为6+14•22-30=72.

故答案为：72

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14.己知双曲线C：：1-匚=1(a>0,力>0)的右焦点为P.O为坐标原点，若在C的左支上存在关

于X轴对称的两点A,B,使得|."]="切，且8O1.4F,则C的离心率为.

【答案】>/T-.##：•VT

【解析】

【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性可得△-48尸是正三角形，且。是其中心，再用半焦距。表示

出点A坐标，代入双曲线方程求出离心率.

【详解】轴，令垂足为。，由双曲线的对称性知BF=48,则△H8尸是正三角形，

又801At,F0LAB,贝i]。是△H8尸的中心，40=0F=1,

而；40D=60,贝10。|=\,|/。|=正。，点4(-\,立门在双曲线。，

一>>22

c13c*c2V2、3J

因此-r=l，即、--p-r=4,整理得f---4,即J-8J+4=0,

4a4/r0，c一0，eT

解得，=4+2jJ=(、/J+l)t所以C的离心率《=l

故答案为：y/i-1

【点睛】关键点点睛：由题设条件，结合双曲线对称性确定出正三角形是求解问题的关键.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知圆。：X，+/+2x-3=O,点Pi3.li.

(1)若直线P.M与C相切，切点为A/,求|/丹人

(2)已知直线过点P,若圆C上恰有三个点到距离都等于1,求的方程.

【答案】(1)而；

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出.「1=0或81-15「9=(1.

【解析】

【分析】(1)利用切线的性质，结合勾股定理计算即得.

(2)根据给定条件，把问题转化为圆心到直线距离为1,再列式计算得解.

【小问1详解】

圆J。+1尸+丁=4的圆心半径1=2,|PC|2=(3+1)-+(1-O)2=17,

由直线PM与C相切于点“，得|PM|=y]\PC\2-r=JiT.

【小问2详解】

要圆C上恰有三个点到的距离都等于1,当且仅当圆心C(-1,Q)到直线的距离为1,

而点在圆C外，直线x=3与圆C相离，则直线的斜率存在，

设直线的方程为11=,即卜7-3h1=(1,由y=-=1,解得&=0或〃=:7,

yJk:+\15

所以直线的方程为F-I=0或8・15】•-9=0.

16.已知抛物线C：/=2〃，(P>()),〃是。的焦点，A/为C上的一动点，且|上站|的最小值为1.

(1)求C的方程；

(2)直线(不过坐标原点。)交C于A、8两点，且满足0/10B,证明过定点，并求出该定点的坐

标.

【答案】(l)x2=4y

(2)证明见解析,定点为(0,4)

【解析】

【分析】(1)由抛物线中I八4*1的最小值为1,所以§=1,即即可得到方程.

(2)联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到》+工=软,41=-48，由0/108得到

OAOB=Ayv,+.r,r,=4/)•/>:=0,即可求得结果.

小问1详解】

因为忸仔*1的最小值为1,故f=1，即P=2,所以抛物线方程为/廿

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【小问2详解】

y-kx^b

显然直线,48的斜率存在，设方程为।:卜+b,贝卜

x2=4y

即.V：-4k-46=0,设用J1J,由韦达定理得$+工=4£*毛=-48,则

222

yty2=(Ax,+/>)(kx2+b]=kxtx2+kb(x1+x?)+/>'=&1-4b)+kby4k+b-b,

因为。4,08,所以万,丽=为工+D=-4b+〃=0,解得〃=0(舍)，A=4,故48的方程为:

>=h+■*,故恒过点(0,41.

17.已知等差数列：q；、满足丸点=q+4〃+8,：“,二的前〃项和为S

(1)求：”,；的通项公式；

〃为奇数

(2)若〃=」5,，求数列；。；的前2/1项和4”.

2",〃为偶数

【答案】⑴。“=2〃+1

(2)北“=」-+4£二11

2"2〃+13

【解析】

【分析】(1)根据等差数列基本量的计算可求解公差和首项，即可求解，

(2)根据裂项相消法以及等比求和公式分别求解q，G，即可由分组求解.

【小问1详解】

设等差数列；q：的公差为d,

3a,=q+4+8=3q+3d.,,

由为用=4+4〃+8可得‘一工八一a,：广解得

Q%=a,+d+8+8=3q+6d

故%=3-+2|”-1)=2〃♦I,

【小问2详解】

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,〃为奇数

故a=｛川”+2)7

2",〃为偶数

111n

由于％+…+

2/1-12/7+16>2/1+12/J+1

24624(1-4“)

2?+24+26+…+2?1*=」-----^=二-----

1-43

其中q，G分别为前口?项中奇数项的和以及偶数项的和,

n4(4"-1)

2n+\3

18.若04为平面。的一条斜线，。为斜足，08为0.4在平面a内的射影，OC为平面a内的一条直线,

其中H为04与OC所成的角，P为04与08所成的角，，为08与OC所成的角，那么

cosfi=cos^cosy,简称三余弦定理.如图，直三棱柱—44G中，/8=拒44=&8。=2&,

6——

cosZABC=—,CN=kCCt(0<I).

3

(1)求/."C的余弦值;

(2)当点占到平面4N6距离最大时，求;.的值;

(3)在（2）的条件下，求平面4人归与平面48c夹角的大小.

【答案】(DcosZ/lfiC=—

(2)2=:

2

71

(3)

6

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【解析】

【分析】(1)根据三余弦定理即可求解，

(2)建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用点到平面的距离公式求解距离表达式，结合二次函

数的性质即可求解最值得解，

(3)求解平面法向量，根据法向量的夹角即可求解.

【小问1详解】

在直三棱柱。-446中，J4-LAB,AB==2,.\A[B=+4殷=2区

,AB2&瓜

cosZJA,antJ=---=―=——,

482G3

又…一！8c二«,由三余弦定理可得c。、一」/“'二c。、-14」co、j””.

3

故co$Z.ABC=

2

【小问2详解】

8r

由(1)知cos/.4BC=J,AB=242,BC=2,

2

在.48C中，由余弦定理可得

AC=VAB2+BC2-2AB-BCcos/.ABC=j+4-2x2&2x#=2,

/.AC2+BC2=AB2,AC1BC,

在直三棱柱中，4C1_8CCG_L平面」8C,以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角

坐标系，

则

A(0,2,0),C(0,0.0),5(2,0,0),C,(0,0,2)Jj0,2,2),8/2,0,2)

•.•丽=入西(04入41),；.N|0,0,2A),

in=I*J；二11为平面4A火的一个法向量，

港=(2,-2,-2),丽=(-2,0叫,西=(0,0,2),

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由＜m1_A_._B_即一A.B-m=2x.-2y.-2z.=0

m1BNBN-m--2xt+2kzx=0

令，、:3,则而=（2入,2/一2,2）,

4

故点8.到平面4N8距离为|同J8M-82+8

故为=；时，此时点及到平面4NB距离最大，且最大值为手，

故点B到平面4N8距离最大时，A=-

【小问3详解】

由（2）知：当入=：时，平面4姐的一个法向量为而=（1,一1,2）,

设平面4匿的一个法向量为G=（大，心;J,

则而=(2,0,0),区=(0,2,2),

nLCBfCfin=2x,=0

____即1一',

ii1CJ(•万=2%+2z?=0

取二二'，贝!]〃=(0,1,-11,

mn-3y/3

=L==-7=7==---.

R|m|•|n|V6xV22

故平面4NB与平面4图夹角的余弦值为"，

2

故平面4NB与平面48c的夹角大小为

O

C

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19.已知椭圆C：1_+2_=।(fl>ft>o)的左、右焦点分别为F,£,上顶点为A,A的面积

ab'

为白，直线彳尸与牧的斜率之积为-3.

(1)求C的方程；

(2)已知点8|4.0).

1I

(i)若直线过点B且与C交于M、N两点，求;的最大值;